CC BY
34
МАТЕМАТИКА
УДК 517.938
О СТРУКТУРЕ СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО ДИФФЕОМОРФИЗМА В ОКРЕСТНОСТИ ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ К 1-ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ
© 2013 г. А.П. Маркова
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
апуаш@уа^ех. ги
Поступила в редакцию 19.03.2013
Рассматривается симплектический диффеоморфизм на 4-мерном симплектическом многообразии, имеющий 1-эллиптическую неподвижную точку и гомоклиническую траекторию к ней. Сформулированы условия общего положения, при выполнении которых в достаточно малой окрестности гомокли-нической траектории существует по 4 трансверсальных гомоклинических траектории к каждой инвариантной КАМ-кривой на центральном многообразии неподвижной точки.
Ключевые слова: симплектический диффеоморфизм, 1-эллиптическая неподвижная точка, инвариантная КАМ-кривая, гомоклиническая траектория, центральное многообразие, отображение рассеяния,
нормальная форма.
Введение
В данной работе рассматривается симплектический диффеоморфизм, имеющий 1-эллиптическую неподвижную точку и гомоклиническую траекторию к этой точке. К такой постановке сводится изучение траекторий гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, имеющей периодическую траекторию типа седло-центр и гомоклиническую траекторию к ней.
Рассматриваемая задача в идейном плане восходит к задаче о структуре окрестности петли сепаратрисы седло-центра (его собственные значения состоят из пары чисто мнимых и пары ненулевых вещественных чисел) в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы [1—6]. Петли сепаратрис к седло-центру были обнаружены в ограниченной круговой задаче трех тел [7]. Для случая вещественной аналитической гамильтоновой системы вопрос об описании поведения траекторий в окрестности гомокли-нической траектории к состоянию равновесия типа седло-центр был впервые поставлен и частично решен в [1]. В частности, в [1] было найдено условие общего положения, гарантирующее существование четырех гомоклинических траекторий у каждой из малых (ляпуновских) периодических траекторий на центральном многообразии седло-центра, а поэтому - неин-тегрируемость и сложную динамику [8, 9]. В [3]
при дополнительном предположении, что го-моклиническая траектория к седло-центру лежит на некотором двумерном инвариантном симплектическом подмногообразии, это условие было переформулировано в терминах соответствующей задачи рассеяния для системы, линеаризованной вдоль гомоклинической траектории. Полученные результаты были обобщены в [5] на случай гамильтоновых систем с п степенями свободы, п > 3, имеющих гомок-линическую траекторию к состоянию равновесия типа седло-центр (пара чисто мнимых собственных значений, остальные собственные значения имеют ненулевые реальные части). В системах с двумя степенями свободы удается получить больше информации о структуре системы в окрестности петли и ее бифуркациях, например показать существование счетного семейства периодических траекторий разного типа в особом уровне гамильтониана, гомоклини-ческих контуров на этом уровне и пр. [4, 6]. Обобщение указанных результатов на обратимые гамильтоновы системы позволило получить дополнительную информацию о структуре бифуркационных множеств и возможности ренормализации системы в окрестности петли [2, 6].
Сведение задачи о структуре траекторий гамильтоновой системы с тремя степенями свободы с гладким гамильтонианом Н к изучению 4мерного симплектического диффеоморфизма
осуществляется следующим образом. Пусть система имеет периодическую траекторию у типа седло-центр (ее мультипликаторами являются в±,а, ц, цГ1, ц^±1 ). Эта периодическая траектория принадлежит двумерному симплек-тическому цилиндру, составленному из продолжения у на близкие уровни гамильтониана. На 5-мерном уровне H = H (у) периодическая траектория имеет сильно устойчивое и сильно неустойчивое двумерные инвариантные многообразия, проходящие через у и принадлежащие уровню гамильтониана. Если эти многообразия пересекаются вдоль некоторой траектории Г, то эта гомоклиническая траектория стремится к у при t ^ ±<х>. Возьмем в уровне гамильтониана H = H (у) в произвольной точке траектории у секущую N к потоку. На N поток индуцирует локальное симплектическое (относительно ограничения формы Q на N ) отображение Пуанкаре f, имеющее 1 -эллиптическую неподвижную точку p и определенное в некоторой окрестности U точки p . Сильно устойчивое и сильно неустойчивое многообразия у при пересечении с N задают локальные инвариантные кривые, проходящие через p, след Г дает счетное множество гомоклинических точек, накапливающихся к точке p. Полученный симплектический диффеоморфизм f и является тем отображением, которое рассматривается в данной работе. Его инвариантные КАМ-кривые - следы двумерных инвариантных торов, лежащих в пересечении 4-мерного центрального многообразия периодической траектории Wc (у) с уровнем H = H (у).
