О стабилизации по части переменных управляемой механической системы с запаздывающей обратной связью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №2(52)

УДК 517.929

115

О СТАБИЛИЗАЦИИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ УПРАВЛЯЕМОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

© 2007 С.В. Павликов1

В этой работе исследуется асимптотическая устойчивость по части переменных нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, при этом, не требуется ограниченность решений по неконтролируемым координатам. Иа основе полученной теоремы решается задача о стабилизации по части переменных управляемой механической системы с запаздывающей обратной связью.

1. Основные определения. Предельные уравнения

Пусть Rm и Rp есть линейные действительные пространства m-и р-векторов с нормами |y| и |z|, Rn есть линейное действительное пространство n-векторов x = (xi, Х2,..., xn) = (yi, y 2, ..., ym, Zi, Z2Zp) =

= (y, z) с нормой |x| = |y| + |z|, n = m + p; h > 0 - некоторое

действительное число, C(n) - банахово пространство непрерывных

функций ф : [-h, 0] ^ Rn с нормой ||ф|| = sup(|^(s)|,-h ^ s ^ 0),

С™ = (ф(у) е C(m) : Уф(у)У = sup(^(y)(s)|, -h < s < 0) < H < +«}, C(m) =

= |ф(у) е C(m) : Уф(у)У ^ /}, (для ССГрР аналогично). Обозначим: ф = (ф(у), фф). Для непрерывной функции x : ]-œ, +œ[ Rn и каждого t е R функция xt е с(n) определяется равенством xt (s) = x(t + s) для -h ^ s ^ 0.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение с конечным запаздыванием:

x(t) = f (t, xt ), f(t, 0) = 0 (1.1)

где f : R+ X Л ^ Rn, Л = Cm X C(p), есть непрерывное отображение, удовлетворяющее z-продолжимости решений уравнения (1.1), т.е. каждое решение уравнения (1.1) x = x(t, а, ф), xa(a, ф) = ф, определено для всех t ^ а, для которых |y(t, а, ф)| ^ Hi < H. Это условие означает, что ни одна

1 Павликов Сергей Владимирович ([email protected]), кафедра ММИТЭ Камской государственной инженерно-экономической академии, 432810, пр-т Мира, 68/19.

из координат Zj(t, а, ф) за конечное время не уходят в бесконечность [1],

[2].

Для описания предельного поведения решений уравнения (1.1) при t ^ +то вводятся следующие определения.

Определение 1.1. Пусть х = х(/, а, ф) есть решение уравнения (1.1), определенное для всех t ^ а - к, х(п)(а, ф) = х(/„ + 5, а, ф)(-к ^ 5 ^ 0). Положительное предельное множество П+^(а, ф)] в пространстве Сн есть множество П+ = (ф* е Сн : 3tn ^ +то, п ^ю, х(п)(а, ф) ^ ф* при п ^ то).

Определение 1.2. Точка ф*у) е СН называется ^-предельной точкой решения (1.1) х = х(^ а, ф), определенного для всех t ^ а - к, если существует последовательность tk ^ +то, такая что (а, ф) ^ ф*у) при к ^то. Множество таких точек образует положительное у-предельное множество (а, ф)].

Локализация множеств П+^(а, ф)] и П+у^(а, ф)] позволяет установить свойство устойчивости решения х = 0 по переменным у.

Для решения задачи о локализации множеств П+^(а, ф)] и 0+[* (а, ф)] на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, проведем следующие построения.

Предположим, что правая часть (1.1) удовлетворяет также следующим предположениям.

Предположение 1.1. Для каждой пары г, I, 0 < г < Н, I > 0, существует М = М(г, I), такое, что для (^ ф) е Я+ X Сг X С1 выполняется неравенство:

№, ф)| < М (1.2)

Предположение 1.2. Функция 1^, ф) удовлетворяет условию Липшица по ф на каждом компактном множестве К с Л, т. е. существует I = 1(К), такое что для любых ф1, ф2 е К выполняется неравенство:

№, ф2) - f(t, ф1)| < /Уф2 - фЦ (1.3)

При условиях (1.2) и (1.3) решение уравнения (1.1) для каждой начальной точки (а, ф) е Я+ XЛ х = х(^ а, ф) существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных [3].

