О структуре информации и топологии на множестве траекторий в многошаговых играх с разделенными динамиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.83

Н. М. Слобожанин

О СТРУКТУРЕ ИНФОРМАЦИИ И ТОПОЛОГИИ НА МНОЖЕСТВЕ ТРАЕКТОРИЙ В МНОГОШАГОВЫХ ИГРАХ С РАЗДЕЛЕННЫМИ ДИНАМИКАМИ

1. Введение. При построении моделей конфликтных процессов основной сложностью является строгое и адекватное действительности определение информационной структуры процесса. Первоначально информационная структура моделировалась с помощью разбиения множества фазовых состояний процесса на информационные множества игроков [1] или с помощью постоянной задержки информации у игроков для антагонистических игр [2, 3]. В монографии [4] впервые и в первой части данной работы для описания информированности игрока вводится информационная вектор-функция этого игрока. Частным случаем такого моделирования является определение информационной структуры игр с переменными задержками информации у игроков, которые могут принимать отрицательные значения [5, 6]. Во второй части настоящей работы приводится аксиоматика многошаговой игры с разделенными динамиками, основой которой является понятие информационной разрешимости упорядоченного по игрокам набора информационных вектор-функций. Далее определяются траектории многошаговой игры и топология на множестве траекторий. Показывается, что данную топологию можно задать метрикой, аналогичной метрике Бэра. Доказывается теорема о необходимых и достаточных условиях компактности топологического пространства траекторий.

2. О структуре информации в многошаговых играх с разделенными динамиками. Пусть А - непустое множество произвольной мощности, N - множество натуральных чисел, N = N и {0}. В дальнейшем при интерпретации А часто будем отождествлять с множеством игроков, а его элемент, скажем, а - с игроком а (игроком с именем а). Сопоставим каждому элементу а из А один и только один элемент из множества N и {+оо} и обозначим его Та. При интерпретации число Та можно рассматривать как количество ходов, которые должен совершить игрок а. Если Та =

то мы считаем, что игрок а совершит в процессе бесконечное (счетное) число ходов.

Обозначим через Та множество всех целых чисел из отрезка [0, Та], через 2Та -множество всех подмножеств множества Та.

Определение 2.1. Всякое отображение

/ : Та J]

@ел

будем называть информационной функцией игрока а.

Слобожанин Николай Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования социально-экономических систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 80. Научные направления: теория игр, теория алгоритмов, моделирование информационных структур. E-mail: [email protected].

© Н. М. Слобожанин, 2012

Иногда такие отображения будем помечать индексами и писать

1а : Та Ц 2Т".

вел

Тогда 1а(к) есть вектор, который в общем случае может быть произвольной (в том числе бесконечной) размерности. В соответствии с принятыми обозначениями можно записать: 1а(к) = (...,1а(к)в, ...), где в принимает все значения из А и 1а(к)в есть подмножество (которое может быть и пустым) множества Тр. Допускаем также и такое обозначение:

1а(к) = (Iа(к)в,в € А).

О подмножестве 1а(к)в будем говорить как о в-й компоненте вектора 1а(к). Содержательно 1а(к)в есть подмножество номеров ходов игрока в, которые необходимо и достаточно знать игроку а для совершения (к + 1)-го хода. Обратим внимание на то, что среди компонент вектора 1а(к) = (...,1а(к)в,...) присутствует и компонента 1а(к)а. Изначально на подмножество номеров ходов 1а(к)а игрока а, которые ему необходимо и достаточно знать для совершения (к + 1)-го хода, мы не накладываем никаких ограничений.

Далее будем рассматривать упорядоченные наборы информационных функций I = (...,1а,...) = (1а, а € А), т. е. точки из множества Ь = Паел Ьа, где Ьа - множество всех информационных функций игрока а. Нас будет интересовать их информационная разрешимость.

Рассмотрим произведение Т = ПаеА Содержательно всякий вектор а = (..., аа, ...) (или в другом обозначении (аа, а € А)) из Т будем интерпретировать как информационный вектор количественного состояния процесса с игроками из множества А. При этом будем считать, что к некоторому моменту времени 1 игрок а сделал аа ходов. Будем говорить, что вектор а = (..., аа,...) из Т больше либо равен вектору Ь = (..., Ъа,...) из Т, и писать а ^ 6, если аа ^ Ьа для любого а из А. Будем говорить, что вектор а = (..., аа,...) из Т не больше вектора Ь = (..., Ъа,...) из Т, если существует элемент в из А, такой, что Ьв > ав. Это соотношение будем обозначать так: а ^ Ь или Ь ^ а. Таким образом, множество Т становится частично упорядоченным множеством. Часто векторы из Т будем помечать верхним индексом и писать ак = (...X, ...). _

Определение 2.2. Счетную последовательность векторов а0,..., ак,... из Т будем называть остовной, если

1) а0 = (...,О,...); _

2) для любого к из N либо ак+1 > ак, либо ак = ак+1 = ак+2;

3) а' + 1 ^ для любого а из А и любого к из Ж;

4) Иш ака = Т

а

Пусть I = (1а, а € А) - произвольный набор информационных функций. Далее, пока не будет оговорено особо, все рассуждения будут производиться относительно данного упорядоченного набора.