Изучаемая ниже задача о поведении траекторий 4-мерного симплектического диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории к неподвижной точке восходит к работам Биркгофа, затем Смейла, Шильникова [8, 9] и др. Случай гомоклинической траектории к гиперболической неподвижной точке типа седло-фокус для 4-мерного симплектического отображения изучен в [10]. Основные формулировки результатов данной работы были опубликованы в [11].
1. Постановка задачи и основные результаты
В работе рассматривается С -гладкий, r > 6, симплектический диффеоморфизм f на С“ -гладком 4-мерном симплектическом многообразии (M, Q), где Q - С" -гладкая 2-форма.
Предполагается, что / имеет 1-эллиптическую неподвижную точку р , то есть дифференциал в этой точке 0/(р) имеет пару собственных значений е±,а на единичной окружности и пару вещественных собственных значений ц, цГ1, цф ±1. В дальнейшем мы предполагаем, что ц положительно и 0<ц< 1. Такую неподвижную точку будем называть ориентируемой 1 -эллиптической точкой. Если ц, ц_1 отрицательны, точку назовем неориентируемой. Случай неори-ентируемой неподвижной точки может быть сведен к случаю ориентируемой при рассмотрении /2 вместо / .
В окрестности 1 -эллиптической неподвижной точки существует СгЧ -гладкое двумерное инвариантное симплектическое центральное подмногообразие Жс, соответствующее мультипликаторам е±,а. Ограничение диффеоморфизма / на Жс является СгЧ -гладким двумерным симплектическим диффеоморфизмом, а р - его эллиптической неподвижной точкой.
Мы предполагаем, что для отображения / |^с точка р является точкой общего эллиптического типа, точнее, мы предполагаем отсутствие . % 2%
сильных резонансов (а ф — ) и неравенство
нулю первого биркгофовского коэффициента. В этом случае 1 -эллиптическую точку будем называть 1-эллиптической точкой общего типа. Тогда по теории КАМ на Жс в окрестности точки р существует канторовское множество положительной меры замкнутых инвариантных кривых, окружающих точку р и накапливающихся к ней. Необходимая минимальная гладкость симплектического диффеоморфизма равна 5. Это и объясняет предположение г > 6.
Центральное многообразие Жс является нормально гиперболическим в смысле [12, 13] и имеет локальное гладкое трехмерное устойчивое многообразие W¡cosc и локальное гладкое трехмерное неустойчивое многообразие , поскольку два мультипликатора ц, ц1 соответственно меньше и больше единицы (эти два локальных трехмерных многообразия являются одновременно центральным устойчивым и центральным неустойчивым многообразиями неподвижной точки р ). Эти многообразия могут быть продолжены относительно действия соответственно /_1 и / . Их продолжения мы обозначаем Ж “ и Жс".
Каждая инвариантная КАМ-кривая на Жс может рассматриваться как седловая, поскольку она имеет локальные двумерные устойчивое и неустойчивое многообразия, которые также могут быть продолжены до глобальных многообразий под действием диффеоморфизма. Каждое такое многообразие гомеоморфно цилиндру, кроме того, оно является лагранжевым подмногообразием в М. Существование этих подмногообразий следует из результатов [12, 13].
