CC BY
43
УДК 514.764.2
О спектре операторов одномерной кривизны левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли*
П.Н. Клепиков, С.В. Клепикова, О.П. Хромова
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
On the Spectrum of One-Dimensional Curvature operators on Three-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Lorentzian Metrics
P.N. Klepikov, S.V. Klepikova, O.P. Khromova
Altai State University (Barnaul, Russia)
Одной из важных проблем римановой геометрии является задача об установлении связей между топологией и кривизной риманова многообразия. В однородном случае хорошо известны результаты Дж. Милнора, В.Н. Берестовского, Е.Д. Родионова, В.В. Славского о связи между кривизной Риччи, одномерной кривизной и топологией однородного риманова пространства.
Кривизны левоинвариантных римановых метрик на группах Ли исследовались Дж. Милнором, а именно в случае 3-мерных групп Ли с левоин-вариантной римановой метрикой им были найдены возможные сигнатуры оператора Риччи. Позднее О. Ковальский, С. Никшевич решили задачу о предписанных значениях оператора Риччи на 3-мерных метрических группах Ли, а также 3-мерных римановых локально-однородных пространствах. Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, О.П. Хромовой получены аналогичные результаты для оператора одномерной кривизны, а также для оператора секционной кривизны.
В случае левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли ситуация представляется менее очевидной. В данной работе решена задача о предписанных значениях оператора одномерной кривизны. Также определены возможные сигнатуры формы одномерной кривизны на 3-мерных группах Ли с левоинвариантной ло-ренцевой метрикой.
Ключевые слова: алгебры Ли, группы Ли, ле-воинвариантные лоренцевы метрики, операторы кривизны, спектр.
БМ 10.14258/izvasu(2016)1-21
The problem of the establishing of connections between topology and curvature of a Riemannian manifold is one of the important problems of Riemannian geometry. J. Milnor, V.N. Berestovskii, E.D. Rodionov, V.V. Slavskii studies on the connection among the Ricci curvature, one-dimensional curvature and topology of the homogeneous Riemannian space are well known in the homogeneous case .
The curvatures of left-invariant Riemannian metrics on Lie groups were studied by J. Milnor. Namely, possible signatures of the Ricci operator were found in the case of three-dimensional Lie groups with a left-invariant Riemannian metric. Futher, O. Kowalski and S. Nikcevic found three-dimensional metric Lie groups and three-dimensional Riemannian locally homogeneous spaces with prescribed values of the Ricci operator. Similar results were obtained by D.N. Oskorbin, E.D. Rodionov, O.P. Khromova for the one-dimensional curvature operator and the sectional curvature operator.
The situation is less clear in the case of left-invariant Lorentzian metrics on Lie groups. In this paper, we consider the problem of the prescribed values for the operator of one-dimensional curvature. Besides, we define the possible signatures of the form of one-dimensional curvature on three-dimensional Lie groups with a left-invariant Lorenzian metric.
Key words: Lie algebras, Lie groups, left-invariant
Lorentzian metrics, curvature operators, spectrum.
* Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (грант НШ—2263.2014.1), Правительства РФ (госконтракт № 14.В25.31.0029), Минобрнауки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).
1. Введение, постановка задачи. Важную информацию о строении риманова многообразия дает изучение спектров операторов кривизны и, в частности, их сигнатур. В этом направлении известны работы таких математиков, как
Дж. Милнора, Дж. Кальварузо, О. Ковальского, С. Никшевича, Ю.Г. Никонорова, Е.Д. Родионова, В.В. Славского и др. Так, в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой возможные сигнатуры спектра оператора Риччи определены Дж. Милнором [1]. Возможные сигнатуры оператора Риччи четырехмерных групп Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой указаны Ю.Г. Никоноровым и А.Г. Кремлевым [2,3].
Более сложная ситуация складывается в ло-ренцевом случае, где операторы кривизны Риччи и одномерной кривизны могут иметь как действительные, так и комплексные значения (см. подробнее [4]). Поэтому задача об исследовании сигнатур корректна лишь для соответствующих квадратичных форм.