Определение 2.3. Будем говорить, что вектор а из Т 1-пороэюдает вектор Ь из Т, если

1) а < Ь;

2) аа + 1 ^ Ьа для любого а из А;

3) аа <Ьа ^ шах(/а(аа)7) ^ ап для любого 7 из А.

Определение 2.4. Будем говорить, что вектор а из Т максимально 1-порождает вектор Ъ из Т, если

1) а < Ь;

2) аа + 1 ^ Ьа для любого а из А;

3) аа < Ьа ^ шах(/а(аа)7) ^ ап для любого 7 из А.

Определение 2.5. Счетную последовательность векторов а = а0, а1,..., ак,... из Т назовем ¡-последовательностью, если

1)о° = (...,О,...);_

2) для любого к из N выполняется условие: либо вектор ак /-порождает вектор ак+1, либо ак = ак+1 и не существует в Т вектора, /-порожденного вектором ак.

Определение 2.6. Назовем счетную последовательность векторов а = а0, а1,. ..,ак, ..., из Т максимальной I-последовательностью, если

1) а0 = (...,О, ...);_

2) для любого к из N выполняется условие: либо вектор ак максимально /-порождает вектор ак+1, либо в Т нет векторов, /-порожденных вектором ак, и ак = ак+1.

Рассмотрим множества Тр, /3 € А. Зафиксируем некоторый элемент а из А и целое число /г из множества Та. Определим алгоритм построения множеств упорядоченных пар вида (р, /3), где [3 € А, %> € Тр, для указанного элемента /г из фиксированного множества Та, т.е. для упорядоченной пары (к, а).

Макрошаг 0. Строим множество Ьо = {(&, а)}.

Макрошаг г. На г-м (г € N) макрошаге строим множество Ьг. При этом упорядоченную пару (р, в) включаем в множество Ьг тогда и только тогда, когда

а) (р +1,в) принадлежит множеству Ьг-1 или

б) существует упорядоченная пара (д,^) в множестве Ьг-1, такая, что д > 0 и р €

¡7(ч- 1)в.

Определение 2.7. Алгоритм, описанный выше, будем называть алгоритмом ¡-предыстории к-го хода игрока а.

Обсудим это определение. Нетрудно заметить, что алгоритм ¡-предыстории состоит из счетного множества макрошагов.

Из определения 2.7 следует, что если множество Ьг состоит лишь из элементов вида (0, в), то выполняются равенства 0 = Ьг+1 = ... = Ьг+п = ... .

Определение 2.8. Длиной алгоритма 1-предыстории к-го хода игрока а назовем зир{г € ЩЬГ ^ 0}.

Отметим, что если первая компонента в паре (к, а) равна нулю, то по определению длина алгоритма равна нулю. Если алгоритм ¡-предыстории к-го хода игрока а такой, что Ьг ф^ 0 для любого г из Ж, то его длина по определению равна +оо. Для каких упорядоченных наборов информационных функций I = (¡в,в € А) такое случается, будет выяснено далее.

Определение 2.9. Множество Ьг (г € М) из определения 2.7 будем называть г-м слоем алгоритма ¡-предыстории к-го хода игрока а.

Слой Ьг, соответствующий паре (к, а), иногда будем обозначать Ьг(к, а).

Определение 2.10. Будем называть упорядоченный набор информационных функций ¡ = (¡а, а € А) информационно разрешимым, если алгоритм ¡-предыстории к-го хода игрока а имеет конечную длину для любого а из множества А при любом к из Та.

Теорема 2.1. Пусть ¡ = (¡а, а € А) - упорядоченный набор информационных функций, где А - непустое множество произвольной мощности. Для того чтобы

существовала остовная 1-последовательность векторов из Т, необходимо и достаточно, чтобы набор I был информационно разрешимым.

Доказательство. Необходимость. Пусть а = (аг- остовная /-последовательность. Зафиксируем произвольный элемент а из множества А, произвольное целое число к из множества Та и покажем, что алгоритм /-предыстории к-то хода игрока а имеет конечную длину. С этой целью введем следующее определение: будем говорить, что упорядоченная пара (р,(3), (3 € А, р € Тр, связана с подмножеством векторов {ах,х € X} из I'-последовательности, если существует элемент х из множества X такой, что Ор = р. Обратим внимание на то, что в этом определении не требуется остовность /'-последовательности. Сам же набор ¡' = (1'а, а € А) - произвольный упорядоченный набор информационных функций.

