О спектральных свойствах операторов в модели Фридрихса с некомпактным ядром в пространстве двух переменных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал июль-сентябрь, 2006, Том 8, Выпуск 3

УДК 517.984

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРОВ В МОДЕЛИ ФРИДРИХСА С НЕКОМПАКТНЫМ ЯДРОМ В ПРОСТРАНСТВЕ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Ю. Х. Эшкабилов

В данной работе изучаются спектральные свойства операторов, представимых в виде суммы оператора умножения на функцию и частично-интегрального оператора.

1. Введение

Изучению спектральных свойст гамильтонианов одной, двух и трех квантовых частиц на ^-мерной решетке посвящена серия работ, например, [1-6] и др. Гамильтонианы всех описанных выше моделей коммутируют с группой трансляций на решетке. Физическая причина этого состоит в том, что на решетке нет узлов, и смещение системы квазичастиц как целого на любой вектор, переводящий решетку в себя, не меняет состояния системы. Однако, большое количество интересных задач в ФТТ связано с неидеальными кристаллами, трансляционная инвариантность которых нарушена примесями или дефектами, т. е. один или конечное число узлов решетки оказываются выделенными [7-11].

Гамильтониан системы, состоящей из двух свободных электронов и одной примеси (примесь — это тяжелая «недвижимая» частица) на решетке [10], [11] представляется в виде оператора Н = V + е(Т\ + Т2), действующего в гильбертовом пространстве двух переменных функций Ь2 (П х П), где V — оператор умножения на функцию (невозмущенный оператор) и Тъ Т2 — частично интегральные операторы (т. е. Т1 + Т2 — некомпактное возмущение). Оператор такого вида обычно называется оператором в модели Фридрих-са. Поэтому представляется интересным изучение спектральных свойств операторов в модели Фридрихса, когда возмущения являются частично-интегральными операторами.

В данной работе мы изучим спектральные свойства операторов вида Н = V + Т1, где Т1 — частично интегральный оператор.

Пусть Н — бесконечномерное гильбертово пространство, А — линейный ограниченный самосопряженный оператор в Н. Обозначим через а(А) спектр оператора А, стР(А) — множество собственных значений оператора А. Кратность собственного значения А £ Ж определяется как размерность собственного подпространства Ы\ = {х : Ах = Ах, х £ Н}.

Определение 1.1. Множество всех изолированных собственных значений а(А), за исключением собственных значений бесконечной кратности, называется дискретным спектром оператора А и обозначается через ст^8С(А).

Определение 1.2. Множество сте88(А) = ст(А) \ ^^(А) называется существенным спектром оператора А.

© 2006 Эшкабилов Ю. Х.

Пусть ^(П) и .¿2(П х П) — гильбертовы пространства квадратично интегрируемых функций соответственно на П и П х П, где П = [а,Ъ]и С Ж, V £ N. Обозначим через д меру, заданную на П. Мы будем определять меру Д на П х П с помощью равенства Д = Д <Х> Д. Через р(х, в) обозначим метрику в пространстве Ж.

В пространстве .¿2(П х П) рассмотрим операторы:

V/(х,у) = u(x,y)f (х,у) и Т/(х,^)^^ д(х,у; в,4)/(в,4) йв^,

п п

где и(х, у) — вещественнозначная непрерывная функция на П х П, q(x, у;, в, ¿) — произвольная функция на П2 х П2.

Оператор

Н = V + Т (1.1)

называется оператором модели Фридрихса. Если интегральный оператор Т является компактным, то оператор Н (1.1) называется оператором с компактным ядром в модели Фридрихса, иначе оператор Н называется оператором с некомпактным ядром в модели Фридрихса.

Если Т — компактный оператор, то из классической теоремы Вейля [12] о местоположении существенного спектра имеем аеББ(Н) = о{У), и значит вне существенного спектра о{у) может появиться конечное или бесконечное число собственных значений оператора Н с конечной кратностью. Если интегральный оператор Т некомпактный, тогда неясно как построены существенный и дискретный спектры оператора Н = V + Т.

Однако, в работе [13] изучен специальный случай оператора в модели Фридрихса с некомпактным ядром, когда Т — частично интегральный оператор и и(х, у) = Н(х)+ь(у), где Л(х) и у(у) — вещественнозначные непрерывные функции на П. Пользуясь свойством «тензорной суммы» операторов, доказано, что в этом случае отсутствует дискретный спектр оператора Н (1.1).

Предположим, что к(х,в) — аналитическая функция на П х П и к(х,в) = к(в,х), х, в £ П. Тогда оператор с частными интегралами

К/ = УУ к(х,в)% - ¿)/М) йв^ = у к(х, в)/(в, у) ¿в, / £ ¿2(П х П), (1.2)

п п п

где $(х) — дельта-функция Дирака на П, является ограниченным самосопряженным оператором в ¿2 (П х П), но он не является компактным.

Определим оператор Н с некомпактным ядром в модели Фридрихса, действующий в ¿2(П х П) по формуле

Н = V + К. (1.3)

Здесь V — оператор умножения на функцию и(х, у), где и(х, у) — произвольная ве-щественнозначная непрерывная функция на П х П.

