CC BY
106
УДК 528.34:629.783 Ю.В. Сурнин СГГА, Новосибирск
О СОЗДАНИИ АКТИВНОЙ КООРДИНАТНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ ОСНОВЫ НА ОГРАНИЧЕННОМ УЧАСТКЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ГЛОНАСС/GPS-ИЗМЕРЕНИЙ
Предлагается создание активной координатно-гравитационной основы, физическим носителем которой является геодезическая сеть активных базовых станций, ведущих непрерывные ГЛОНАСС/GPS-измерения на некотором ограниченном участке земной поверхности. Помимо физического носителя координатно-гравитационная основа включает параметры математической модели внешнего гравитационного поля Земли и каталог координат базовых станций. Такая активная координатно-гравитационная основа позволит одним спутниковым приемником определять в реальном масштабе времени в широком диапазоне точностей не только координаты наземных потребителей, но и различные трансформанты гравитационного поля Земля (нормальные высоты, астрономические долготы, широты, азимуты, ускорение силы тяжести) без использования традиционных геодезических приборов (нивелиров, дальномеров, тахеометров, астрономических и гироскопических теодолитов и гравиметров).
Yu.V. Surnin SSGA, Novosibirsk
DEVELOPMENT OF THE ACTIVE COORDINATE AND GRAVITAIONAL BASE ON THE LIMITED AREA OF THE EARTH'S SURFACE BY GLONASS/GPS MEASUREMENTS
Development of the active coordinate and gravitational base is offered. Its physical carrier is the geodetic network of active base stations, taking continuous GLONASS/GPS-measurements on some limited area of the Earth's surface. Besides the physical carrier the coordinate and gravitational base comprises parameters of the Earth's external gravitational field simulation and the catalog of the base stations coordinates. Such an active coordinate and gravitational base will make it possible to use one satellite receiver for determining (in real time and wide accuracy range) not only the coordinates of the ground-based consumers, but also different transforms of the terrestrial gravitational field (normal heights, astronomic longitudes, altitudes, bearings, gravitational acceleration) without traditional geodetic instruments (levels, range finders, tacheometers, astronomic and gyroscopic theodolites and gravimeters).
Современная спутниковая технология, основанная на системах глобального позиционирования ГЛОНАСС и GPS (которую теперь называют ГНСС1)-технологией), позволяет развивать не только пассивные геодезические построения - ФАГС2), ВГС3), СГС4) и локальные СГС, но и создавать геодезические сети активных базовых станций (ГС АБС). Принципиальное отличие пассивных и активных геодезических сетей состоит в том, что активная сеть базовых станций непрерывно и оперативно (в любое время суток, в любой точке обслуживаемой территории) дает возможность потребителю автономно одним спутниковым приемником определять свое положение без установки измерительных средств на других опорных пунктах. Пассивная сеть последним свойством не обладает.
Геодезические сети наземных пунктов вместе с каталогами координат и математическим описанием системы отсчета являются физическими носителями не только координатной основы, задающей геометрию земного пространства. Все процессы на Земле, вся деятельность человека происходят в реальном гравитационном поле, учет которого необходим при относительной точности решения геодезических задач, начиная от 10-5 и выше. ГНСС-технология является примером нанотехнологии - в ней достижима относительная точность 10-9. Поэтому геодезические сети наряду с геометрической составляющей пространства, должны быть носителями и физической (гравитационной) составляющей пространства.
1)ГНСС - глобальная спутниковая навигационная система,
2)ФАГС - фундаментальная астрономо-геодезическая сеть,
3)ВАГС - высокоточная геодезическая сеть,
4)СГС - спутниковая геодезическая сеть.
Существующие планетарные модели внешнего гравитационного поля Земли (ВГПЗ), описывают сглаженную поверхность квазигеоида и дают высоты с ошибкой около 1-2 м, региональные модели -0,3-0,5 м, локальные модели
0,05-0,1м. Современная планетарная модель ВГПЗ [1] дает погрешность по высоте геоида на порядок меньше (около 0,1 - 0,2 метра). Однако такой точности знания гравитационного поля еще недостаточно, если сравнивать ее с погрешностью в несколько миллиметров для современных определений координат наземных пунктов с помощью ГНСС-технологии.
