CC BY
37
УДК 517.9
А.М. Блохин, А.С. Рудометова
О стационарных решениях системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках*
A.M. Blokhin, A.S. Rudometova
On the Stationary Solutions of the System of Moment Equations Describing the Charge Transport in Semiconductors
В работе обсуждается вопрос о существовании решений одной гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках в стационарном случае.
Ключевые слова: перенос заряда в полупроводниках, гидродинамическая модель, обобщенная матрица Грина.
In this paper we discuss the existence of solutions for some hydrodynamic model of charge transport in semiconductors in stationary case.
Key words: charge transport in semiconductors, hydrodynamic model, generalized Green matrix.
1. Предварительные сведения. При математическом моделировании физических явлений, связанных с переносом заряда в полупроводниках, широко используются гидродинамические модели, которые выводятся из бесконечной системы моментных уравнений (следствий уравнения переноса Больцмана) с помощью определенной процедуры замыкания.
Рассмотрим гидродинамическую модель, предложенную недавно в работах [1, 2]. Следуя [3-5], выпишем квазилинейную нестационарную систему вышеупомянутых моментных уравнений в одномерном случае в безразмерном виде (процесс обезразмеривания описан в [4, 5], там же даны конкретные выражения для коэффициентов с^):
Нг + •]'£ = О,
2
Jt + (з RE)x
RQ + cn J + cnI,
(RE )t + Ix = JQ + cP,
It + (10 RE2)*
3 REQ + cnJ + cnI,
2
є (^xx
R - p.
(l)
(2)
Здесь Н - электронная плотность; и - электронная скорость; д - поток энергии; .1 = Ни, I = Нд -потоки; Е - энергия электронов; а = |Е — 1, Р = На, Q = фх, ф - электрический потенциал; е2 - диэлектрическая постоянная; р = р(х) -плотность легирования (заданная функция на отрезке [0,1]). Коэффициенты с,сц ... с22 являются гладкими функциями от энергии Е.
*Работа выполнена при финансовой поддержке проектов РФФИ 10-01-00320-а и 11-08-00286-а и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашение №14.В37.21.0355).
Систему (1)—(2) дополним граничными условиями, соответствующими задаче о баллистическом диоде (см. [3-5]):
Д(і, 0) = Д(і, 1) = 1,
Е(г, о) = Е(ь, і) = §, ф(г, о) = о, ф(г, 1) = в,
здесь постоянная В > 0 - напряжение смещения.
В стационарном случае система (1)-(2) может быть переписана так:
ф' = Q,
и' = —иФ,
д' = —дФ + uQ + с(Е),
£' = й(Е)и + Ь(Е)д
є^' = г,
Єг' = —р' + (р + Єг)Ф,
(З)
где
Ф = m(S)u + h(S)q + QS, R = p + єг,
S = ^, E = 2І, a(S) = -aS2, Ъ(Е) = -Ъ^2,
a = 5Scu - cn, Ъ c(S) = c(ї - 1), m = S(cn - a), h = S(cn - Ъ).
5 Scu - cn,
Граничные условия примут вид:
0,
r(0) = r(1)
S(0) = S(1) = 1, ф(0) = 0, ф(1) = B.
(4)
Имеем сингулярно-возмущенную систему 4+2 дифференциальных уравнений (е - малый положительный параметр)
dx = f (y,z),
,є),
(5)
(6)
z, x
ll
где
I ф \
и д
\Ё I
Q
г
( Q \
—иФ
—дФ + и^ + с(Ё),
У а(Ё)и + 6(Е)д )
(П ' =(
—р' + (р + Єг)Ф
)■
с соответствующими граничными условиями.
Отметим, что система ¥(у,г,х, 0) = 0 имеет изолированное решение
ф(у,х)
— — т(Ё)и — п(Ё)д 0
)■
(7)
Рассмотрим Б = МХ — матрицу, полученную при подстановке в краевое условие фундаментальной матрицы:
В
Матрица Грина для однородной задачи существует и единственна тогда и только тогда, когда гапдБ = УгтХ.
