О соотношениях дистрибутивности для T-радикалов абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541+512.553

О СООТНОШЕНИЯХ ДИСТРИБУТИВНОСТИ ДЛЯ Т-РАДИКАЛОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП1

© 2008 Е.А. Тимошенко2

Работа посвящена радикалам, которые задаются при помощи тензорного произведения абелевых групп. Рассмотрен вопрос о том, какие соотношения дистрибутивности справедливы для таких радикалов.

Ключевые слова: радикал, тензорное произведение, Абелева группа, дистрибутивность.

Предварительные сведения

Данная статья продолжает исследование Т-радикалов, которое было начато в работе [1]. Т-радикалы можно охарактеризовать, в частности, как те радикалы, чьи радикальные классы замкнуты относительно взятия сер-вантных подгрупп. В качестве удобного инструмента используются также Е-радикалы. Все группы предполагаются абелевыми. Используются следующие обозначения:

прямая сумма с (с) строгое (нестрогое) включение множество всех простых чисел группа целых чисел циклическая группа порядка р квазициклическая р-группа группа рациональных чисел группа рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р группа рациональных чисел, знаменателями которых являются степени числа р

Р Ъ

Ъ( р) Ъ( )

д д р

д

(р)

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором А.Н.Пановым.

2Тимошенко Егор Александрович ([email protected]), кафедра общей математики Томского государственного университета, 634050, Россия, г. Томск, пр. Ленина, 36.

Qp кольцо целых p-адических чисел

t(A) периодическая часть группы A

A <g> B тензорное произведение групп A и B

Hom(A, B) группа гомоморфизмов из группы A в группу B. Напомним некоторые факты из теории радикалов [2,3]. Пусть каждой группе A сопоставлена некоторая ее подгруппа p(A). Скажем, что в категории абелевых групп задан идемпотентный радикал р, если для любого ф е Hom(A, B) имеет место включение ф(р^)) с p(B) и для любой группы A выполнены равенства

p(p(A)) = p(A), р^/р^)) = 0.

Пусть р — идемпотентный радикал (далее слово "идемпотентный" зачастую будет опускаться). Назовем р-радикальным класс всех групп A, удовлетворяющих условию p(A) = A. Двойственным образом равенство p(A) = 0 определяет класс, называемый р-полупростым. Заметим, что идемпотент-ный радикал р однозначно определяется как своим полупростым, так и своим радикальным классом (будем обозначать эти два класса Рр и Яр соответственно). Всякий радикальный класс замкнут относительно взятия расширений, прямых сумм и гомоморфных образов; всякий полупростой — относительно взятия расширений, прямых произведений и подгрупп.

Идемпотентные радикалы можно частично упорядочить, полагая р ^ о в том и только в том случае, когда р^) с o(A) для любой группы A. Тогда большему радикалу будет соответствовать больший радикальный и меньший полупростой класс. Согласованные с введенным частичным порядком операции пересечения и объединения задаются равенствами

(Aiel р>)(A) = £{B с A | р^) = B для любого i е I}, (Viel р.')(A) = n{B С A | р^/B) = 0 для любого i е I}.

Относительно данных операций совокупность всех радикалов составляет полную большую решетку IR с нулем и единицей (эта решетка отличается от обычной тем, что рассматриваемая совокупность не образует множество

[4]).

Напомним теперь основные понятия из [1]. Пусть F есть некоторая абе-лева группа. Через Wf(A) будет обозначаться сумма всех подгрупп B группы A, для которых выполнено B <g> F = 0. Для абелевой группы V через Ну(A) обозначается пересечение всех подгрупп B группы A таких, что Hom(V, A/B) = 0.

Определенные таким образом функторы Wf и Ну суть радикалы. Далее они называются соответственно Т^)-радикалом и E(V)-радикалом. Заметим, что для Wf радикальным будет класс всех групп A таких, что A<8>F = 0. Полупростым классом радикала Ну является класс E(V) всех абелевых групп A, для которых выполнено Hom(V,A) = 0. Кроме того, Hv — наименьший из всех радикалов р таких, что V е Яр.

В [1] отмечался также следующий факт: если {р>}>6/ есть семейство групп,

то пересечение всех Т(р>)-радикалов и объединение всех Е(р>)-радикалов

совпадают соответственно с Шр и Ир, где р = ф р>.