В связи с этим актуальным является вопрос повышения точности гравитационных моделей до уровня, сопоставимого с точностью координатных ГНСС-определений, хотя бы для ВГПЗ в локальных районах. В планетарном масштабе достижение такой точности ВГПЗ - далекая перспектива. Между тем, в локальной области пространства, на ограниченном участке земной поверхности, возможно определение гравитационного поля с сантиметровой точностью (по высоте квазигеоида) уже сегодня.
Соединение координатной и гравитационной основы в одном активном физическом носителе (в виде ГС АБС) позволит быстро и точно решать не только геометрические геодезические задачи по определению положения, но также эффективно решать физические (гравитационные) задачи по
определению различных трансформант потенциала ускорения силы тяжести. Иными словами, активная координатно-гравитационная основа ГС АБС даст возможность потребителю с помощью одного спутникового приемника в любой точке локальной области, в любое время дня и ночи, при любой погоде быстро и экономично получать не только пространственные геодезические координаты Ь, В, Н, плоские прямоугольные координаты х,у в какой-либо картографической проекции и нормальные высоты И7 (как функции только двух аргументов -долготы и широты), т. е. так, как это обычно делается сегодня в существующих программных продуктах. Активная координатно-гравитационная основа позволит дополнительно вычислять ряд гравитационных величин , которые с помощью существующего программного обеспечения для спутниковой аппаратуры пока еще не определяются. Появляется дополнительная возможность получать одним спутниковым приемником, такие гравитационные величины как: нормальные высоты Н без нивелира - в виде функции трех координат Н(Ь, В, Н) с точностью нивелирования III класса; астрономические долготы X, широты ф и азимуты а без астрономического универсала и гиротеодолита на уровне точности астрономических определений на пунктах Лапласа; а также ускорение силы тяжести g без гравиметра. Такая активная геодезическая сеть, содержащая координатную и гравитационную основу в виде каталога координат и параметров локальной модели ВГПЗ, расширит функциональные возможности массового использования ГНСС-технологии.
Один из вариантов теории и методики объединения в одном физическом носителе гравитационного поля и координатной основы для пассивных локальных спутниковых геодезических сетей разработан и испытан в СГГА [210]. Эксперименты были проведены на Эталонном геодезическом полигоне СГГА в 1998-2007 гг.
В данной работе предлагается распространить перенести теорию и методику, разработанную для пассивных геодезических сетей, на активные спутниковые геодезические сети. Это позволит создать автоматизированную технологию не только координатного, но и гравитационного обеспечения пространства на ограниченной территории в реальном масштабе времени.
Из целого ряда этапов создания координатно-гравитационной основы геодезической сети активных базовых станций, в этой работе пока рассматривается только один этап. А именно, методика определения аналитической модели локального внешнего гравитационного поля Земли на основе планетарной модели ВГПЗ высокого порядка.
Пусть в общеземной системе координат дана планетарная модель внешнего поля тяготения Земли V в виде разложения вряд по шаровым функциям до #-ой степени и #-го порядка
ОМ N п п ґ \
1+ I I СПт С08 тЛ + £ пт ^ тЛ Р пт ^іп Ф)
г п = 2 1г) т - 0 V )
где ОМ - гравитационный параметр Земли; а - экваториальный радиус Земли (или иначе, большая полуось общего земного эллипсоида); Спт, Бпт -полностью нормированные безразмерные гармонические коэффициенты,
соответствующие принятым числовым значениям параметров GM и ae; X, ф, r -геоцентрические долгота, широта и расстояние текущей точки, в которой вычисляется потенциал К; Рпт($тф) - полностью нормированные
присоединенные сферические функции Лежандра первого рода степени n и порядка т.
Связь нормированных и ненормированных сферических функций рпт{sin ф) и Рпт{^шф) и гармонических коэффициентов Cnm,Snm и Cnm,Snm осуществляется посредством нормирующих множителей Кпт по формулам:
Рпт (sin ф) = Кппрпт (sin ф\ Спп = Спп / Кпт, Snm = Snm / Кпт,
Кпт = д/(2 - S0 m )(2п +1 ){п - т)\/(и + да)!, (2)
8п„ =0, если т^Ои Sam =1, если т = 0.
U, т ? U, т ?
