О суммируемости рядов Лагерра линейными методами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

О СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ЛАГЕРРА ЛИНЕЙНЫМИ МЕТОДАМИ

М.Д. Бурмистрова

ООО «Зирван»

E-mail: [email protected]

В статье рассматривается задача о суммируемости ряда Лагер-ра методами, задаваемыми треугольными матрицами. Получены условия на матрицу метода суммирования и разлагаемую функцию, гарантирующие сходимость соответствующих линейных средних в точке Лебега t = 0.

On Laguerre Expansions Summability by the Linear Methods M.D. Burmistrova

This paper studies a problem of Laguerre expansions summability via methods defined by triangular matrices. The conditions on a matrix and an expandable function are obtained to guarantee the convergence of corresponding linear means at the Lebesgue point

t = 0.

Пусть (см. [1]) Ьт (£), а > — 1, т = 0,1,... — ортонормированные на [0, ж) с весом р (£, а) = е-Ча многочлены Лагерра, Ьр (0, ж) = {/ : ||/1| = /0° |/(£)| р (£,а) < ж} — пространство измеримых по

Лебегу на положительной полуоси функций. Рассмотрим ряд Фурье - Лагерра функции / е Ьр (0, ж)

° г- °

/ (*) ~ йт Ьт (*), ат = / £“ е-/(£) Ь т (£) т = 0,1,... . (1)

т=0

С помощью треугольной матрицы Л = «^А^ : т, п = 0,1,...; А0п) = 1; А^ = 0 при т > п + 1} определим последовательность линейных средних

n

(f,t, л)^л<:> a„ L m (t) (2)

т

m=0

ряда (1). В случае сходимости этой последовательности ряд (1) называется Л — суммируемым.

В силу специфики асимптотического поведения многочленов Лагерра в точке t = 0 наибольшую сложность при исследовании поточечной сходимости и суммируемости ряда Фурье - Лагерра представляет эта точка. В настоящей работе мы рассматриваем задачу о сходимости линейных средних (2) в точке t = 0 в случае, когда она является точкой Лебега функции f , то есть существует число A такое, что

/ lf (t) — A| dt = o (h), h ^ +0.

J 0

Г. Сегё (см. [1]) доказал теорему о сходимости чезаровских средних порядка к > а + 1/2 в точке непрерывности t = 0 функции f при выполнении дополнительного условия на поведение функции на бесконечности Л” |f (t)| e-t/2ta-k-1/3dt < го . Это условие можно считать аналогом антиполярного условия в случае рядов Якоби. Нетрудно показать, что теорема Г. Сегё остаётся верной, если вместо непрерывности функции в точке t = 0 предположить, что точка t = 0 является точкой Лебега функции f.

Целью настоящей статьи является получение достаточных условий сходимости линейных средних (2) в точке Лебега t = 0 функции f для более широкого класса матриц Л, чем матрицы, определяющие методы суммирования Чезаро.

Положим ДА^ = ALn) — Am^, А2Am-'1 = А (ДАт'1) . Через C будем обозначать положительные постоянные, вообще говоря, различные в разных случаях.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема. Пусть —1/2 < а < 1/2 и матрица Л с ограниченными коэффициентами удовлетворяет условиям:

1) lim Am' = 1 для всякого фиксированного m ;

г) EÜ.-0 (m +1)( n-р)" А л,„

< C ;

лП- 1

vm=0 V.'"' 1 V ^ n+1

кроме того, существует число S < 0 такое, что

2 (n)

П—— ^О

© М.Д. Бурмистрова, 2008

15

3) Еm=0 (m + 1)a/2+3/4 А2 А^

< Cn5.

Если для некоторых д > 0 и р > 1 (р < ^—І+іІг 8 случае 1/6 < а < 1/2 и 6 > 1/12 — а/2) интеграл |/ (£) в_^/2^ < го, то ряд Фурье - Лагерра функции / є Ьр (0, го) является Л —

суммируеммым в точке Лебега £ = 0 .

