CC BY
17
УДК 517.958+517.984.5 © Л. И. Данилов
О СПЕКТРЕ ДВУМЕРНОГО ОБОБЩЕННОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА1
Доказана абсолютная непрерывность спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шредингера с непрерывной метрикой д и скалярным потенциалом V, если коэффициенты Фурье функций д±1/2 удовлетворяют условию ^ N|1/2|(д±1/2)м| < и скалярный потенциал V имеет нулевую грань относительно оператора
— Д в смысле квадратичных форм.
Ключевые слова: обобщенный оператор Шредингера, абсолютная непрерывность спектра, периодический потенциал.
Введение
Рассмотрим двумерный обобщенный периодический оператор Шредингера
2
у " дх
^ _________ д д
н9 + у= я^т)+ т/> (°Л)
действующий в Ь2(М2), где положительная функция д : М2 ^ М и скалярный потенциал V : М2 ^ М — периодические функции с общей решеткой периодов Л С М2 и д, д-1 € Ь^(М2).
Пусть {Е^} — базис решетки Л, К — элементарная ячейка решетки Л, К * — элементарная ячейка обратной решетки Л* с базисными векторами Е* , удовлетворяющими условиям (Е*,Ег) = 5^1 (где 5^ — символ Кронекера). Скалярные произведения и нормы в пространствах Ь2(М2) и Ь2(К) вводятся обычным образом, при этом предполагается линейность по второму аргументу (в обозначениях пространство Ь2(К) не всегда будет явно указываться). Пусть Н5(М2) — класс Соболева порядка в ^ 0, НР(К) — множество функций <р : К ^ С, периодические продолжения которых (с решеткой периодов Л) принадлежат Н0С(М2). Функции, определенные на элементарной ячейке К, в дальнейшем будут также отождествляться с их периодическими продолжениями на все пространство М2. Через
рм = V-1 (К)/ р(х) е-2П (м’х) йх, N € Л*,
зк
обозначаются коэффициенты Фурье функций <р € Ь1(К), где у{.) — мера Лебега на М2.
Пусть Ьд(М2) — множество периодических с решеткой периодов Л С М2 функций Т € Ь2оС(М2; С) таких, что для любой функции р € Н 1(М2) функция Тр принадлежит пространству Ь2(М2) и для любого е > 0 существует константа Се, т ^ 0 такая, что для всех функций р € Н 1(М2)
НТИ1ь2(к2) ^ е Н^|Ь2(К2.с2) + Се,т \\vWl2(к2) . (0.2)
1
Через (М2) обозначим множество непрерывных периодических с решеткой периодов Л С М2 функций f : М2 ^ С, для которых
11^11(1)= £ (2тг|Ж|)2 \/м\ < +оо.
^2> мел*
Следующая теорема является основным результатом данной работы.
:Работа поддержана грантом РФФИ № 12-01-00195.
Теорема 0.1. Спектр обобщенного периодического оператора Шредингера (0.1) абсолютно непрерывен, если л/| V) Є 1Ьл(К2) и для положительной функции д : М2 —*■ М функции
і
^!~д и принадлежат пространству £д(М2).
Двумерный обобщенный периодический оператор Шредингера
— 2 д д Нд,А + У = ^ Аі)+У
з,і = 1 3
рассматривался в [1—8]. При этом скалярный и векторный потенциалы V : М2 ^ М и А : М2 ^ М2, а также матричная функция (метрика) О = {О31 }з^і = 1,2 предполагаются периодическими с общей решеткой периодов Л С М2. Матричная функция О является вещественной, симметрической и положительно определенной и, кроме того, СіI ^ О(х) ^ С21 при почти всех (п.в.) х Є М2, 0 < Сі ^ С2 (1 — единичная 2 х 2-матрица).
В [8] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.3), если
д
(1^С Є Я/ос(М2), — йеіС Є ЬЛ(М2), j = 1,2, (0.4)
дхз
Аз Є Ьл(М2), і = 1, 2 , (0.5)
и скалярный потенциал V определяется как обобщенная функция ^ , где ц — периодический борелевский заряд, удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям (см. [7]). В
частности, можно предполагать, что V : М2 ^ М — измеримая функция и -\/| V) Є Ьд(М2). В доказательстве используется периодическая изотермическая замена координат, приводящая матричную функцию (О к скалярному виду д1. Другое доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора (0.3), не использующее периодической замены координат и опирающееся на результаты о двумерном периодическом операторе Дирака, приведено в [9-11]. В [11] на матричную функцию (О и векторный потенциал А накладывались те же ограничения (0.4) и (0.5), а скалярный потенциал V задавался в виде эрмитовой формы V(ф, ф) в Ь2(М2) с областью определения Q(V) = Н 1(М2) э ф, ф, для которой
1) V(ф(. — N), ф(. — N)) = V(ф, ф) для всех ф, ф Є Н 1(М2) и всех N Є Л;
2) V(ег (к’х)ф,ф) = V(ф,е-г (к,х)ф) для всех к Є М2 (и всех ф, ф Є Н 1(М2));
3) для любого є > 0 существует число Сє = Сє (V) ^ 0 такое, что для всех ф Є Н 1(М2)
^(ф, ф)| ^ є II ^ф|||2 (К2 . С2) + Сє \\ф\\ь2 (К2 ) •
Рассматриваемые формы V для функций ф, ф Є Н 1(М2) П Со(М2) (где Со(М2) — пространство финитных функций из С(М2)) могут иметь вид
У(ф, <р) = фсрй/г, (0.6)
./к2
где у — периодический с решеткой периодов Л борелевский заряд (с локально конечной полной вариацией). Однако не всякую такую форму можно представить в виде (0.6) (см. [9]). В частности (как и выше), можно предполагать, что
У(ф,ір) = Уфірсіх,
Л2
где V : М2 ^ М — измеримая функция, для которой -\/| V) Є 1Ьд(М2).
Исследованию вопроса об абсолютной непрерывности спектра ^-мерных (при с! ^ 3) (обобщенных) периодических операторов Шредингера посвящены многие работы (см. [3,4,12-18] и более поздние статьи [19-23], а также ссылки в этих статьях).