Для упрощения решения нелинейной задачи и сведения ее к линейной введем нормальное поле для потенциала U ускорения силы тяжести,
создаваемое уровенным эллипсоидом вращения, определяя его четырьмя параметрами GM, a, е, ш. Гравитационный параметр GM и большая полуось a нормального эллипсоида считаются равными параметрам GM и a планетарной модели (3), а константы е и ш задают номинальный эксцентриситет и номинальную угловую скорость вращения уровенного эллипсоида. Для
нормального потенциала тяготения V будем использовать разложение в ряд по шаровым функциям [11, с. 142]
Г п=0 Г
Р0 = 1, Рх = sin ф,
Сп + 1)Рп+1 (sin Ф) = (2п +!) sin ФРп (sin Ф) - пРп-1 (sin Ф),
С°2„ = С°2п/К2п, Р2п(sin ф) = К2пР(sin <*), = л/2^ТТ , (3)
2n
2n
с°2и =(-1)"-^-(1- —q0=-2Y-----------------------------(е')2и+1,
2и + 1 3q0 2п + 3 (2п = 1)(2п + 3)
е = , , т =-----.
л/ 1-е2 СМ
Следует отметить, что верхний предел суммы N ряда для нормального поля устанавливается по условию
С°2Ы
2\2N+\
<е, (4)
(1-еУ
где в - относительная погрешность планетарной модели (2).
Планетарный возмущающий потенциал Т определим относительно нормального поля V как разность между планетарным полем тяготения V и нормальным V равенствами:
Т=У-Г -АЖ0, АЖ0 ='1УА~и0, (5)
2 2 2 1
]УЛ = Г(ХА, <рл, г^Ол, Ол = ш г< ‘°5 ф‘ , (6)
СМ Ш 1
ио=У(Фо=^,'і= яа/ь1?) = -р- ZtT-W С (7)
2 аы 1-е п-о (1-е )
e
С1 Л/f ^. п _п. _ _ _
т =---Z (_)” Z (лс«- cos тпЛ + Snm sin m)Pnm (sin ф)-Ш0, (8)
Г „=2 г m=0
где WA и U0 - планетарный и нормальный потенциалы ускорения силы
тяжести соответственно в исходном пункте А нивелировок с геоцентрическими сферическими координатами ХА, срА, гА и на поверхности уровенного эллипсоида для точки северного полюса; ЛС2й 0 - четные зональные коэффициенты, которые
выражаются через коэффициенты планетарной (1) и нормальной (3) моделей тяготения Земли равенством
А С2й;0=С2й;0-С°2й, n = \,2,...,N, (9)
остальные косинусные коэффициенты, принадлежащие нечетным
зональным, а также тессеральным и секториальным гармоникам возмущающего потенциала Т, равны соответствующим коэффициентам планетарной модели потенциала тяготения V
А СЙИ=СйИ. (10)
Заметим, что выражение (8) для возмущающего потенциала Т справедливо в случае, когда системы координат, а также параметры GM и a, для планетарной (1) и нормальной (3) моделей поля тяготения Земли, совпадают.
Современные планетарные модели ВГПЗ (например, EGM 2008) содержат более миллиона тригонометрических членов, что приводит на практике к большим затратам машинного времени в расчетах. Поэтому аналитическую модель планетарного возмущающего потенциала Т в прикладных задачах аппроксимируют обычно цифровой моделью, как табличную функцию двух координат L и B с равномерно расположенными узлами. Число узлов, в которых лежит информация, зависит от шага сетки меридианов и параллелей и приближается к миллиарду.
В данной работе предлагается аппроксимировать планетарную аналитическую модель возмущающего потенциала Т в пределах ограниченного
3 4 2
участка земной поверхности (около -10 -10 км ), во-первых, аналитической (а не цифровой) моделью T . Такая локальная модель T имеет значительно меньшую степень разложения, чем исходная планетарная модель Т. Во-вторых, предлагается в локальную модель возмущающего потенциала T~ вкладывать не только планетарную часть потенциала тяготения Т, но и три составляющих его градиента gradT1. В-третьих, предлагается локальный возмущающий потенциал T (или высоты квазигеоида Z=T/y) представлять как функцию не двух (как это обычно делается), а трех координат (двух плановых координат и высоты), определяющих положение исследуемой точки в трехмерном пространстве.