Изучим структуру и местоположение существенного и дискретного спектров оператора Н с некомпактным ядром в модели Фридрихса, заданного равенством (1.3). В действии оператора V в (1.3) функция и(х, у), вообще говоря, непредставима в виде и(х, у) = Л(х) + г>(у). Поэтому оператор Н (1.3) не выражается через «тензорные суммы» двух операторов [13], и это затрудняет использование техники из [13] для изучения спектра оператора Н.

2. Вспомогательные утверждения

Пусть р^) — резольвентное множество оператора V, т. е. р^) = С\ ст^). Очевидно, что ст^) = [т, М], где т = т£ и(х,у) и М = вири(х,у). Обозначим через Кх = Кх(V), г £ р^) резольвенту оператора V. Тогда имеем

Кх = (V - гЕ)-1, г £ р^),

где Е — тождественный оператор в .¿2(П х П).

В дальнейшем в интегралах, где не указана область интегрирования, будем понимать интегрирование по П.

Лемма 2.1. Число А £ р^) является собственным значением оператора Н (1.3) тогда и только тогда, когда —1 является собственным значением оператора Т\ = КК\, где оператор К определен в (1.2).

< а) Необходимость. Пусть А £ р^) является собственным значением оператора Н. Тогда существует функция /о £ .¿2(П х П), ||/о|| = 1, такая, что Н/о = А/о, т. е. из (1.3) следует, что

(V — А ■ Е)/о + К/о =

Обозначим через д(х, у) = (и(х, у) — А)/о(х,у). Тогда д £ £2(П х П) и ||д|| =0. С другой стороны, имеем

Тлд(х, у) = Кйлд(х, у) = К [(п(х, у) — А)-1д(х, у)] = К/о(х, у) = —(V — АЕ)/о(х, у) = —д(х, у),

т. е. число —1 является собственным значением оператора Тл = К^л.

б) Достаточность. Пусть число —1 — собственное значение оператора Тл, А £ р^). Тогда существует функция до £ ^(П х П) такая, что ||до|| = 1 и Тлдо = —до. Обозначив /о(х, у) = йлдо(х,у), получим, что

К/о = Кйлдо = Тлдо = —до = —(V — АЕ)/о.

Далее нетрудно проверить, что /о £ ^(П х П) и ||/о|| = 0. Из последнего равенства получим

Н/о = V/ + К/о = V/ — до = V/о — (V — АЕ )/о = А/о, т. е. число А — собственное значение оператора Н (1.3). >

Лемма 2.2. Пусть / £ ¿2 (П х П). Тогда для любого е > 0 существует подмножество Пе С П такое, что р(Пе) > р(П) — е и £ ¿2(П), а £ Пе, где ^а(х) = /(х, а), х £ П. Причем ||^>а|| ^ С, а £ Пе, для некоторого С > 0.

< Пусть / £ ¿2(П х П) и й = ||/1|2 = 0. Определим две последовательности подмножеств в П по следующим равенствам:

А„ = {у |/(х,у)|2йх<п, у £ п| , п £ Н, (2.1)

Вп = {у |/(х,у)|2йх ^ п, у £ п| , п £ N. (2.2)

Последовательности множеств {Ап} и {Вп} обладают следующими свойствами: 1° А1 С А2 С ... С Ап С ... и В1 Э В2 Э ... Э Вп Э ...;

2° A = lim An = U An и B = lim Bn = f| Bn;

„6N neN

3° tt = A„ U Bn и A„ n Bn = 0, n G N.

Соответственно предыдущим, определим числовые последовательности |an| и {bn} по следующим равенствам:

an = J dy J |/ (x,y)|2dx, n G N,

An ^

bn = y dy J |/ (x, y)|2dx, n G N.

Вп П

Числовые последовательности ага и 6га обладают следующими свойствами: 4° а„ ^ 0 и 6„ ^ 0, п С N

5° ага и 6га — ограниченные последовательности;

6° ага — возрастающая и 6га — убывающая последовательности;

7° й = а„ + 6„, п С N.

Из ограниченности и монотонности последовательностей ага и 6га следует, что они обе сходятся к конечному пределу. Из равенства й = ага + 6га (п £ N) и по построению множества получим, что

d — an ^ 0, n G N и d ^ an + n^(Bn), n G N. Отсюда имеем 0 < n^(Bn) ^ d — an, n G N, т. е.

0 <M£n) < ^^, n G N. n

Значит, lim ^(Bn) = 0. Следовательно, в силу свойства 3°, получим

n—

^(An) = ju(fi) — ^(Bn), n G N. Отсюда lim ^(An) = ^(fi). Значит, для любого достаточно малого е > 0 существует

n—x>

достаточно большое натуральное число no G N такое, что

^(fi) — е < ^(Ano) < ^(fi) и 0 < ^(Bno) < е.

Причем

/|,a(x)|2dx ^|/(x,a)|2dx<„0, a G Ano.

Следовательно, для множества fie = Ano имеем ^>a G L2(fi), a G fie, и

||<Ра|| < C, a G fie

для всякого положительного C ^ no.