Лемма 2.1. Если упорядоченная пара (р, в) связана с векторами а0, а1,..., аг, аг+1

из ¡'-последовательности а, то всякая упорядоченная пара (д,^) из слоя Ь1(р, в) свя-

0 1 г зана с векторами а , а1,...,а'.

Доказательство. По определению слоя Ь1(р, в) всякий его элемент (д,^) либо равен (р — 1, в), либо д € ¡в(р — 1)7, либо слой Ь1(р, в) пуст.

Если слой Ь1(р, в) пуст, то лемма справедлива (будем считать, что пустое множество удовлетворяет всем свойствам сразу). Если (д, 7) = (р — 1,в), то, поскольку компоненты векторов ¡'-последовательности не убывают, ав+1 > р—1. В противном случае пара (р, в) не была бы связана ни с одним из векторов а0, а1, а2,..., аг, аг+1. С другой стороны, среди чисел ав, ав,. ..,ав присутствует каждое из чисел 0,1, 2,..., р — 1, поэтому пара (р — 1, в) связана с векторами а0, а1, ...,аг.

Рассмотрим случай, когда д € ¡в(р — 1)7. Пусть ав = р — 1, а^1 = р, в ^ г. Тогда

¡'в (ав )а)

¡в (р — 1)1) = ^^ ¡в (ав )1) ^ а1. ^

а^, а^, ..., а^, по крайней мере, одно равно д. Лемма 2.1 доказана.

Продолжим доказательство необходимости для теоремы 2.1. Поскольку ¡-последо-вательность (аг)д° - остовная, то Ишг^+То ага = Та. Поэтому существует целое число г, такое, что ата = к. Значит, мы можем утверждать, что упорядоченная пара (к, а) связана с векторами а0, а1, ..., аг из /-последовательности. Тогда слой (к, а) либо пуст (и алгоритм имеет длину 0), либо непуст и всякий элемент (д, 7) из слоя Ь1(к, а) связан с векторами а0, а1,..., аг~1. Наше рассуждение можно продолжить: либо слой

Ь2(к,а)= и Ь1(д,!)

(ч,7)еь1(к,а)

пуст (и алгоритм имеет длину 1), либо непуст и каждый элемент слоя Ь2(к,а) связан с векторами а0,а1,..., аг-2, и т. д. Если в наших последовательных рассуждениях получим, что слой Ьг(к,а) = 0, то он будет связан лишь с вектором а0. Но тогда по определению слоя слой Ьг+1 будет пустым, и длина ¡-алгоритма к-го хода игрока а будет равна г. Необходимость доказана.

Достаточность теоремы 2.1.

Лемма 2.2. Пусть каждый элемент слоя Ь1(р, в) связан с векторами а0, а1,...,аг

максимальной ¡-последовательности а = (ак, тогда сама упорядоченная пара (р, в)

0 1 г г+1 связана с векторами а0, а1,..., а' ,а' + 1.

Доказательство. Если ав > р — 1, то а^1 ^ ав > р — 1. Значит, существует целое число т ^ г + 1, такое, что а™ = р. Следовательно, в данном случае лемма справедлива.

из определения ¡'-последовательности следует шах^в(а,в)а) ^ ава для любого а из А. Поэтому д < шах^'в(р — 1)7) = шах^в(ав)7) < а!. Откуда заключаем, что среди чисел

Рассмотрим случай, когда ав = р — 1. Последнее равенство выполняется, поскольку пара (р—1, в) по определению принадлежит слою Ь1(р, в); если слой Ь1(р, в) пуст, то доказательство леммы очевидно. Рассмотрим произвольную пару (д,^) из слоя Ь1(р,в), такую, что (д,^) = (р — 1,в). Тогда д представляет собой произвольный элемент мно-

а

жества ¡в(р — 1)7 = ¡в(агв)-/. Поскольку пара (д,^) связана с векторами а ,а то д ^ ату. Тогда можно утверждать, что шах^в (ав) ^ аг1 для любого 7 из множества А (если ¡в(ав)7 = 0, то шах(0) =0 ^ а^). Поэтому согласно определению максимальной ¡-последовательности получаем ав+1 = ав + 1 = (р — 1) + 1 = р. Последнее означает, что пара (р, в) связана с вектором ат+1. Лемма 2.2 доказана.

Продолжим доказательство достаточности теоремы 2.1. Рассмотрим максимальную /-последовательность из Т, обозначим ее а = ( ати покажем, что она остовная. Чтобы показать последнее, достаточно доказать, что для любого а из множества А, для любого целого числа к из Та существует целое число г, такое, что ата ^ к. Покажем это.