Целью настоящей работы является получение новых условий на функцию д, обеспечиваю-
щих абсолютную непрерывность спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шредингера (0.1). Относительно условий, при которых матричная функция (О с помощью периодической изотермической замены координат приводится к скалярному виду д1, см. [8]. Чтобы не усложнять доказательства, предполагается, что А = 0, и скалярный потенциал V : М2 ^ М выбирается в виде измеримой функции, для которой л/|У\ Є 1Ьл(К2).
Доказательство теоремы 0.1 приведено в § 1. В § 2 доказывается лемма 1.1, а в § 3 — теорема 1.2, используемая при доказательстве теоремы 0.1.
§ 1. Доказательство теоремы 0.1
Оператор Нд + V определяется с помощью полуторалинейной формы
2
3 = 1
задаваемой в Ь2(М2) и имеющей область определения С^(\¥д) = Н1(Ш2) Э ф, <р. Так как л/|У\ £ Ьд(М2), то скалярный потенциал V имеет нулевую грань относительно оператора — А в смысле квадратичных форм. Поэтому форма замкнута и полуограничена и (в силу КЬМ^теоремы) порождает самосопряженный оператор Нд + V (см., например, [24]).
Рассмотрим полуторалинейную форму
2
Wg{k + iкe]ф,ф)='У[[kj-iкej-i-^-\ф,g(kj+iкej-i-^-S)^Л +[ Уфрйх,
V /ь2 (к) 1к
ф, ^ € Я(Шд(к + гхе;.,.)) = Н:(К),
заданную в Ь2(К), где к € М2, е € 51 = {х € М2 : |х| = 1}, к € М. Из выбора функций д и V следует, что для всех к + гке € С2 форма ^д(к + гке;.,.) является замкнутой и секториальной. Поэтому она порождает т -секториальный оператор
Нд{к + гке) + У =52 (кз + гхе,- - г д ^ + гхе,- - г + V
с некоторой областью определения ^(Нд(к + іке) + V) С Н 1(К) С Ь2(К) (не зависящей от комплексного вектора к + іке Є С2) [24, 25]. Операторы Нд(к) + V (при к = 0) являются (полуограниченными) самосопряженными операторами с компактной резольвентой и, следовательно, с дискретным спектром. Если векторы к Є М2 и е Є Б1 фиксированы, то операторы Нд(к + Се) + V, ( Є С, образуют самосопряженное аналитическое семейство типа (В) (см. [25]).
Оператор Нд + V унитарно эквивалентен прямому интегралу
Г — йк
®{Нд{к) + У)
І2пК* (2п)2 ^(К*) ’
Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью преобразования Гельфанда [3,4]. Сингулярный спектр оператора Нд + V пуст. Если Л — собственное значение (бесконечной кратности) оператора Нд + V, то из аналитической теоремы Фредгольма следует, что Л — собственное значение операторов Нд(к + іке) + V при всех к + іке Є С2. Поэтому для доказательства абсолютной непрерывности спектра оператора (0.1) достаточно показать, что существует вектор е Є Б1 такой, что для любого Л Є М найдутся вектор к Є М2 и число С Є С, для которых Л не является собственным значением оператора Нд(к + £е) + V. Следовательно, теорема 0.1 вытекает из приводимой ниже теоремы 1.1.
Используемый здесь метод доказательства был впервые предложен в статье [12], в которой рассматривался трехмерный периодический оператор Шредингера.
Зафиксируем вектор 7 € Л\{0}. Пусть е = |7| 17 € 51. Ортогональный базис {Е/}/ = 1,2 в
М2 выберем так, что Е1 = е. Для всех N € Л*, к € М2 и к € М положим
= С^(к + гяе) = ((&1 + 27гЛ^)2 + (я ± (/^2 + 27гЛ^2))2)2 •
Будем далее выбирать векторы к € М2, для которых к1 = п|7|-1. В этом случае
^ \к\ + 27гЛ^| ^ |^|, тахС^ ^ \к\ , 0^0^ = \(к + 2ттМ + 1яе)2\ ^ 2ж -р| .
Для всех в ^ 0 определим положительные операторы С= С(к + гке):
= 52 (С±(к + гке))*^ е2П(^х), <р € Я(С±) = Яв(К).
N € Л*
Далее используются краткие обозначения С± = (7^ . Операторы С+ и С- коммутируют между собой. Если в1 ^ в ^ 0, то операторы Снепрерывно отображают класс Соболева Н(К) на
класс Соболева Ня'-3(К). Справедливо равенство С±(к + гке) = С^(к — гке).
1
2
На пространстве (М ) рассмотрим также норму
1 = 52 ^ттъщ\м
N € Л*
1 ~ I
Пространство (£д (М2), Ц.Ц1) является банаховым и, более того, если /, / € (К2), то
11//И1 = 52 л/х+мщ I Е /N-М /и
N € Л* М € Л*
< £ Е ^1 + 2тг|Ж-М| |/м_м| • ^1 + 2тг|М| |/м| = 11/Ц11| / ||1
N € Л* М € Л*
(использовано неравенство Лу/1 + 27Г |Л^1 + Л^21 ^5 л/1+ЩЩ \/Т^г~2^\^2\-, справедливое для
1
всех векторов N1, N2 € Л*), поэтому (£д (М2), ||.|| 1) — банахова алгебра.
Теорем а 1.1. Пусть V : М2 ^ М — измеримая функция, для которой л/| У\ Є Ьд(М2), Л Є М и для положительной непрерывной функции д : М2 ^ М выполняются включения
Є £д(М2); е = Е\ = |7| :7, 7 Є Л\{0}. Тогда найдутся константа С = С(|7|) > 0 и сколь угодно большие числа к > 0 такие, что для всех векторов к Є М2, для которых к1 = п|7|-1, и всех функций ф Є Н 1(К)
8ир
~ ~1 ~1 ф Є Н1(к): ||с_р (к+гж)С5 (к+гж)ф\\ь2 ^ 1
|^д,у-Л(к + гке; ф,ф)| ^
(1.1)
у/9
2
||С+ (к + Ые)а (к + гхе)(/?||Ь2(Х)
1
Доказательство теоремы 1.1 приведено в конце этого параграфа. Оно опирается на теорему 1.2 и леммы 1.1 и 1.2.