>6/

Т(р)-радикалы и дистрибутивность

Воспроизведем полученное в [1] описание частично упорядоченного множества X всех Т(р)-радикалов. Рассмотрим решетку М = {I, т, п, X, V} с отношением порядка п ^ т ^ I ^ ^ ^ V, т ^ X ^ ^ (элементы I и X считаем несравнимыми). Всякому радикалу Шр ставится в соответствие функция ур: Р ^ М, задаваемая следующим образом: если группа р непериодическая, то

¥р (р) =

I, если группа р является р-делимой; т, если группа р не является р-делимой,

а факторгруппа р/г(р) является; п, если факторгруппа р/г(р) не является р-делимой.

Если же группа р периодическая, то

(X, если р-компонента группы р не является делимой; если р-компонента группы р делима и отлична от 0;

V, если р имеет нулевую р-компоненту.

Сопоставляя функцию ур всякому радикалу Шр, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между X и подмножеством М' множества МР. Заметим, что данное подмножество состоит из последовательностей вида а = (а2,аз,а5,...,ар,...), все члены которых одновременно входят в какое-то одно из множеств {I, т, п} или {X, V}. Построенное соответствие задает изоморфизм частично упорядоченных множеств (считаем, что а ^ а' тогда и только тогда, когда ар ^ а'р для всех простых чисел р). Отсюда нетрудно вывести, что X — полная дистрибутивная решетка.

Ясно, что в силу конечности множества М в решетке X справедливы также и бесконечные законы дистрибутивности. Что касается большой решетки ХК, то, как показано в конце параграфа, она не является не только дистрибутивной, но и модулярной.

Цель данной работы — ответить на вопрос: какие законы дистрибутивности останутся верны для Т(р)-радикалов, если заменить в этих законах операции Л и V решетки X операциями Л и V, определенными в ХК? В силу сказанного в конце первого параграфа Л действует на Т(р)-радикалы так же, как и Л. Далее нам потребуется ряд подготовительных результатов.

Через XI и X2 будем обозначать множества всех Т(р)-радикалов таких, что абелева группа р является соответственно непериодической либо периодической. В [1] отмечалось, что множество XI, в отличие от X2, есть подрешетка большой решетки ХК. Радикал t, который сопоставляет всякой

группе ее периодическую часть, является наибольшим элементом в Li; если группа F периодическая, то имеем Wf ^ t.

Введем некоторые необходимые для дальнейшего изложения дополнительные обозначения. Пусть V — непустой класс абелевых групп. Через И<у обозначим наименьший из всех радикалов р, которые обладают свойством VQ Rp (такой радикал обязательно существует). Несложно показать, что Hv-полупростой класс совпадает с классом fî(V) всех групп A, для которых Hom(V, A) = 0 при всех V eV. Можно также убедиться, что для любого множества групп U = {Uj};6/ радикал Ни будет объединением (точной верхней гранью) множества всех Б(и,-)-радикалов. Говорят, что радикал Hv порождается классом V.

Ясно, что всякий радикал р может быть представлен в виде Hv (для этого достаточно положить V = Rp). Далее, если V и U — два класса абелевых групп, то через V<S>U обозначим класс всех групп вида V ® U, где V eV, U eU. Если при этом V = {V}, то пишем просто V <S>U.

Лемма 1: Для любых классов X, V, U из Нх ^ Hv следует Hx®u ^ HV«U •

Доказательство: Достаточно доказать включение fî(V<S>U) Qfî(X<S>U) для случая, когда fî(V) Q E(X). В самом деле, если выполнено A e fî(V<S>U), то при любых V eV, U eU имеем

Hom(V, Hom(U, A)) = Hom(V <g> U, A) = 0.

Отсюда для всех U eU получаем, что Hom(U,A) efî(V) Qfî(X) и, значит,

Hom(X <g> U, A) = Hom(X, Hom(U, A)) = 0

для всякой группы X eX. Это доказывает, что A e fî(X<S>U). Таким образом, если fî(V) Qfî(X), то fî(V<S>U) Qfî(X<S>U). Доказательство завершено.

С учетом коммутативности тензорного произведения групп получаем

Следствие 2: Для любых классов X, Y, V, U из Hx ^ Hv и H y ^ Hu следует неравенство Hx®y ^ Hv®u •

Следствие 3: Для любых классов X, Y, V, U из Нх = Hv и Hy = Ни следует равенство Hx®y = Hv®u •

Следствие 4: Для любых классов V и U выполнено Hv®u ^ Ни.