С этой целью введем локальную модель возмущающего потенциала T , аппроксимирующую планетарную модель Т в ограниченной области, с помощью степенных полиномов до заданной степени n, выражениями:
гг гг гг
T(L,B,H) = JJYLcJb,h>- (И)
/=0 j—0 £-0
^(Я+HJcosBJL-LJ, Ъ - (М0 +Н0)(В-В0), h = H-H„ (12)
где Сук - коэффициенты, подлежащие определению; Ь, В, Н - геодезические долгота, широта и высота текущей точки, в которой вычисляется потенциал т ; Ь0, В0, Но=0 - геодезические координаты начальной точки, долгота и широта которой выбирается, примерно, в середине участка аппроксимации; п -заданная степень локальной аппроксимации; Ы0 и М0 - радиусы кривизны сечения нормального эллипсоида плоскостями первого вертикала и меридиана в начальной точке (Ь0, В0), вычисляемые по формулам:
N0=a{\-е sin В0)~ , М0 =а{\-е )(l-e2sin В0)
-3/2
(13)
Чтобы формальная полиномиальная модель (11) соответствовала потенциалу тяготения, необходимо выполнение условия Лапласа
,д2Т
V Г = (-
д2Т | d2T^_Q
(14)
д12 эъ2 дъ2
Этому условию удовлетворяют однородные гармонические многочлены (с новыми коэффициентами с5), которыми заменим степенные полиномы ГЪ]Нк в модели (11). Тогда выражение для аномального потенциала т перепишется так
~ Р ~
Г = £с,Г('\ Р = (п +1)2. (15)
р = (п + 1) .
Соответствие между степенью n однородного многочлена, одно индексными cs и трех индексными Cijk параметрами моделей (11) и (15), а также явные выражения для однородных гармонических многочленов аномального потенциала тяготения T и составляющих 7~(s), T~(s), T~(s) его градиента grad T в
эллипсоидальных координатах L, В, Н, даются в табл. 1 и имеют вид:
- м ~ ~
" TbeB+TheH, (16)
grad T =
= (K+H0)c°sB0 fi6L+Mo
(N + H) cos В
M+H
T =
1 : ^ о 1 и 1 : ^ О 1 II гр (0) 1Ъ п гр (0) 1h
1 | 1 1 1 1 1 1
(17)
dT
( s )
dl
fw _ dT
1ъ —
( s)
T^=^, s=0, 1,..., p
(18)
дЪ дЬ
где еЬ, еВ, еН - орты касательных к координатным линиям Ь, В, Н в текущей точке, определяемые равенствами:
-sin L -sin B cos L cosBcosL
eL = cos L 5 eB - - sin B sin L , eH = cos B sin L
0 cos B sin B
Таблица 1. Однородные гармонические многочлены Т (*) локального возмущающего потенциала тяготения Т и его градиентов
~(*) Т(*) Т (*)
Т1 , ТЬ , Тк
п s Cs Т(*) т(*) Т , Т(*) ТЬ , Т (*) Тк
0 0 Со С000 1 0 0 0
1 1 С1 С100 1 1 0 0
1 2 С2 С010 ь 0 1 0
1 3 Сз С001 и 0 0 1
2 4 С4 С110 1Ь ь г 0
2 5 С5 С101 1И и 0 г
2 6 С6 С011 ьи 0 и ь
2 7 С7 С200 12-И2 21 0 -2и
2 8 С8 С0020 ь 2 1 и 2 0 2ь -2и
3 9 С9 С120 г'3* 1 2 й ь 2 1 12 21ь 0
3 10 С10 С102 2 1 \3 3 И2-1 0 2ги
3 11 С11 С210 12Ь-Ь3/3 21ь г 1 ь 2 0
3 12 С12 С012 ьи2-ь3/з 0 и 2 1 ь 2 2ьи
3 13 С13 С201 12и-и3/3 21И 0 г2-и2
3 14 С14 С021 ь2и-и3/з 0 2ьи ь 2 1 и 2
3 15 С15 С111 1ЬИ ьи ги гь
4 16 С16 С220 12ь2-14/6-ь4/6 г'3* > - 2 2 212ь-4ь3/6 0
4 17 С17 С202 12И2-14/6-И4/6 > 1 2 2 0 2г2и-4и3/б
4 18 С18 С0022 ь2и2-ь4/6-и4/6 0 2ьи2-4ь3/6 2ь2и-4и3/6
4 19 С19 С3100 13ь-31ьи2 312ь-3ьи2 гз 1 3 г 2 -бгьи
4 20 С20 С130 2 2и - з й ь3-зьи2 згь2-зги2 -бгьи
4 21 С21 С301 13и-31ь2и 312и-3ь2и -бгьи г3-3гь2
4 22 С22 С103 и 2 - з г5 и3-зь2и -бгьи 2 гь г 1 2 г
4 23 С23 С031 ь3и-312ьи -61ьи зь2и-зг2и ь 3 1 3 г2 ь
4 24 С24 С013 ь и з 1 3 ь и -61ьи и 3 1 3 г2 и 3ьи2-3г2ь
Наша цель большой объем исходной информации об аномальном гравитационном поле всей Земли т , представленной в виде множества коэффициентов {ЛСпт, Йпт; сжать в вектор с параметров локальной
аналитической модели Т
с={с3}, s=0, 1,...р. (20)
Степень сжатия информации зависит от размеров локального участка земной поверхности, требуемой точности решения задачи, точности исходных данных {Аспт, 8пт} и плотности наземных пунктов с известными геодезическими координатами (Ь, В, Н). Сжатие информации может быть очень значительным и существенно экономить машинное время расчетов и оперативную память ЭВМ.