Предположение 1.3. Функция 1 (^ ф) равномерно непрерывна на каждом множестве Я+ X К, где К с Л - произвольное компактное множество из Л, так что УК с Л, Уе > 0 3т = т(К), 36 = 6(е, К) > 0, т.ч. У (Н, ф1), ^2, ф2) е Я+ X К, ^ - ^| < 6, Уф2 - фЦ ^ 6 имеют место соотношения:

1 (t2, ф2) - ^1, ф1)| < е,

При этом уравнение (1.1) будет предкомпактным в некотором пространстве ^ непрерывных функций 1 : Я+ XГ ^ Яп, где Г- некоторое множество в

Л, содержащее (xt(а, ф), ф е Л, t ^ а + h} каждого решения (1.1) x = x(t, а, ф)

[4].

Функция f : R+ X Г ^ Rn называется предельной к f, если существует последовательность tn ^ +то, такая что (f(t + tn, ф)} равномерно сходится к f* (t, ф) в F. Уравнение

X(t) = f* (t, xt) (1.4)

называется предельным к (1.1).

Введение предельных уравнений позволяет выявить свойство квазиинвариантности положительного предельного множества 0+(xt(а, ф)) решения X = x(t, а, ф) уравнения (1.1) [4].

Теорема 1.1. Пусть x = x(t,а,ф) есть решение уравнения (1.1), определенное для всех t ^ а - h. Тогда для каждой предельной точки ф* е П+ + [xt(а, ф)] существует предельное уравнение x(t) = f*(t, xt), такое, что его решение x = x*(t, 0, ф*) определено на некотором интервале [-h, ß), ß > 0, при этом, (x*(0, ф*), t е [0, ß)} с 0+[xt(а, ф)].

Из этой теоремы следует, что если ф* = (ф*у), ф*г)), то для у — составляющей y*(t, 0, ф*) решения x*(t, 0, ф*) уравнения (1.4) имеет место свойство У0 = ф*у), (У*(0, ф*), t е [0, ß)} с 0+(y)[xt(а, ф)].

2. Теорема об асимптотической устойчивости по части переменных

Пусть V(t, ф) : R+ X Л ^ R - некоторый функционал, определенный и непрерывный по совокупности аргументов [3]. Пусть x = x(t, а, ф) - некоторое решение (1.1), определенное для всех t ^ а - h. Тогда для V[t] = = V[t, xt(а, ф)] можно определить верхнюю правостороннюю производную:

V(a, <р) = lim sup \ [V(a + К) - F(a)].

h^0+ h

Допустим, что для производной V имеет место следующая оценка:

V(t, ф) ^ - W(t, ф) ^ 0, V(t, ф) е R X Л,

где непрерывная функция W = W(t, ф) ограничена и равномерно непрерывна на каждом множестве R+ X K, K - компакт из Л.

Определение 2.1. Пусть tn ^ +то есть некоторая последовательность. Для каждого t е R и c е R определим множество V-1(t, c) с Л следующим образом: точка ф е V^(t, c), если существует последовательность (фп е Г, фп ^ ф} такая, что: limn^+м V(t + tn, фп) = c.

Как и в случае f(t, ф), при условии относительно W(t, ф) семейство сдвигов (WT(t, ф), т е R+} предкомпактно в некотором функциональном пространстве непрерывных функций F = (G : R X Г ^ R} с метризуемой компактно открытой топологией [5].

Определение 2.2. Функция W* е Fg называется предельной к W, если существует последовательность tn — +то, такая что {W(n)(t, ф) = W(tn + t, ф)} сходится к W*(t, ф) в Fg .

Определение 2.3. Функции f*, предельная к f, и W*, предельная к W, образуют предельную пару (f *, W*), если они определяются для одной и той же последовательности.

Пусть ш : R+ — R+ есть строго монотонно возрастающая функция, ш(0) = = 0, то есть, функция типа Хана [1]- [3].