Доказательство: Радикал Hz — наибольший элемент в IR. Это означает, что Hv ^ Hz и Hv®u ^ Hz®u = Ни (так как Z <g> U = U для всякой группы U).

Напомним, что для любого радикала р подгруппа p(A) сервантна в A [5].

Лемма 5: Если р < о, то найдется группа без кручения, циклическая группа простого порядка или квазициклическая группа B ф 0, для которой выполняются включения B e Рр и B e R0.

Доказательство: Из включения Rp с R0 следует, что существует абе-лева группа A, для которой A £ Rp и A e R0. Группа A принадлежит радикальному классу R тогда и только тогда, когда t(A) e R и A/t(A) e R [6];

таким образом, можно, не умаляя общности, считать А группой без кручения или периодической группой. В первом из этих случаев достаточно положить В = А/р(А), поскольку подгруппа р(А) сервантна в А.

Пусть группа А периодическая. Действие радикала на периодические группы полностью определяется его действием на группы вида Ъ(р) и Ъ(рте) [6,7], так что существует группа В указанного вида, для которой р(В) с о(В). Группа В будет искомой, так как коциклические группы не имеют ненулевых собственных сервантных подгрупп. Лемма доказана.

Как было показано в [1], всякий радикал р eX можно представить в виде Иу для подходящей группы V. Для р 6X2 это делается следующим образом: если идемпотентному радикалу р соответствует функция у: Р ^ М, то достаточно положить V = X ф У, где X — аддитивная группа всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты со всеми простыми р 6 у-1^), а У есть прямая сумма групп Ъ(р) по всем р 6 у-1(^,). При этом А 6 Яр в том и только в том случае, когда факторгруппа А/г(А) является р-делимой для всех простых чисел р 6 у-1(^), а сама группа А — р-делимой для всех р 6 у-1^).

Теорема 6: Пусть Иу 6 X2, где группа V = XфУ имеет указанный выше вид, и пусть класс и содержит по крайней мере одну непериодическую группу. Тогда Иу Л Ни = Иу.

Доказательство: Обозначим р = Иу, о = Ии. Применив следствие 4 дважды, получаем неравенство Иу&ц ^ р Л о. Предположим, что оно является строгим. Тогда по предыдущей лемме существует группа В (вида Ъ(р), квазициклическая либо без кручения) такая, что В е£(у <8>и) и В 6 ЯрЛо. Пусть у: Р ^ М есть функция, соответствующая идемпотентному радикалу Иу.

В у <8>и есть хотя бы одна непериодическая группа, так что радикальный класс радикала Иу&ц содержит все делимые абелевы группы [5]; следовательно, имеем В ^ Ъ(рте). Предположим теперь, что В = Ъ(р) для некоторого простого числа р. Из условия В 6 Яо следует, что для какой-то группы и еи справедливо неравенство Нот(и,В) ф 0, т. е. группа и не является р-делимой. Точно так же из В 6 Яр следует, что р-делимой не является группа у. Но тогда у <8> и имеет своим гомоморфным образом ненулевую группу (у/ру) <8> (и/ри). Данная группа изоморфна прямой сумме копий Ъ(р). Отсюда Иу^и(В) = В, что невозможно.

Осталось разобрать случай, когда В — группа без кручения. Из В 6 Яо сразу следует, что для некоторой группы и 6 и имеем Нот(и, В) ф 0. Далее, группа без кручения В входит в Яр и, значит, р-делима для любого р у-1^). Тогда В можно рассматривать как унитарный модуль над кольцом X; следовательно, группа Нот(и, В) также допускает Х-модульную структуру. Отсюда

Нот^ <8> и, В) = Нот(^ Нот(и, В)) Ф 0,

что противоречит включению В 6в(у <8>и) С £(у ® и). Теорема доказана.

Следствие 7: Пусть Hv еХ2, а и есть некоторый класс, содержащий хотя бы одну непериодическую группу. Тогда Hv Л Ни = •

Доказательство: Для V = {X ф У} данный факт уже доказан в предыдущей теореме. Применяя теперь следствие 3, приходим к требуемому равенству.

Следствие 8: Если Ну, Ни еХ2, то Ну Л Ни = Ну®и. Доказательство: Из Ни ^ t нетрудно вывести, что и — непериодическая группа. Для получения нужного равенства остается применить следствие 7.