Значит при ||/У = 0 доказательство леммы 2.2 завершено. В случае ||/1| = 0 утверждение леммы 2.2 очевидно. >

Следствие 2.1. Пусть / G L2(fi х fi). Тогда для любого е > 0 существует no G N такое, что

|2 = У dy У |/(x,y)|2dx + е, (2.2')

Ano ^

где множество Ап определено в (2.1).

Предложение 2.1. Пусть / £ ^(П х П) и ||/1| = 1. Тогда для семейства {^>а}абП функций, заданных равенством ^>а(х) = / (ж,а), х £ П, существует подмножество фо С П с мерой, отличной от нуля, такое, что ^>а £ Ь2(П), а £ фо, и 0 < ||^>а|| ^ С, а £ фо, для некоторого положительного С.

< Пусть / £ ¿2(П х П) и ||/1| = 1. В силу утверждения леммы 2.2, для произвольного е > 0 существуют подмножество Пе = АП0 С П и число С > 0 такие, что р(Пе) > р(П) — е, ^а £ ¿2(П), а £ Пе, и ||^>а|| ^ С, а £ Пе. Из (2.2') следует, что

2 = У ^ у |/(х,у)|2^х + е = 1. А

Обозначив фо — {а : ||^а | > 0, а £ Пе} С Пе С П, имеем 0 < ||^а || < С, Vа £ фо. Следовательно, получим, что

Оу ||2^у = 1 — е.

Яо

Отсюда вытекает, что р(фо) > 0. Действительно, если ) = 0, тогда, в силу ограниченности функции Л(х) = ||^>х||2 на фо, из последнего равенства мы пришли бы к противоречию с тем, что ||/1| = 0. Предложение 2.1 доказано. >

Лемма 2.3. Пусть фо С П и р(фо) > 0. Если ^>а £ ¿2(П), а £ фо, и ||^>а|| = 1, а £ фо, и для функции двух переменных / , определенной равенством:

/(ж, у) = (^(Х), если Х £ П, У £ ^ (2.3)

10, если у £ П \ фо,

верно / £ ¿2(П х П) и ||/1| = 0.

< Пусть ^>а £ ¿2 (П) и ||^>а|| = 1, а £ фо, для некоторого подмножества фо С П с мерой, отличной от нуля. Тогда для функций двух переменных / (ж, у) (2.3) получим

УУ|/(ж,у)|2 йх^у = у У |/(х,у)|2 ^х + у |/(х,у)|2^х

Яо П П\Яо

= 1 йу у |/(х,у)|2 ^х = 1 ||^у||2 ^у = 1 ^у = р(фо) > 0,

Яо Яо Яо

т. е. / £ ¿2(П х П) и ||/|| =0. >

Предложение 2.2. Пусть ^>а £ ¿2(П), а £ фо для некоторого подмножества фо С П с мерой отличной от нуля, такого, что ||^>а || ^ С, а £ фо. Тогда функция двух переменных /(х, у), заданная равенством

/(х,у) = (^(х), если х £ П, у £ ^ (2.4)

I 0, если у £ П \ фо

принадлежит ¿2(П х П). При этом если ||^>а|| = 0, а £ фо, для некоторого подмножества фо С фо с мерой отличной от нуля, то ||/|| = 0.

2

Доказательство предложения 2.2 аналогично доказательству леммы 2.3.

Следствие 2.2. Пусть f G L2(tt х tt). Тогда существует строго убывающая последовательность положительных чисел {en}ngn такая, что lim en = 0 и

n—

(a) для каждого n G N существует подмножество ttn С tt с мерой p(ttn) > p(tt) — en,

причем tti С tt2 С ... С ttn С ... и |J ttn = tt;

neN

(b) для каждого n G N существует положительное число Cn так, что выполняется неравенство

Цп)! < Cn, Vа G ttn,

где ^0l)(x), а G ttn, — семейство функций одного переменного в L2(tt), заданных равенством

^4n)(x) = f (x, а), x G tt;

(c) для любого n G N функция

f.(x.»)={0(x,y)' ^ ("•'') G ttх tt;;tt) (2.5)

I 0, если (x, y) G tt х (tt \ ttn)

принадлежит L2(tt х tt) и lim fn(x,y) = f (x,y).

n

n

Лемма 2.4. Число £ С С является собственным значением оператора Тд = Кйд, А С р(У), тогда и только тогда, когда число £ является собственным значением каждого компактного оператора Ка = Ка(А), а С до, где

К«^ = V V \ , ^ С ¿2(П), У и(в, а) — А

и ^0 = ^о(А) — некоторое подмножество в tt, мера которого отлична от нуля.

< а) Необходимость. Пусть £ С С — собственное значение оператора Тд, А С р(У), т. е. Тд/о = £/о, для некоторого /о С х tt), ||/о|| = 1. Обозначив через =

^а(ж) = /о(ж, а), а С tt, получим семейство функций на tt. Тогда, в силу предложения 2.1, существует подмножество до С tt такое, что р(^о) > 0 и С а С до. Причем

= 0, а С до. Для произвольного а С до имеем

= —-Г-- йв = —----— йв = Тд/о(ж, а) = £/о(ж, а) = £^>«(ж).