Неподвижная точка р в малой окрестности
также имеет две С г -гладкие локальные инвариантные кривые, проходящие через нее: ее устойчивое Ж£с (р) и неустойчивое ЖЦс (р) инвариантные многообразия. Их продолжения с помощью / 1 и / (обозначаем, соответственно, Ж5 (р) и Ж" (р)) также являются Сг -гладкими кривыми.
Наши основные предположения в этой работе состоят в следующем:
Предположение 1 (о существовании го-моклинического пересечения). Кривые Ж5 (р) и Ж" (р) пересекаются в некоторой точке д, задавая тем самым гомоклиническую траекторию Г точки р.
Предположение 2 (условие трансверсальности). Пересечение Ж5 (р) и Жс" (р) в точке д трансверсально.
В §3 будет построено линейное симплекти-ческое отображение рассеяния 5, действующее в касательной плоскости к центральному многообразию ТрЖс с ТМ. Ограничение дифференциала 0/(р) на симплектическую инвариантную плоскость Т Ж с является двумерным линейным симплектическим отображением, имеющим пару собственных значений е±,а на единичной окружности. Поэтому плоскость расслоена на замкнутые инвариантные кривые этого отображения, каждая из которых является эллипсом и получается из одной из них умножением координат на положительную постоянную. Зафиксируем некоторый эллипс Е. Тогда его образ 5(Е) под действием отображения рассеяния также является эллипсом с тем же центром в начале координат симплектической плоскости Т Ж с и той же площади относительно ограничения 2-формы О на эту плоскость. Поэтому либо пересечение Е П 5(Е) трансверсально и тогда состоит из четырех точек, либо эти эллипсы совпадают.
Предположение 3 (условие рассеяния).
Пересечение Е П 5(Е) трансверсально.
Ясно, что это условие не зависит от выбора эллипса Е . Основным результатом работы является следующая теорема:
Теорема 1. Пусть для симплектического диффеоморфизма /, имеющего неподвижную 1 -эллиптическую точку общего типа, выполнены предположения 1, 2 и 3. Тогда существует такая окрестность и гомоклинической траектории Г , что каждая замкнутая инвариантная КАМ-кривая на центральном многообразии Жс имеет в и четыре трансверсальных гомоклинических траектории.
Инвариантные многообразия диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории схематично изображены на рисунке.
2. Следствия из условия трансверсальности
В силу предположений 1 и 2 два гладких трехмерных многообразия Жс (р) и Жс" (р) пересекаются в точке д трансверсально, то есть по гладкому двумерному диску Е, содержащему точку д. Диск является симплектическим
относительно 2-формы ю - ограничения 2-формы О на Е. Справедливо следующее утверждение:
Лемма 1. Если выполнены предположения 1 и 2, то Е и Ж" (р) трансверсальны в Жс" (р) в точке д, и, следовательно, Ж" (р) и (р)
также трансверсальны в точке д.
Предположение 1 говорит о том, что отображение / вырождено, так как в общем случае две
гладкие кривые в четырехмерном многообразии не пересекаются. Это условие выделяет множество диффеоморфизмов коразмерности 2 в пространстве всех Сг -гладких симплектических диффеоморфизмов на М. Конечно, пересечение трехмерного Жси (р) и одномерного Ж3 (р) многообразий в четырехмерном многообразии М является случаем общего положения, но точка пересечения может не принадлежать Жи (р).
Также справедлива следующая лемма:
Лемма 2. На диске Е существуют два кан-торовских множества С и С гладких замк-
± из
нутых инвариантных кривых ^ (у) и ^ (у) > которые являются следами продолжения неустойчивого Жи (у) и, соответственно, устойчивого Ж3 (у) многообразий инвариантных КАМ-кривых у е Жс. Кроме того, интегралы от 2-формы ю по дискам Би (у) и Б3 (у), ограниченным кривыми ^ (у) и ^ (у), равны:
Би (у) Б3 (у)
3. Линеаризация и отображение рассеяния
В формулировке условия рассеяния (предположение 3) используется оператор рассеяния 5. В этом параграфе описано построение этого оператора, действующего на касательной плоскости к центральному многообразию ТрЖс.
