О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ДВУХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

О.В. Алексеева

Елецкий государственный университет им.И.А.Бунина,

ул. Коммунаров, 28, Елец, 399770, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Для замкнутых дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для эллиптических систем первого и второго типа, изучены спектры. В случае эллиптической системы первого типа спектр располагается в левой полуплоскости (Re z ^ 0), а в случае эллиптической системы второго типа - на вещественной прямой (Im z = 0) комплексной плоскости C. Спектр является дискретным.

Ключевые слова: Спектр, замкнутый дифференциальный оператор, эллиптические системы, тензорные произведения гильбертовых пространств, базис

Работа посвящена описанию спектра дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для двух эллиптических систем

д^и1

~W

д2

u

+

д2 и2 дх2

д2^

д^ дх2

Л-u1 + f1,

д2^ д2^

+

д^

д2^

дх2

+

д2

u

д^ дх2

Л^ + f2, Л Є C;

Л^ + f2, Л Є C;

(І)

(2)

рассматриваемых в области П = (0,п)2 евклидова пространства К^. Системы (1) и (2) для удобства будем называть эллиптическими системами первого и второго типа соответственно. Присоединив к уравнениям (1) и (2) условие Дирихле

и

O

дП

(З)

получим граничные задачи (1), (3) и (2), (3).

Отметим, что система (2) равносильна системе (1) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (1) на —1 и формальной замены —/1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (2). Эти рассуждения наводят на мысль о совпадении свойств разрешимости граничных задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако, исследования показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой иррегулярности сильной в работе [1], а также при изучении гиперболических систем в [7].

Для систем Коши-Римана имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий [2] в областях специального вида. Описанию регулярных граничных задач для более общих систем уравнений при числе переменных более двух посвящены работы [3], [4]. Сильно и усиленно эллиптическим системам посвящены работы [5], [6] соответственно. Однако спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного типа почти не изучены.

Обозначим через е1 = (1, 0)т, е2 = (0,1)т ортонормированный базис евклидова пространства £2 вектор-столбцов, а через и - унитарное пространство элементов и = и1е1 + и2е2; ик Є С; к = 1,2; со скалярным произведением (и, и; II) = и1 Vі + и2п2. Пусть Нх = ^(П) - гильбертово пространство комплекснозначных вектор-функций и : П ^ С2 с нормой |и; Н х|, задаваемой формулой

|и;Н2,х|2 = // |и(т,Є); и|2

Пусть также ® - линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-функций и Є С (П) П С(2) (П), удовлетворяющих условиям (3).

1. Эллиптическая система первого типа. Обозначая через Ь оператор, областью определения которого является ®, а множество значений определяется правой частью (1), получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в Нх стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение Ь оператора Ь. В этом случае говорят, что (замкнутый) оператор Ь : х ^ х порождён

задачей (1), (3). Изучим его спектр. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографии [8, с. 620]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора Ь обозначим через рЬ, аЬ, РаЬ, СаЬ и РаЬ соответственно.

Теорема 1. Спектр аЬ оператора Ь, порождённого задачей (1),(3), состоит из замыкания РаЬ на комплексной плоскости его точечного спектра РаЬ. Множество СаЬ = аЬ \ РаЬ образует непрерывный спектр оператора Ь. Точечный спектр оператора Ь даётся формулой

Ат, к, в = —к2 + і(- 1)т52; т = 1, 2; к Є Н; 5 Є N. (4)

Собственная вектор-функция оператора Ь, принадлежащая его собственному значению (4), представима в виде

у/2

ить(^,і) =-----(іеі + (— 1)т+1е2) віпГЛ:^) 8Іп(в;х)

п

Последовательность {ит ,к ,5(і,ж) : т =1, 2; к Є Н; 5 Є Н} собственных вектор-функции оператора Ь образует ортонормированный базис в пространстве х.

□ Достаточно заметить, что последовательность {ит ,к ,8(і) : т =1, 2; к Є Н}, ит , к ,8(і) =

(геі + (—1)т+1е2) 8Іп(Л;:і), является полной и ортонормированной в ЇК2 = ® !К*, =

&2[0,п], и воспользоваться, доказанным в [7], представлением х в виде тензорного произведения гильбертовых пространств Н и Нх, то есть формулой Н2 х = Н ® Нх, где

Нх = ^2[0,п]. ■

2. Эллиптическая система второго типа. Обозначая через Ь оператор, областью определения которого является ®, а множество значений определяется правой частью (2), получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в Н^х стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение Ь оператора Ь. В этом случае говорят, что (замкнутый) оператор Ь : х ^ Н х порождён

задачей (2), (3). Изучим его спектральные свойства.