Рассмотрим слои Ь^(к,а) алгоритма ¡-предыстории к-го хода игрока а. Поскольку упорядоченный набор информационных функций ¡ = (¡а, а € А) информационно разрешим, то данный алгоритм имеет конечную длину р. Последнее означает, что слой Ьр+1(к, а) пуст, а слой Ьр(к,а) состоит только из упорядоченных пар вида (0,в). Тогда можно утверждать, что каждый элемент слоя Ьр(к, а) связан с вектором а0. Тогда в соответствии с леммой 2.2 и определением слоя Ьр можно утверждать, что слой Ьр-1 связан с векторами а0,а1, и т.д. Повторив наши рассуждения с использованием леммы 2.2 (р+1) раз, получим, что слой Ьо(к, а) = {(к, а)} связан с векторами а0, а1,..., ар. Из последнего следует, что ара ^ к. Другими словами, желаемое число г, оговоренное выше, можно взять равным р. Достаточность доказана. Теорема 2.1 доказана.

3. Определение развернутой формы многошаговой игры с разделенными динамиками. Приведем основное определение - определение развернутой формы процесса принятия решений, стержнем которого является понятие информационной разрешимости упорядоченного набора информационных функций, введенное и исследованное ранее.

Определение 3.1. Развернутой формой многошаговой игры с разделенными динамиками относительно множества А будем называть упорядоченный набор объектов

Г=((Х а, xа0, Ва, Tа, ¡а, Фа), а € А),

удовлетворяющий следующим аксиомам:

1) Ха - множество, ха0 € Ха;

2) В а : Ха ^ 2х-\0;

3) та е^/у и{+°°}; _

4) 1а :Та —> П/зел2Т/3) причем тах(1а(к)а) = к и упорядоченный набор (1а,а € А) является информационно разрешимым;

5) Фа : Пвел ХТ/3 Я, где Я - множество вещественных чисел.

Дадим названия объектам, от которых зависит набор Г, и интерпретируем развернутую форму, определяемую набором Г.

Множество А будем называть множеством игроков или множеством имен игроков. При этом договоримся, что среди имен нет одинаковых. Отметим, что мы ничем не ограничиваем мощность множества А. Множество Ха будем называть пространством игры или множеством позиций (точек, элементов) игрока а. Из определения следует, что оно не пусто и в общем случае может быть произвольной мощности.

Элемент xao пространства Xa является начальной позицией игрока а. Отображение Da определяет динамику передвижения игрока а в пространстве Xa и называется его функцией достижимости. Множество Da(x) есть множество позиций, куда может попасть игрок а, находясь в позиции x. Число Та - количество ходов игрока а в процессе принятия решений, которое в общем случае не пропорционально времени. При этом количества ходов для различных игроков могут быть разными и могут принимать бесконечные значения. Отметим, что, как и ранее, символ Та обозначает множество целых чисел в отрезке [0, Та]. Отображение la, как и ранее, назовем информационной функцией игрока а. Это вектор-функция (точнее, вектор-отображение), компонентами которой являются подмножества целых чисел. Отображение Фа назовем функцией выигрыша игрока а.

Интерпретация упорядоченного набора объектов Г будет следующей. Будем считать, что имеется счетная строго возрастающая последовательность моментов времени

Т = to <ti < ... <tk < tk+1 < ... .

В момент to каждый игрок а из множества A находится в своей начальной позиции xao. В некоторые моменты времени из последовательности Т игроки совершают ходы (принимают решения). Ходом игрока а, находящегося в позиции y G Xa, будем называть выбор точки из множества Da(y) и перемещение в нее. При этом не исключается случай, когда y G Da(y). Другими словами, если в данном случае игрок а выберет y (останется на месте), все равно будем считать, что он совершил ход.

Правила совершения ходов игроками определяются следующим образом: в момент ti игрок а совершает ход тогда и только тогда, когда

((sup 1а(0)в ),в G A) < (...,0,...).

Нетрудно заметить, что, в силу определения информационных функций, в этом неравенстве sup можно заменить на max и само неравенство можно заменить равенством.

Пусть на промежутке времени [to,tk] игрок в совершил ходы x^o, xpi, xp2,..., xpak,

т.е. количество его ходов равно числу aв. Иными словами, информационный вектор количественного состояния (сдвига) процесса к моменту времени tk+i есть ak = (aв, в G A). В момент tk+i игрок а совершает ход тогда и только тогда, когда он сделал не все ходы в процессе (аа <Та) и когда выполняется векторное неравенство

(max(la(aka)e),в G A) < ak.