і
Теорем а 1.2. Для любой функции / Є С,д (К2) найдут ся сколь угодно большие числа к > 0 такие, что для всех векторов к Є М2, для которых к1 = п|7|-1, и всех функций
|(СЦ (к + гяе)С_2(к + іхе)-ф, /С2 (к + іке)С+2{к +
<
<
Сі\\/\\і\ШьЦк) ІМІ ь2(к)і
(1.2)
где С1 = С1 (|^|) > 0 — некоторая константа (7 Є Л\{0} и е = Е = |7| 17)
Замечание 1.1. Если в неравенстве (1.2) сделать замену ф получится неравенство
С?С^ф и (р
\{С+Ф,/С-Ф)\ < СМЛС'СІфЦ ■ \\GlGlvW, Ф, Ч> Є Н (К).
Теорема 1.2 доказывается в § 3. Доказательство следующей леммы приведено в § 2.
Лемма 1.1. Для любого тригонометрического многочлена f : М2 ^ С (с решеткой периодов Л С М2) найдется число ко > 0 такое, что для всех к ^ Ко , всех векторов к Є М2, для которых к1 = п|7|-1, и всех функций ф Є Н 1(К) справедлива оценка
\\д2(к + гяе)д2(к + гяе)(І'ір)\\Ь2{к) < С2 ||/||і \\С2(к + іхе)б2(к + іхе)ір\\Ь2{к),
где С2 = С2(|7|) > 0 — некоторая константа (7 Є Л\{0}, е = |7|-17).
Лемма 1.2. Пусть к Є Ьл(М2) (и е = Е = |7|-17, 7 Є Л\{0}). Тогда для любого є > 0 найдется число ко = ко (є, |7|, к) > 0 такое, что для всех к ^ ко , всех векторов к Є М2, которых к1 = п|71-1, и всех функций ф Є Н1 (К)
і
4'
ІІ^ІІІЗД < є ЦС + (Л + Ые)С2 (к + Ые)(р\\Ь2{К).
Доказательство. Из (0.2) следует, что для всех векторов к € М2 справедлива оценка
__. £ ____________________________________________________,
11^11 ь2{к) ^ ^ \\(к ~ ^)^\\ь'2(к-,с2) + С| ;у 1Мк2(л:)> ^ £ Н1(К)
(см., например, доказательство теоремы 3 в [23]). Для функции р € Н 1(К) определим функции р± € Н 1(К) с коэффициентами Фурье (для всех N € Л*)
( ) = Г ^, если к2 + 2п^ ^ 0,
(р+)N | 0 , если к2 + 2п^ < 0,
( ) = ( 0 , если к2 + 2п^ ^ 0,
-)N \ рN, если к2 + 2п^ < 0;
р = р+ + р- . Тогда
11^11 ^ 11^+11 + 11^-11 ^ ^ (11(^ “ к ~ *^)р+ II + 11 {к + я - гУ)р_||) + Се (||р+|| + ||р-||) ^
£ ,__, ,________,
^ 4 (Н^-^+Н + Н^ч-^-Н) + ,у 1М1-
Выберем теперь любое положительное число
к0 = х0(е.|7|, V) ^ 87г_1|7| е-2 С\ ~ .
4 ’ У
Пусть к ^ ко и к1 = п|7|-1. Так как С+(к + гке)С—(к + гке) ^ 2п к|7|-1, N € Л*, то
|. (1.3)
Кроме того, С+(к + г ке) ^ С- (к + г ке), если к2 + 2п^ ^ 0, и С-(к + г ке) > (к + г ке) при
к2 + 2п^ < 0, поэтому
||С_р+|| < ||с|с!р+||, ||С+р_|| < \\GlGlvW.
Следовательно,
\\Уч>\\ < (| + 2С'|,у'\/Ж) ^^рК^с^р!!.
Лемма 1.2 доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Пусть С = С1 (|^|) > 0 и С2 = С2(|7|) > 0 —
константы из теоремы 1.2 и леммы 1.1. Выберем числа 5 € (0, к] и е > 0 так, что
65 С1
<: — Г'
... 18
1
1
Зе < — С. 18
1
л/5
2
2
(1.4)
(1.5)
Существует вещественнозначный тригонометрический многочлен 0 (с решеткой периодов Л С М2), для которого
\\л/д<3 — Ц\ь°°(м.2) ^ \\у/§0 — 11| 1 ^
9~^г
у/9
(тогда £(ж) ^ | д 2 (ж) при всех х € К2). Из (1.6), в частности, следует оценка
Так как
то д-1 € £Л2
1
у/9
1 + (у/9 0 — 1)
~у/9 = у/9) (-1У(у/9 0-1У
I = 1
(1.6)
(1.7)
о-1-у/9II1 < шь ЕМО - 1Ц1 < 5(1 -«г'ш 1 < 25\ш\г < ц^|ц •
1=1
Обозначим д = д — 0 € (М). Из предыдущих оценок получаем
115111 = 115 - £-2||1 < II 9~1 - ^9 II1 (II 9~1 ~ ^9 || 1 + 2||^5|| 1) < 65 ||^5||| •
Пусть р^ = kj — г , ] = 1,2; = р\ ± р2 . Справедливы равенства
Шд,у-Л(к + г ке; ф,р) =
1 1 Г —
= 2 ((Р+ “ *Ж)^>5(Р+ + + 2 ((Р- “ *ЖМ5(Р- + + 1к(У ~ А) фрйж
(1.8)
= + Л”2 + (V — А) фр с1х.