В нашем случае гапдБ = 2, УгтХ = 4, поэтому для нахождения решения краевой задачи (10), (11) построим обобщенную матрицу Грина [8, 9].
( 1 0 0 0 \
0 0 0 1
1 0 0 0
к 0 0 0 1 )
2. Решение вырожденной задачи. Одновременно с (5)-(6) рассмотрим вырожденную систему (при е = 0)
1 в с<х-*>=[(/ рщл) 7
ш = /(y,5),
Д(у, 5, х, 0) = 0.
(8)
(9)
В работах [6, 7] найдено численное решение задачи (8)-(9). В данном пункте приведем еще один конструктивный подход к нахождению решения вырожденной задачи.
Исследование системы (8)-(9) с учетом (7) сводится к исследованию системы
= I (у,Ф(у,х))
ах
или, в развернутом виде:
ф/ =
1 в
1 А-1 [ 1/1
рЩ 1т л — ^
0 0
0 0 0 0
0 Щ 0 0
р(х) ( )
0 0 0
р{х)
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0
0 0 44 0
+
+ 2 вгди(х — в)
0 44
р(х)
р(в) р(х)
0 0 0 1
Общая методика исследования поставленной нелинейной краевой задачи (10)—(11) основывается на переходе с помощью обобщенной матрицы Грина от исходной краевой задачи к системе интегральных уравнений:
и' = — и , р 54-
— — ш(Ё)и — п(Ё)5
4
-д— + -
4 р т Е
— — ш(Ё)и — п(Ё)д + с(Ё),
(10)
уі(х)= їі(у,в) Л,в, У2(х) =
ио
Р(х),
Ё' = а(Ё)и + &(Ё)д
с граничными условиями
Уз(х)
р(х)
до + у Р(в)/з(У, в) ds +
0
Ё(0) = Ё(1) = 1, ф(0) = 0, ф(1) = в.
(11)
р(в)/з(У, в) ds
Задачу (10)—(11) запишем в векторном виде
^ — А(х)у = I (у, х),Му = Моу(0) + М1у(1) = В.
ах
Фундаментальная матрица для системы уравнений соответствующей однородной задачи имеет вид
10
0 “Г")
р(х)
00
00
00 00
-X 0
Р(х) 01
1 1 в
+ / [(/рщ!Р2®л — 1
0 0 0
х
У4(х) = J /4(у, в) ds + 1.
Параметры ио, до определяются с учетом условий разрешимости, имеющих в данном случае следующий вид
1 1 IЛ (у,«) аз = в, 1Л (у, в) аз = о.
оо
Доказательство существования единственного решения системы нелинейных интегральных
у
г
г
х
х
1
уравнений может быть проведено при помощи метода последовательных приближений на основе принципа сжимающих отображений [10].
3. Построение интегрального многообразия. С учетом решения (7) сделаем в системе (5)-(6) замену
= Ф(У, х) + * = ( <> ) + ( С>г‘ )
(12)
где
Q = -Q Ё
---т(Ё)и — п(Ё)д
Р
Qє = Q — ^?.
В итоге получим
Ш = Чу, *, х), (13)
є= А(у,х)* + д(у, *, х, є), (14)
здесь
А(у, х) = (у, ф(у, х), х, 0)
рЁ 0
д(у, *, х, є) = Д(у, ф(у, х) + *, х, є) — —Дх(у, ф(у, х), х, 0)* — є (фх + фуН),
Чу, *, х) = /(у, ф(у, х) + *,х). Конкретно
/ <5 + Qє \
Н
—и( “—р
QєЁ)
—д( — + QєЁ) + и <3 + Qє + с(Ё),
а(Ё)и + 6(Ё)д
.
РЁQє + єг( — + ЁQє)
Далее рассматриваем задачу
\ є*'(х) = А(у, х)*(х) + д(у,*,х,є), \ Ро*(0) + Р1*(1) = 0,
(15)
где
Р0
0=
(0 о• Р140 0).
