УДК 519.612:632.4
Н. Д. Золотарёв^, Е. С. Николаев2
О СТАГНАЦИИ В р-ВЕРСИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В работе исследована особенность р-версии метода конечных элементов, применяемого для решения дифференциальной краевой задачи, сформулированной в виде задачи минимизации квадратичного функционала на некотором множестве. Эта особенность проявляется в том, что приближенные решения могут не меняться на конечном числе последовательно вложенных конечномерных подмножеств увеличивающейся размерности, в которых они ищутся. Найдены необходимые и достаточные условия ее возникновения, и на специально построенном примере дана интерпретация эффекта стагнации. Для адаптивной р-версии метода конечных элементов предложена модифицированная стратегия, учитывающая эту особенность и тем самым увеличивающая его надежность.
Ключевые слова: метод конечных элементов, адаптивная р-версия, стагнация.
1. Введение. Метод конечных элементов (МКЭ) нахождения в ограниченной области приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения, сформулированной в виде задачи минимизации функционала на множестве //. состоит в следующем. Область разбивается на подобласти и решение задачи минимизации ищется в Ж-мерном подмножестве II \ С Н. При этом каждая
о
базисная функция в соответствующем II \ подпространстве //д является финитной с носителем, состоящим из малого числа подобластей. Такой подход позволяет свести нахождение приближенного решения к решению системы уравнений с разреженной матрицей и N неизвестными.
В к- и р-версиях МКЭ в качестве базисных используются кусочно-полиномиальные во всей области функции, являющиеся полиномами на каждой из подобластей, и для получения решения с требуемой точностью строится последовательность приближенных решений на подмножествах // V, С //д.. С ... С Н. В адаптивных вариантах этих версий для построения подмножеств //д,. используются стратегии локального измельчения и укрупнения подобластей с сохранением степени полиномов (/¡.-версия) и локального увеличения степени полиномов на подобластях при фиксированном разбиении области (р-версия), а также иерархический способ построения базисов подпространств.
Указанные стратегии основаны на использовании либо локальных апостериорных оценок погрешности [1—8], либо индикаторов коррекции — величин, оценивающих степень изменения выбранной характеристики приближенного решения при пробном расширении Нр,гк путем добавления новых базисных функций [9-16]. Различия между адаптивными версиями подробно обсуждаются в работе [10].
В данной работе изучена особенность р-версии МКЭ, проявляющаяся в том, что приближенные решения могут не меняться на конечном числе последовательно вложенных подмножеств, в которых они ищутся, т. е. возникает стагнация. Найдены необходимые и достаточные условия ее возникновения, и построена модельная задача, на примере которой дана интерпретация эффекта стагнации. Предложена модифицированная стратегия построения адаптивной р-версии метода, которая учитывает эту особенность и увеличивает его робастность.
2. Задача минимизации и метод ее приближенного решения. Определим множество функ-
о
ций //. соответствующее ему линейное подпространство II. функционалы Л {и) и Ь(у), а также форму а(и, у) следующим образом:
о
Я={и£ ^21(а, Ь), и (а) = ц о, и(Ь) = /¿1}, Д" = {г> е Ь), у(а) = 0, у(Ь) = 0},
ь ь
J{u) = —а(и,и) — Ь(и), а(и,у) = ^ (ки'у' + диу) ёх, Ь(у) = ^ /«(¿ж,
а
1 Факультет ВМК МГУ, мл. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: nzolQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: enikQcs.msu.su
где к = к(х), q = q(x) и / = /(ж). Пусть форма а(и,и) коэрцитивна, т.е. для любой функции и € Н выполнено неравенство а(и,и) ^ с||«||2, где с > 0. Задача минимизации формулируется следующим образом: на отрезке [а, Ь] найти функцию и*(ж), такую, что
и* = arg min J(u). (1)
иен
Будем предполагать, что выполнены условия, гарантирующие существование единственного решения задачи (1). Если к, q суммируемы и ограничены, а / € Ь2(а,Ь), то и* является обобщенным решением краевой задачи для дифференциального уравнения
Lu = —(ки')' + qu = /(ж), а < х < Ь, и(а) = /¿о, u(b) = ßi, (2)
а если к € С1 [а, Ь) и д, / € С0[а, Ь], то является ее классическим решением.