к
2
2
2
и
где
1 _ 1 _
^1 = 2 ((Р+ “ 1я)'Ф’9(Р+ + г*)(р) + - ((р_ - гк)ф,д{р_ + гх)р),
Лг = ^ ((р+ - гх)Ф, £Г2(р+ + гх)р) + ^ ((р_ - гх)ф, Я~2{р- + гх)р)-
Вначале оценим |Х11. Так как
(р± — гк)ф = Е ((к1 + 2п^) ± г(к2 + 2п^ + к))фN е2п
N € Л*
(р± + гк)р = Е ((к1 +2п^) ± г(к2 + 2п^ ± к))рN е 2п ^’^
N € Л*
то
(7+ — г к)ф = С_ (к + г ке) ф', (р_ — г к)ф = С+(к + г ке) ф'',
(7+ + гк)р = С+ (к + г ке) р', (р_ + гк)р = С_ (к + г ке) р'',
где для каждого N € Л* модули коэффициентов Фурье функций ф', ф" € Н 1(К) совпадают с модулями коэффициентов Фурье функции ф € Н 1(К), а модули коэффициентов Фурье функций р', р" € Н 1(К) совпадают с модулями коэффициентов Фурье функции р € Н 1(К). Из теоремы 1.2 и замечания 1 следует, что существует неограниченное сверху множество М С (0, +го) такое, что для всех к € М, всех векторов к € М2, для которых к1 = п|7|-1, и всех функций ф, р € Н 1(К)
|((р+ — гк)ф,5г(|?+ +гк)р)| = |(С_фС+р')| = |(С+рС_ф')| <
< Сг \\g\U НС^ф'Н-Н^С^р'Н < 65 С, Ц^Ш ||с|с]ф|| • ||с|с!р||,
|((р_ — г к)ф,#(р_ + г к)р) 1 = |(<С+ф ",£ С_р '')|
< С\\\дц\\д1д1ф"\\-\\д1д1р"\\ < 65С,||^111 Г|с1ф||.||ф1р||.
2 2
Откуда
№1 < 65С! ||^11| \\С1С1ф\\ • ||с|с!р||. (1.9)
Теперь последний интеграл в правой части равенства (1.8) оценим с помощью леммы 1.2. Пусть М' = МП [ко(е, |7|, л/\у\), +оо) (где ЧИСЛО Яо(е, |7|, у/\Щ) определяется для функции л/|У| € Ьл(М2) в лемме 1.2). Тогда для всех к € М', всех векторов к € М2, для которых к1 = п|7|-1, и всех функций ф, р € Н 1(К) из леммы 1.2 (и неравенства (1.3)) получаем
(V - А) фрс?ж
/к
Ч|^И1 + |А|1|</>НМ1 « (1.10)
:2 + 2^|л|) 11С|6-4ЛИ6+|С^1|.
Наконец, рассмотрим второе слагаемое Х2 в правой части равенства (1.8). Для X справедливо тождество ( ) ( ( ) )
X = ((р+ — гк)0-1ф, (р+ + гк)0-1 р) + (ф, д_\А 0-1)р), где А = тщ + ;|~т • Для заданной функции р € Н1(К) (и для чисел х£М'и векторов к € К2,
для которых к1 = п|7|_1) будем далее выбирать ненулевую функцию ф € Н 1(К) так, чтобы выполнялось равенство
{(р+-ы)д-1Ф,(р+ + ы)д~1р) = \\о1а1д-1ф\\-\\с4сЛд-1р\\.
Такую функцию ф можно выбрать, так как для всех N € Л*
| ((к1 + 2п^) — г(к2 + 2п^ — к)) ((к1 + 2п^) + г(к2 + 2п^ + к)) | = С+(к + г к)С^_ (к + г к)
(и 0 — тригонометрический многочлен). Пусть Хо > 0 — число из леммы 1.1, определяемое для тригонометрического многочлена 0. Обозначим М= М' П [ Хо, +то). Тогда из леммы 1.1 для всех к € М" (и всех векторов к € М2 (для которых к1 = п|7|_1) и функций р € Н 1(К)) следуют оценки
II GlGlg~\
1^1
2/^2,
^С^\\д\\1^ IIGIG1
\\GlGlg~\
1^1
2/^2,
Поэтому (см. (1.7))
((р+ - ix)g V, (р+ + г^)а V) ^ о с*2
1-2
1
л/9
-2
||С^С_2ф|| •
и, следовательно, (для всех векторов k € R2, для которых ki = п|yI +
Ш>[д С~2
4
2
1
л/9
2
ы
2п к
G-1( A G-1))|
WGlGl'ipW • ||G$Gl
(1.11)
(использована также оценка (1.3)). Выберем число 1 > 0 так, что
Ы
2п к1
Используя равенство (1.8), из оценок (1.9), (1.10), (1.11) и выбора чисел 5 и £ (см. (1.4) и (1.5)) для всех к € М" П [к1, +го), всех векторов к € М2, для которых к1 = п|7|_1, и всех функций р € Н 1(К) получаем оценку
^д,у_л(к + гке;ф,р)| ^
2
1
л/д
2
— 65С\ \Ш\{ — Зе2 ) ||G^_G1'>
1
л/д
2
|| G*G1
• ||G^G_2
где С = з С2 ■ Оценка (1.1) следует из последнего неравенства, так как для любой ненулевой функции р € Н 1(К) (определяемая ею) функция ф € Н1 (К) также ненулевая. □
§ 2. Доказательство леммы 1.1
— '—' 1
Лемма 2.1. Для всех функций / € (R2) и ip € Hi (К) функция ftp принадлежит
пространству Н2(К) и (при всех к € К2 ижеК) выполняются оценки
(G±(k + ixe)f — fG±(k + ixe))p\\ ^
(I)
(2.1)
Доказательство. Предположим вначале, что f — тригонометрический много-
^ . ~.1
член (с решеткой периодов Л С М2) и ip € Н2(К) (тогда G±<p € L2(K) и ftp € Н2(К)) Так как для всех Ni, N2 € Л*
\\JG^{k + Ые) - \/G^2(k + i>ce) | ^ л/2тг|Л^1 - ЛГ2|
то
N еЛ*
м ел*
L
ОО
2
<
Е ( Е \/2МЩш-\^-м\) < ( Е \/ъЩш)
N€Л* М€Л* ' 'м€ Л * /
М €Л*
(то есть оценка (2.1) справедлива для всех тригонометрических многочленов / € £д(М )).
1 ~ 1
Пусть теперь / — произвольная функция из пространства (М2) (и р € Нъ(К)). Выберем любую последовательность / , V € М, тригонометрических многочленов (с решеткой периодов Л), для которой (/г/)о = /о ПРИ всех г/ € N и ||/ — /г/||(1) —► 0 при V —*■ +оо. Последовательности ^1 2 ^ 1 функций /иС±р (поточечно и) в Ь2{К) сходятся к функциям /<3±р. С другой стороны, /и(р €
т(К) и из доказанных для тригонометрических многочленов оценок (2.1) получаем, что
(С^/гу — /иС!±)р, V € М, — фундаментальные последовательности в Ь2(К). Следовательно,
^ 1
последовательности функций С±/ир при V —*■ +оо сходятся в Ь2(К) к некоторым функциям.