Другим актуальным направлением в исследовании операторов кривизны являются задачи о восстановлении (псевдо)риманова многообразия по предписанному спектру оператора кривизны. О. Ковальский и С. Никшевич определили рима-новы локально-однородные пространства с предписанными значениями спектра оператора Рич-чи [5]. В случае левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли известна работа Дж. Кальварузо, О. Ковальского [4], в которой исследуется задача о существовании группы Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и заданными значениями спектра оператора Риччи.
Что касается истории исследований кривизны левоинвариантных (псевдо)римановых метрик на группах Ли, то более подробная информация содержится в [6-12].
Основная цель данной работы — изучить вопрос о предписанных значениях оператора одномерной кривизны на трехмерных метрических группах Ли, исследовать сигнатуры формы одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с ле-воинвариантной лоренцевой метрикой.
2. Основные определения и обозначения. Пусть (О, д) — п-мерная группа Ли с левоинвариантной (псевдо)римановой метрикой д, {0, [•.•]} — соответствующая алгебра Ли. Пусть V — связность Леви-Чивита.
При исследовании (псевдо)римановых многообразий важную роль играет тензор одномерной кривизны, определяемый формулой
А
1
п- 2
вд
2(п - 1)
А(Х,У ) = д(А(Х ),У),
где д — метрический тензор (псевдо)риманова многообразия.
Также определим квадратичную форму оператора одномерной кривизны с помощью равенства
А(Х) = А(Х, X).
Ввиду того, что проблема определения спектра оператора А и сигнатур формы А левоинвариант-ных лоренцевых метрик на заданной группе Ли является локальной, то естественно переформулировать ее в терминах метрических алгебр Ли. Именно, определить возможный спектр оператора А и возможные сигнатуры формы А для всевозможных скалярных произведений на заданной алгебре Ли.
Далее приведем математическую модель, позволяющую вычислять компоненты матриц А и А как функции структурных констант ск и метрического тензора д^- (подробнее см. [6,9,14]):
С-гуё г1'1- I'/-/./, ^ '■■ '"'у/' '"-/А / I г1, /'/) ,
^ = 1,,к дк,
■йгДО = с|, ГяМ — Г?к Ггя,4 + Г|кГ
¿¿'1 як,4 1 ¿к1 ¿я,4 Гк = ^¿¿М д^ , в = Г ¿к дгк,
- ¿к1 ,
A¿
п2
sg¿j
Аг
, Aj — Агкд
2(п - 1)
kj
(1)
Он представляет собой целую часть от деления тензора кривизны на метрический тензор относительно произведения Кулкарни-Номидзу (см. [13]). С помощью тензора одномерной кривизны определим оператор одномерной кривизны А по правилу
Пусть теперь О — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой. Определим структурные константы и удобный для вычисления базис в случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой (см. [4,
9, 14, 15]).
Теорема 1. Пусть О — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой д и алгеброй Ли 0, тогда в 0 существует базис, в котором матрицы С и д имеют один из видов, приведенных в таблице 1.
Доказательство теоремы 1 приведено в [9,14].
Замечание. Существуют ровно шесть неизоморфных трехмерных алгебр Ли и соответствующих им типов унимодулярных трехмерных групп Ли (см. [1]). Все они приведены в таблице 2 вместе с условиями на структурные константы, при которых алгебра Ли имеет данный тип. Если в таблице 2 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли, и столбца, соответствующему типу, стоит знак «-» значит, что для данной алгебры Ли невозможен соответствующий тип базиса.