J и(в,а) — А J и(в, а) — А

Значит, число £ является собственным значением оператора Ка = Ка(А), а С до.

б) Достаточность. Пусть А С р(У) и £ — собственное значение для семейства операторов Ка = Ка(А), а С до, где до С tt и р(до) > 0. Тогда существует семейство элементов |^а}а6д0 С ^2^) такое, что = £^>

а и ||^а|| — 1, а С до. Определим

функцию /о равенством:

fo (x,y) =

(x), если x G tt, y G Q0,

|^0, если у С tt \ до.

Тогда в силу леммы 2.3 имеем /о С ¿2^ х tt) и ||/о|| =0. С другой стороны, получим:

(1) при у £ фо

гт * , \ I к(х,в)/о(в, у), /'к(х,в)^у(в)

Тд/о(х,у) = у ц(а,у) — л ^ = ] ц(а,у) — л ^ = ку(Л)^у(х)

= (х) = £/о(х,у), х £ П;

(И) при у £ П \ фо имеем Тд/о(х, у) = 0, т. е.

Тд/о(х,у) = £/о(х,у), х £ П.

Таким образом, Тд/о(х, у) = £/о(х, у) для любых х £ П и у £ П. Значит, число £ является собственным значением оператора Тд.

3. Основные результаты

Пусть Д(Л; а), Л £ р(У), — детерминант Фредгольма [14] оператора Е + Ка(Л), а £ П, где Е — тождественный оператор в ¿2(П). Если Л £ р(У) — собственное значение оператора Н, то, в силу лемм 2.1 и 2.4, существует подмножество фо = фо(Л) С П такое, что р(фо) > 0 и

Д(Л; а) = 0 для всех а £ фо.

Здесь

Д(Л; а) = 1+]Т

йп(Л; а)

«ем

П!

(3.1)

(3.2)

йп(Л; а) ^ У ... У

к(в2,в1)

к(в1,вп)

. . .

П (ц(вг,а) — Л)

¿=1

Из лемм 2.1 и 2.4 вытекает

Теорема 3.1. Следующие три условия эквивалентны: (г) число Л £ р(У) — собственное значение оператора Н; (гг) число —1 — собственное значение оператора Тд = Кйд (Л £ р(У)); (ггг) число —1 — собственное значение каждого компактного оператора Ка = Ка(Л) (Л £ р(У)), а £ фо, где фо — некоторое подмножество в П, мера которого отлична от нуля.

Определим множества ^Я С С и ^я С С, соответственно, равенствами ^Я = {Л £ р(У) : Д(Л; а) = 0 Vа £ фо = фо(Л) для некоторого подмножества фо(Л) С П с мерой, отличной от нуля}, ^я = {Л £ р(У) : Д(Л; а) = 0 для некоторого а £ П} .

Теорема 3.2. Для того, чтобы число Ло £ р(У") было собственным значением оператора Н, необходимо и достаточно, чтобы Ло £ ^Я.

< а) ДостАточность. Пусть Ло £ ^Я. Тогда, по построению множества ^Я, существует подмножество фо(Ло) С П, мера которого отлична от нуля и

Д(Ло; а) = 0, Vа £ фо = фо(Ло).

Значит, число —1 является собственным значением каждого компактного оператора Ка = Ка(Ло), а £ фо. Тогда из теоремы 3.1 следует, что число Ло является собственным значением оператора Н.

б) Необходимость также следует из теоремы 3.1. >

Теорема 3.3. Для любого z G V) U Dh резольвента (H) оператора H существует и действует в х tt) по формуле

о mw f(x,y) 1 f D(x,s; y,z)

Здесь D(x,s; a, z) — минор Фредгольма [14] оператора E + Ka(z), z G p(V), т. е.

D(x, s; a, z) = k(x,s)--+ —L-- iB„(x, s; a, z), (3.3)

u(s,a) — z — z n!

v ' 7 new v ' 7

где

B„(x,s; a, z) = J ...J

k(x,s) k(x,si) ... k(x,sn)

fe(si,s) k(s1,s1) ... k(s1,sn) dsids2 . ..dsn

k(sn,s) k(sn,s1) ... k(sra;sn) ¿=.( ( ' ) )

Прежде, чем доказать теорему 3.3, приведем вспомогательную лемму. Пусть Р5 = {г : т ^ Яе г ^ М и — $ < 1т г < $, г С С}, где $ > 0. Обозначим через V?(т) и V?(М) ¿-окрестности точек т и М, т. е. V?(т) = {г : — т| < $, г С С} и V?(М) = {г : — М| < $, г С С}. Определим открытое множество П? в С :

П5 = C \ P5 U V5(m) U V5(M), 5> 0.

Лемма 3.1. Пусть zo G П5. Тогда для любого 5 > 0 функциональный ряд (3.2) (ряд (3.3)) при А = zo (при z = zo) равномерно сходятся на tt (на tt х tt х tt).