Этот оператор является обобщением понятия оператора рассеяния для уравнения типа Шре-дингера [14]. В задачах гомоклинической динамики, связанных с негиперболическими состояниями равновесия, он впервые был введен в [4].
Рассмотрим линеаризацию отображения / вдоль гомоклинической траектории ди, п е N, Чи+1 = /(Чп) , Ч = Ч , то есть семейство линейных симплектических отображений Хл = Б/п : Т М — Т^М. Это семейство стабилизируется: Нт£я = Б/(р) при | п |—> ^. Поскольку
/п (ч) — р при | п |— да, то для заданной окрестности V точки р существует такое достаточно большое натуральное N, что /п е V для всех | п |> N. В окрестности V отображение / после линейной симплектической замены переменных может быть записано в виде:
Xn+1 = М*п +
Уп+1 =^‘ Уп + •••, Ґ1, \
V V ,
V п+1 У
cosa - sina
V
sina cosa
+ •••
где 0 < ц < 1, а многоточие обозначает члены второго порядка и выше. Линеаризация дискретной динамической системы вдоль гомокли-нической траектории задается системой (1):
£ п+1 = Ц£ п + РпС п ,
"Лп+1 = Ц~Ч + йпС п , (1)
у = Я у + Ж С
/-п+1 п п^>п
а/ьп п^>п ?
где С п = (£п , Пп , Уп ) = (£п , Пп , уп , У2) - 4-вектор-
столбец координат в касательном пространстве в точке Ч = (хп, уп, и, уп), Яа обозначает матрицу поворота на угол а
'"cosa - sina^
Vsina cosa y
Рп, йп - 1 -строчные матрицы, Жи - матрица (4 х 2). Для этих матриц справедливы следующие оценки при | п |> N:
|рп|| <Сц1п|, \Щ <сЦ;1, ||Жп|| <Сц1;',
где 0< ц < ц < 1, С - некоторое положительное число, зависящее от N.
Рассмотрим | п |> N и обозначим
Г Е 0 ^
=
V 0 Rnay
где Е - единичная матрица (2 х 2). Выполним в системе (1) неавтономную (зависящую от п) симплектическую замену и перейдем во вращающуюся систему координат: Сп = Snуn, где
у = (^, т), у). Эта замена позволяет исключить
вращение по координатам уп = (уП , хП) > что дает возможность использовать в доказательствах метод сжатых отображений. После замены, сохраняя старые обозначения, вместо системы (1) получим систему вида:
1п+1 = М4п + ЕпС п ,
Тп+1 = Н^Тп + °пСп , (2)
уп+1 = Уп + НпСп ,
где Е, - 1-строчные матрицы, Ни - матрица
(4 х 2), для которых справедливы оценки, аналогичные оценкам для матриц Рп , 2и и . Заметим, что система (2) является неавтономной.
Лемма 3. Существует достаточно большое N > 0, такое, что для любых , ут є Я2 и
любых п > N существует единственное реше-
n
V
V п У
ние (4И, цп, х„) системы (2), удовлетворяющее следующим граничным условиям: S„ = S0,
Xn НХ™, I Sn Н 0, I Л Н 0 при n н: •
Для доказательства этой леммы по аналогии с [5] вместо системы (2) рассматривается эквивалентная ей система (3):
n—1
S n = Цn—N SN + &n—1—sF С s,
s=N
Л = —£ц "1—^С s, (3)
s=n
Xn = Х™ — 2 ЯsС s-
s=n
Используя принцип сжимающих отображений, мы показываем, что система (3) имеет единственное решение в банаховом пространстве всех последовательностей Ся = (SK,Ля,Х„), равномерно ограниченных на [N, да) с нормой | С |= sup(| Sn I, I Лп I , 11 Xn I I). Значит, система (2)
n> N
имеет единственное решение, удовлетворяющее граничным условиям из леммы 3.