3. Предписанные значения оператора одномерной кривизны А. Данный раздел посвящен доказательству нескольких теорем о пред-
1
Г
Г
Таблица 1
Структурные константы и метрический тензор в удобных для вычислений базисах
трехмерных алгебр Ли
Случай С 9 Ограничения
Алгебра Ли унимодулярна
А1 с12 = Л3, С31 = с32 = 922 = 933 = ~911 = 1
А2 с13 = С21 = 1, с12 = 1 - Л2, С§1 = 1 + Л2, 4з = Л1 311 = 922 = -933 = 1
АЗ с12 = С31 = с23 = с23 = 1) С21 = С31 = с23 = ^ 311 = 922 = -933 = 1
А4 с12 = Л3, «И = с23 = А С31 = с32 = « 922 = 933 = -911 = 1 /3^0
Алгебра Ли неунимодулярна
А с}3 = Лету», с§1 = С23 = А соэ С23 = ¡л эт 311 — 922 — —дзз — 1 ср ф ттк, к (Е х + и ф о, А > 0, м > 0
В С31 ^ с31 — в, с23 — р, с23 — </ 922 = -913 = -931 = 1 чф*
С1 С31 = с13 = с23 = -Р' с23 = Я 311 = 933 = -922 = 1 ч + «
С2 12 2 1 с13 — с23 — С31 — г) с23 — Р 311 = 933 = —922 = 1
Таблица 2
Трехмерные унимодулярные алгебры Ли
Алг. Ли Ограничения на структурные константы
А1 А2 АЗ А4
зи( 2) Ах < 0, А2,А3 > 0 - - -
в/(2,К) Ах, Аг > 0, Аз < 0 или Ах, Аз < 0, Аз > 0 или Ах, Аз, Аз > 0 Аь А2 / 0 А / 0 Аз ф0
е(2) Ах < 0, А2 > 0, Аз = 0 или Ах < 0, А2 = 0, А3 > 0 или Ах = 0, Аг, Аз > 0 - - -
е(1,1) Ах, Аз >0, Аз = 0 или Ах, Аз > 0, Аз = 0 или Ах = 0, А2 > 0, Аз < 0 Ах = 0, Аз ф 0 или Ах ф 0, Аз = 0 А = 0 Аз = 0
Н Ах < 0, Аг, Аз = 0 или Ах = Аз = 0, Аз > 0 или Ах, Аз =0, Аз > 0 Ах, Аз = 0 - -
К3 Ах, Аг, Аз = 0 - - -
писанных значениях оператора одномерной кривизны А.
Теорема 2. Трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, допускающая базис типа А4, и оператором одномерной кривизны А существует в том и только в том случае, если либо матрица оператора А диагонализируема и собственные значения удовлетворяют условию аз = —3а1 = —3а2 < 0, либо А имеет комплексно сопряженные собственные значения а^ = 7Щ = х ¡у и действительное собственное значение аз, причем аз + х < 0.
Доказательство. Из (1) следует, что матрица оператора одномерной кривизны в базисе типа А4 имеет следующие собственные значения:
1 13
а,1=Щ= --Аза + -/З2 + -А\ + г/3(2а - А3),
2 2 8
3 п2 ^ л 2 1 л
а3 = --/? - -А3 + -А3а,
Введем обозначения:
1 13
х= --Х3а + -/32 + -Х2, у = /3(2« - Аз),
2
2
8
тогда ах = а2 = х + гу. Пусть Аз = 2а, тогда
а3 = —^/З2 - ^а2 < 0, х = ^а2 + ^/З2 >0, у = 0,
а значит ах = а2 — действительные числа, аз + 3ах = 0 и система имеет следующее решение:
1 2
а = ±-у/-9/32-6а3, А3 = ±-^-Э/З2 - 6а3,
22 У/32 > --а3 > 0.
Пусть Аз ф 2а, а значит /3 = 2а-\3 Ф 0 и
аз + х = —
У2
1
тогда
{2а - Аз)2 " 4^ <
|У|
-А3 ± _,
2 V —^з — 4аз — 4х
где г — мнимая единица.
Аз = ±2
|«з + Зж| у7—(аз + х) л/у2 + (а3 + Зж)2
а
Нетрудно проверить, что условие Л^ + 4аз+ +4x < 0 выполняется при данном Л3.
Теорема 3. Трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, допускающая базис типа B, и оператором одномерной кривизны A существует в том и только в том случае, если A имеет два действительных собственных значения ai кратности 1 и a2 кратности 2, причем каждому соответствует одномерное собственное подпространство и выполняется <з,2 = — §ai ^ 0.