< Пусть 5 > 0 и zo G П5. Положим = sup |k(x,s)|. Из неравенства Адамара [14]

для определителей вытекает, что

if dS \n

K(zo;a)K • n2 \J |u(s,a) — zo|J ' n G N.

Имеем |u(x, у) — zo| ^ 5 > 0, (x, y) G tt х tt. Отсюда и в силу непрерывности функции п(ж, у) следует, что функция

, N ( ds Po(x) =

|u(s,x) — zo|

также является непрерывной на tt.

Пусть po = supPo(x). Тогда ряд (3.2) имеет мажоранту

жбП

1+£>oCfc)n • n2,

new

последний ряд сходится, поскольку степенной ряд

п

n 2

q(x) = X] впХп, где вп =

n

nx , где вп

n!

new

имеет бесконечно большой радиус сходимости. Значит, функциональный ряд (3.2) при А = zo £ П на Q сходится равномерно.

Аналогично можно доказать, что ряд (3.3) при z = zo £ Щ на Q х Q х Q сходится равномерно. >

< Доказательство теоремы 3.3. Пусть zo £ ) U Dh. Рассмотрим уравнение

(H - zoE)f = g,

где g £ х Q) — заданная функция, f — неизвестная функция в L2 (Q х Q).

Следовательно, имеем

(u(x,y) - zo)f (ж,у)^У k(x,s)f (s,y) ds = g(x,y).

Положив /(ж, y) = (и(ж, y) — zo)f (ж, y), получим

/(ж,у) + Tz0/(ж,у) = g(x,y). (3.4)

В силу утверждения следствия 2.2, для функций g £ L2(Q х Q) существует убывающая последовательность положительных чисел en и существует последовательность подмножеств Qn С Q, для которых выполняются свойства (a), (b) и (с), причем lim en = 0.

п^те

Для каждого множества Qn построим подпространство L^ = L2n)(Q х Q). Функция f (ж, y) £ L2(Q х Q) принадлежит подпространству L2n), если выполняются следующие условия:

1° ^сТ')(ж) = f (ж, а) £ L2(Q) для всех а £ Qn;

2° существует положительное число Cn такое, что Н^О^Н ^ Cn для всех а £ Qn; 3° f (ж, y) = 0, если (ж, y) £ Q х (Q \ Qn).

Очевидно, что l2t) С L2(Q х Q) и оно является бесконечномерным евклидовым пространством.

Легко заметим, что для каждого f £ L2(Q х Q) существует последовательность fn £ l2t) , n £ N, такая, что lim fn = f. Поэтому уравнение (3.4) будем решать в подпро-

п^те

странстве L(ra) и затем найдем решение уравнения (3.4) как предел lim /п(ж, y) = /(ж, y),

п^те

где fn — решение уравнения (3.4) в l2t) .

Пусть gn(ж, y) — элемент в l2""\ соответствующий функции g^,y). Обозначим через /п(ж, y) элемент в L2n), соответствующий неизвестной функции /(ж, y) £ L2(Q х Q). Тогда уравнение (3.4) сводится к следующему уравнению в пространстве L2n) :

/п(ж, y) + Tzo fn (ж, y) = gn^, y). (3.5)

Следовательно, из свойства (b) следствия 2.2 вытекает, что при фиксированном y £ Q уравнение (3.5) приводится к следующему уравнению в пространстве L2(Q) :

(ж) + КаЫ^п)(ж) = ^(ж), а £ Q. (3.6)

Здесь Ka(zo) — компактный оператор в L2(Q), определенный по равенству

Ka(zo)^ = [ к(ж,в)— ^(s) ds, а £ Q, J п(^,а) — zo

^сТ^ж) = /Т(ж, а) — неизвестная функция в лОТ^ж) = дТ(ж,а) — заданная функ-

ция в ¿2^).

В силу первой фундаментальной теоремы Фредгольма [14], уравнение (3.6) при каждом а £ ^ имеет единственное решение

<^га)(ж) = ^(ж) - — (¿^(ж), где оператор —а(^о) действует в ¿2^) по формуле

лат! \ [ ^(ж,в; а, ¿о)

= 7 А(а; ¿о) ^ ^

и, в силу утверждения леммы 3.1, оператор —а(^о) является компактным.

Нетрудно проверить, что функция /Т(ж, у) = ^уТ)(ж) принадлежит подпространству ¿2п) и является решением уравнения (3.5). Определим функцию р £ равенством

р(ж, у) = (Е - — (¿о))д(ж,у), где оператор — (¿о) действует в ¿2^ х по формуле

—(¿о)/=/ ^Аёг / (-у) -

и он, в силу леммы 3.1, является ограниченным оператором. Следовательно, если (ж, у) £ ^ х то

Р(ж, y) = g(ж, y) — W(zo)g(ж, y) = gn (ж, y) — W(zo)gn(ж, y) = 4п)(ж) — Wy ЫЛ./п)(ж) = <4п)(ж) = fn (ж, y).

Если а £ Q \ Qn, то в уравнении (3.6) Л-ОТ^ж) = 0. Тогда имеем решение (ж) = 0. Отсюда имеем /п(ж, y) = ^>/п)(ж) = 0 при (ж, y) £ Q х (Q \ Qn).