^ 1
Но /ир —*■ /р при V —*■ +оо (поточесно и) в Ь2(К) и операторы замкнуты, поэтому также
/р € Н2(К) и С^_/ир —*■ С±/р в Ь2(К) при V —>■ +оо. Оценки (2.1) для функции / € £^(М2) теперь следуют из этих же оценок, доказанных для тригонометрических многочленов / , V € N. Лемма 2.1 доказана. □
Доказательство леммы 1.1. Пусть Я = Я(/) ^ 0 — минимальное число такое, что 2п|М| ^ Я для всех М € Л*, для которых /м = 0. Ограничения (снизу) на число Хо будут уточняться по ходу доказательства. Вначале предположим, что Хо 2К (тогда К ^ ^). Для функций р € Н 1(К) определим функции
р° (х)= Е PN е2П ^ р± (х)= Е PN е2П (N’x), X € М2,
N € К° N €К±
где
К0 = {N € Л* : |к + 2^| > 2к}, К+ = {N € Л* : |к + 2^| < 2к, к2 + 2п^ ^ 0},
К_ = {N € Л* : |к + 2^| < 2к, к2 + 2п^ < 0}.
Если |к + 2пN| ^ 2 к — Я для некоторого N € Л*, то (/р0)N = 0. Поэтому (/р0)N = 0 при всех -/V € Л*, для которых |& + 27гЖ| ^ ^ . С другой стороны, при |к + 2тгМ\ > ^ выполняются
оценки
1 5
- \к + 2ттМ\ < С^(к + гяе) < - \к + 2ттМ\. 3 3
Следовательно, (при > 0)
л
Е11(^-^И12) + о и^/и Ь°
" дх3
у = 1 ■>
10
2; С2)
^ ( 5 ||/||ь°°(К2) + 1^— \\^ 1\\ь°°(Л2;С2)) \\С^С2р°1
3
Будем теперь выбирать число Хо > 0 так, что
Тогда (при к ^ Хо)
(2.2)
2
2
0
ь
оо
3
Если |к + 2пN| > 2 к + Я или к2 + 2п^ < —Я, то (/р+ )N = 0. Поэтому (/р+ )N = 0 для всех N (Е Л*, для которых либо |/с + 2ттМ\ > ^ , либо к2 + 2ттМ2 < — ^ . С другой стороны, при всех N £ А*, для которых |/с + 27гЖ| ^ 4^ и к2 + 2тгИ2 ^ ^ , справедливы оценки
| < С+(к + гяе) <
Поэтому (в силу леммы 2.1)
г+
< ||G|(Gi/-/Gi)p+|| + ||(G|/-/G|)Gip+|| + ||/G|Gip+|| <
/7>г —I —I ^ V ~2 ~~ fGl)p+1| + ||/||(|) l|G-^+|| + ||/||l°°(r2) \\G+Gl<p+\\ ^
2 ) v i / v ) '
___ _1||/11/"00Ш^'1^;11/1111/1 /V1^1 jjciviu [jv& a, ^ u.^ , для ivuiu рыл гь] — /4 /1 ^
2> ' "v " 2 ‘ ' ‘
Так как ||/||(i) ^ ll/lll ) II/IIl°°(r2) ^ II/II 1 и для всех векторов fc G R , для которых kl = 7Г и всех функций 'ф Е Н?(К)
иаы »Ж 1№и,
то из (2.3) следует неравенство
— 1—1 —L \/ / _\ —1—1
l|G+IG_’(/9+)ll « (1 + ^- sM ll/lll l|G|G_Vl|. (2.4)
Аналогичным образом, (/<£> )лг = 0 при всех N € Л*, для которых либо |к + 27гЛ^| > , либо
2
к2 + 27гЛ^2 ^ ^ • При этом для всех N £ А*, для которых |к + 27гЖ| ^ ^ и к2 + 27гЛ^2 < ^ выполняются оценки
Поэтому, используя лемму 2.1, получаем
i^i Ф
< ||с](с|/-/с|)р-|| + ||(с1/-/с1)с|р-|| + ||/с|с]р-|| <
'7 к
1 — 1 — 1 ^1^1
< \/Т ll(G'+/“/G'+)^"ll + ll/ll(5)l|G'+^"ll + ll/llLOO(R2)l|G'+G'-^"11 ^
< 11/11(1) (V7||G_>-|| + ||G>-||) + ||/||l»(R2)||G|G_>-|| <
П 2
Теперь доказываемая в лемме 1.1 оценка непосредственно вытекает из (2.2), (2.4) и (2.5). (При этом можно положить С2 = 6 + Зл/|т[.)
§ 3. Доказательство теоремы 1.2
Будем предполагать, что векторы к € М2 удовлетворяют условию к1 = п|7|_1; 7 € Л\{0}, е = Е1 = |7|_17. Для чисел к > 0 и Ь € (0, к) определим множества
С±ь) = с±ь)(к + г ке) = {N € Л* : С^(к + г ке) < Ь};
С+Ь) П С_Ь) = 0. Если N € С^ , то
2 к — Ь ^ (к + г ке) ^ 2 к + Ь.
Для функций Ф € Ь2(К) будут использоваться обозначения
Ф±)(х) = Е ФN е2П (N^x), х € М2
N € С±Ь)
(3.1)
(в качестве функций Ф рассматриваются функции ф, р € Ь2(К)). Если С(Ь) = 0, то считаем, что Ф^ (х) = 0, X € М2. Числа к > 0 в дальнейшем выбираются вполне определенным образом. Ограничения на них накладываются по ходу доказательства (при этом при введении новых ограничений все предыдущие предполагаются выполненными). Введем краткое обозначение
¥(ф,р) = (с|с_^,/с_!с+*р), Ь2(К)
1 ^_1
2 П 2,
Пусть а € Доказательство неравенства (1.2) сводится к получению соответствующих
оценок для девяти скалярных произведений У (ф1,р1), где ф1 = ф(а), ф^), ф — ф+° — ф(а’) и р1 = р+“), р_1), р — р+ — р_*). Оценим вначале У(ф^, р^). Обозначим
= <5+ 2 = а ру“
2 ,Л(а)
Тогда
Г^,^) = (С_2ф+;,/С^^), У(фуУ,руУ) = (/С1ФУУ, С+2ФУУ).