Собственные значения матрицы А: А1 =
— у/а(х) и А2 = \/а(х), где а(х) = р(х)Ё(х), для всех у : \ \у — у\\ < 6, х Є [0,1] удовлетворяют условию:
НеА 1 < —а1 < 0,
ЕеА§ > а2 > 0.
Следуя [11], можно показать, что существуют такие положительные числа є1, с2, что для каждого значения є < є1 однородная задача
( є*'(х) = А(у,х)*(х)
1 Ро*(0) + Р1 *(1) = 0
имеет матрицу Грина Я (в,і, є) такую, что 1
1
—Я(х, в, є) ds
є
< с§.
(16)
Действительно, на основе двух фундаментальных систем решений, полученных при приведении системы уравнений к квазидиагональному виду, можно построить фундаментальную матрицу
У(х, е).
В этом случае матрица Грина имеет вид , , { У(х,е)У(з,е), 0 < х < в < 1 , ,
д(х, в, е) = < ) ( ) \ (17)
[ У(х,е)Ш (з,е), 0 < з < х < 1
где У, Ш - некоторые матрицы, подчиненные условиям
{ РоУ(0, е)У (в, е) + Р1У(1, е)Ш(в, е) = О,
\ У (в,е)Ш (в,е) — У (в, е)У (в,е) = I.
Усчитывая, что ехр ^^а(т) йт^ < 1 и
ехр I — 1 / ^а(т) йт\ < 1, получаем оценку (16).
Будем рассматривать класс функций ф(у,х) (зависимость от е в дальнейшем не указываем для простоты изложения), определенных в области \\у — у\ \ < 5, х € [0,1], непрерывных по х и удовлетворяющих в этой области неравенствам
(18)
\\*(у,х)\\< кє,
\\*(у,х) — *(у,х)\\ < Хє\\у — у\\.
Для оператора 1
Т*(у,х) = J 1Я(х,в,є)д(у,*(у,в),в,є) ds
выполняются условия принципа сжимающих отображений, т.е.
1. \\тф(у,х)\\ < ке,_
\\Тф(у, х) — Тф(у,х)\\ < хе\\у — у\\;
2. \\Тф(у,х) — Тф(у,х)\\ < £\\ф(у,х) — ф(у,х)\\, причем £ < 1.
Действительно, можно показать, что справедливы неравенства
\\д(у,0,х,е)\\ < (е,
\\д(у,ф,х,е) — д(у,ф,х,е)\\ <
< ше (\\у — у\\ + \\ф — ф)\\
где С, ш — положительные постоянные.
Причем для к, х должны выполняться условия
С2(шкєо + С) < к, с§шєо < 1,
С2^(1 + шєо) < х.
г
г
В этом случае уравнение ф = Тф имеет единственное решение ф(у,х,е) и справедливо следующее утверждение [12]:
Утверждение 1. Если существует решение краевой задачи (10)-(11), то 3 е0, 5, к, х : У е < е0 краевая задача (3)-(4) имеет единственное четырехпараметрическое интегральное многобразие, представимое соотношением
на нуль-пространства N (В*); В* - 4 х 4-мерная матрица, сопряженная к В; К(х, в) - 4 х 4-мерная матрица:
К(х, в) = 2X(х)Х 1(в)відп(х — в).
Рассмотрим оператор
г = ф(у,х) + *(у,х,є),
в котором функция *(у, х, є) определена для всех \\у — у\\ < 6, х Є [0,1], є < єо, непрерывна
по всем аргументам и удовлетворяет неравенствам (18).
4. Система на многообразии. Система (13) на многообразии г = ф(у,х) + *(у,х,є) сводится к рассмотрению
= Н(у,*(у,х,є),х).
dx
(20)
Линеаризуем эту систему относительно решения вырожденной системы (8)-(9). Положим у = у + у и получим
(21)
где
В(х) = Ну(у(х), 0,х), р(у, х, е) = Н(у + у, ф(у + у, х, е), х) —
—Н(у, 0, х) — Ну (у, 0,х)у.
Граничные условия для системы (21) имеют следующий вид
Му = Мо у(0) + М1 у(1) = 0.