Расшифруем последнее неравенство. Множество la(aka)e есть множество номеров тех ходов игрока в, которые (ходы) необходимо и достаточно знать игроку а, чтобы совершить свой (1 + a^,)^ ход. (Так предписано правилами игры, природы.) И если

ш-ах^а^а)в) < акв,

то такое знание реализуется. Если игрок а сделал не все ходы и последнее векторное неравенство не выполняется, то в момент Ьк+1 он ход не делает (пропускает). Он ждет, пока остальные игроки сделают достаточные количества ходов, чтобы неравенство выполнялось. Такое обязательно случится, поскольку упорядоченный набор информационных функций ¡ = (¡а,а € А) удовлетворяет условию информационной разрешимости. Действительно, если рассмотреть векторы ак и ак+1, о которых шла речь ранее,

и предположить, что вектор ак является вектором максимальной ¡-последовательности, то и вектор ак+1 будет вектором максимальной ¡-последовательности (он образуется по правилам максимальной ¡-последовательности). Поскольку вектор а0 характеризует количества ходов, совершенных игроками на отрезке времени [^,¿0], то он равен (... ,0,...) - нулевой вектор. Но и максимальная ¡-последовательность начинается вектором (...,0,...). Следовательно, каждый вектор ак - вектор максимальной ¡-последовательности. Поскольку в данном случае для векторов максимальной ¡-после-довательности выполняется равенство Ишк^то а,а = Та для любого а из А, то каждый игрок сделает все ходы.

Информированность игроков в процессе принятия решений следующая. С самого начала игроку а, а € А, известна последовательность моментов времени Т, упорядоченный набор Г (кроме информационных функций ¡в, в € А\{а} и функций выигрыша Фв, в € А\{а}) и правила, по которым игроки совершают ходы. Может появиться вопрос: как игрок определит количество ходов, совершенных каждым игроком на отрезке времени \р0^к], т.е. вектор ак = (ак^,в € А)? Ограничимся пока простым ответом: эта информация каждому игроку сообщается неким нейтральным (а может быть заинтересованным?) игроком. Если в момент ¿к+1 игрок а совершает ход, то кроме информации, о которой мы только что сказали, он знает ходы игрока в, номера которых принадлежат множеству ¡а(ака)в для любого в из А. Обратим внимание на то, что ¡а(аа)в есть лишь подмножество номеров ходов, совершенных игроком в на отрезке времени [¿0^к]. Множество номеров всех ходов игрока в есть {0,1, 2,...,ав}. В частности, подмножество ¡а(ака)а не обязано совпадать с множеством номеров всех ходов, сделанных самим игроком а. Таким образом, наша модель допускает, что игрок может терять информацию и о себе. Но в силу определения шах^^а^о,) = а^. Последнее означает, что игрок помнит свой последний ход, т. е. знает позицию хаак , в которой находится сам.

Таким образом, если в момент ¿к+1 игрок а совершает ход, то он помимо прочей информации, о которой было сказано, знает вектор

¡аак = ((хвт\г € ¡а(ака)в),в € А),

где хвт есть реализация г-го хода игрока в.

Мы уже упомянули о том, что в процессе принятия решений каждый игрок сделает все ходы. В итоге реализуется траектория игры:

в = (ва, а € А),

где

ва (ха1, ..., хак, ха(к+1), ...) (хаг ^ , ха(к+1) € В а(х ак ) .

В «конце игры» игрок а получает выигрыш, равный Фа(в). Естественно предположить, что в процессе принятия решений игрок а своими решениями (ходами) стремится максимизировать значение функции Фа(в).

4. О топологии на множестве траекторий в многошаговых играх с разделенными динамиками. Рассмотрим развернутую форму игры

Г=((Х а, xа0, Ва, Tа, ¡а, Фа), а € А).

Определение 4.1. Точку ва из произведения множеств ХО* будем называть траек-

торией игрока а, если

1) ва (ха1, . . . , хаг, ха(г+1) ,..•);

2) ха(г+1) € Ва( хаг ) при ¡е ЛГП[0,Та).

Обратим внимание на то, что по условию 2) ха1 € Ва(ха0), хотя сама точка ха0 в последовательности ва отсутствует. Точку хаг из определения 4.1 назовем г-м элементом траектории ва и обозначим ва(г). Будем говорить, что траектория ва проходит через точку у, если ва(т) = у для некоторого т из [0,Та]. Из определения 4.1 следует, что траектория игрока а представляет собой конечную или счетную последовательность в зависимости от того, конечна или бесконечна продолжительность Та игры Г для этого игрока.

Обозначим множество всех траекторий игрока а через За и сделаем естественные предположения:

1) через всякую точку х множества Ха\{ха0} проходит хотя бы одна траектория игрока а;

2) из того, что для точки х из множества Ха тождество ва(к) = х, ва € Ба, возможно лишь при к = Та, Та < то, следует, что Ва(х) = {х}. Точку х в этом случае назовем окончательной позицией пространства Ха. Множество всех окончательных позиций для игрока а обозначим Ха0 .

Рассмотрим конечную или счетную последовательность у = уц, у12,..., угт,... = (угт, гт е С) точек пространства Ха. При этом числа «1, г2, • • •, гт, ■ ■ ■ образуют строго возрастающую последовательность, С С N.