Теорема 2.1. Предположим, что существует непрерывный функционал

V : R+ X Л — R+, такой что:

1) существует число Q > 0, такое, что для каждого числа 6 > 0 limF(f, ф(у), cp(z)) ^ Q при cp(z) -> оо равномерно по t е Я+,ф(у) е {6 ^ ||ф(у)|| ^

Hi <Н] ;

2) V(t, 0) = 0, V(t, ф) ^ ш(|ф(у)(0)|), V(t, ф) < - W(t, ф) ^ 0 для всех (t, ф) е R+ + X О;

3) для каждой предельной пары (f *, W* ) максимально инвариантное подмножество множества {V—1(t, c) : c = c0 = const} f]{W*(t, ф) = 0} содержится во множестве {ф е Ch : ф(у) = 0}.

Тогда решение (1.1) x = 0 асимптотически y-устойчиво.

Доказательство.

Для каждого а е R+ и любого малого е > 0 по непрерывности V(t, ф) и из условия V(t, 0) = 0 выберем число 6 = 6(е, а) > 0, такое что sup (V(а, ф), ||ф|| < 6) < ш(е).

Для каждого решения x = x(t, а, ф), ||ф|| < 6, из условия 2) теоремы имеем при всех t ^ а

w(|y(t, а, ф)|) ^ V[t, xt(а, ф)] ^ V(а, ф) < ш(е) (2.1)

и соответственно, |y(t, а, ф)| < е для всех t ^ а, т. е. ^-устойчивость x = 0 [6].

Покажем, что для каждого такого решения множество 0+y[xt(а, ф)] с {ф е C(n) : ф(у) = 0}.

Пусть точка ф*у) е О+y[xt(а, ф)] определяется некоторой последовательностью tk — +то, ytk(а, ф) — ф*у). Если последовательность точек xtk(а, ф) ограничена, ||xtk(а, ф)|| ^ l = const, тогда можно выбрать подпоследовательность kj — +то, такую, что

Xtkj (а, ф) — ф *, ф * = (ф*у), ф*г)), ||ф*у)П < е, Уф*г)|| ^ l.

По теореме 1.1 для точки ф* существует предельное уравнение (1.4), такое, что для его решения x*(t, 0, ф*) множество {x*(0, ф *), t е [0, в)} с

0+[xt (а, ф)]. Из условия 2) теоремы, как в теореме 2.1 из работы [5], находим, что 0+[xt(а, ф)] с {ф : ф(у) = 0}. Следовательно, {у*(0, ф *), t е [0, в)} с {ф(у) е C(y) : ф(у) = 0}.

Пусть последовательность xtk(а, ф) неограничена, ||xtk(а, ф)|| — то при k — то. В силу ограниченности решения x = x(t, а, ф) по у это значит, что ||ztk(а, ф)|| — то при k —— то. Можем считать, что в соотношениях (2.1) число

®(е) < Q■ Тогда это соотношение совместимо с условием 1) теоремы если только у¡к(а, ф) ^ 0 при к Соответственно, вновь имеем ф^ = 0.

Теорема доказана.

3. Стабилизация положения равновесия механической системы

Рассмотрим управляемую механическую систему с голономными стационарными связями, описываемую п обобщенными координатами и соответственно следующими уравнениями Лагранжа

тШ)-^- = и> (/ = Т^) (зл)

ш \dqil о^1

где Т - кинетическая энергия системы, Ui - обобщенные управляющие силы.

Допустим, что в силу выбора некоторой системы координат кинетическая энергия системы

1 п

Т(с[и...,с[п^и...^п) = - ^ с/, (Ч)</,</

г,1=1

не является определенно-положительной по всем скоростям, а именно это свойство теряется при ql = q2 = ■■■ = qm = 0 (1 < т < п) (см. пример ниже), тем не менее, Т определенно-положительна по ql,■■■,q т при любых Ч е Яп,

п

т т

при № = X q2 > 0 функция Т определенно-положительна по ql,q2,■■■,qn,

]=1 1

и значит Т при |Ч| = £ ц2 ^ +то, если 1ц1 |т ^ 6 > 0^

1=1 1

При Ui = 0 система (3.1) имеет положение равновесия

Ч = Ч = 0- (32)

Предположим, что координаты Ц1 ,q2,■■■,qn разделяются на координаты ц 1,q2,■■■,,qm и qm+l,■■■,qn, при этом, последние являются угловыми (по тоШ2п).