Теорема 2. Спектр аЬ оператора Ь, порождённого задачей (2), (3), состоит из замыкания РаЬ на комплексной плоскости его точечного спектра РаЬ. Множество СаЬ = аЬ \ РаЬ образует непрерывный спектр оператора Ь. Точечный спектр оператора Ь даётся формулой

А

(—1 )т+Чк4 + з4- т =1,2; к Є М; в Є N.

(5)

Собственная вектор-функция оператора Ь, принадлежащая его собственному значению (5), представима в виде

«т ,к, з(£,х) = Ст ,к, 8 ((Ат,к, « + (-1)т+1к2)вт - в^з-т) йт(И) 8ш(вх),

С

т,к,'

7г \/ к4 + з4 + к2 \/ к4 +

Последовательность

{ит,к)8(і, х) : т =1, 2; к Є Н; 5 Є Н}

(6)

собственных вектор-функции оператора Ь образует ортонормированный базис в пространстве Н

С,х'

Пусть Б - некоторое счётное множество индексов в и последовательность {р5(х) : 5 € £} является базисом в Нх. Нижеследующие леммы 1,2 показывают, что последовательность (6) является базисом в Н2х.

Лемма 1. Если для каждого в € Б множество |^к;5(^) : к € К5} вектор-функций : [0; ^ С2 полно в Н2, то множество {^к;5(^)р5(х) : в € Б, к € К5} полно в Н2 х.

□ Пусть f - произвольный элемент пространства Н2х. Известно [7], что Н2 х = Н®Н2. Поэтому для любого е > 0 найдется такой конечный набор {р5т : т =1, 2,..., N} , что

С

N

/ -£ /.„ р'” ; Н,х

т=1

Є < 2

где /'” Є Н^. Пусть М = max |р'”; Нх| . Множество {^к , 8(і) : к Є К'} полно в

1<m<N

N1-

Подберем для каждого т = 1, 2,..., N линейную комбинацию Е /кп>'” ^кп>'” , /кп>'” Є С

его элементов так, чтобы

П=1

Ст =

N1-

— N /к « ^к ' ; Н2

«/ '” / ^ «/ кП 5 '” кП 5 '” * С

п=1

<

Є

2MN

Теперь, на основании свойств нормы и ранее полученных оценок, получаем неравенство

N

^С + М^Ст<- + М.2]1Х А = £,

т=1

которое дает утверждаемую полноту. В

Лемма 2. Если для каждого индекса в € Б последовательность {^к,5(^) : к € К.} вектор-функций ^к-. : [0; п] ^ С2 образует базис в то базис в Н^х образует последовательность {^к . .(£)<р.(х) : к € К., в € Б} .

□ Так как Н х = Н2 ® Нх, то для любого элемента / € Н х справедливо в Н2 х представление / ^ ' /.^8, в котором элементы /. € Н2 определены однозначно. По-

следовательность {г>к , . : к € К.} является базисом в Н2; поэтому для каждого элемента /. € Н справедливо в Н представление /. ^ ' /к . .г>к ,., где коэффициенты /к . . € С

к€К3

также определены однозначно. В силу леммы 1 получаем единственное представление

/ = Е Ё /к-Л... В

«ей кеК

Доказательство Теоремы 1. Утверждение теоремы следует из того, что базис (6) в пространстве Н2 х ортонормированный. В

/ — ^ X! /кп

т=1п=1

^кП 5 '” ;

н2

, х

Литература

1. Дезин А.А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. - 1981. -17,10. - С. 1851-1858.

2. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи матем. наук. - 1959. - Х1У(87). - С.21-73.

3. Романко В.А. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Докл. АН СССР. - 1986. - 286(1). - С.47-50.

4. Романко В.А. О системах операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1987. - 23,9. - С.1574-1585.

5. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сб. - 1951. - 29(71). - С.615-676.

6. Солдатов А.П. О первой и второй краевой задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения. - 2003. - 39,5. - С.674-686.(2003).

7. Корниенко Д.В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения. - 2006. - 42,1. - С.91-100.

8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы т.1 / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: Иностр. лит., 1962. - Т.1.

ABOUT THE SPECTRUM OF THE DIRICHLET PROBLEM OF TWO ELLIPTIC SYSTEMS O.V. Alexeeva

Bunin Yelets state university,

Kommunarov St., 28, Yelets, 399770, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. It is studied spectra of closed differential operators generated by the Dirichlet problem of elliptic systems of the first- and second type. In the case of the first type elliptic system, the spectrum is located in the left half-plane (Re z ^ 0), and in the case of the second type elliptic system, it is located on the real line (Im z = 0) of the complex plane C. The spectrum is discrete.

Key words: spectrum, closed differential operator, elliptic systems, tensor product of Hilbert spaces, basis.