-5 „да
(о) ,Ло)'
Так как
и (см. (3.1))
цс:^1а)1К \Дг11^а)1
п
11с;Ыа)1К
,о(а)I
^о)1
5+Т)1
4о)|
(о)I
(о)
(о)
(о)
то с помощью леммы 2.1 получаем
|г(^о),^о))| < кс.2^,^-2 -с_2/)^)1 + 1(ФГ’/р+;)1 <
(о)
(о) (о)
(3.2)
ьо
Х+о)|
?+о)|
Аналогичным образом,
^1
?+о)|
(3.3)
п
С помощью (3.1) непосредственно выводится оценка
(о)
(о)
|Г(^о),рР)| < ||/|к»(К2) ||С|С_2^|| • ||С_2С+2^“
(о)
(о)
<
(3.4)
< а ||/|| 1 ||с:5^а)|| • 11^7^11 < а{2к-а)
(о)
1
(о)
(о)
р+о II.
Труднее получить оценку для У(ф(о), р^)). Справедлива
Лемма 3.1. Существует неограниченное сверху множество К С [10п, +то)
такое,
ь
эо
что для любого х£К найдет,ся число а € [^, Ц] такое, что для любых векторов к € К2, для которых к1 = п|7|_1, и всех функций ф, р € Ь2(К)
< С3 у® (1п1оё5-^)-1 НФ^Н • ||^о)|| , (3.5)
где Сз > 0 — некоторая универсальная константа.
Доказательство. Пусть к(3) = 2п ■ 53 1,7 Є N. Так
как
Е Е л/2ттМ2 |/м| ^ 2 ||/||(і) < +оо
3 =1 М Є Л* : < 2пМ2 < 5к^)
1 ,—•
(и ряд ^ ———- расходится), то существует бесконечное множество АЛ С N\{ 1} такое, что J =2 3 1п 3
для всех 3 € М
Е
1
З 1п 3
и, следовательно,
Е
1,1/ 1 (Л Ък(-3) \ -1/, , ^3) \-1
|/м| <-^=(^5-^) (1П^5
л/ х(<7)
2п
2п
Существует число 3 = ./(Л, |7|) Є N, для которого
5^+1 < л/2 |7| < 5 •7+1
(3.6)
(3.7)
и
С±^/2) (к + г к'е) = 0 (3.8)
для всех чисел 3 € М, для которых 3 ^ 3, всех к; ^ к(J) и всех векторов к € М2 (таких, что к1 = п|7|_1). Обозначим
м = Мр|{3, 3 +1,...}.
Из (3.7) для всех 3 € М следуют оценки
О < 1(^2
к
(3)
л/2
п
< (2 1о§2 5) 1о§5
Ъж^
2тт
(3.9)
В дальнейшем выбирается любое число З ЄМ (для него к(3) ^ 10п). Пусть к Є [ к(3), 2 к(3)]. Конкретное значение числа к будет выбрано далее в зависимости от З ЄМ (но не от вектора к Є К2). Будем пока рассматривать произвольные числа к Є [к(3), 2к(3)]. Для всех ^ Є N определим множества (зависящие от к и к)
,/2)Ш = сГ'^ 1)(к + іке) \С^2-'-1 )(к + і ке) =
= (Ж Є Л* : 2--1к(3) < (к + і ке) < 2-к(3)}.
Пусть ;с Є ^ — наименьшее число, для которого 2-0к(3) < п|7|-1. Имеем
г Ы к(3) п .І0 = [^2--------] + 1
(где [£] — целая часть числа £ € М). Если ] ^ , то
С±2 -к ))(к + г ке) С С_±2 -0К ))(к + г ке) = 0
(так как |к1 + 2п^| ^ п|7|_1 для всех векторов N € Л*). Поэтому из (3.8) следует, что ^о ^ 2
(и, в частности, 5^+1 ^ |7|).
Для всех _/, I = 1,...,;о — 1 обозначим через М37(3; к) множество векторов М € Л*, для которых
((2ттМ1)2 + (2тгМ2 - 2к)2)^ ^ 2“т1п{^}+1х(^
и, следовательно,
2п|М1| < 2_““ШЖк^ < к(J), |2пМ2 — 2 к| < 2_< к(J)
(в частности, справедливы оценки 2пМ2 ^ 2к — к^) ^ к ^ к(J)). Если вектор М € Л* представим в виде М = М' — М'', где
М' € С_±к^)/2)Ш , М" € С±_к(^/2){1} ,
то
((27ГМ1)2 + (27гМ2 - 2к)2)^ ^ 2~^^ + 2~1я^') ^ 2“т1п0.0+1х(^)_
Поэтому М € М^7(3; к).
Для всех _/, I = 1,..., ^о — 1 определим функции
Й’](ж)= Е {С^{к + 1ке))^ фме2^^'х\
N €С+К(J)/2)Ш
^1г](ж)= Е (^(Л-Ихе))*^2™^,
N €С1К (J )/2) {з}
/^(х) = /^(3; к; х) = Е /м е 2п (М,х), х € М2
М € Ш-1 (J ;к)
(если какое-либо из множеств М3г (3;к), С_+к /2){^} или С/2) {1} пустое, то соответствующая ему функция считается тождественно равной нулю). Тогда
3о _ 1
,(^)/2) ; Ы^/2), ,Я-\„Т(^)/2) ' ЛП"" " ~ 1
г(ф|^)/2),^)/2)) = (Г2ф^)/2),/с;2^)/2)) = Е (с:2^1,/,^;2^1). (з.ю)
3,1 = 1
Так как (О^)? ^ Для всех ТУ € ^ и (О^)2 ^ \[Щ Для всех ТУ € ^2\ то
зо _ 1
30 _ 1 г
Е и»5-1 и2 « Ч и*5-’ “2- (зл2>
I = 1
Для векторов М € М37 (3; к) имеем
• 2к( ^) / 30 - 1
г- 2к(и) / 30 1 з \
ад = ( Е 2 4-іпШ) ^ |/м|)^ =
(^ '3,1 =1 М Є ОТ'і(3;к) '
30 - 1
Е 2 з тіпЬ>0 ^ |/м| .теа8{х Є [х^),2х^] : М Є *%(./; х)}
3,1 = 1 м є л*
(где шеав — мера Лебега на К). Так как
(к Є [к(3), 2к(3)] : М Є М31(3;к)} С ( к : |2пМ2 - 2к| ^ 2-тіп{3>1}+1к(3)} ,
то
шеав (к Є
[к(3), 2к(3)] : М Є М31(3; к)} ^ 2-тіп(і>1}+1к(3).