Исследуем задачу об определении управляющих воздействий Ui, обеспечивающих стабилизацию положения равновесия по ql,■■■,qm, в следующих двух постановках.

1. Пусть координаты ql,■■■,qm измеряются в цепи обратной связи управления системы с некоторым запаздыванием, а соответствующие обобщенные скорости Ц1 , ■■■, qm непосредственно, либо на систему действуют также линейные диссипативные силы с полной диссипацией. Таким образом, можно принять, что силы Ui определяются посредством равенства

ик = - — \qiit ~ Т1(0), • • • - хт(0)] - У,ЛУ(Ч)?у(0 (к = !.и), (3.3)

дqk

где П = П(#1,...,чт) есть дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция,

дП

— = 0 (/ = дЦі

при д1 = д2 = ••• = Чт = 0, а при 0 ^ 1ц1 |т ^ 6 > 0

дП

dq1

(3.4)

T2(i),...,xm(i) есть коэффициенты запаздывания в цепи обратной связи, предполагаемые равномерно непрерывными, ограниченными функциями по t е R+, |x/(f)| ^ h, i = 1,..., m, h = const > 0, матрица F коэффициентов fj(q) представима в виде

F1 0

0 F2

где F1 е Rmxm и F2 е Rn-m X Rn-m, таковы, что минимальное собственное значение Xpi (q) матрицы F1 больше в h раз максимального собственного значения Xn(q) матрицы

д2П

F =

%дцу

Х^1(ч) ^ АЛп(я) + 60, 60 > 0, (<Ц2)'F2q2 ^ Ш4(|<Ц2|п-т) при 1ч1 |т ^ 6 > 0^

Функционал Ляпунова

V (у1, ^2> ф1, ф2) = Т [^1(0), у2(0), ф1(0), ф2(0)]+

0 0 т

+П(Ф1(0)) + ^ ^ 2 ^(ч>(0))\у}(и)\у}(и)е/ие/5,

-к я ]1

где у' = [(у1)', (у2)'] = [(Ц1 ,■■■, qm), (^m+1,■■■,^ п)]', ф' = [(ф1)', (ф2)'] =

= [(Ц1 , Ц2, ■■■, qm), (Цт+1, ■ ■ Цп)]' удовлетворяет условию:

V ^ Ш1(|у1(0)|) + Ш2(|ф1(0)|)^

Для его производной в силу (3.1) при управлении (3.2) можно найти V/, у, ф) ^ -Ж(у1) - Ш4(|у2(0)|п-т) =

0

= ^0^1 - ^п)(1¥1(0)1™ + - со4(1у2(0)|„-т) < о.

-к

Уравнения, предельные к уравнениям (3.1) и (3.3), будут им аналогичны, но с функциями т£(?), предельными к т^(?) (к = 1 ,т).

Множество {Ж(у1) + ш4(|у2(0)|п-т) = 0} = {у1 = 0, у2(0) = 0} в силу второго

условия (3.4) не содержит положений равновесия вне множества Ц = ■■■ =

— цт = °Ь

По теореме 2.1 находим, что управляющее воздействие (3.3) обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия по

ц1, q2,■■■, цт, ц1 ,■■■, цт^

m

2. Пусть в цепи обратной связи координаты Ц1, Ц2Цт измеряются непрерывно, так что может быть образовано управляющее воздействие и =

= (и1, и2),

0

и1 = -С^Оц1^) + ^Е1(^, ¿ОяЧ? + и2 = 0, (3.5)

-н

где ц1 = (ц1,...,цт)', матрицы С1,Е ограничены и равномерно непрерывны вместе со своими производными по ? е Я+ и 5 е [-Н, 0].

Уравнения движения могут быть представлены в виде

0

^ (^) ” ^ = ^'ХчЧ' + 5) - яЧО)^, (3-6)

-н

0

М(?) = С]_^) - ^ Е1(^, 5^5.

-н

Допустим, что коэффициенты усиления выбраны так, что для ? е Я+,

5 е [-н, 0]

М(0 < о, ^0, 5) ^ 0, дР^’ ^ ^ 2а0Е, а0 > 0.