Перепишем линейные средние (2) в точке £ = 0 в виде

т“ (/> 0 Л) = / (Ь) к“ (Ь 0Л) Р(Ь а)

0

где к“(ь0, л) = е т=о лт° Ьт (Ь) -Ьт (0) — ядро метода суммирования, заданного матрицей Л.

Ядро (Ь, 0, Л) будем называть сингулярным, если /0° (Ь, 0, Л) р (Ь, а) ¿Ь ^ 1 при п ^ ж и

/0° Ка (Ь, 0, Л) р (Ь, а) ¿Ь ^ 0 при п ^ ж для любого г > 0.

Доказательство теоремы основывается на теореме Д. К. Фаддеева о представлении функций в точках Лебега сингулярными интегралами (см. [2]). Согласно этой теореме, если точка Ь = 0 является точкой Лебега интегрируемой на (0, д) функции / ( д > 0 ), то для выполнения равенства Нш О / (Ь) Ка (Ь, 0, Л) р (Ь, а) ¿Ь = А достаточно, чтобы ядро Ка (Ь, 0, Л) было сингулярным и существовали на (0, д) интегрируемые монотонные мажоранты ©П(Ь) для произведений |Ка (Ь, 0, Л)| р (Ь, а) такие, что /0х 0П(Ь)^Ь < С, где С не зависит от п.

В дальнейшем нам потребуется также теорема 8.91.2 из [1], согласно которой, если Ь > а > 0, то при п ^ ж справедливо соотношение

max |LJJ (t)| e t/2tA ~ n

t >a

Q

(3)

где ^ = шах(А — 1/3 , а/2 — 1/4), А — произвольное вещественное число, (£) — стандар-

тизованные многочлены Лагерра, связанные с ортонормированными многочленами соотношением

Ч (£) = ¿а и • /г("+°+1)

Г(п+1)

Лемма 1. Пусть —1 < а < 1. Тогда L^+1 (t) р (t, а) dt ^ 0 при n ^ го для любого z > 0.

Доказательство. Интегрируя по частям, используя равенство Ь^+1 (Ь) = —ьа+1 (Ь) ([1], стр.111) и соотношение (3), получаем

L^+1 (t) e-ttadt

e-ttadLa+i (t)

<

< I¿S+1 (t)e-‘í“|“| +

La+1 (t) e ttadt

+а

La+1 (t) e-tta-1dt

<

/ оо Г° Г° \

< Сп^ ( е-*/2Ьа + J е-*/2Ьа^Ь + а J е-*/2Ьа-1 ¿П .

Так как е-^/2Ь7¿Ь сходится для любого 7, а ^ < 0 при а < 1/2, то правая часть полученного

неравенства стремится к нулю. □

Лемма 2. При —1 < а < 2 яфо Дирихле - Лагерра ^ (Ь, 0) = ЕП=0 Ьа (0) Ьа (Ь) является сингулярным.

Доказательство. Имеем

г* + О і

Da (t, 0) р (t, а) dt =

n л+о

XI/ La (t) P(t,a) dt = 1

0

Кроме того, так как

n

Da (t, 0) = £ l a (0) l a (t)

k=0

Г(а + 1) fc=o^0

1 n 1

Г (a + 1) k=0 La (t) = Г (a + 1)La+1 (t) ’

то из леммы 1 получаем, /z+° Da (t, 0) р (t, a) dt ^ 0 при n ^ го для любого z > 0. □

ОС

ОО

ОО

ОС

ОС

0

Лемма 3. Пусть — 1 < a < 1/2, а матрица Л удовлетворяет условию 1) теоремы и

Е

n

m=0

ДА

(n)

< C. Тогда ядро Ka (t, 0, Л) сингулярно.