Сеточный аналог задачи минимизации. Для приближенного решения задачи минимизации (1) используем метод конечных элементов в формулировке Ритца. Приближенное решение будем искать на iV-мерном множестве функций II \ С //. аппроксимирующем множество II. Зададим на отрезке [а, Ц неравномерную сетку
шп = {а = ха < х! < ... <хп < xn+i = Ь}
так, чтобы точки разрыва функций к, q и / являлись ее узлами, и для г-го интервала введем обозначение 6j = (xi-i,xi), 1 ^ г ^ п + 1. В качестве базисных (узловых и неузловых) функций, определяющих // д . используем непрерывные кусочно-полиномиальные функции с носителями, состоящими из одного или двух интервалов сетки.
Узловые базисные функции — это связанные с узлами сетки кусочно-линейные на [а, Ц и линейные на каждом интервале сетки функции tpi(x), такие, что
(е 1, ¿ = 0,
et U €¿+1, 1 5$ % 5$ п, еп+ь г = п+1.
С каждым интервалом е% ассоциируется свой набор из s% — 1 неузловых базисных функций {(pij(x), 2 ^ j ^ Sj}, являющихся кусочно-полиномиальными на [а, Ц функциями и полиномами степени j на е*, таких, что
supp{^} = ei, 2 < j < Si, 1 < i < n + 1.
n+1
Положим N = Si — 1, определим множество функций
г= 1
✓ п+1 п+1 Sj
Ядт = < и = ^ит + ^^UijVij-, щ = Но, ип+1 = ßi \ ^ ¿=0 г= 1 j=2 J
о о о
и iV-мерное подпространство //д пространства Н: IIх = {г> € //д. /¿о = 0, //i = 0}. В силу определения базисных функций для любой функции и € // \ имеют место равенства u(xi) = щ, 0 ^ г ^ п + 1. Если Si = 1, то множество II \ порождают только узловые базисные функции, при этом N = п.
Соответствующая (1) сеточная (конечноэлементная) задача минимизации формулируется следующим образом: найти функцию й(х), такую, что
ü = arg min J(u). (3)
uEHN
Известно, что решение этой задачи однозначно находится из условия Галёркина
о
и € II х : a(u,v) = b(v) Vv € //д . (4)
о
которое с учетом определения //д и II \ порождает систему уравнений Au = f с симметричной положительно определенной матрицей. Эта система при соответствующем упорядочении неизвестных может быть записана в следующем блочном виде:
„1 ei
An Al2 U1 f1
A2i А22 и2 f2
где А22 — трехдиагональная матрица, А21 = А{2 и
и1 =
«1
и„+1
А12 =
VI
У 2 У2
Уп+1 т
р =
Ь1 - /Х0У1 /1 + М0Й1
Ь2 /2
, Г2 =
ь„ /п-1
Ьп+1 — М1уп+1 /п +
Г
и
= (щ
, . . . ,ипI ,
г
Ац = Аь ..., Ап+1
А22 = [-
" 0,1, Сг,
Аг = |а(^(г+1),^(то+1))| , ^ = («¿2, • • • Ь* = ■ ■ ■ ,
Г
Ог = Ь = -а((рг+1, = (£¿+1, Сг = /г = %>*).
Из (5) следует, что вектор и2, элементы которого определяют приближенное решение в узлах сетки, есть_ решение системы уравнений А и1' = ? с трехдиагональной положительно определенной матрицей А = А22 — А21А^1 А12 размера та х та и правой частью ? = ^ — А21А^1^. Вектор и^, используемый для представления приближенного решения на интервале е*, есть решение системы уравнений А, и/ = Ьг — «¿-1Уг _ с полной матрицей размера — 1) х — 1). Здесь 1 ^ г ^ та + 1, Щ = /Х0 И Пп+1 = /Ц.
Иерархическая р-версия МКЭ. Стандартная иерархическая р-версия состоит в решении на фиксированной сетке шп сеточных задач минимизации на последовательности вложенных множеств //л ,, // д ..,... возрастающей размерности, так что
п+1
^ = 8г(к) = к, + Л^ = ^в^к) - 1 = к(п + 1) - 1, к 1.
г=1
В этой версии на к-м шаге требуется решить систему с соответствующей матрицей А, затратив 0(п) операций, и та + 1 систему с соответствующими матрицами А,-, затратив 0(к2) операций* на решение каждой из них. Таким образом, для общего числа Мк неизвестных, которые нужно вычислить для нахождения приближенного решения на множестве и числа С}к требуемых для этого операций (без учета затрат на генерацию матриц) будем иметь
Мк = У^ Щ = кп+ ^ ~ ^ (та + 1), = <Э(пк+ пк3).
