О структуре решения линейных m-разностых уравнений порядка m Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.2 © Д. Н. Спичкин

О СТРУКТУРЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ т-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА т 1

Получена структура решения линейных т-разностных уравнений т-го порядка.

Ключевые слова: т-разностные уравнения, функции Виленкина-Крестенсона.

Обозначим через [а, Ь] = (а, а + 1,..., Ь} упорядоченное множество неотрицательных целых

чисел. Пусть х = (ж1 ...Хп)т, р = (р1 ...рп)т — п-разрядные т-ичные представления этих

чисел.

Определение 1. Операцией т-сдвига двух чисел х, р € [а, Ь], обозначаемой х © р,

т

назовём их поразрядную разность по модулю т.

Определение 2. Линейное разностное уравнение, где в качестве сдвига аргумента берется т-сдвиг, называется разностным уравнением с модулярной арифметикой или линейным т-разностным уравнением.

Линейное т-разностное уравнение порядка д имеет вид

у(х © д) + &1у(х © (д - 1)) + ... + кд-1у(х © 1) + кду(х) = 0, (1)

т т т

где ^ € С,,? = 1, д.

Решениями уравнений (1) являются функции Виленкина-Крестенсона (ВКФ) [1], записываемые в форме Пэли

7.2п п

л

Pal(р, х) = exp ^i^Y^Pn+1-jXj ) , (2)

где i — мнимая единица, x — аргумент, p — параметр, причем x, p € [0, mn — 1]. Известно [1], что при решении линейных m-разностных уравнений часть разрядов параметра p фиксируется, а часть остается произвольной.

• 2п

Введём обозначение W = е% т . Подставим выражение (2) в уравнение (1):

n n (( XX

12 Pn+1-j ((xj-qj ))m Е Pn + 1-Д (xj-(q-t)j))m

Wj=1 + fctWj^ =0, (3)

t=i

где ((a — b))m = (a — b) mod m, а выражения вида as означают s-й разряд соответствующих чисел в их m-ичном n-разрядном представлении, в частности, число q — t имеет представление q — t = ((q — t)i (q — t)2 ... (q — t)n)m

Остановимся на случае q = m. Тогда q = (0 0 ... 1 0)m, поэтому, из выражения (3) получаем

n-2 n-2

У2 Pn+i—jxj m У2 Pn+i—jxj (/ \\

W j=1 Wp2((xn—1 -1))m Wpixn + ^ kt W j=1 Wp2xn—1 Wp1^\Xn-(m-t)n))m = 0.

t=i

хРабота частично выполнена в рамках научных исследований 2010—2011 гг., поддержанных Министерством образования и науки РФ по тематическому плану научно-исследовательской работы 1.2.10 «Развитие теоретических основ и методов математического моделирования дискретных сигналов на конечных интервалах» (Ижевск, ИжГТУ).

n —2 /4 pn+1 — jxj

Поскольку Wj=1 = 0, то

Wp2((xn-1-I))m Wpixn + ^ kt Wp2xn-1 WP1( (Xn-(m-t)n))m = 0. (4)

t=1

Если a ^ b, то ((a — b))m = a — b и W((“-b))m = W“-b. Если a < b, то ((a — b))m = a + mk — b, где k € N и W“+mfc-b = W“-bWmk = W“-b.

Поэтому Wp2((xn —1 -1))m = Wp2(xn —1 -1) и W P1( (Xn-(m-t)^)rn = WP^*n-(™-t)^ .

Далее, сократив обе части уравнения (4) на WP2Xn_1 WP1Xn, получим

m

W-P2 + ktW-P1mWP1tn = 0,

t=1

а так как W-P1m = 1, то

m

W -P2 + kt W P1tn = 0. (5)

t=1

Уравнение (5) есть характеристическое уравнение. Оно позволяет зафиксировать 2 разряда параметра p: p1 и p2.

Следовательно, доказана следующая теорема о структуре решения m-разностного уравнения m-го порядка.

Теорема 1. Решениями линейного т-разностного уравнения (1) при q = m являются ВКФ (2) с двумя фиксированными разрядами p1 и р2 параметра p = (p1 .. . pn)m, являющихся решениями соответствующего характеристического уравнения.

Список литературы

1. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. 239 с.

Поступила в редакцию 13.02.2012

D. N. Spichkin

About structure of the solution of linear m-differences equations by order m

The structure of solution of the m-th order linear m-differences equations is received.

Keywords: m-differences equations, Vilenkin-Chrestenson functions.

Mathematical Subject Classifications: 39A06

Спичкин Дмитрий Николаевич, старший преподаватель, кафедра прикладной математики и информатики, Ижевский государственный технический университет, 426069, Россия, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7. E-mail: [email protected]

Spichkin Dmitrii Nikolaevich, Lecturer, Department of Applied Mathematics and Informatics, Izhevsk State Technical University, ul. Studencheskaya, 7, Izhevsk, 426069, Russia