Доказательство. Из (1) следует, что матрица оператора A в случае B имеет следующую жорда-нову форму:
А--
•_5s2 8Л 0
0
0
8Л 0
0 1
¿s2 8Л
а значит, ее собственные значения равны
ai
5 2 — s < 0, 8 '
a2
3 2
— s > 0.
8 ^
Остальные случаи рассматриваются подобным образом.
4. Сигнатуры формы одномерной кривизны А. Изучение свойств тензора одномерной кривизны представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного (псевдо)риманова многообразия. Поэтому естественно пытаться отыскать общие свойства тензора одномерной кривизны. Один из вариантов — исследовать сигнатуры соответствующей формы одномерной кривизны однородного (псев-до)риманова многообразия.
Под сигнатурой квадратичной формы В, действующей на п-мерном евклидовом пространстве, будем понимать упорядоченный набор ^п(т1), sgn(т2),..., sgn(тn)), где п < Т2 < ... < ^ тп — собственные значения матрицы формы В, и sgn(ж) означает знак (вещественного) числа х.
Для упрощения изложения занумеруем все возможные сигнатуры для трехмерного случая так, как это указано в таблице 3.
Таблица 3
Возможные сигнатуры формы одномерной кривизны на трехмерных группах Ли
№ Сигнатура № Сигнатура
1 (-,",") 6 (",+,+)
2 (-,-,о) 7 (0,0,0)
3 (",",+) 8 (0,0,+)
4 (-,0,0) 9 (0,+,+)
5 (-,0,+) 10 (+,+,+)
Теорема 4. Пусть G — трехмерная группа Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой, g —
метрическая алгебра Ли группы О, в — произвольная сигнатура из таблицы 3. Тогда в реализуется в качестве сигнатуры формы А для некоторого лоренцева скалярного произведения на 0 в том и только в том случае, если в таблице 4 на пересечении строки, соответствующей алгебре Ли 0, и столбца, соответствующего сигнатуре в, находится знак «+».
Таблица 4 Возможные сигнатуры формы А левоинвариантных лоренцевых метрик на трехмерных группах Ли
№ сигнатуры
Алгебра Ли 123456789 10
Алгебра Ли унимодулярна
A1
A2
A3
A4
t(2)
s/(2, R)
з(2)
s1(2, R)
e(1,1)
sl(2, R)
s1(2, R)
+
+
+
+
+
+
+
+
e(l, 1) -- + - + +--
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Алгебра Ли неунимодулярна
A
+
B
C1
C2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Приведем доказательство теоремы 4 для случаев А2 и С1, остальные случаи рассматриваются аналогично.
Главные значения формы А в базисе типа А2 из таблицы 1 теоремы 1 имеют вид
5 2 1 a 1 — — -Ai + -А1А2,
a2,3
Л1-2Л2± 1
8
± ^Л?(ЗЛ1 - 4А2)2 + 64(Ai - 2А2)2.
Таким образом, определение сигнатуры формы А трехмерной унимодулярной алгебры Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой сводится к нахождению всевозможных знаков главных значений 01, 02, аз в зависимости от знаков структурных констант А1, А2.
Пусть А1 = А2 = 0, то есть алгебра Ли есть алгебра Л., тогда форма А тривиальна. Значит,
h
h
Таблица 5
Наборы структурных констант алгебры Ли в/(2, М) в случае А2 и соответствующие
им сигнатуры формы А
№ сигнатура А1 А2
2 1 3 4
3 (",",+) 1 1
5 (-,0,+) 1 5 4
6 (-,+,+) 1 2
Таблица 6
Наборы структурных констант алгебры Ли С2 и соответствующие им сигнатуры формы А
№ сигнатура г р Ч
1 (- - -) 0 0 1
2 0 1 1 2
3 (",",+) 0 1 \/3 2
4 (-,0,0) 1 3 1 \/3 3
5 (-,0,+) -3 1 -у/Ъ
6 (-,+,+) -2 1 2
8 (0,0,+) 1 2 1 \/3 4
9 (0,+,+) 1 1 10 11^ л 20 1
10 (+,+,+) -1 2 1
единственно возможной сигнатурой является сигнатура 7.