—' 2 з=1
Первые слагаемые в этих выражениях связаны с матрицами А и не могут быть уменьшены. Вторые слагаемые можно существенно уменьшить, если при переходе к очередному шагу увеличивать Si только для тех для которых погрешность решения задачи (1) на интервале е^ относительно велика. Адаптивная иерархическая р-версия отличается от стандартной тем, что для каждого к ^ 2 на основании некоторой стратегии строится множество Хк номеров интервалов и полагается
вг(к) = вг(к - 1)
1, г € I)
к ^ 2, «¿(1) = 1.
. + 1к для к ^ 2 и
К — 1 /К \
мк = кп + ^2^кч+1, дк = + V
^•=1 ^ о — 9 .'СГ '
Если 1к — число элементов множества 1к, то N1 = та, Щ = та +
/г —1 / к
3=2 геТ,
*3десь учтено, что используемая на к-м шаге матрица А^ получается из соответствующей матрицы с предыдущего шага путем окаймления ее строкой и столбцом.
Эффективность адаптивной р-версии зависит от выбранной стратегии построения Х^ и вычислительной сложности реализующего ее алгоритма. В работах [12-16] построение Х^ основано на вычисле-
(к)
нии для каждого е$ индикатора коррекции ц — неотрицательной величины, оценивающей изменение либо приближенного решения на е*, либо значения минимизируемого функционала при пробном добавлении к базисным функциям новой неузловой базисной функции срц,(х), ассоциированной с е*. В этих
(к)
работах построены алгоритмы вычисления I- с малыми затратами и предложена стратегия, в упрощенном виде определяемая следующим образом: Х^ = {г : I¡^ ^ £к, + где е^ ^ 0 — задаваемый барьер*, который может понижаться с увеличением к.
Недостатком этой стратегии является то, что малое и даже нулевое значение ^ для какого-то г может не означать, что на интервале е^ сеточное решение хорошо приближает искомое решение или совпадает с ним. Более того, возможна ситуация, когда все индикаторы коррекции равны нулю, погрешность решения велика, а при увеличении к приближенное решение не меняется (стагнация). Поэтому в стратегию адаптивной р-версии необходимо ввести дополнительный критерий, позволяющий среди интервалов с малыми индикаторами коррекции отличать те, на которых погрешность мала и номера таких интервалов не следует включать далее в множествах*;, от тех интервалов, на которых погрешность еще велика и значение индикатора коррекции на каком-то шаге г > к может превысить устанавливаемый для этого шага барьер ег.
3. О стагнации в методе конечных элементов. Найдем необходимое и достаточное условие стагнации иерархической р-версии МКЭ. Пусть и — решение задачи (3) на множестве //д. т.е. функция, удовлетворяющая условию (4). Пусть
п+1 п+1 s^ т
г=0 1=1 ]=2 г=1
есть приближенное решение задачи минимизации (1) на множестве Ддг+то; возникающем при добавлении к имеющимся базисным функциям новых неузловых базисных функций, которые обозначены через
о
(р1,..., (рт. Определяя соответствующим образом подпространство Нм+т, будем иметь для функции й € //д • ,п аналогичное (4) условие
о
а(щу) = Ь('д) Щ б //у .,„. (6)
Исследуем эффект от расширения множества //д • Введем следующие обозначения:
г = и-и, и = (и\...,ит)Т, г = (г1,... ,гто)т, г* = Ъ((р*) - а(щср*). Теорема. Пусть матрица В и функции у:'(х) определены следуют,им образом:
В = {Ьи}1™)=1' = а№ ~
О О
у3 еНм : а(у3 = а{(р> V« € //д . 1 < з < т. (7)
Тогда матрица В положительно определена и имеют место соотношения
ТО
г = ^и'{<р> -ч?), Л{и)-Л{й) = -{В_1г,г), Ви = г. (8)
з=1
Выполнение равенств
а(и, ч?) - %') = 0, 1 < г < т, (9)
является необходимым и достаточным условием стагнации р-версии МКЭ. Доказательство. Сначала покажем, что верны следующие равенства:
о
а(г,у) = 0 Уг е //д. а(г, (рг) = гг, 1 < г < т. (10)
*Стандартной р-версии соответствует выбор еи = 0.