Таким образом, из свойства (с) следствия 2.2 получим, что р(ж, y) = lim /п(ж,у). Значит, функция

/(ж, y) = р(ж, y) = (E — W (zo ))g(ж, y)

является решением уравнения (3.4). Следовательно, подставив вместо f (ж, у) функцию (и(ж, y) — zo)f (ж, у), найдем действие резольвенты Rz0 (H) оператора H :

f(ж, y) = Rzo(H)g^,y) = Rzo(V)(E — W(zo))g(ж,y) = -;т^(ж,У) — W(zo))g(ж,y).

1

и(ж, y) — zo '

Теорема 3.3 доказана. >

Из теоремы 3.3 и определения спектра получим следующую теорему.

Теорема 3.4. Спектр оператора H состоит из объединения множеств a(V) и Dh, т. е.

ст(Н) = a(V) U Dh.

Лемма 3.2. Пусть аo £ Q. Тогда для семейства операторов Ка(А), А £ p(V),

lim ука(А) — Kao(А)У =0,

a^-ao

т. е. семейство операторов {Ка(А)}а6п при а ^ ао сходится к оператору Као (А) в равномерной операторной топологии.

< Пусть ^ — произвольный элемент в ¿2^) и ао С tt. При фиксированном Ао С р(У) = С \ [т, М] рассмотрим разность элементов Ка(Ао)^> и Као (Ао)^> :

Ка(Ао)^ — Као (Ао)<р = — -г-Г"^—7-г-гг <р(в) йв.

У (и(в,а) — Ао)(и(в,ао) — Ао)

Тогда получим, что

(и(в, а) — и(в, ао))2|к(ж, в)|2 йж йв

|Ка(Ло) - Као(Ао)||2 < Ц

|u(s, а) - Ао|2|u(s, ао) - Ао|2

Положим ео = |и(в,ж) — Ао| > 0. Тогда, в силу непрерывности веществен-

Ж^бП

нозначной функции и(ж,у), для произвольного $ > 0 существует достаточно малое число е > 0 такое, что |и(в,а) — и(в,ао)| < ео ■ е, для всех (в, а) С tt х tt,^, где tt? = {а : р(а, ао) < $, а С tt}. Итак, при а С tt,^ имеем

К(Ао) - Као (Ло)|2 < C2 ■ е2 J

ds

|u(s, а) - Ло|2|п(в, ао) - Ло|2'

где Ck = sup |k(x, s)|.

Однако значение интеграла в последнем неравенстве при любом а G tt не превосходит значения ^(П)/ео- Следовательно, получим

||Ка(Ло) - Као(Ло)|| < C ■ p(tt)e, а G tt5.

Из последнего неравенства в силу произвольности значения е > 0 получим, что

lim ||Ка(Ло) - Као(Ло)|| =0. >

а—>ао

Теорема 3.5. Дискретный спектр оператора H — пустое множество, т. е.

^disc(H) = 0.

< Покажем, что a(H) С aess(H). Очевидно, что a(V) = [m, M], где m = inf f (ж, y) и M = sup f (ж, y). Однако, любая точка Л G a(V) является неизолированной в спектре оператора H. Поэтому имеет место включение a(V) С aess(H).

Теперь, пользуясь критерием Вейля о существенном спектре самосопряженных операторов [15], докажем включение Dh С aess(H). Пусть Ло G Dh — некоторая фиксированная точка. Тогда существует элемент ао G tt такой, что Д(Ло; ао) = 0, т. е. число -1 является собственным значением оператора Као = Као (Ло). Значит, существует вектор ^ G L2(tt), |М| = 1, такой, что Као(Ло)^(ж) = -^(ж). Введем обозначения:

^П(ао) = j y : —< p(y, ао) < П, y g ttl С tt I n I 1 n I

— выколотая окрестность точки ао G tt, (y) — характеристическая функция множества РП(ао).

Определим последовательность функций {fn} С L2(tt х tt) следующим образом:

fn(x,y)= ^(Х)Хп(У)

^р(Кг(ао)) u(x,y) - V

где |7п} — некоторая ограниченная числовая последовательность, которая выбирается для нормирования последовательности {/п}.

Так как носители функций /п и /т не пересекаются при п = т, то

(fn, fm) = ^ У)/™(Ж, y) ^Ж dy = 5ram,

где $nm, — символ Кронекера, т. е. {fn} — ортонормированная система в х П).

Тогда имеем

(Я - А°E ШЖ- y)=^fa • x"(y) (*Ж)+/ ds

Yn

Xn(y)(^(x) + (AoMx)).

Следовательно, получим, что

II(Н - АоЕ)/„|| < 7га||р + Ку(Ло)^У ^ 0, п ^то.