Для сжатия исходной информации составим систему линейных уравнений Лх+у=/, (21)
где х - вектор неизвестных параметров модели возмущающего потенциала
Т
х [c0, С1,^Сз,^Ср] с , (22)
V- вектор суммарных погрешностей «измерений» и принятых моделей,
f и A - вектор «измерений» и матрица коэффициентов, формирующих систему уравнений наблюдений.
Вектор f составим из планетарных аномалий высоты Z, составляющих отклонений отвеса в плоскостях первого вертикала п и меридиана £ и аналога аномалий ускорения силы тяжести Ag. В данной задаче нет смысла вводить в решение строгое определение аномалии Ag, как разность модуля вектора ускорения планетарной силы тяжести g и модуля вектора нормального ускорения у. Для упрощения вычислений удобно ввести аналог Ag как проекцию градиента возмущающего потенциала T на направление нормали к эллипсоиду. Трансформанты {Z п, Ag} можно вычислять на основе модели (8) для T по формулам:
<£" = —, г}= - grad T-eL/y, £= - grad Т-е^у, Ag=grad Тен, (23)
Y
grad T
дТ г cos фдА
дТ
г cos фдА
N
--GMX
дТ
• Н---------_
дТ_
гдф ф dr г
(24)
N д”+1 П
X m' (Snm cos mA - ACnm sin tnA)P^m (cos ф),
n=2
m=0
N an+1 n
2 (ACnm cos да2 + Snm sin mA)
dpnm^m Ф)
(25)
n=2
m=0
^-gmY {J^-
dr tt rn"-
n+1
=
-sin A cos 0
e, =
Z C0S + ^ Skl mA>> C0S ФРпш (sin A
m=0
- sin ф cos A \cos ф cos A
cos ф sin A sin ф
-sin ^sin A cos^
er =
(26)
В формулах (25) введены видоизмененные - помеченные штрихом нормированные сферические функции Р^т(&т ф) с помощью равенства
Рпм(^ Ф)
P'nmiSm Ф) =
cos<
(27)
Применение функций Р„т(эт ф) позволяют исключить особенности и
снижение точности расчетов потенциала и его градиентов на полюсах (ф=±п/2). и в ближайшей окрестности их.
Для вычисления сферических функций (27), их производных и тригонометрических функций соБтА, бшшА применим рекуррентные соотношения:
n
для п = да, Р^т(sin ф) = ^ =ктт cos'”-1 ф\\(2/ -1);
cos^ ,.=1
£
для и = да +1, Р' (sin ф) = (2да +1) sin ф —
К
для и * да, /J„'„ (sin (/;) =
2и-1
п-т
sin ф
К..
К
CiJsin ^)-
и + да-1 Кпт —
n-m К
= О - ^Р,м (sin ф) - т sin фР;т (sin #),
K
K
K
я,т+1
2 — 8,
От
2-8,
(и - т){п + да +1), £nm = {1, если и = да, иначе 0},
0,т+1
cos даЯ = cos[(w - 1)Я] cos Л, - sin[( да - 1)Я] sin Я, sin даЯ = sin[( да - 1)Я] cos Я + cos[(w - 1)Я] sin Я.
Матрица Л системы уравнений (21) для выбранного состава вектора свободных членов f={Z, П, £, 4g} и вектора оцениваемых параметров х=(с5}, s=0, 1,..., p содержит элементы следующего вида:
Ac(s) = T(s) //, Али) = -gradГw -eL I у, A/s) = -gradf w -ев/у, A&g(s) = gradf w • eH, (29) где аномальные потенциалы и градиенты gradf(s} для s=0,...p и орты eL, eB, eH, определяются равенствами (15)-(18) и таблицей 1.