Утверждение следствия 8 верно и для любых конечных пересечений, так как Ну®и вновь будет элементом Х2. К сожалению, равенство Ну Л Ни = = Ну®и не удается обобщить даже для ситуации Ну е Х1, Ни еХ; в самом деле, абелевы группы у = Z(pте) и и = Q удовлетворяют условиям Ну е Х1 и Ни е Х2, но

Ну Л Ну = Ну Ф 0 = Но = Нут, Ну Л Ни = Ну Ф 0 = Но = Ну®и • Перейдем теперь к основному результату статьи.

Теорема 9: Для любого семейства {ог-}г-е/ с£ и любого р е Х выполнено

Р Л (V °г) = V(Р л о;).

ш ш

Доказательство: Сначала введем вспомогательные обозначения

т; = р Л о;, о = \! о;, т = р Л о.

Ш

Неравенства V т; ^ т очевидно; осталось доказать, что т ^ V Т.

Ш 1е1

Разобьем доказательство на несколько случаев. Сначала мы предположим, что для всех ; е I выполнено о; е Хь Тогда о; ^ г, так что т; = р Л о; входит не только в Х, но и в Х1. Используя дистрибутивность решетки Х и тот факт, что Х1 является полной подрешеткой в получаем

\/т; = \/ т; = \/ (р Л о;) = р Л о;) = р Л о = т.

Ш ;е1 ;е1 ;е1

Пусть теперь р еХ1 (заметим, что этот случай не исключает предыдущий). Вновь имеем т; = р Л о; е Х1 для любого ; е I. Далее,

V т; = У т; = (р Л о;) = р Л (\/ о;) = р Л (\/ о;) ^ р Л о = т.

;е1 ;е1 ;е1 ;е1 ;е1

Нам осталось рассмотреть случай, когда р еХ2 и о; е Х2 по крайней мере для одного индекса ; е I. Как отмечалось ранее, можно выбрать группы {и;};е1 и у так, что о; и р суть Е(и;)-радикалы и Е(у)-радикал соответственно. Тогда для класса и = {и;};е1 имеем Ни = о. Применяя следствие 4 к одноэлементным классам {у} и {и;}, мы получаем, что для каждого ; е I группа у <8> и; входит в т;-радикальный класс. Поэтому

Ну®и т; ^ т = р Л о = Ну Л Ни • ш

Но по крайней мере одна из групп и> является непериодической; в этом

случае по следствию 7 получаем т = Иу&и, т. е. т = V т>. Теорема доказана.

>6/

В заключение рассмотрим другой тип дистрибутивности. Пример: Покажем, что, вообще говоря, для Т(р)-радикалов не выполняется дистрибутивный закон

р V (о Л т) = (р V о) Л (р V т).

Для этого найдем группу А такую, что А 6 Рр П РоЛт и А 6 Яр^ П Яр^. В роли р, о и т будут выступать радикалы Иу, Иx и Иу, порожденные подходящими рациональными группами идемпотентного типа. Фактически будет показано, что в этом случае

ИVф(X®Y) ф ИVфX Л иуфУ .

Возьмем различные р, д, г 6 Р; пусть V = X = и У =

Далее, положим В = (группа всех рациональных чисел, знаменатели

которых суть произведения некоторых степеней р и д) и С = рг). Через в и у мы обозначим канонические гомоморфизмы В ^ B/X и С ^ С/ У. Заметим, что факторгруппы B/X и С/У обе изоморфны группе Ъ(рте); пусть ф: B/X ^ С/У есть некоторый изоморфизм этих факторгрупп. Группу А зададим равенством

А = {(Ь, с) 6 В ф С | (фв)(Ь) = у(с)}.

Легко убедиться, что гомоморфизм А ^ С, который переводит всякую пару (Ь, с) в элемент с, является эпиморфизмом, а его ядро изоморфно X. Тогда из включений С 6 Яр, X 6 Яо и замкнутости радикальных классов относительно расширений следует А 6 Яр^. Аналогично доказывается, что А 6 Яр^. Далее, справедлив изоморфизм X<8> У = д(дг), так что А 6 в^<8> У) = = ролт.

Остается показать, что для подходящим образом выбранного изоморфизма ф выполнено включение А 6 в(у) и, значит, р(А) = 0. Имеем

B/X = (V + X)/X = у/(у П X) = у/(у П У) = (V + У)/У = С/У;

пусть •: B/X ^ С/ У обозначает соответствующий изоморфизм, т. е. для любого элемента V 6 V справедливо равенство ¡(у + X) = V + У.