С другой стороны,
30 - 1 30 - 1
’ ’ \-1
^ 2-і тіп{3,1} = ^2 (2з0 - 1 - 2и) 2-ї < (2 і - - 3) < 2 (2 і - І)-11о§2 .
3,1 = 1 V =1 V 2 п
Поэтому (см. также (3.6), (3.9) и (3.13))
/ -70 ~~1 \ ^ (3)
2(,І) ^2( Е ^ |/м| ^
3,1 =1 М Є Л* : ^ 2пМ2 ^ 5к^)
где С4 = 8 (2 4 — І)-1 log2 5 . Из последней оценки для 2(.1) вытекает существование (не зависящего от вектора к Є К2) числа к = к(к(3)) Є [к(3), 2 к(3)] (именно такое число выбирается в оставшейся части доказательства леммы 3.1) такого, что
30 -1 3,1 =1
^ к£ 2і „.„од ^ |/м| ^ ад ^ Сі(^)-і (і„іоЄб^)-\
3,1 =1 м Є ОТ'-г(3;к) к
Следовательно, для всех _/, І = 1,... , — 1
ІІ/зі||ь»(«2) < С42-і ті^-,і}(^))-| (1п1о§5^)-1. (3.14)
Получим теперь оценку для |У(ф++к /2), р/2))|. Так как
Иб:^+11 « рт)а и^'и. ис^^'и < (^У и^'|
то из (3.10) следует
\¥(ф^)/2\^)/2])\ < Е |ІЛ-і||і»(к2) ІІ<5_^+ II • ЦС+^1г]|| < (3.15)
ч ,р- )1 ^ ІІ/31ІІЬ“(к2) IIе- 1г 11С+
3,1 = 1
30 - 1 1
< £ 2Т+1^7) ІІ/з'іІІЬ“(К2) 11^+
3,1 = 1 к
^+1 _і \\jMw . м,ЛИ|
Fl = max
j, i: j + i = l
и пусть Jl,Il € — 1} — (некоторые) числа, для которых jl + II = L и Fl =
11/jLiL IIl»(R2) . Тогда (см (3.11), (3.12) и (3.14))
При этом
jo - 1
2
j,l = 1 2jo - 2
E 2'
j±l
-+1
+1
X'
(J)
L“ (R2) IIV^I
min{L-1,jo-1}
[l]
L=2
2jo - 2
ж
(J)
Fl
E
/+']i
[l]
j= max{1,L-jo+1}
E E
L=2 Vj=1
jo - 1
/-+j] у2
E
[l] 2
2jo - 2
10 e 2*Fl
Ij+k(J) /2) I
l = 1
(k(J)/2) і
L =2
2jo - 2 2jo - 2
52 2 min{jL,ZL} = ^ 2
І тах{іьДь}-т тіп{іь,іь}
L=2
L=2
(3.16)
(3.17)
Для всех Ь = 2,..., 2^’о — 2 упорядоченные пары чисел (_?£, 1ь) попарно различны (так как = Ь). Более того, для любых чисел V! € {1, . . . , ^’о — 1} и ^2 € {1, . . . , ^1} существует не более одной упорядоченной пары (^Ь,1ь), для которой шах{^’ь,1ь} = и ШШ^’ь,^} = V2 . Поэтому
2jo - 2 jo - 1 Vi jo - 1
1 7,1 1 7,1 ^---> V1 х—> ^2 , 1 N і V—> vl
^ \ 2“^ <г f2 4 — Л- \ 2 “г" <
у 2 2 тах0ь,гь}-3 min{jL,iL} ^ Е 2 Е 2 < (2ї_1)_1 Е 2
Vi = 1 V2 = 1 Vi = 1
L=2
1
+ 1)
о I 2|7| к^)
п
Теперь из (3.15), (3.16) и (3.17) следует оценка
|F(^(J)/2),^(J)/2))| < C3y®(lnlog5
5x(J) , _1 (^(J)/2) I
)K
~2тг
(K(J)/2) і
+
где Сз = 10 \/2 (2 4+ 1)(л/2 + І)2 С4 . Осталось определить множество К как объединение всех чисел к = к( к(3)) Є [к(3), 2 к(3) ] , соответствующих числам к(3), З Є М. При этом для каждого числа к = Є К выбирается число а = Ху- Є [т> %]• П
І
2
І
Получим теперь оставшиеся оценки. Обозначим ф(а) = ф — ф(а) — ф^ , р(а) = р — р++') — р^) (где а € [|, |], х > 0). Если N € Л*\(с]“} ис1“}), то
(С£)ЧС*)-ъ < з, (3.18)
и, следовательно,
\¥(ф^,^)\ < ||/||ьос(к2)||с|с:^^
Так как (см. (3.1))
\\о1о~+2^\\ < ^1|с'7^11 <
Ур(о) у
а
2 к — а
,+0 у 1 ^ 7з Ур+о)
,(о) у 1 ^ 7з ||ф-О)
то
|Г(ф(“Ыа))| < ц/Цьоо^цс^сг^ц.ц^с^рРи < |г(^о),р(о))| < \\fhoо(«2)||с|гЫа)1Н|£1с;У“)|| <
4О)|
Обозначим
Справедлива оценка
2пг (М,ж)
2 2 л/2
£ ^21г|М| |/м| < 1/- НЯ1,., й
МеЛ* :2тг|М| > §
Из (3.1) и левой части оценки (3.18) (при замене а на |) получаем
я
(§)
' 2 2 ,„(а/2) I
цс1с7^|| ^ + ^ цс;^<_°/2)|| < 2
цс1с7(^а) -^“/2))|| <
,(о/2) ,
П
(о) — р(о/2) I
С другой стороны, если N1 € Л*\(С+о) иС-о)) и N2 € С±о/2) , то
а
2ж\т-Щ >
Поэтому из (3.22), (3.23) и (3.24) вытекает оценка
|Г(Ф(о) ,^о) )| <
< \(010_^ф(-а\/010+Ц^)-^_“/2)))| + |(С|С_^(а),/{а}С1С+^^/2))| <
1 — 1
+ 11/{а}11ь°°(К2) \\С^О_
^ Зл/17 ||/|| -
(о/2),
I
+ 9^2 л/Н
П
(I)
„(о/2) ,
<
а
2 Л/Л О
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
<3(Vi7 + 3v5yH)
Аналогично оценкам (3.23) и (3.24) выводятся оценки
а)
(а)
II GlGjip
+
IIGl'Gj^ -ф+
<
(а/2)
Ъл/ж
п
<
/,(а/2) |
/+ - ^+а/2)|
из которых, а также из (3.22) и (3.25) получаем
IY(ф+°,^(а))| <
(3.27)
< І(д2д_Цф^ -ф^/2)),/сід+Vo))l + |(с|с_2ф+/2),/{а}С1с+>(“
<
<
• ||GlG+Va)ll +
+
{а} Hlo
<
3vTr||/||j
^+а)
- ф+а/2)|
■ ||^(а)|
+ 9v 2 \/ —
п
п
^1
(I)
^+а/2)|
•Ма)1
<
■ М'
а)
Для завершения доказательства теоремы 1.2 осталось воспользоваться оценками (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.19), (3.20), (3.21), (3.26) и (3.27). При этом числа к = к(к(^) принадлежат множеству К, определяемому в лемме 3.1, и для каждого числа к = к(к(^) (как и в лемме
□
3.1) выбирается число а = Є [f, f\.
Список литературы
1.
Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace—Beltrami operator with periodic electro-magnetic potential ^ J. Phys. A: Math. Gen. 1998. Vol. 31. P. 7593-76G1. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом У У Алгебра и анализ. 1998. Т. 1G. № 4. С. 1—3б. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Периодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. Проблема абсолютной непрерывности ^ Алгебра и анализ. 1999. Т. 11. № 2. С. 1—4G.