Доказательство. Так как А0п) = 1, то, как и для ядра Дирихле, /0° КЩ (Ь, 0, Л) р (Ь,а) ¿Ь = 1. Треугольная матрица Л при выполнении условий леммы является регулярной по Теплицу (см., например, [3, с. 126]) и .Г Ка (Ь, 0, Л) р(Ь, а) ¿Ь = Е^=0 ДАт^ СО ^т (Ь, 0) р (Ь,а) ¿Ь. Поэтому в силу сингулярности ядра Дирихле получим К^ (Ь, 0, Л) р (Ь, а) ¿Ь ^ 0 при п ^ ж для всякого фиксированного г. □

Доказательство теоремы. Положим V = [Щ] . Очевидно, щью преобразования Абеля получим

Д

дай*

<

д2а(п>

Тогда с помо-

Е |ДА(:

m=0

v — 1

n —1

m=0

+ 1)Д ДА<;) + (n + 1) ДА^> — £ (n — m) Д |ДА(.

(n)

xm

<

v — 1

n—1

m=0

< X (m + 1) Д2 А( + (n + 1) ДАVn) + X (n — m) Д2 A(n)

Так как

ДА,(,п)

v—1

1 — AVn) — £ (i + 1)Д2 A.

2 (n)

i=0

v—1

< 1 +

m=0

AVn) +£(m + 1) Д2А<П»

v—1

v—1

m=0

X (m +1) д2а(° < C X (m +1)

m=0

n — m n + 1

Д2 A(n)

^ /4m

<

(4)

n—1

< C X (m + 1)

m=0

n — m n + 1

Д2 A(n)

m

n—1

n—1

X (n — m) Д2 Аї < C X (m + 1)

\ 1 —a

n — m \ 2

n+1

Д2 A(n)

<

n—1

< C X (m + 1)

m=0

n+1

Д2 A(n)

^ /4m

то из (4), ограниченности коэффициентов матрицы Л и условия 2) теоремы будем иметь £т=о ДАт^ < С. Значит, по лемме 3, при выполнении условий теоремы ядро Ка (£, 0, Л) син-

гулярно.

Построим интегрируемую монотонную мажоранту на интервале (0, д) для произведений |К“ (£ 0 Л)| Р(£,а) •

Сначала построим интегрируемую монотонную на (0, д) мажоранту Ф^ (£) для произведения |^п (£ 0)| Р(£,а), где

F“ (t, 0) =

1

n+1

EBm (o,t)

( =0

_________1________га+2 (t)

Г (a + 1)(n + 1) n ()

(5)

— ядро Фейера - Лагерра. Для многочленов Лагерра при а > —1/2, 0 < Ь < д, и п = 1,2, справедливы оценки (см. [1], теорема 7.6.4)

|LS(t)|< C

t—a/2 —1/4 na/2 —1/4

(6)

Положим Фд (t) = C, 0 < t. Для n = 1, 2,... положим Фа (t) = C max (na+1t“e *, ne , 0 < t < 1, Фа (t) = Cna/2-1/4ta/2-5/4e-t, 1 < t. Здесь C выбрано в соответствии с оценкой (6), примененной для La+2 (t).

(

П

( =v

( =v

V

2

2

и

( =v

( =v

а

n

Очевидно, что функции Фа (£) не возрастают на (0, д), а неравенства |^“ (£, 0)| р (£,а) < Ф^ (£) следуют из оценок (6) и представления (5) ядра Фейера. Далее, при а < 1/2, п =1, 2,... и д > 1 получим

rv г1

/ ФО (t) dt = ФО (t) dt + / ФО (t) dt <

./о Л .м

< Cna+1 jj tadt + Cna/2—1/4 J * ta/2—5/4dt < C.

При д < 1 будем иметь

r»v г —

i j n

aa

ФО (t) dt < / ФО (t) dt < C.