Действительно, при п ^ то имеем у ^ ао, ив силу леммы 3.2 вытекает, что ||Ку(Ао+ ^ ||Ка0 (Ао)^ + ^>|| =0 при п ^ то, так как ^ — собственный вектор оператора Као (Ао), соответствующий собственному значению -1. Это означает, что Ао £ сте88(Н) [15]. В силу произвольности Ао € вытекает ^я С сте88(Н). Итак, мы доказали, что ст(Н) С ае88(Н). Значит, имеем ст^^Н) = 0. >

4. Случай к(ж, s) = ^(x)^(s)

Пусть ^>(ж) — аналитическая функция на П = [a,b]v, к(ж,s) = ^(x)^(s), и(ж, y) — ве-щественнозначная непрерывно дифференцируемая функция на П х П, которая достигает максимума в единственной точке (xo,yo) £ П х П, т. е. M = sup и(ж, y) = n(xo,yo)-

В пространстве Ь2(П х П) рассмотрим оператор

Hf = и(ж, y)f (ж, y) ^ У ^(ж)Щ/(s,y) ds, f £ L2(П х П). (4.1)

Тогда детерминант Фредгольма Д(А; а) имеет вид

Д(А; а) = 1 + / |f(s)[2 dS , А £ p(V), а £ [a, J u(s, а) — А

Поскольку функция п(ж, у) непрерывно дифференцируема, то частные производные , А £ По, и , а» £ П, являются непрерывными функциями по каждому аргументу А £ По и а» £ [а, 0], причем

Ж = / (ф.а) - А)2, А £ По (а £ [а,&]^), п

дД ( 1^(5)12дй . £ [ о] • 2 (А £ П)

1 ds , а» £ [а , о], г = 1 ,2 , (А £ По).

да J (u(s, а) — А)2 п

Здесь По = М \ ).

Функция А(А; а) при а = ао является монотонной функцией от А на (М, то). Определим вещественнозначную функцию ш(ж) на tt = [а,6]^ по формуле:

Д(М;ж), если ж = ао,

lim л—м+о

W(X) = < lim Д(Л;ж), если ж = ао, (4L2)

где ао = Уо.

Очевидно, что если значение предела

lim / ^^ (4.3)

л—m+о J u(s, ао) - Л п

конечно, то функция ш(ж) становится непрерывной на tt = [a,b]v. Положим Wmin = inf ш(ж) и Wmax = SUp ш(ж).

Теорема 4.1. Пусть значение предела (4.3) конечно. Тогда

а) если wmin ^ 0, то Dh = 0, т. е. a(H) = a(V);

б) если wmin < 0 и wmax ^ 0, то Dh = 0 и существует непустое открытое множе-

V

ство G С tt такое, что G = |J Gj где Gj — связные компоненты открытого множества

j=i

G, и существует ровно p функций ^(ж), ^2(ж), ..., ^р(ж) таких, что каждая функция qj (ж) является непрерывной и ограниченной на Gj; при этом имеют место следующие равенства:

_ V

(i) DH = U [aj,bj], где aj = in£_qj(ж) и bj = sup qj(ж);

j=i x6Gi жеё"

V

(ii) Dh = U Д^-, где Дj = [aj, bj], если aj > M и Д^- = (aj, bj], если aj = M;

j=i

(iii) a(H ) = a(V) U (jJK ,bj ;

в) если wmax < 0, то Dh = 0 и существует единственная ограниченная непрерывная

функция q^) на tt такая, что Dh = [qmin, qmax] , где qmin = inf q^) > M и qmax =

жбП

sup q^).

жбП

< Поскольку оператор H — самосопряженный, то при изучении множества Dh С a(H) нам достаточно рассмотреть случай, когда параметр Л G C\a(V) — вещественный, т. е., вообще говоря, имеет место равенство

DH = {Л G R \ a(V) : Д(Л; а) = 0 для некоторого а G tt} .

С другой стороны, если Л < m, то из (4.1) вытекает, что Д(Л; а) > 0 для всех а G tt. Значит, имеет место включение Dh С (M, то). Поэтому мы будем рассматривать только случай Л G (M, +то).

Пусть значение предела (4.3) конечно. Тогда функция ш(ж) (4.2) является непрерывной на ограниченном замкнутом множестве tt. Легко заметить, что при каждом фиксированном а G tt функция Д(Л; а) непрерывна и строго монотонно возрастает от

ш(а) = lim Д(Л; а) до 1 на полуоси (M, +то). л—м+о

а) Пусть wmin ^ 0. Тогда в силу монотонности функции Д(А; а) по А £ (M, +то), при каждом а £ П имеем Д(А; а) > 0 для любого А £ (M, +то). Значит, по определению множества Dh, получим, что Dh = 0.