Kuchment P., Levendorskii S. On the structure of spectra of periodic elliptic operators У У Trans. Amer. Math. Soc. 2GG2. Vol. 354. № 2. P. 537—5б9.
Бирман М.Ш., Суслина Т.А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых УУ Алгебра и анализ. 2GGG. Т. 12. № б. С. 14G—177.
Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом ^ Труды С.-Петерб. матем. об—ва. 2GG1. Т. 9. С. 199—233.
Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шредингера с положительным электрическим потенциалом УУ Алгебра и анализ. 2GG1. Т. 13. № 4. С. 19б—228.
Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шре-дингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом УУ Зап. науч. семин. ПОМИ. 2GG3. Т. 3G3. С. 279—32G.
Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов Шредингера и Дирака УУ Известия Института математики и информатики УдГУ. 2GG2. Вып. 3 (2б). C. 3—98.
1G. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Шредингера У У Теор. и матем.
физика. 2GG3. Т. 134. № 3. С. 447—459.
11. Данилов Л.И. Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шредингера У У Известия Института математики и информатики УдГУ. 2GG4. Вып. 1 (29). C. 49—84.
2.
3.
4.
5.
б.
7.
8.
9.
2
L
оо
оо
12. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal // Commun. Math. Phys. 1973. Vol. 33. P. 335-343.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.
14. Sobolev A.V. Absolute continuity of the periodic magnetic Schrodinger operator // Invent. Math. 1999. Vol. 137. P. 85-112.
15. Shen Z. Absolute continuity of generalized periodic Schrodinger operators // Contemp. Math. 2001. Vol. 277. P. 113-126.
16. Shen Z. The periodic Schrodinger operators with potentials in the Morrey class // J. Funct. Anal. 2002. Vol. 193. P. 314-345.
17. Friedlander L. On the spectrum of a class of second order periodic elliptic differential operators // Commun. Math. Phys. 2002. Vol. 229. P. 49-55.
18. Тихомиров М., Филонов Н. Абсолютная непрерывность «четного» периодического оператора Шре-дингера с негладкими потенциалами // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16. № 3. С. 201-210.
19. Shen Z., Zhao P. Uniform Sobolev inequalities and absolute continuity of periodic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 360. № 4. P. 1741-1758.
20. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of a periodic magnetic Schrodinger operator // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. 275204.
21. Danilov L.I. On absolute continuity of the spectrum of three- and four-dimensional periodic Schroodinger operators // J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. 215201.
22. Zhao P., Liu W. On absolute continuity of periodic elliptic operators with singularity // Acta Mathematica Scientia. 2010. Vol. 30A. № 1. P. 18-30 (in Chinese).
23. Данилов Л.И. О спектре периодического оператора Шредингера с потенциалом из пространства Морри // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 25-47.
24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2: Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.
25. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
Поступила в редакцию 15.01.2013
L. I. Danilov
On the spectrum of a two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator
Absolute continuity of the spectrum of a two-dimensional generalized periodic Schrodinger operator with continuous metric g and scalar potential V is proved provided that the Fourier coefficients of the functions g±1/2 satisfy the condition |N|1/2|(g±1/2)N| < and the scalar potential V has relative bound zero with respect to the operator
— Д in the sense of quadratic forms.
Keywords: generalized Schrodinger operator, absolute continuity of the spectrum, periodic potential.
Mathematical Subject Classifications: 35P05
Данилов Леонид Иванович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник, Физико-технический институт УрО РАН, 426000, Россия, г. Ижевск, ул. Кирова, 132. E-mail: [email protected]
Danilov Leonid Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Physical Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. Kirova, 132, Izhevsk, 426000, Russia. E-mail: [email protected]