. n yv J KAJV - » i n

00

Аналогично построим на (0, д) мажорирующие функции ФО к (Ь) для произведений

(Ь, 0) р (Ь, а) при к < V, где

^ П ^ П

(ь, 0) = -—- у ^т (0, ь) = ———- у Ьт+1 (ь) =

п,кУ 7 к + 1 ^ г (а + 1)(к + 1) ^ т

т=п —к т=п — к

= Г (а + 1)(к + 1) <Ь“+2 (Ь) — Ь"+2—1 (Ь)> (7)

ядра Валле Пуссена. Строить будем так, чтобы

/■ X /п + 1\ а + 1/2

I Ф">к(Ь) * < ЧкГГ

Положим

п* (í) = c<!

ix (na+1tae * ,ne ^ 0 <t < 1,

/2+1/4ta/2-3/4e—t 1 < t < Пп+1

’ n — (k + 1)2

a/2+3/4

ta/2 — 5/4e—t n+1 < t

t e , (u i П2 <

(к+1) ’ (к+1)2

где п = 1, 2,..., к < V и —1/2 < а < 1/2.

Функции ФО к (£) не возрастают на (0, д), а неравенства

|У“к (*, 0)|р (£,а) < Ф“к (£)

следуют из оценок (6), представлений ядра Валле Пуссена (7) и того факта, что п — к — 1 ~ п при к < V. Далее, при —1/2 < а < 0 и д > (¿+1)2 имеем

/ Фп,к (£) = Фп,к (£) + / Фп,к (£) + / Фп,к (£) <

Г1 Г Т!Г++—2 na/2+3/4

a+W tadt + Cna/2+1/4 / ( ) ta/2—3/4dt + C^--------- ta/2—5/4dt <

'0 Л/n (k + ^ -/-

< Cna+W tadt + Cna/2+1/4 / ta/2—3/4dt + C

(k + 1) I______.

(fc+i)2

a+1/2

n+1

<C

k + 1

При д < (k+11)2 имеем

í (к + ґ)2 /n + 1\ a + 1/2

фП,* (t) dt < / Ф“* (t) dt < Cf + '

00

Случай 0 < а < 1/2 рассматривается аналогично. Теперь перейдем к общему случаю ядер К^ (Ь, 0, Л).

Ядро Ка (£, 0, Л) представимо в виде

V—1

ка (£, 0, Л) = £ (т + 1) Д2АЙ> ((, 0) + (V + 1) ДА«((, 0) +

т=0

п —1

+ (п — V) ДА^1 У“п —V — 1 (£ 0) — X (П — т)Д2 АтП) К!п — т —1 (£ 0) .

m=v+1

Следовательно, последовательность

V—1

т=0

©п (() = £ (т + 1) Д2Ат) Фт (£) + (V +1) ДА<п) Ф? (() +

+ (п — V)

ДА

(п)

V + 1

—1

Фп, п —V —1 (£) +

m=v+1

( п — т)

Д2А(п)

т

Фа і (£)

^ п,п—т —1 \°/

будет интегрируемой монотонной мажорантой для произведения |К^ (Ь, 0, Л)| р (Ь,а) при — 1/2 < а < 1/2. Действительно, ©п (Ь) не возрастают на интервале (0, д) и в силу условия 2) теоремы и соотношения (4) получим

V —1

т=0

—1

© п (£) < С(^ ] (т + 1) Д2Ат) + (V + 1) ДА^) + (п — V)

і -і \ а+1/2 2л(п) I п + П '

ДА

(п)

V + 1

+

1 / п + П “+1/2

+ £ (п — т)|Д2А<П>|( ^-) ) < С

m=v+1 ' '

Согласно теореме Д.К. Фаддеева получим

Ііш / / (£) Ка (£, 0, Л) р (£, а) = А.

Теперь заметим, что так как ядро К% (£, 0, Л) сингулярно, то

Ка (£, 0, Л) е ^ 0 при п ^ го

для любых 0 < г1 < г2. Следовательно,

р О

/ $ (Ь) Ка (Ь, 0, Л) е—*Ь“^Ь ^ 0 при п ^ ж

«/ X

для любой ступенчатой функции $ (Ь). Поэтому, в силу критерия слабой сходимости линейных функционалов (см., например, [4, стр. 198]), предполагая, что

К“ (£, 0, Л) е—*/2

< С,

получим

/ (£) Ка (£, 0, Л) е ^ 0 при п ^ го

для любой функции / е |/ : /^0° |/ (Ь) е */2|Р Ьа^Ь < ж |, р + 1 = 1 (р > 1). Значит, для доказательства теоремы достаточно показать, что /^0° |К^ (Ь, 0, Л) е—*/2|9 Ь“^Ь < С.