Пусть алгебра Ли есть алгебра е(1,1), то есть либо А1 = 0, А2 = 0, и главные значения формы А имеют вид
а1
0, а2,з = -2А2 ± 2|Аз|;
либо А1 = 0, А2 = 0, и главные значения формы А имеют вид
°\2
а1 = -оА1'
02,3 = А1
А1
|А1|^9А2+64.
Отсюда явным образом следует, что в случае алгебры Ли е(1, 1) реализуются только сигнатуры 3, 4, 8.
Пусть А1 = 0, А2 = 0, то есть алгебра Ли есть алгебра в/(2, М). В таблице 5 приведены значения параметров А1 , А2 , при которых реализуются возможные сигнатуры формы А. Докажем, что остальные сигнатуры не реализуются.
Пусть Ах = |А2, тогда главные значения формы А имеют вид
01
9 2'
02,3
22 --Л2 ±-|Л2|,
а значит, в этом случае реализуются только сигнатуры 2, 5.
Пусть далее Ах ^ |А2. Тогда
а2а3 = -—А2(ЗАХ -4А2)2 <0, 64
а значит, сигнатуры 1, 4, 7-10 не реализуются.
Главные значения формы А в базисе типа С2 из таблицы 1 теоремы 1 имеют вид
3 , ,2 1 2 «1 = %{Р + Г) ~ ^ >
1
«2,3 = -г
- V ± -у/н,
2 8 '
где Н = р4+4р3г+ 72р2^2 + 6р2г2 + 144рд2г+4рг3+ + 1694 + 72^2г2 + г4.
В таблице 6 приведены значения параметров г, р, д, при которых реализуются возможные сигнатуры формы А. Докажем, что оставшаяся сигнатура 7 не реализуется.
Пусть реализуется сигнатура 7. Тогда 01 = = а2 = аз = 0, а значит 0 = а2 + аз = г2 — р2, что, с учетом р + г = 0 дает р = г. Тогда
0 = а2 = ^уУ + 18р2</2+(/4,
что невозможно, так как д = 0. Следовательно, сигнатура 7 не реализуется.
Заключение. В результате проведенных исследований были даны ответы на часть нерешенных проблем теории операторов кривизны на метрических группах Ли малой размерности:
2
1. Найдены необходимые и достаточные условия существования трехмерной метрической группы Ли с предписанными значениями спектра оператора одномерной кривизны.
2. Доказана классификационная теорема о сигнатурах спектра формы одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвари-антной лоренцевой метрикой.
Библиографический список
1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. — 1976. — V. 21.
2. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных рима-новых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай // Матем. труды. —
2008. — Т. 11 (2).
3. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных рима-новых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Матем. труды. —
2009. — Т. 12(1).
4. Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-mani-folds // Cent. Eur. J. Math. — 2009. — V. 7(1).
5. Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-mani-folds // Geom. Dedicata. — 1996. — №1.
6. Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. —
2010. — №1/2.
7. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрико-ва Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на 3-мерных группах Ли с нулевым квадратом длины тензора Схоутена-Вейля // Вестник АлтГПУ. — 2004. — №4-3.
8. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. Геометрия однородных римановых многообразий // Современная математика и ее приложения. — 2006. — Т. 37.
9. Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора кривизны Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренце-вой метрикой // Известия Алтйского гос. ун-та. — 2015. — №1/2.
10. Пастухова С.В., Хромова О.П. О предписанных значениях спектров операторов тензоров Риччи и одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске — 2015 : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.
11. Calvaruso G. Pseudo-Riemannian 3-mani-folds with prescribed distinct constant Ricci eigenvalues // Diff. Geom. Appl. — 2008. — V. 26.
12. Kowalski O. Nonhomogeneous Rieman-nian 3-manifolds with distinct constant Ricci eigenvalues // Nagoya Math. J. — 1993. — V. 132.
13. Бессе А. Многообразия Эйнштейна : в 2 т. / пер. с англ. — М., 1990.
14. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибри-кова Л.Н. Локально конформно однородные псевдоримановы пространства // Матем. труды. — 2006. — Т. 9(1).
15. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. — 2007. — V. 57.