о о
Действительно, первое из них является следствием условий (4), (6) с учетом включения //д С Нм+т, а вторая группа — вытекает из условия (6), если положить в нем у = срг.
Получим первую из формул (8) и систему уравнений для нахождения и. Имеем
то то
а(у, у) = а(г, г>) — ^^ и-'— у-',у), у = г — ^^ иЦ^ — у-').
3=1 3=1
о
Так как у € //д. то (7) и первое из равенств (10) дают а(у,у) = 0. В силу коэрцитивное™ формы
о
а(у, у) на функциях из у € //д имеем, что у = 0. Формула для г получена. Подставляя выражения для г в группу равенств (10), получим систему Ви = г.
Покажем теперь, что В положительно определенная матрица. Пусть
то то
те- = (го1,..., гото)т ф О, У) = ^ го^ <р>, у = У] 'ш:1у:1.
3 = 1 3 = 1
о
Тогда верно равенство (Вте, те) = а(го — у, го) = а(го — у, го — у) + а(го — у, у). Так как у € //д . то из (7)
о
получим а(го — у,у) = 0. Поскольку го ^ //д. то го — у ф 0 и поэтому
(Вте, те) = а(го — у, го — у) > 0 Уте ф 0, (Ви, и) = (В_1г, г) = а(г, х). (11)
Положительная определенность матрицы В установлена.
о о
Так как уЗ € Нк+гп, то г 6 //д ((). Поэтому из (6) будем иметь Ъ{х) = а(й, г). Используя это соотношение, получим 2 [«/(и) — J(й)} = а(и,и) — а(й,й) + 2Ь{г) = а(г, г). Отсюда и из (11) получим вторую из формул (8). Равенства (9) следуют из (8) и положительной определенности матрицы В. Теорема доказана*.
Замечание. Полученные условия (9) являются конкретизацией общего утверждения для квадратичного функционала, которая учитывает (8) и то, что функция и принадлежит множеству //д • вложенному в множество //д •,,, большей размерности. При доказательстве теоремы вид форм а(и, у) и Ь(у) не использовался, учитывалась лишь симметричность и коэрцитивность квадратичной формы, а также вложенность соответствующих подпространств. Поэтому теорема имеет достаточно общий характер.
4. Модельная задача. Интерпретацию эффекта стагнации в р-версии метода конечных элементов проведем на построенной специальным образом модельной задаче.
Семейство базисных функций для р-версии МКЭ. Базисные функции на их носителях определим с помощью мастер-полиномов ф\{С)-, ■ ■ ■-, задаваемых на стандартном отрезке [—1,1]. Полиномы
фа(£) и ф\{(,) являются линейными функциями
Фа (О = 0-5(1 - £), Фг(0 = 0.5(1 + С), -1 < С < 1, а ф3(0 для 5^2 есть полином степени в, такой, что ■ф3(—1)=ф3(1) = 0. Тогда
т пЛ
срг-г(х) = фо(0-, ¥>г(я) = ¥>м(я) = 5 2> С =
¥ '
Жб[Жг_1,Жг], Жг = 0.5(Жг + Жг_1), Ъ% = 0.5(Жг — Х1-1), 1 ^ г ^ П + 1.
Заметим, что хотя различным для 5^2 наборам мастер-полиномов соответствуют раз-
личные семейства базисных функций, все они порождают для р-версии МКЭ при фиксированных значениях Si(k) одно и то же для любого к множество //д,.. Для построения модельной задачи будем использовать функции которые определяются при 5^2 следующим образом:
/ ,, ч — 1, если 5 четное, ,
У.ЛО = {¿в < (12)
К С; если 5 нечетное.
*Для случая т = 1 теорема была доказана в работе [12] и использована в [12-15] для построения алгоритмов вычисления индикаторов коррекции. В работе [16] алгоритм построен на другой основе.
Полиномы ф8(0 при являются четными функциями для четных я и нечетными для нечетных я.