Согласно работе [5], при Ь > (1 + А) п для всех т справедлива оценка

¿т+2 (£)1 е—'/2 < С (т + 1)а/2+1 £—а/2—1 е—^.

(8)

Здесь А — достаточно малое положительное число, п = 4п + 2а + 6 , 0 < С < 1/2 .

0

0

21

те

Известия Саратовского университета. 2008. Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1 Разобьем интеграл на два:

О

M

-(1+Л)п

К

n

К? (t, О, Л) e-t/2

tQ dt =

К? (t, О, Л) e-t/2 tQdt + / К? (t, О, Л) e-t/2

J (1+Л)п

J ^

Оценим сначала интеграл /1. Ядро (t, 0, Л) представимо в виде

П ^ П

ка (t, о, л) = £ (m +1) д2 a« F„a (t, о) = г(а+ n Е д2 Ai,:)Lm,+2 и

m=0 m=0

Из соотношения (3) имеем max |L0+2 (t)| e-t/2ta/2+13/12 ~ (m + 1)а/2+3/4 . Тогда

n

tQ/2+13/12 |кQ (t, О, Л) I e-t/2 < C V I A^? (m + i)q/2+3/4 < Cn5

Ln V ? ? /I — ^ / j 'xm

m=0

Г (1+Л)п

Д < CnqM tQ-q(Q/2+13/12)dt.

M

Если а < 1/6, то при любом д > 1 будет иметь место неравенство а — q (а/2 + 13/12) < —1. Поэтому /1 < Спд5 1п(п + 1) < С, так как по условию теоремы 5 < 0. Рассмотрим случай а > 1/6. Если д не меньше 162а++1132, то снова а — д (а/2 + 13/12) < —1 и /1 < С. Если 1 < д < 162а+1132, то

11 < Спа+1+д(5—а/2—13/12) < С при т = а + 1 + д (5 — а/2 — 13/12) < 0. Запишем левую часть последнего условия в виде т = (а + 1)(1 — д) + д (5 + а/2 — 1/12). Отсюда, если 1/6 < а и 5 < 1/12 — а/2, то т < 0 при любом д > 1. Если же 1/6 < а, а 5 > 1/12 — а/2, то т < 0 при д > . Это

неравенство выполняется при р < 1+12,г.

Оценим теперь интеграл /2 . Используя оценку (8), получим

n

К? (t, 0, Л) e-t/2 < Ce-«*t-Q/2-1 I A2ЛІ”) (m + 1)q/2+: <

m=0

n

< Ce-«*n1/4t-Q/2-1 U2Л?”) (m + l)Q/2+3/4 < Cn5+1/4t-Q/2-1e-«t.

Значит

p OO ЛО

12 < Cng(1/4+5W ta-q(a/2+l) е-9«*^ = Cng(1/4+5W t-1+g/3ta-9(a/2+4/3) + 1 е-9?^.

./(1 + A)n -/(1+A)n

Теперь заметим, что a — q (a/2+ 4/3) + 1 < 0 при q > 1 и -1/2 < a < 1/2 . Следовательно, ta-q(a/2+4/3)+1 < Cna-q(a/2+4/3)+1 при t > (1 + A) n . Получаем

O

I2 < Cnq(1/4+5)+a+1-q(a/2+4/3W t- 1+q/3g-dt < Cna+1-q(a/2+13/12-5) < C

•/ (1+A)n

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории

функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

1962.

2. Фаддеев Д.К. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesgue’a // 5. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions

Матем. сб. 1936. T. 1/43, № 3. C. 351-368. . т , u ., -на , ,, ,OCr

' in Laguerre and Hermite series // Amer. J. Math. 1965.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир,

1965. T.I. V. 87. P. 695-708.

О

и