б) Пусть wmin < 0 и wmax ^ 0. Тогда из непрерывности функции ш(ж) следует, что прообраз G = w-1 ((wmin, 0)) интервала (wmin, 0) является непустым открытым множе-

о

ством в П= (a,b)v. Для любого ao £ G выполняется неравенство w(ao) < 0, значит, уравнение Д(А; ao) = 0 имеет единственное решение Ao > M, т. е. Д(Ao; ao) = 0, где Ao > M. Из того, что в всякое открытое множество имеет не больше, чем счетное

число связанных компонент, следует, что существуют непустые взаимно непересекаю-

р

щиеся открытые области Gi, G2, ..., G&, ..., Gp такие, что G = |J Gj, где p = n £ N

j=i

или p = то. Для уравнения Д(А; а) = 0 для каждого открытого множества Gj выполняются условия существования и единственности неявных функций [16]. Таким образом, уравнение Д(А; а) = 0 на Gj имеет единственное непрерывное решение qj(ж), Ж £ Gj, т. е. Д(^-(ж);ж) = 0, Vж £ Gj. Поскольку Gj — область, то множество Imqj(ж), ж £ Gj, (образ функции замкнутого множества Gj) в силу непрерывности функции qj (ж) является отрезком, т. е. Im qj(ж) = [aj, bj], где aj = inf qj(ж) и bj = sup qj(ж). Следовательно,

xGGj xGGj xeGj _ P

получим, что (i) Dh = U [aj, bj]. По определению множества Dh, число M не принад-

j=i _

лежит Dh, поэтому, выбрасывая это число из Dh, мы имеем равенство (ii). Равенство (iii) теперь непосредственно вытекает из теоремы 3.4 и равенства (ii).

в) Пусть Wmax < 0. Тогда для любого а £ П выполняется неравенство w(a) = ^ lim Д(А; а) < 0. Следовательно, в силу монотонности функции Д(А; а) по А £ (M, то),

о

для любого ao £П= (a,b)v существует единственное число Ao £ (M, то) такое, что

о

Д(Ao; ao) = 0, т. е. в П выполняются условия существования и единственности неявных функций для уравнения Д(А; а) = 0. Значит, существует единственная непрерывная

o

функция д(ж) на П такая, что Д(д(ж);ж) = 0, Vж £ П. >

Теорема 4.2. Пусть значение предела (4.3) бесконечно. Тогда Dh = 0 и

а) если wmax ^ 0, то существует непустое открытое множество G С П такое, что р

G = U Gj, где Gj — связные компоненты открытого множества G, и существует ровно j=i

p функций ^(ж), q*2 (ж) , ..., ^р(ж) таких, что каждая функция gj (ж) является непрерывной и ограниченной на Gj, причем имеют место равенства (i), (ii) и (iii);

б) если wmax < 0, то существует единственная ограниченная непрерывная функция д(ж) на П такая, что Dh = [qWin, 9max], где qmin > M.

Доказательство теоремы 4.2 аналогично доказательству теоремы 4.1.

Литература

1. Малышев В. А., Минлос Р. А. Кластерные операторы // Тр. сем. им. И. Г. Петровского.—1983.— Вып. 9.—С. 63-80.

2. Mattis D. C. The few-body problem on lattice // Rev. Modern Phys.—1986.—V. 58, № 2.—P. 361-379.

3. Mogilner A. I. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrodinger operators: problems and results // Adv. Soviet. Math.—1991.—V. 5.—P. 139-194.

4. Лакаев С. Н. Связанные состояния и резонансы N-частичного дискретного оператора Шрединге-ра // ТМФ.—1992.—Т. 91, № 1.—С. 51.

5. Лакаев С. Н. Об эффекте Ефимова в системе трех одинаковых частиц // Функ. анализ и его приложения.—1993.—Т. 27, вып. 3.—С. 15-28.

6. Жуков Ю. В. Теорема Иорио-О'Кэррола для К-частичного решетчатого гамильтониана // ТМФ.— 1996.—Т. 107, № 1.—С. 75-85.

7. Изюмов Ю. А., Медведов М. В. Теория магнитно-упорядоченных кристаллов с примесью.—М.: Наука, 1970.—271 с.

8. Балагуров Б. Я., Вакс В. Г. К теории антиферромагнитных примесей в магнитиках // ЖЭТФ.— 1974.—Т. 66.—С. 1135-1149.

9. Дякин В. В., Летфулов Б. М. Локализованные спин-поляронные состояния в ферромагнити-ках // ТМФ.—1987.—Т. 73, № 3.—С. 454-462.

10. Эшкабилов Ю. Х. Об одном «двухчастичном» и «трехчастичном» операторе Шредингера // Тез. докл. Межд. Конф. «Колмогоров и современная математика».—Москва, 16-21 июня 2003 г.— С. 362-363.

11. Эшкабилов Ю. Х. Об одном некомпактном возмущении в непрерывном спектре оператора умножения на функцию // Узб. мат. журн.—2003.—№ 1.—С. 81-88.

12. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 4: Анализ операторов.—М.: Мир, 1982.—427 с.

13. Эшкабилов Ю. Х. О дискретном спектре тензорной суммы операторов // Докл. АН РУз.—2005.— № 1.—С. 6-10.

14. Трикоми Ф. Интегральные уравнения.—М.: ИЛ, 1960.—300 с.

15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1: Функциональный анализ.—М.: Мир, 1977.—357 с.

16. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. М.: Наука, 1966.—607 с.

Статья поступила 5 октября 2005 г. ЭШКАБИЛОВ Юсуп ХАЛБАЕВИЧ

Ташкент, Национальный Университет Узбекистана им. М. Улугбека E-mail: [email protected]