Нормальное ускорение силы тяжести у в текущей точке с координатами ф, r находится как модуль градиента нормального потенциала U ускорения силы тяжести по формулам:
со2г2 cos2 ф
у = \gradUl U = V +Q, Q =
2
у = gradV + gradQ,
уФ= — = GMj] 2+1
* гдф tTr2n+1
gradV =Уфеф+ Vrer, gradQ = Офеф + Qrer,
С 2n
r V nI2
dr
r
(30)
^ dQ 2 2 J. ■ А ГЛ dQ 2 / . /
Qe = - = -co r cos^sin ф, Qr = —^ = со rcos^sin ф.
гдф dr
(31)
Вектор правой части / и элементы матрицы А рассчитываются в узлах хаотичной пространственной решетки на ограниченном участке земной поверхности по геодезическим координатам {Ь^В^Нназемных пунктов, определенных с помощью относительных ГНСС-измерений в общеземной системе отсчета (к - число наземных пунктов).
Для перехода от геодезических (эллипсоидальных) координат (Ь, В, Н) к геоцентрическим сферическим координатам (А, ф, г) можно использовать формулы:
'X'
Y =
Z
(N + Н) cos В cos L (N + H)cosBsm L (N + H-Ne2)smB
X
Y
Z
rcos фcos Я r cos ф sin Я r sin ф
rc=0
tgЯ = YIX, Я є[0,2п\ і§ф = іт,
Систему уравнений наблюдений (21) для аномалий высоты С, составляющих отклонений отвеса ц, £ и аналога аномалий ускорения силы тяжести с учетом формул (15)-(31) можно представить в блочном виде:
А( (б) х + ус -
кх р+1
ЛМдс + ^ = 77’ (33)
кх р+1
X* (х) х + уР = <£,
ь ь »
£х _р+1
+ =А?-
£х_р+1
или в развернутом виде для /-го узла сетки {1и Ь„ /гг} (/=1, ..., к)\
г:\ти\і„ь,А)Т ^+у-п“ал.й.'-д
-Р’і“>ЙАЛ)Г * + ='/, = '7Й.(М). (34)
(^0+Я0)сОз£0 (і) г____(г)
+ я,.) сое 5,.
М.+Я. + = £
о
гЛК+н,)
[Г,‘‘,(/,АА)]г* + '%,<‘> = Д£Г, =
С =Т(Л,Ф„Г,)1Г„
П,=~{Т?\е, ^І) + г;',(Є#.Є£)+Г,и(Є,.Є£)]//„ (35)
4-«д+г/'у, ■ег1)+7;<')(е, .Єі)]/У„
4?, =[Г/>(е, •ея) + г;')(е< ■ен) + Т,оііе, •<■„)],
.(0 дЩДг)і (г) дТ(Я,ф,г)\ (г) _ аГ(Д,^,г)|
г “ гсо8(Ш І(Л-А-Ч)’ ' “ гдф \{АА^ г дг
Оценивание вектора х=с параметров локальной модели т производится путем решения недоопределенной системы уравнений наблюдений Лх+у=/
под условием метода наименьших квадратов (МНК) £ = аг§ ггип ||/ - Ах||2
хеХ
с учетом ковариационной матрицы Кг вектора погрешностей измерений и модели V по формулам:
£=Л#/, у^(АА#-1)1 а=к;1/2а, } = к;хп/. (37)
Псевдообратную матрицу А# лучше вычислять с помощью сингулярного разложения
А#=Ц^#ит, 'L = diag{o■1,a2,...,<тp+1}, (38)
где оь о2,..., Ор+1 - сингулярные числа матрицы А , и и W - ортогональные матрицы правых и левых сингулярных векторов матрицы А .
Оценка точности решения делается с помощью ковариационных матриц К€ и К€ по формулам:
к. = £2ЖХ#ит, к. = /}2(АА# -1)(АА# -1)т, /}2 =Щ\21(4к — г), г = гапё(А). (39)
Таким образом, приведенные формулы решают поставленную задачу сжатия исходной информации {АСпт, Snm}nn™J^, {Ц,ВпН{}'^ в массив
параметров с = (сЛ^о> р = (п +1)2 локальной модели внешнего гравитационного поля Земли. Например, коэффициент сжатия планетарной модели ВГПЗ (2) для EGM-2008 c максимальной степенью разложения N =2160 в локальную аналитическую модель степени п=4 будет равен (N +1)2 /(и +1)2 = 4665600 / 25 = 186624.