Также справедлива лемма 4 (чтобы не перегружать обозначения, мы опускаем индексы S0 ):
Лемма 4. Решения С„ (S, Хм) системы (2) удовлетворяют следующим соотношениям линейности:
I. Си (S', X™)+С„ (S',0) = С (S'+S", X™);
II. С „ (S ' ,0)+С „ (S ' ,0) = C (S '+S ",0),
С n (aS,0) = aCn (S,0);
III. С „ (0, axL+PxL) = <, (0, xL) +PC„ (0, xL )•
Леммы 3 и 4 позволяют выделить в касательном пространстве к точке ди трехмерную плоскость LN с T M, которая состоит из точек (S^, Лл?, Xn ), соответствующих ограниченным решениям системы (2). Кроме того, плоскость LN расслоена на прямые: через каждую точку такой прямой проходит решение (2), соответствующее одному и тому же х». В частности, х» = 0 соответствует касательная прямая к Ws в TqNM.
Утверждения, аналогичные доказанным выше, справедливы и для n < — N. Поэтому в касательном пространстве T M существует трехмерная плоскость L_n , расслоенная на прямые, через каждую точку которой проходит решение системы (2), соответствующее одному и тому же Х-ю при n н —™.
Теперь построим отображение рассеяния 5: ТрЖс — ТрЖс. Возьмем произвольную точку
у_„ е ТрЖс. Зафиксировав эту точку, мы получим прямую из построенного расслоения в плоскости Ь_м. Применим к этой прямой отображение Б/2М . В результате получим прямую в Т М, трансверсальную плоскости . Полученная прямая пересекает эту трехмерную плоскость в единственной точке, через которую проходит единственная прямая из построенного расслоения в плоскости . Пусть этой прямой
соответствует точка у+оо е Т’рЖс. Положим
5(у-„ ) =у + да .
Покажем, что построенный оператор 5 является линейным. Ясно, что 5(0) = 0. В самом
деле, у ю = 0 в плоскости Ь_м соответствует прямая из расслоения, которая является касательной к сильно неустойчивому многообразию
Жи в касательном пространстве Т М. Ее образ под действием отображения дифференциала
Т\г2 N ^
Б/ является прямой в касательном пространстве Т^М, которая трансверсальна Т^Ж03 в силу предположения 2 и пересекает его в нуле пространства Т^М. Через ноль проходит единственная прямая из расслоения - касательная прямая к сильно устойчивому многообразию
Ж3, соответствующая у+о0 = 0.
Обозначим I прямую из Ь_И, через каждую точку которой проходит решение, соответствующее у_х при п — —да. Используя соотношения линейности I и II, мы получим следующее представление для решений системы (2):
Сп (С , ^у —да ) =Сп (0, Я.у—„ ) +
+ С п (С ,0) = ХС п (0, у—да) + С п (С ,0).
Чтобы найти 5(Ху ), мы действуем Б/2N на XI + ¡0 (здесь 1" - касательная прямая к
Жи в точке Ч_м ). В Ь_м мы получим две точки, через каждую из которых проходит единственная прямая из расслоения: это соответственно ^¡у+да и ¡3 (¡3 - касательная прямая к Ж3 в точке ). Таким образом, 5 переводит Ху^ в Ху+„ + 0 = Ху+00. Аналогично, для суммы получаем соотношения:
С п (С , у—да +у — да ) = С п (С + 0, у—да +у —да ) =
= С п (С ,0) + С п (0, у—да+у '—да ) =
= С п (С ,0) + С п (0, у'—да ) + С п (0, у — да ).
В этом случае Б/2М действует на
¡у' + ¡у + ¡1.
у—да у—да 0
Кроме того, 5 является симплектическим отображением. Линейное симплектическое отображение 5 мы называем оператором рассеяния.
4. Гомоклинические траектории к КАМ-кривым
Для доказательства теоремы 1 о существовании гомоклинических траекторий к инвариантным КАМ-кривым на центральном многообразии мы предполагаем, что для отображения / выполнены все предположения 1, 2 и 3. Тогда согласно §2 многообразия Жси (р) и Жсз (р) в точке Ч пересекаются трансверсально. Для инвариантной кривой у е Жс ее устойчивое многообразие, продолженное с помощью / 1, за конечное число итераций достигнет окрестности точки ч и трансверсально пересечет диск Е
в Жсз (р) по замкнутой кривой ^ (у). Аналогичным образом на Е получается кривая (у).