Определение 4.2. Будем говорить, что траектория ва проходит через последовательность у, если существует строго возрастающая последовательность 31,32,...,3т,... чисел из множества N, таких, что

Определение 4.3. Путем длиной т, соединяющим точки х и г пространства Ха, будем называть всякую конечную последовательность у = у1,у2,...,ут, такую, что

1) х = у1, г = ут;

2) уг+1 € Ба(уг), г €{(1, 2, ••• ,т— 1)}.

Зарезервируем для пути такие обозначения: у, у(х, г), р, р(х, г) и т. п.

Пусть у - путь, соединяющий точку х с точкой г и х € Л(ха0), о котором говорилось в определении 4.3. Обозначим через За(у) подмножество траекторий Ба игрока а, проходящих через путь у так, что ва(к) = ук для любого к из множества {1, 2,..., т} для любой траектории ва из Ба(у), и назовем его пучком траекторий с началом у. Нетрудно заметить, что имеет место равенство

где Ут - подмножество всех путей длиной т, исходящих из множества Ва(ха0). Естественно, что пучки, соответствующие разным началам одинаковой длины, не пересекаются.

у = у%1, уг2,. ..угт,... = ва(31), $а(32),..., ва(3т),..

За = У За(у),

уеУт

Обозначим

при 1 е №.

х£Х,

Множество Хаг назовем г-м слоем позиций игрока а. В силу естественного предположения, сделанного выше, имеет место равенство

Хаг-

гет *

При этом в общем случае слои могут пересекаться и, если Xаг = то Ха]~ =

Ха(к+1) Для любого к ^ г, к € N.

Рассмотрим дискретную топологию Т\(Ха) пространства игры игрока а и топологию Тихонова Тг(ХТа) множества Хт*. Рассмотрим Та экземпляров пространства Ха и как-либо перенумеруем их: Ха1, Ха2, • • • , Хат, • • • , т ^ Та. Тогда Х^ = Ха 1 х Ха2 х • • • х Хат х • • • . Рассмотрим метрику, аналогичную метрике Бэра, на множестве Хт* в соответствии с выбранной нумерацией и обозначим ее ра. Пусть х = (х\, х2,..., хт,...), у = (У1,У2,..., Ут,...), где х,у - точки из множества Х0*. Положим

1) ра(х,у) = 0, если х = у;

2) ра(х,у) = 1/т, если х = у, где т - наименьший номер, при котором хт = ут. Тогда метрика р а порождает топологию Т2(ХТ*).

Утверждение 4.1. Топологии Т1(Х'т*) и Т2(Хт*) совпадают.

Доказательство следует из того, что множества сходящихся обобщенных последовательностей пространств ((Хт*),Т1(Хт*)) и ((Хт*),Т2(Хт*)) совпадают.

Часто впредь топологию Т1 (Хт*) и топологию Т2(Хт*) будем обозначать одинаково:

т (Х т*).

Замечание 4.1. Обратим внимание на то, что при определении метрики ра нумерацию Ха 1, Ха2, • • • , Хат, • • • экземпляров пространства Х а мы осуществили произвольным образом. Естественно, метрики типа р различны при разных нумерациях. Однако все такие метрики определяют одну и ту же топологию Т (Хт*).

Обозначим через Т(Ба) топологию на множестве траекторий игрока а, индуцированную из топологического пространства (Хт*, Т(Хт*)). Тогда топологическое пространство (Ба, (Т(Ба))) является метрическим пространством с метрикой ра, определенной выше. Нетрудно заметить, что множество всех шаров пространства (Ба, (Т(Ба))) совпадает с множеством всех пучков траекторий. При этом замкнутый шар радиусом е < 1 с центром в траектории ва совпадает с пучком траекторий Ба(ва(1), ва(2),..., ва(т)), где т - наименьший номер среди номеров компонент траектории ва, таких, что 1/(1 + т) ^ е.

Выясним, когда топологическое пространство (Б а,Т(Ба)) будет компактным.

Теорема 4.1. Топологическое пространство (Ба,Т(Ба)) является компактным тогда и только тогда, когда \Ба(х)\ < для любого х из множества Ха.

Доказательство. Необходимость. Предположим противное: |£>а(ж)| = +оо и х € Ха. Не умаляя общности доказательства, будем считать, что хао ф ж. В силу сделанного выше предположения существует путь у = у\,у2,- •., ут, соединяющий точки жиж, где ж € _0(жао)- Тогда, как уже отмечалось, Ба = и Б (г), где Ут+1 -

геУт+1

множество всех путей длиной т + 1, исходящих из множества Ба(ха0). В силу предыдущих рассуждений \1т+1\ = Поэтому из открытого покрытия {Б(г),г € Ут+1} множества траекторий Ба не удастся выбрать конечное подпокрытие. Противоречие. Необходимость доказана.