В заключении еще раз обратим внимание на то, что в локальную модель ВГПЗ T (15) впервые вкладывается информация не только о самой функции T планетарной модели (1), но и ее производных. Здесь мы ограничились учетом градиентов T первого порядка. Однако степень производных можно повышать до разумных пределов в зависимости сложности функции T.
В данной работе рассмотрен один из этапов создания координатногравитационной основы для геодезической сети активных базовых станций. На следующих этапах необходимо: 1) уточнение детальной структуры ВГПЗ в локальном районе по относительным спутниковым ГНСС-измерениям (L, B, H) и традиционным геодезическим измерениям (H , g, А, ф, а); 2) разработка алгоритмов и компьютерных программ для вычисления координатных (x, у) и гравитационных величин (H, g, А, ф, а) в произвольных точках внутри локальной области, как функций координат (L, B, H), полученных одним спутниковым приемником относительно ГС АБС. Для реализации этих этапов можно использовать теорию и методику, разработанные для пассивных геодезических сетей [2, 3, 5-9].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Pavlis N.K., Holmes S.A., Kenyon S.C., Factor J.K. An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008/EGU General Assembly 2008. Vienna, Austria, April 13-18, 2008.
2. Сурин, Ю.В. Полевой астрогравигеодезический эталон для метрологических испытаний геодезической аппаратуры [Текст]/Ю.В. Сурнин //Измерительная техника. - 2004. - № 9. - С. 3-7.
3. Сурнин, Ю.В. Определение астрономических, гравиметрических и геодезических трансформант гравитационного поля на локальном участке земной поверхности по спутниковым и традиционным геодезическим измерениям [Текст]//Ю.В. Сурнин //Сб. матер. научного конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2005. - Т. 1. - С. 132-136.
4. Гиенко, Е.Г Некоторые результаты определения гравитационного поля на локальном участке земной поверхности по спутниковым, астрономогеодезическим и гравиметрическим данным [Текст]/Гиенко Е.Г., Кузьмин В.И., Сурнин Ю.В. // Сб. матер. науч. конгресса ГЕ0-СИБИРЬ-2005. - Т. 1. - С. 136141.
5. Сурнин, Ю.В. Теоретическое обоснование методики определения астрономических координат и азимутов точек на физической поверхности
Земли по спутниковым и наземным измерениям [Текст] /Сурнин Ю.В. //Вестник GrrA. - 2005.- Вып. 10 - С. 3-8.
6. Сурнин, Ю.В. Определение астрономических, гравиметрических и геодезических трансформант внешнего гравитационного поля на локальном участке земной поверхности [Текст]/Сурнин Ю.В.//Вестник CTrA - Вып. 11 -С. 3-8.
7. Сурнин, Ю.В. Математическая модель внешнего гравитационного поля на ограниченном участке земной поверхности по спутниковым и традиционным геодезическим данным [Текст] /Сурнин Ю.В. //Сб. матер. науч. конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2006. - Т. 1, часть 2. - С. 79-90.
8. Сурнин, Ю.В. Оценивание геометрических параметров эталонного геодезического полигона CTrA по результатам спутниковых измерений [Текст] /Сурнин Ю.В. // Сб. матер. III междунар. науч. конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2007. -Т. 1, часть 2. - С. 30-37.
9. Сурнин, Ю.В. Оценивание гравитационных параметров эталонного полигона CTrA по результатам спутниковых и традиционных геодезических измерений [Текст] / Сурнин Ю.В. // Сб. матер. III междунар. науч. конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2007. - Т. 1. -часть - 2. - С.37-42.
10. Сурнин, Ю.В. Локальная поверочная схема для эталонного геодезического полигона СГ^ и рабочих средств измерений [Текст] /Сурнин Ю.В. // Сб. матер. III междунар. науч. конгресса ГЕО-СИБИРЬ-2007. - Т. 4. -часть - 2. - С. 83-88.
11. Пеллинен, Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия) [Текст]/Л.П. Пеллинен. //Изд. Недра. - М. - 1978.- 264 с.
© Ю.В. Сурнин, 2011