(22)
Рассмотрим Х(х) фундаментальную матрицу для соответствующей (21) однородной системы уравнений, а также I = МХ - матрицу, полученную при подстановке в краевое условие фундаментальной матрицы. Получим, что гапдБ = 2, агтХ = 4. Поэтому для доказательства существования решения краевой задачи (21)-(22) можно построить обобщенную матрицу Грина 0(х, в, е).
По аналогии со случаем вырожденной краевой задачи, для р(у, в,е) должны также выполняться определенные условия разрешимости [8]:
Р* М
К(•, в)р(у, в, є) ds = 0.
(23)
Здесь Р* (й = сИтХ — гапдБ = 2) - матрица 2 х 4, состоящая из линейно-независимых строк матрицы Р*, ортопроектора, проектирующего Н4
Ту = у 6(х, в, є)р(у, в, є) ds. о
(24)
Используя методику, представленную в [12], можно получить оценки для р(у, х, є) в пространстве функций у непрерывных на отрезке 0 < х < 1 и таких, что \\у\\ < Іє < 6:
\\р(у,х,є)\ \ < цє\\у\\ + иє,
(25)
№, V - положительные постоянные.
Благодаря полученным оценкам для р(у, х, е) и ограниченности по модулю некоторой константой с3 матрицы Грина (по построению), оператор (24) является сжимающим:
\\Ту\\ < сз(1^е + v)е,
\\Ту — Ту*\\ < сз^е\\у — у*\\.
Итак, если єо таково, что
сз(Ірєо + V) < І, сз^єо < 1,
(26)
И в итоге существует
един-
то Уе < ео существует единственное решение у = у(х,е) системы (21), причем \\у\\ < 1е < 5. Следовательно, существует единственное решение у = у(х,е) системы (20).
(х, е) ф( , х, е)
ственное решение системы (3)-(4), непрерывное по е.
Таким образом, справедливо Утверждение 2. Если существует решение краевой задачи (10)-(11) и выполнены условия разрешимости для краевой задачи (21)-(22), то краевая задача (3)-(4) имеет единственное непрерывное при х € [0,1] решение
ф(х, е) = ф(х) + О(е),
и(х,е) = риХ) + O(е),
д(х, е) = д(х) + О(е),
Ё(х, е) = Х(х) + О(е),
Q(x,е) = Q(x) + О(е), г(х, е) = р(х) + О(е2).
1
1
Библиографический список
1. Anile A.M., RomanoV. Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the moment equations // Cont. Mech. Termodyn. - 1999. -Vol. 11.
2. Romano V. Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the of the production terms in the moment equations // Cont. Mech. Termodyn. - 2000. - Vol. 12.
3. Blokhin A.M., Bushmanov R.S., Romano V. Global existence for the system macroscopic balance equation of charge transport in semiconductors // J. Math. Anal. Apd. - 2005. -Vol. 305.
4. Blokhin A.M., Bushmanov R.S., Romano V. Asymptotic stability of the equilibrium state for the hydrodynamical model of charge transport in semiconductors based on the maximum entropy principle // Int. J. Engineering Sci. - 2004. - Vol. 42, №8-9.
5. Blokhin A.M., Bushmanov R.S., Romano V. Nonlinear asymptotic stability of the equilibrium state for the MEP model of charge transport in semiconductors // Nonlinear Analysis. - 2006 - Vol. 65.
6. Blokhin A.M., Ibragimova A.S. 1D Numerical Simulation of the MEP Mathematical Model in ballistic diode problem // Journal of Kinetic and Related Models. - 2009. - Vol. 2, №1.
7. Блохин А.М., Семисалов Б.В., Ибрагимова А.С. Численный анализ задач переноса заряда в полупроводниковых устройствах. - Saarbrucken, 2012.
8. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. - Киев, 1990.
9. Блохин А.М., Бушманова А.С. Об одном численном методе нахождения стационарных решений гидродинамической модели переносов заряда в полупроводниках // Вычислительные технологии. - 1998. - №3.
10. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. - М., 1962.
11. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - М., 1981.
12. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике.
- М., 1973.