При г, 5 ^ 1 имеем
1 1 3(2« + 3) г + 5 + 3
I Ф28+1 = О, I ф2гф2в+1 <Ц, = О,
4« °гз 2г + 2« + 3' -1 -1
где и сгз определены следующим образом:
1 1 1 [ устусв Г
— = - / ¿С, СГ8 = —/ ф2г+1ф2з+1
-1 -1 Для некоторого целого т ^ 1 положим йг = сг(то+1) для 1 ^ г ^ т и обозначим
ё = {91, ■ ■ ■, 9т)Т, с = {сг8}™=1, й = (<],!,..., ёт)т,
где вектор g есть решение системы уравнений С§ = с! с невырожденной для любого т матрицей С. Тогда для функции д(х), определенной на отрезке [жг_1,жг] по формуле
9 = \ (¿^55^(25+1) - хт+т(2т+з)\ а= ——^ (]Гд3 - (13)
имеют место равенства д(хг-1) = д(хг) = 0 и
J д{х)йх = О, J хд(х)йх = —2, J д(х)<р^(ж) ёх = 0, 2 ^ ] ^ 2т + 2. (14)
Функция д(х) и эти равенства будут использованы для построения модельной задачи. Модельная задача минимизации. Модельную задачу (1) определим, полагая
к(х) = 1, ц{х) = 0, /¿о = /¿1 = 0, а = —1, Ь = 1.
1 п
Пусть п — четное положительное число, с =--, г* = — + 1, а шп — равномерная на отрезке [—1,11
п + 1 2
с шагом кип внутренними узлами сетка
шп = < Жг = — 1 + г/г, к =-
[ п + 1
для которой будем иметь е^ = (—с, с). Функцию /(ж) зададим следующим образом:
(О, с < |ж| < 1,
= 1 ( \ I I ^ [д{х), |ж| < с,
где д(ж) определена по формуле (13) для г = г*, так что в ней Жг_1 —с и ./•,• г. Так как д(—с) = д(с) = 0, то / € С°[—1,1]. Поэтому решение модельной задачи есть классическое решение краевой задачи (2), которая для данного случая имеет вид
Ьи = —и" = /(ж), —1 < ж < 1, 1) = = 0- (15)
Используя (14), несложно проверить, что решением (15) является нечетная функция
{ж + 1, —1 ^ ж ^ —с,
х-1, с < ж < 1,
с — 1 / \
-ж + г(х), —с ^ ж ^ с,
с
где функция г(ж) определена следующим образом:
X с
Заметим, что для г(х) имеют место равенства z(—c) = г (с) = 0, г'(—с) = г'(с) = 1 /с.
Найдем теперь приближенное решение и{х) модельной задачи на множестве кусочно-линейных функций // у, • Система (5) в этом случае имеет вид А2ги2 = f2 ъ может быть записана в виде сеточной краевой задачи
Хг+1 Хг-1
Поскольку эта задача есть точная разностная схема [17] для краевой задачи (15), то щ = и*(хг), О ^ г ^ п + 1. Так как функция й(х) должна быть непрерывной на [—1,1] и линейной на каждом интервале сетки, то
{ж + 1, — 1 ^ ж ^ —с,
х — 1, с < ж < 1,
с — 1
-ж, —с^х^с.
с
Отсюда следует, что функция й(х) удовлетворяет соотношениям
Ьй = 0, Хг-1 < X < Хг, 1 ^ г ^ п + 1, (16)
а г(х) есть погрешность приближенного решения й(х) € //д , на интервале е^.
Пусть неузловая базисная функция срц,(х), ассоциированная с интервалом е*, добавляется к множеству базисных функций на шаге к. Так как ее носителем является интервал е*, то условие стагнации (9), преобразованное при помощи интегрирования по частям, принимает следующий вид:
Хг
I (Ьй-/)ц>гк<1х = 0. (17)
Хг-1
В силу определения функции /(ж) и соотношений (14), (16) равенство (17) будет иметь место при всех к ^ 2 для г ф г* и при 2 ^ к ^ 2т + 2 для г = г*.
Итак, для решений и^ модельной задачи минимизации на множествах II имеет место стагнация: и^ = и^ для 2 ^ к ^ 2т + 2. При к = 2т + 3 индикатор коррекции станет отличным от нуля для интервала е^, и после добавления соответствующей базисной функции будем иметь и^ ф и^К При к = 2т + 4 имеем и^ = а при к = 2т + 5 получим и^ = и*, так как и* на е^ = (—с, с)
есть полином степени 2т + 5.