Факторгруппу С/У (как и всякую р-группу) можно превратить в модуль над кольцом целых р-адических чисел 0[*р, полагая

п + д(г)Х = фр + + . + + д(г) (и € ^

рк ) рк если П = 50 + 51 р + ... + Ятрт + ... 6 д*р (sj 6 {0, 1,..., р - 1}).

Пусть п 6 др \ др (мы считаем, что др с д*р) есть некоторое р-адическое число указанного выше вида, причем 50 Ф 0. Эндоморфизм х группы С/У, задаваемый умножением на п, является автоморфизмом (обратный к нему автоморфизм х-1 действует как умножение на п-1 ); положим ф = х>.

Допустим, что Нот(V, А) Ф 0. Это значит, что в А найдется ненулевая пара (Ь, с) такая, что для любого натурального к выполнено (Ь/рк, с/рк) 6 А. При этом можно считать, что числа Ь и с целые (иначе просто домножим их на общий знаменатель), так что

««, + „,+ +»_„»") + 0„ = ц М = / М = ^ + 0„

рк рк рк рк

откуда следует, что с - Ьп 6 ркд*р для всех к. Значит, с = Ьп, а это противоречит выбору элемента п. Итак, А 6 в(у), что завершает построение примера.

Замечания: 1) Если записать полученное для р, о, т неравенство в виде

(р Л р) V (р Л т) V (о Л р) V (о Л т) Ф (р V о) Л (р V т),

то нетрудно заметить, что в рассмотренном примере мы фактически построили вполне разложимые абелевы группы К = V ф X и Ь = V ф У ранга 2 такие, что выполнено Ик®ь Ф Ик Л Иь. Итак, условия, налагаемые теоремой 6 на группу, которая порождает радикал Иу, действительно существенны. 2) С учетом теоремы 9 для тех же радикалов р, о, т имеем

р V (о Л (р V т)) = р V (о Л р) V (о Л т) = р V (о Л т) Ф (р V о) Л (р V т),

при этом, очевидно, р ^ р V т. Отсюда получаем, что большая решетка не является модулярной, как и отмечалось в начале параграфа. Ясно, что не будет модулярной и подрешетка большой решетки порожденная подмножеством X.

В свете теоремы 6 и следствия 7 уместен следующий вопрос. Пусть V Ф 0 и известно, что для всякого класса и, содержащего хотя бы одну непериодическую группу, выполнено Иу Л Ни = Иу. Следует ли отсюда, что Иу 6 X2? Ответ пока неизвестен.

Литература

[1] Тимошенко, Е.А. T-радикалы в категории абелевых групп / Е.А. Тимошенко // Фундамент. и прикл. мат. - 2007. - Т. 13. -№3. - С. 193-208.

[2] Кашу, А.И. Радикалы и кручения в модулях / А.И. Кашу. - Кишинев: Штиинца, 1983. - 156 с.

[3] Мишина, А.П. Абелевы группы и модули / А.П. Мишина, Л.А. Скорняков. - М.: Наука, 1969. - 152 с.

[4] Gobel, R. Semi-rigid classes of cotorsion-free abelian group / R. Gobel, S.Shelah // J. Algebra. - 1985. - Vol. 93. - №1. - P. 136-150.

[5] Gardner, B.J. Two notes on radicals of abelian groups / B.J.Gardner // Comment. Math. Univ. Carolinae. - 1972. - Vol. 13. - №3. - P. 419-430.

[6] Dickson, S.E. On torsion classes of abelian groups / S.E.Dickson // J. Math. Soc. Japan. - 1965. - Vol. 17. - №1. - P. 30-35.

[7] Курош, А.Г. Радикалы в теории групп / А.Г. Курош // Сиб. мат. журн. - 1962. - Т. 3. - №6. - С. 912-931.

Поступила в редакцию 29/ VIII/2008; в окончательном варианте — 29/ VIII/2008.

ON THE DISTRIBUTIVE LAWS FOR T-RADICALS OF ABELIAN GROUPS3

© 2008 E.A. Timoshenko4

The paper is devoted to the radicals defined by means of tensor product of Abelian groups. A question: what distributive laws hold for such radicals is considered?

Keywords and phrases: radical, tensor product, Abelian groups, distributivity.

Paper received 29/VIII/2008. Paper accepted 29/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. A.N. Panov.

4Timoshenko Egor Aleksandrovich ([email protected]), Dept. of General Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia.