О сопротивлении модели при обтекании идеальной жидкостью в канале с проницаемыми стенками Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII

198 6

М 6

УДК 629.735.33.015.3.025.73 533.6.071.088

О СОПРОТИВЛЕНИИ МОДЕЛИ ПРИ ОБТЕКАНИИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ В КАНАЛЕ С ПРОНИЦАЕМЫМИ СТЕНКАМИ

Методом сращиваемых асимптотических разложений получено решение задачи об индукции перфорированных стенок, имеющих различную проницаемость на втекание и вытекание. Показано, что профиль под углом атаки в двумерном потоке приобретает сопротивление, аналогичное индуктивному сопротивлению крыла конечного размаха.

1. Из дозвуковой теории тонкого профиля известно (см., например, [1]), что потенциал обтекания симметричного профиля под углом атаки можно представить в виде суммы потенциалов обтекания этого же профиля без угла атаки и пластины под углом атаки. При этом несущие свойства профиля моделируются именно пластиной под углом атаки. В данной работе исследуется искажение подъемной силы и продольного момента профиля из-за. влияния границ потока, поэтому рассматривается обтекание пластины под углом атаки, расположенной в канале с проницаемыми стенками (рис. 1).

Возмущенные скорости и и V такого течения удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям:

Здесь все скорости отнесены к скорости набегающего потока их.

Граничные условия (3) и (4) на стенках соответствуют либо обычному условию Дарси при разной степени перфорации верхней и нижней границ потока, либо линеаризованному граничному условию на перфорации при различной проницаемости стенок на втекание и вытекание газа из рабочей части. Последнее объясняется различием скоростных напоров газа в рабочей части и в камере давления, окружающей

В. М. Нейланд

'1)ХХ 1)уу — 0,

ди/ду = дю!дх\

— 0, у = Н, — оо<д:<оо; и — V — 0, у = — к, — оо<л:<оо; V—— а, у = 0, ]х|<2£.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

рабочую часть. При этом, когда в рабочей части расположена модель-под углом атаки а>0, над ее верхней стороной возникает разрежение (Р<Р оо ), и через верхнюю стенку трубы происходит втекание газа. Аналогично через нижнюю стенку газ будет преимущественно вытекать из рабочей части. В этом случае можно приближенно считать, что/ проницаемость верхней и нижней стенок постоянны по длине и различны, тогда граничные условия на них примут вид (3) и (4).

Рис. 1

Рис. 2

С рассматриваемым течением связано два характерных размера: хорда пластины 2b и ширина рабочей части 2/г. В аэродинамической трубе обычно имеет место соотношение поэтому естественно вве-

сти в рассмотрение малый параметр e = b/h. Тогда задачу можно решать в рамках теории сращиваемых асимптотических разложений (например, [2]). Для этого, как станет ясно из дальнейшего, необходимо решить две вспомогательные задачи: обтекания пластины неограниченным потоком и влияние границ на обтекание точечных особенностей. Решение первой из этих задач дано, например, в [1]. Для решения второй задачи необходимо найти такую аналитическую функцию V=u—iv, которая удовлетворяла бы условиям (3) и (4), а в начале координат имела бы особенность вида (A + iB)/zn.

Воспользуемся методом отражений и рассмотрим обтекание этой особенности вблизи одной верхней стенки, расположенной на расстоянии /г= 1 от начала координат (рис. 2). Можно показать, что граничное условие (3) будет выполнено, если в точке (0, 2г) расположить особенность того же порядка, что и исходная, а её интенсивность выбрать определенным образом. Действительно, условие (3) должно выполняться на всей длине —oo<x<oo, значит, законы затухания основной и отраженной особенностей должны быть одинаковы, т. е. порядки особенностей должны быть одинаковыми, так же как и расстояние от каждой из особенностей до проницаемой границы.

Для определения интенсивности отраженной особенности запишем составляющие скорости основной особенности:

и = {A cos гаф + В sin яф); (6)

г

v=------v(~~ ^sin/гфН- Bcosnty), (7)

Г

где г —1/х2 + у2, ф = arctg(y/x), и отраженной особенности (см. рис. 2):

Ui ~ ~п (а cos п+ — ^ sin Г

vt =-----Х— (а sin яф + b cos яф). (9)

4—«Ученые записки» № 6

49

Подставляя (6) — (9) в граничное условие (3) и приравнивая коэффициенты при sin m|) и cosmf, получим

(A +a)Rl — (b + В) = 0; (В — b)R, - (а — А) = 0.

Решением этой системы будет

А + 2BRi - AR\ -в-I-2ARt + BR\

а =-----------^----; b =------------5----;

1 + R\ 1+ Л?

искомая интенсивность a + ib будет равна

а + = . (10)

* "Г 2

Воспользовавшись заменой [3] tx = — arctg (Ri), из (10) можно получить искомое решение:

__ _______ аШх

Vt = ul-vi = {A^iB)^-^i. (11)

Аналогично для отражения от одной нижней стенки с условием (4) можно получить

VI — (А -(- iB)

(г + 20"

При отражении исходной особенности от двух проницаемых границ возникнут ряды отражений, расположенных в точках у = 2Ы, &=1,2,. Напишем комплексные скорости первых нескольких отражений:

Л — М 2

Vn = (Л + iB)

(2 + 20" ’

№ - [М+«) *-'•] -5^ = (Л ■+ т ;

еШ3 _ 0—*я(*1 + *а)

;\Я *

Vf г = [{А + iB) ем> ] —---------------------- = (А + iB)

14 ’ 1 (г 4-2-20" (г+ 2-20'

V/+3 = [(А + iB) е~£« «.-И-»]------------- —— = (А — iB) ■ е

(г -3-20" (г-3-20" ’

—/х/2 _ g—it: (<, + 2<j)

l/fa = [(Л + /5)<'.+«] — = (А - iB)

(z + 3-20" 7 (г+ 3-20" ’

и т. д.

После суммирования и некоторых преобразований со слагаемыми при нечетных индексах & можно получить

Таким образом, решение задачи об обтекании точечной особенности в перфорированных границах дается суммой

2. Теперь можно приступить к построению асимптотических сращиваемых разложений для задачи (1) — (5) .

Введем в рассмотрение две области — внутреннюю с размером порядка Ь и внешнюю с размером порядка к, и соответствующие им безразмерные переменные г=г/Ь и г=г/к. При этом внутренние и внешние переменные связаны соотношением г=гг.

В первом приближении (е->-0) во внешней области (г—0(1)) получаем невозмущенный поток VI — 1, во внутренней (г~0( 1))—обтекание пластины под углом атаки а неограниченным потоком со скоростью 1. Решение этой «внутренней задачи» известно:

Чтобы получить граничное условие для следующего приближения во «внешней задаче», необходимо в (13) перейти к внешним переменным и разложить в ряд по малому параметру е при 2 — 0(1), т. е. найти

Таким образом, во втором приближении во внешней задаче возникает особенность типа 1/г в начале координат. Получили задачу о точечной особенности (вихрь) в перфорированных границах. Решение этой задачи согласно (12) имеет вид

У а — {А + 1В) 5! -}- {А — г’5) 52,

(12)

где

СО

«*«*(*! + /») 1-Из)

~ (2Л+1) «,+у

э £

—£-(2* + 1) (<,+<,)

е

(13)

Иш Уг = 1 + /(эт а)-4- + ... .

(14)

£—>■0 г~0 (1)

г

Ух = 1 + I (вШ а) -4т- -(- г (эт а) е (5Х — 5г),

г

(15)

где

е

№+» (<.+<•)

» ^

2 + (2 к + 1) 2 г

Граничное условие для второго приближения «внутренней задачи» можно найти, если в (15) перейти от г к г и разложить в ряд по параметру е при х— 0(1). При этом

51 =-----1_ ^ + <»)] (1б>

2 Л=1 к

Э1п | -^-(2Л+ 1)(^ + г2)

52=-е 2 2----1 97Х1-------+ (17)

Суммы в выражениях (16), (17) вычислим в конечном виде [4], после чего получим

Нш 1/, = 1 +/е^та)/* + г (эта)-=г + , (18)

е->0 г

г-О (1)

где

ы (Л—/2)

Р— + е 2 •

Из выражения (18) видно, что в качестве второго приближения «внутренней задачи» получается обтекание пластины однородным потоком со скоростью 1 + №Рзта. Это изменение скорости и есть искомая величина индукции границ потока. Следует отметить, что при Р\ФЯ.2 число Р — комплексное. Это значит, что стенки изменяют не только угол атаки (на величину бг =—е^т а)Яе(Р) —так называемая индукция скоса), но и продольную составляющую скорости на величину Ог = —е(эт а) 1т(Р)—это так называемая скоростная индукция. Это явление, присущее только моделям с толщиной, в данном случае вызвано различием между проницаемостью верхней и нижней стенок.