д 5 от

Тогда для производной функционала в

ГСУ.Ф1) = ^(ф1(0)УМ(Оф1(0) + ^(¥1(0))^(¥1(0))+

0

+\/ _ фЧо))^

-н

в силу (3.6) можно вывести оценку

0

У(1, V1, ф1) ^ -Ж(ф1) ^ -а0 ^(ф1(5) - Ф1(0))'(ф1(5) - ф1^)^ ^ 0.

-н

Применяя теорему 2.1 можно найти, что под действием управляющего воздействия (3.5) положение равновесия (3.2) системы (3.1) будет асимптотически устойчиво по Ц1 ,...,ут, Ц1 , ...,Цт.

Пример. Задача об одноосной ориентации твердого тела при помощи управляющих моментов.

Рассматривается твердое тело, имеющее неподвижную точку О. Пусть ОХУ2 - инерциальная система координат, Оху2 - система координат, жестко связанная с телом, у - угол прецессии, 0 - угол нутации, ф - угол собственного вращения. Движение такого тела можно описать в углах Эйлера уравнениями Лагранжа

±(дТ\_дТ^_

Л\ду) <9\|/ ¥’ Л\<90/ <90 е’ Луду) <9ф ф’

Т = ^ sin 0 sin ф + 0 cos ф)2+

+В(у sin 0 cos ф - 0 sin ф)2 + С(ф + у cos 0)2).

Определим управление и = (щ, uу, Мф)' таким образом, чтобы ось Oz была ориентирована по оси OZ. Заметим при этом, что в этом положении 0 = 0 = 0, а из-за неопределенности в знаках ф и у при 0 = 0 кинетическая энергия T определенно- положительна при 0 = 0 лишь по 0 и (ф + у). На основании предыдущих результатов получаем, что управляющие воздействия

му = Мф = 0, М0 = -k0(t) - a sin 0(t - r(t)), 0 ^ r(t) ^ h, 2ah < k,

или

0

му = Мф = 0, М0 = -k0(t) + J' f(s)0(t + s)ds,

-h

0

k - J f(s)ds > 0, f(s) > 0, f(s) > 0

-h

решают задачу о стабилизации оси Oz тела вдоль OZ по переменным 0 и 0, т.е. по углу отклонения Oz от OZ и ее скорости. При этом, любое возмущение будет стремиться к стационарному вращению вокруг OZ. Полученные результаты развивают результаты работы [2].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант N 05-01-000765).

Литература

[1] Румянцев, В.В. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных / В.В. Румянцев, А.С. Озиранер. - М: Наука, 1987. - 253 с.

[2] Андреев, А.С. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-дифференциального уравнения / А.С. Андреев,

А.С. Павликов // ПММ. - 1999. - Т. 63. Вып. 1. - С. 5.

[3] Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл . - М.: Мир, 1984. - 421 с.

[4] Андреев, А.С. Предельные уравнения в задаче об устойчивости ФДУ / А.С. Андреев, Д.Х. Хусанов // Диф. урав. - 1998. - Т. 34. - №4. -С. 435-440.

[5] Андреев, А.С. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости и неустойчивости / А.С. Андреев, Д.Х. Хусанов // Диф.урав. -

1998. - Т. 34. - № 7. - С. 876-885.

[6] Калистратова, Т.А. Об устойчивости по части переменных систем с запаздыванием / Т.А. Калистратова // Авт. и телемех. - 1986. - № 5. -С. 32-37.

Поступила в редакцию 25//V/2006; в окончательном варианте — 25/V/2006.

STABILITY TO PART OF THE VARIABLES MECANICAL CONTROL SYSTEM WITH DELAYED FEEDBACK

© 2006 S.V. Pavlikov2

In the paper the asymptotic stability of the trivial solution of a functional-differential equation of delay type relative to part of the variables is studied. The Lyapunov functional whose derivative is sign-definite is used. There is no need the assumption of the solutions to be bounded as functions of the non-controllable coordinates. The obtained theorem is used to solve the problem of stabilizing mechanical control system with delayed feedback.

Paper received 25//V/2006. Paper accepted 25/V/2006.

2Pavlikov Sergey Vladimirovich ([email protected]), Dept. of MMITE, Kama State Academy of Engineering and Economy, Naberezhnye Chelny, 423810, Russia.