5. Модификация адаптивной стратегии и результаты экспериментов. В условии (17) дифференциальный оператор Ь в случае общей задачи минимизации (1) определяется формулой (2), а и = есть ее приближенное решение на множестве //д,. ,. Выполнение условия (17) эквива-
(к)
лентно равенству I- =0. Если индикатор коррекции равен нулю или близок к нему, то относительно большое значение
„(*) =
г
Х% Х% — \
х
Хг
I \\vik\dx
в определенном смысле будет свидетельствовать о том, что невязка уравнения (2) на функции велика. Поэтому есть основание для включения номера интервала е^ в множество На основе этого критерия можно предложить следующую модифицированную стратегию построения множества 1
1к —
{г : 1\к) > ек или (о < I™ < еа и г\к) ^ е^ , 1 «С 1, <: п + 1} , к ^ 2,
где £\ > £о ^ 0 — дополнительные барьеры, выбор которых является предметом отдельного рассмотрения.
Результаты экспериментов. Ниже в таблице приведены данные, иллюстрирующие эффект стагнации для модельной задачи минимизации при т = 3, п = 100, £о = Ю-6, £\ = Ю-9 и £к = 10_6
для к ^ 2. Для случая т = 3 функции д иг имеют вид
д{х)=И (2щ9 ~494С?+зб4с5"98С"+ч)'
= ^ _ 247,9 , 182,7 _ 49 5 7 3 _ 161 \ = *
К ' 32 VНО 36С 21 10С В 1980 / ' С с' Для заданных барьеров и предложенной стратегии в г (к) = 1, г ф г*, Si¡t(k) = к, так что
= {»„}, Ык = п + к- 1, Мк = пк+ к < 2т + 5.
(к)
В качестве индикатора коррекции в экспериментах использовалась величина, оценивающая изменение на интервале сц при пробном добавлении базисной функции Интегралы по ин-
тервалам вг, необходимые для генерации системы (5), вычислялись по квадратурной формуле Гаусса-Кронрода. Для вычисления ,1(и*) эта формула использовалась в адаптивном варианте.
Заметим, что при нахождении и^ путем решения системы (5) может произойти значительная потеря точности для больших к, так как определенные в (12) функции ф8 при увеличении я становятся почти линейно зависимыми. Для модельной задачи это свойство мастер-полиномов проявляется в том, что матрицы А^ в системе (5) становятся с ростом к почти вырожденными. Поэтому в экспериментах наряду с указанным первым семейством базисных функций использовалось математически эквивалентное ему второе семейство, порождаемое следующим набором мастер-полиномов:
-1
где Р3(0 — полином Лежандра степени в. Так как 'ф'д{(,) = Ра-1(£), а полиномы Лежандра ортогональны в /,•_>( — I • 1), то генерируемые в этом случае матрицы А^ будут диагональными. Кроме того,
определители Д^ этих матриц будут стремиться к нулю с ростом к медленнее, чем определители
А\к) для первого семейства (см. таблицу).
Табл и ца
к 1 2 8 9 10 11
Zi„ 1.3 • ю-1 1.3 • ю-1 1.3 • IO"1 4.4 • IO"2 4.4 • IO"2 6.7- IO"15
Sj 4.0 • 10-1 4.0 • 10-1 4.0 • IO"1 1.0 • IO"1 1.0 • IO"1 5.7- IO"15
A — 6.6 • 10-3 5.9- 10-19 6.9 • IO"22 7.1 • IO"25 6 7.10-28
Ai» — 2.6 • IO"2 3.8- IO"19 1.4-10-23 1.7-IO"28 5.8 • 10-34
В таблице использованы обозначения (верхний индекс опущен)
*<*> = тах|,«(Ж) - «*(Ж)|, 5Г =
aieuV 1 J \J[u ) I
где щ — вспомогательная равномерная на интервале е* сетка с шагом hi = 0.01, вводимая для моделирования оценки С-нормы погрешности полученного на е* решения.
Значения z\k^ и 8^ приведены в таблице только для второго семейства базисных функций. Расчеты показывают, что для обоих семейств z\k^ и практически одинаковы для к ^ 10, а при к = 11 они сильно отличаются — для первого семейства были получены значения z^11-1 = 2.3-10-9
и ij11-® = 5.4 • Ю-9. Этот результат подтверждает лучшее качество в неточной арифметике второй системы по сравнению с первой, если требуется получить решение с высокой точностью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Babuska I., Rheinboldt W.C. A posteriory error estimates for the finite element method // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1978. 12. N 11. P. 1597-1615.
2. Babuska I., Rheinboldt W. С. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Anal. 1978. 15. N 4. P. 736-754.
3. Bank R.E., Weiser A. Some a posteriory error estimates for elliptic partial differential equations // Math. Comput. 1985. 44. N 170. P. 283-301.
4. AinsworthM., OdenJ.T. A procedure for a posteriory error estimation for h-p-finite element methods // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1992. 101. N 1. P. 73-96.
5. Ainsworth M., О den J.T. A unified approach to a posteriory error estimation using element residual methods // Numer. Math. 1993. 65. N 1. P. 23-50.
6. Bornemann F. A., Erdmann В., Kornhuber R. A posteriory error estimates for elliptic problem in two and three space dimensions // SIAM J. Numer. Anal. 1996. 33. N 3. P. 1188-1204.
7. Verfurth R. A posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques //J. Comput. Appl. Math. 1996. 50. N 1-3. P. 67-83.
8. Ainsworth M., О den J.T. A posteriory error estimation in finite element analysis // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1997. 142. N 1. P. 1-88.
9. Zienkiewicz O.C., Kelly D.W., de Gago J.P., Babuska I. Hierarchical finite element approaches, adaptive refinement and error estimates // The Mathematics of Finite Elements and Applications. London: Academic Press, 1982. P. 313-346.
10. Zienkiewicz O.C., Craig A. Adaptive refinement, error estimates, multigrid solution, and hierarchical finite element method concepts // Accuracy Estimates and Adaptive Refinements in Finite Element Computations. Chichester: John Wiley & Sons, 1986. P. 25-59.
11. Bank R.E., Smith R. K. A posteriory error estimates based on hierarchical bases // SIAM J. Numer. Anal. 1993. 30. N 4. P. 921-935.
12. Николаев E. С. Метод решения краевых задач для систем линейных ОДУ на адаптивно измельчаемых сетках // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 3. С. 11-19. (Nikolaev Е. S. Adaptive mesh refinement in boundary value problems for linear ODE systems // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2000. N 3. P. 1-12.)
13. Николаев E. С. Метод решения краевой задачи для ОДУ 2-го порядка на последовательности адаптивно измельчаемых и укрупняемых сеток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. № 4. С. 5-16. (Nikolaev Е. S. Method of solving a boundary value problem for a second order ODE on a sequence of adaptively refined and coarsened meshes // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2004. N 4. P. 1-14.)
14. Николаев E. С., Шишкина О.В. Метод решения задачи Дирихле эллиптического уравнения 2-го порядка в полигональной области на последовательности адаптивно измельчаемых сеток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 4. С. 3-15. (Nikolaev Е. S., Shishkina О. V. A method of solving the Dirichlet problem for the second-order elliptic equation in a polygonal domain on an adaptively refined mesh sequence // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2005. N 4. P. 1-14.)
15. Золотарёва Н.Д., Николаев E. С. Метод построения сеток, адаптирующихся к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков // Дифференц. уравн. 2009. 45. № 8. С. 1165-1178. (Zolotareva N.D., Nikolaev Е. S. Method for constructing meshes adapting to the solution of boundary value problems for ordinary differential equations of the second and fourth orders // Differential Equations. 2009. 45. N 8. P. 1189-1202.)
16. Золотарёва Н.Д., Николаев E. С. Адаптивная p-версия метода конечных элементов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравн. 2013. 49. № 7. С. 863-876. (Zolotareva N. D., Nikolaev Е. S. Adaptive р-version of the finite element method for solving boundary value problems for ordinary second-order differential equations // Differential Equations. 2013. 49. N 7. P. 835-848.)
17. Самарский А. А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1989. (Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes. N.Y.: CRC Press, 2001.)
Поступила в редакцию 10.02.14
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2014. № 3
51
ON THE STAGNATION IN p-VERSION OF THE FINITE ELEMENT METHOD
Zolotareva N. D., Nikolaev E. S.
In work the feature of the p-version of the finite element method applied to solution of a differential boundary value problem, formulated as the quadratic functional minimization problem, is investigated. This feature (stagnation) is exhibited in that approximate solutions can not change on a finite number of sequentially enclosed of finite-dimensional subspaces of increasing dimension in which they are searched. The necessary and sufficient conditions of arising of stagnation are found, and on specially constructed example interpretation of effect of stagnation is given. For the adaptive p-version of a finite element method the modified strategy considering these a feature and, thereby, increasing its robustness is suggested.
Keywords: finite element method, the adaptive p-version, stagnation.