Вычисляя следующие члены разложения в ряд по е, можно обнаружить, что в качестве третьего приближения во внутренней области получается задача об обтекании пластины безграничным неоднородным потоком. Решение этой задачи выходит за рамки данной статьи.

3. Найденные поправки к углу атаки бг и скорости набегающего потока Ог позволяют определить поправки к суммарным аэродинамическим характеристикам модели. Поскольку для пластины под углом атаки скоростная индукция не существенна, можно определить поправки.

^су Д тг

^е(Р),

Су/ тг{

где индекс / соответствует значениям в неограниченном потоке.

Следует отметить, что наличие индукционного скоса в зоне расположения модели приводит к повороту вектора равнодействующей силы на угол бг и к нарушению парадокса Даламбера. При этом возникает проекция суммарной силы на направление набегающего потока, т. е. у пластины появляется сопротивление сх^8гСу~а2. Это явление до некоторой степени аналогично возникновению индуктивного сопротивления у крыла конечного размаха.

Возникновение сопротивления у пластины легко объяснить, если: применить теорему о сохранении количества движения к контуру, включающему входное, выходное сечения трубы и перфорированные стенки. Массообмен через стенки между движущимся в рабочей части газом и покоящимся газом в камере давления приводит к дисбалансу импульса. При этом вытекает газ с большим скоростным напором, чем втекает,

поэтому импульс «вымывается» из рабочей части, что приводит к появлению сопротивления у модели даже при невязком ее обтекании.

Нетрудно видеть, что описанное явление исчезает лишь при непроницаемых границах потока (RІ = R2 = 0). Этот же вывод следует из формулы (18), так как при Я1 = Я2 = 0 Р = 0 и 6г = 0.

Возникновение дополнительного сопротивления у модели из-за массообмена с камерой давления присуще всем испытаниям в аэродинамических трубах с проницаемыми границами и при больших проницаемостях может существенно исказить величину измеренного коэффициента лобового сопротивления.

На рис. 3 представлены расчеты величины Яе (Р) для различных значений коэффициента перфорации стенок, имеющих различную проницаемость на втекание и вытекание. Связь между физической проницаемостью / и математической Я2) была взята из работы [5]. На

Рис. 3

основании этих расчетов можно сделать оценки величины сопротивления пластины. Заметим, что при /=20% Re(P)«*l. Тогда

Дсх = -^-Ке(Р)с2у/, где cyf=2na — подъемная сила пластины в безграничном потоке., Сравним это выражение с выражением для индуктивного сопротивления крыла конечного размаха [1]: сЖг = с2/лЛ, где Су — подъемная сила крыла удлинения К с эллиптическим распределением циркуляции по размаху. Видно, что в трубе с 20%-ной перфорацией стенок пластина приобретает такое же индуктивное сопротивление, как и крыло конечного размаха, равного двойной ширине-рабочей части.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1.—М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.

2. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкостей. — М.:

Мир, 1967.

3. М о кг у М. Integral equation method for calculation of subsonic flow past airfoil in a ventilated wind tunnel: comparison with NAE high Reynolds humbes measurements. — AIAA Paper, 74—83.

4. Прудников А. П., Б рынков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды.— М.: Наука, 1981.

5. Горбушин А. Р., Иванов А. И., Хозяенко Н. Н. Два метода исследования граничных условий на проницаемых стенках трансзвуковых аэродинамических труб. — В сб.: Тезисы докладов IV Всесоюзной школы по методам аэрофизических исследований. — Новосибирск, 1986.

Рукопись поступила 5/VIII 1985 г.