Достаточность. Поскольку |£>а(ж)| < +оо для любого х из Х , то по определению каждый слой Ха1 представляет собой конечное множество. Рассмотрим дискретную

Х

топологию Т(Хаг) слоя Хаг. Тогда топологическое пространство (Х^,Т(Ха^) - компакт. Рассмотрим произведение множеств Ха = Ха\ х Ха2 х • • • х Хат х ... и топологию Т(Ха) = Т(Ха1)хТ(Ха2)х- ■ ■ хТ(Хат)х ... . Тогда по теореме Тихонова пространство (.Ха,Т(Ха)) - компакт.

Нетрудно заметить, что топология Т(Ха) совпадает с топологией множества Ха, индуцированной из топологического пространства (Х^, Т(Х'^а)) (базы топологий совпадают) .

Далее, индуцируем топологию Т(Ба) множества траекторий Ба из топологического пространства (Х^а,Т(Х^а)) через «посредника» (Ха,Т(Ха)): Т(Х^а) —> Т(Ха) —> Т(Ба). Нетрудно заметить, что топологии Т(Ба) и Т(Ба) совпадают, поскольку Ба С

Х а.

Покажем теперь, что множество траекторий Ба является замкнутым подмножеством топологического пространства (Ха,Т(Ха)). Поскольку топологическое пространство (Ха,Т(Ха)) является метрическим компактом, то о компактности множества Ба можно говорить на языке счетных последовательностей. Пусть последовательность траекторий 2 = ..., в™,... из Ба сходится к точке х = (жа1, жа2,..., хаг, ха(г+1), • • •) множества Ха. Покажем, что х также является траекторией игрока а. Для этого достаточно показать, что ха(г+1) € Ва(хаг) при г ^ 0. Действительно, сходимость в Ха означает покомпонентную сходимость. Поэтому для любого целого числа г существует целое число т(г), такое, что при т ^ т(г) траектория вт совпадает с точкой х, по крайней мере, по первым г +1 компонентам. Но вт(г + 1) € Па(вт(г)) по определению траектории. Следовательно, ха(г+1) € Ва(хаг). Таким образом, точка х является траекторией, множество Б - замкнутым подмножеством множества Ха, а потому и компактом. Теорема доказана.

Из предыдущего доказательства следует, что множество траекторий Ба всегда является замкнутым подмножеством для топологических пространств (Х^,Т(Х'^а)) и (Ха,Т(Ха)).

Нетрудно также заметить, что при выполнении условий теоремы 4.1 множество Ха не более чем счетно.

Определение 4.4. Точку в = (ва,а € А) множества ПаеА Х^ будем называть траекторией игры, если для любого а из А компонента ва является траекторией игрока а.

Обозначим множество всех траекторий игры через Б.

Рассмотрим для любого а из А конечную или счетную последовательность вида

уа (уа%\ , уаг2 , . .., уагг ,...) (уа] , 3 € Са)

точек множества Ха, где гг € Ы, г г < гг+1. Множество Са в данном случае состоит

из чисел г1,г2,...,гг,....

Определение 4.5. Будем говорить, что траектория игры в = (ва, а € А) проходит через упорядоченный набор

у = (уа, а € А) = ((уаг, г € Са), а € А),

если траектория ва игрока а проходит через последовательность уа = (уаг, г € Са) для любого а из А.

Ранее мы для любого а из А определили топологическое пространство (Ба, Т(Ба)). Положим Т(Б) = паеА Т (Б а).

Нетрудно заметить, что топология Т(Б) совпадает с индуцированной топологией

из топологического пространства

(П ^Т" ' П Т (X Т" )) •

Vа^А аеА )

Теорема 4.2. Для того чтобы топологическое пространство (Б,Т(Б)) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы а(х)\ < для любого х из пространства Ха, для любого а из множества А.

Доказательство следует из теоремы Тихонова и теоремы 4.1.

Обратим внимание на то, что пространства (Х^,Т(ХТа)),а € А, - метрические. Поэтому можно рассмотреть равномерную метрику на множестве Паел Х^". Однако для случая, когда множество А не менее чем счетно, равномерная метрика породит топологию, отличную от топологии ПаЕл Т(Х^а). Для случая, когда множество игроков А не более чем счетно, предложим один полезный вариант задания метрики на множествах Паел ХТ" и Б, порождающей топологии, эквивалентные топологиям П аеА Т(Х) и Т(Б) соответственно.

Поскольку множество А не более чем счетно, корректно рассматривать не более чем счетные последовательности Ь = (Ь.)1а£Л Т" элементов множества А, в которых каждый элемент в из множества А встречается и Тр раз.

Пусть Ь = ((Ь.)1аеЛ Та) - последовательность описанного выше типа.