Две полученные кривые (у) и ^ (у) С2 -близки к эллипсу, если у лежит в достаточно малой окрестности неподвижной точки р .
Для завершения доказательства теоремы 1 требуется связать свойства пересечения кривых (у) и ^ (у) на Е со свойствами пересечения эллипсов Е и 5(Е) на плоскости ТрЖс. Для этого мы рассматриваем нормальную форму отображения / в окрестности точки р до членов пятого порядка, которая имеет следующий вид:
хп+1 = цх (! + ахпУп + Ъ(и1 + ^) +
+ с(и1 + V2 )2 + ёхпУп (и1 + ^) + ехп у" ),
Уп+1 = ц—1 Уп(1 — ахпУп — Ъ(и1 + V2) — с("2 + V2 )2 — — ёх У (и2 + V2) — ех2У2 + (ах У + Ь(и2 + V2))2),
п п п п п п п п п п
ип+1 = ипе08(а + к) — vnsin(а + к) —
— (vnC0sа + ]- хпУп (и1 + О + тх! Уп21 vn+1 = unsin(а + к) + vncos(а + к) +
+ (ипС0 ах — ^та)[ ^ хпУп (ип2 + vn2) + тх! У2 1
Й / 2 2 \ к / 2 2 \ 2 7
где к = ~ (ип + Vn) + §хпУп —~ (ип + О , a, Ь
с, ё, е, £, й, к, ¡, т е Я.
Траектории отображения в нормальной форме близки к траекториям исходного отображения в рассматриваемой окрестности неподвижной точки р . Из условия рассеяния будет следовать, что на диске Е следы инвариантных цилиндров (то есть продолжения устойчивого и неустойчивого многообразий инвариантной кривой, лежащей на центральном многообразии) нормализованного отображения будут пересекаться трансверсально по четырем точкам. Но следы на диске Е инвариантных цилиндров нормализованного отображения близки в С 2 -топологии к следам инвариантных цилиндров исходного отображения. Это влечет трансверсальность пересечения кривых (у) и
^ (у) полной системы, то есть они пересекаются по четырем точкам, и, следовательно, теорема 1 справедлива.
Замечание. Вернемся теперь к системе с тремя степенями свободы, из которой получен изучаемый выше симплектический диффеоморфизм. Тогда соответствующее отображение Пуанкаре на секущей к периодической траектории зависит от параметра с - значения гамильтониана. Пусть значение с0 соответствует изученному выше отображению, и рассмотрим малые изменения с . Тогда периодическая траектория системы, а поэтому и неподвижная точка отображения Пуанкаре, гладко зависит от параметра с . Следовательно, устойчивое, неустойчивое, центрально-устойчивое, центральнонеустойчивое многообразия неподвижной точки также гладко зависят от с . Поэтому трансверсальность пересечения Ж си и Ж 3 сохранится в точке, близкой к гомоклинической точке, но эта точка пересечения уже не будет, вообще говоря, гомоклинической точкой соответствующей 1-эллиптической неподвижной точки для возмущенного отображения. Рассмотрим снова пересечение многообразий Жси и Жсз вблизи бывшей гомоклинической точки. Это снова будет гладкий двумерный диск, на котором следы от неустойчивых и устойчивых многообразий инвариантных кривых на центральном многообразии будут гладкими замкнутыми кривыми, а следы от неустойчивого и устойчивого многообразий неподвижной точки являются двумя, вообще говоря, различными точками т , т , расстояние между которыми будет иметь порядок | с — с01 (сепаратрисы расщеплены). Поскольку следы неустойчивых многообразий
КАМ-кривых накапливаются к точке ти, а следы устойчивых многообразий КАМ-кривых накапливаются к точке т , то для КАМ-кривых, достаточно близких к неподвижной точке (из окрестности порядка 112, I = const задает в главном порядке инвариантную кривую на центральном многообразии), их многообразия не пересекаются, и для них нет однообходных го-моклинических траекторий. Однако в большей окрестности порядка 114 пересечения возникают, но уже по двум гомоклиническим траекториям, более того, при некоторых значениях с здесь возможны касания устойчивых и неустойчивых многообразий КАМ-кривых, то есть возможны явления типа Ньюхауса (см., например, для случая периодических траекторий [15]).