Рассмотрим произведение множеств ПаеА ХТ", где Х^" = Ха 1 х • • • х Хат х ■ ■ ■ , т ^ Т а, и множество Хат есть т-й экземпляр множества Ха. В силу предположения о мощности множества А в данном произведении в совокупности присутствует не более чем счетное множество сомножителей. Перенумеруем эти сомножители в соответствии с последовательностью Ь. Если Ь1 = а, то множеству Ха 1 присвоим номер 1 и обозначим У1. Если Ь2 = а, то множеству Ха2 присвоим номер 2 и обозначим У2. Если Ь2 = в, то множеству Хщ присвоим номер 2 и обозначим его У2, и т. д. Если Ьк = 7 и уже г экземпляров множества Х7 получили номер (это множества Х71, • • • ,Х1Г), то множеству Х7(г+1) присвоим номер к и обозначим Ук, и т.д. Поскольку в произведении П аел ХТ" присутствует А Т множеств, то в силу структуры последовательности Ь ни один экземпляр множества Ха для любого а из А при такой нумерации не будет пропущен и ни один не получит номер дважды. В итоге произведение Х = Паел ХТ" мы как бы «вытянем» в не более чем счетную «цепочку» сомножителей:

1 = У1 х 12 х ■ ■ ■ х Ук х ■ ■ ■ = Ц Х Т" •

аеА

Определение 4.6. Ь-Нумерацией сомножителей из произведения Х = Паел Х^

__та

будем называть последовательность У = (У..)1 аеЛ а элементов множества {Ха, а € А}, такую, что У. = Хр тогда и только тогда, когда Ь. = в.

Договоримся о том, что в общем случае игровые пространства Х а, Хр для разных игроков а, в могут совпадать, но в контексте с определением 4.6 мы их будем различать, хотя бы из-за разных имен: а и в.

__V"* гр

Пусть У = " является Ь-нумерацией сомножителей X = ПавА^а" ■

У2 та

Определение 4.7. Произведение У = П.="еЛ " У. будем называть Ь-представле-

у^ Т

нием произведения Х = Паел ХТ". Элемент у = (у.)1 аеЛ а из множества У, равный

элементу x = (xa,a G A) = ((xai,i ^ Ta), a G A) из множества X, будем называть b-представлением элемента x.

В соответствии с определением 4.7 для всякой траектории s из S* существует b-представление. Совокупность b-представлений всех траекторий назовем b-представлением множества траекторий S.

По сути b-представление y элемента x - это просто другая запись того же самого элемента x. Далее b-представление множеств X, S и элементов x, s будем обозначать X (b), S (b), x(b), s(b) соответственно. Определим метрику ръ на множестве

X = П хТаа

aeA

по правилу:

1) pb(x\,x2) = 0, если x\ = x2;

2) pb(x\,x2) = p(xi(b),x2(b)), где p - метрика, аналогичная метрике Бэра, на X(b). Из условия 2) следует тот факт, что если pb(xi,x2) = 1/m, то m - младший номер

компонент b-представлений xi(b) и x2(b), по которым они не совпадают.

Утверждение 4.2. Топология Т{Х), задаваемая метрикой рь на множестве X = ПаеА X'Tа, совпадает с топологией

T (X ) = П T (XTa ).

aeA

Доказательство следует из того, что множества сходящихся обобщенных последовательностей пространств (Х,Т(Х)) и (Х,Т(Х)) совпадают. В обоих случаях обобщенная последовательность (ж7)7ес точек из X сходится к точке х из X тогда и только тогда, когда имеет место покомпонентная сходимость в дискретной топологии.

Обратим внимание на то, что какую бы последовательность b указанного ранее типа мы ни взяли, метрика pb порождает одну и ту же топологию T (X ).

Метрику pb можно индуцировать на множество траекторий игры S. Из предыдущих рассуждений следует, что порожденная метрикой pb на множестве траекторий игры S топология совпадает с топологией T (S ).

Литература

1. Von Neumann J., Morgenstern O. Theory of games and economic behavior. Princeton: Princeton University Press, 1944. 625 p.

2. Петросян Л. А., Томский Г. В. Дифференциальные игры с неполной информацией. Иркутск: Изд-во Иркутск. гос. ун-та, 1984. 188 с.

3. Скарф Х. Э., Шепли Л. С. Игры с неполной информацией // Применение теории игр в военном деле / пер. с англ.; под ред. А. В. Ашкенази. М.: Сов. радио, 1961. С. 256—274.

4. Слобожанин Н. М. Информация и управление в динамических играх. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 308 с.

5. Слобожанин Н. М. Многошаговые игры с задержкой информации // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та. Сер. Проблемы теории вероятностных распределений. 1985. Т. 142, вып. 9. С. 86-93.

6. Слобожанин Н. М. Управление в многошаговых играх. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 96 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 21 июня 2012 г.