Подробные доказательства всех вышеприведенных результатов будут опубликованы в работе, готовящейся к публикации.
Автор выражает благодарность Л.М. Лерма-ну за постановку задачи и внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00001-а, и ФЦП «Кадры», № 14.В37.21.0361.
Список литературы
1. Лерман Л.М. О гамильтоновых системах с петлей сепаратрисы седло-центра // Методы качеств. теории диф. ур. Межвуз. сб. науч. трудов / Под ред. Е.А. Леонтович-Андроновой. Горький: Горьковский ун-т, 1987. С. 89-103.
2. Mielke A., Holmes P., O'Reilly O. Cascades of homoclinic orbits to, and chaos near, a Hamiltonian saddle-center // J. of Dyn. and Diff. Eq. 1992. V. 4. P. 95-126.
3. Grotta Ragazzo C. Nonintegrability of some Hamiltonian systems, scattering and analytic continuation //
Commun. in Math. Physics. 1994. V. 166. P. 155-177.
4. Koltsova O.Yu., Lerman L.M. Periodic and homoclinic orbits in a two-parameter unfolding of a Hamiltonian system with a homoclinic orbit to a saddle-center // Inter. J. of Bifur. and Chaos. 1995. V. 5. № 2. P. 397-408.
5. Koltsova O., Lerman L. Families of transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian systems close to the system with a Loop to a saddle-center // Inter. J. of Bifur. and Chaos. 1996. V. 6. № 6. P. 991-1006.
6. Grotta Ragazzo C. Irregular dynamics and homoclinic orbits to Hamiltonian saddle-centers // Commun. on Pure and Applied Math. 1997. V. 50. P. 105-147.
7. Llibre J., Martinez R., Simo C. Tranversality of the invariant manifolds associated to the Lyapunov family of periodic orbits near L2 in the restricted three-body problem // J. of Diff. Eq. 1985. V. 58. № 1. P. 104-156.
8. Smale S. Diffeomorphisms with infinitely many periodic points // Diff. and Combinatorial Topology /Ed. S. Cairns. Princeton Univ. Press, 1965. P. 63-80.
9. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Матем. сб. 1967. Т. 74(116). № 3. С. 378-397.
10. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Существование счетного множества эллиптических периодических траекторий у четырехмерных симплек-тических отображений с гомоклиническим касанием // Тр. МИАН. М.: Наука, 2004. Т. 244. С. 115-142.
11. Лерман Л.М., Маркова А.П. // ДАН. 2010. T. 433. № 1. С. 10-12.
12. Hirsh M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds // Lecture Notes in Math. Berlin-New York: SpringerVerlag, 1977. V. 583.
13. Fenichel N. Asymptotic stability with rate conditions, II // Indiana Univer. Math. J. 1977. V. 26. № 1. P. 81-93.
14. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 320 с.
15. Gonchenko S., Turaev D., Shilnikov L. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity. 2007. V. 20. P. 241-275.
ON THE STRUCTURE OF SYMPLECTIC DIFFEOMORPHISM IN THE NEIGHBORHOOD OF A HOMOCLINIC ORBIT TO 1 -ELLIPTIC POINT
A. P. Markova
A symplectic diffeomorphism on a 4-dimensional symplectic manifold having 1 -elliptic fixed point and a homoclinic orbit to it is considered. Genericity conditions are formulated under which in a sufficiently small neighborhood of the homoclinic orbit there exist 4 transverse homoclinic orbits to each invariant KAM curve on the center manifold of the fixed point.
Keywords: symplectic diffeomorphism, 1 -elliptic fixed point, invariant KAM curve, homoclinic orbit, center manifold, scattering mapping, normal form.
