CC BY
17
иркутским государственный университет путей сообщения
УДК 62.752 Хоменко Андрей Павлович,
д-р техн. наук, проф., ректор ИрГУПС тел.: (3952) 638-311, e-mail: [email protected] Елисеев Сергей Викторович, д-р техн. наук, профессор, директор НИИ СТСАМ тел.: (3952) 59-84-28, e-mail: [email protected] Ермошенко Юлия Владимировна, канд. техн. наук, доцент, декан факультета заочного обучения
e-mail: [email protected]
О СООТНОШЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПЕРЕХОДЕ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТ СОЕДИНЕНИЙ «ЗВЕЗДА» К СОЕДИНЕНИЯМ «ТРЕУГОЛЬНИК»
A.P. Khomenko, S. V. Eliseev, Yu. V. Ermoshenko
ON CONNECTION OF PARAMETERS IN MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS TRANSFORMATION FROM COMBINATION «STAR» TO COMBINATION «TRIANGLE»
Аннотация. Рассматриваются вопросы построения математических моделей механических колебательных систем в структурах соединений типов «звезда» и «треугольник». Предлагается метод для получения эквивалентных соотношений между параметрами. Рассматривается ряд примеров.
Ключевые слова: эквивалентные преобразования виброзащитных систем, соединения элементов механических систем, соединения типов «звезда», «треугольник».
Abstract. Questions of creating mathematical models of mechanical oscillation systems in structures of «star» and «triangle» connection types of are considered. Methods for getting of equivalent correlation between parameters are offered. Several examples are shown.
Keywords: equivalent transformations of vi-broprotection systems, connections of elements of mechanical systems, connection of type «star» and «triangle».
Введение
При преобразованиях расчетных и структурных схем механических колебательных систем, в частности при рассмотрении задач динамического гашения с двумя массами, упруго связанными между собой, предметом изучения становятся не-планарные цепи. Получение компактных выражений для передаточных функций цепей обратной связи можно обеспечить, используя эквивалент-
ные преобразования. Отдельные результаты по названной проблеме приводились в работах [1^3].
I. Постановка задачи
Рассмотрим расчетную схему
(рис. 1, а, б), на которой показаны механические колебательные системы типа «звезда» (рис. 1, а) и «треугольник» (рис. 1, б). В качестве возмущающих факторов выступают колебания основания.
б )
Рис. 1. Принципиальные расчетные схемы соединений типа «звезда» (а) и «треугольник» (б)
Представленные на рис. 1, а, б схемы отражают только вертикальные движения при отсутствии сил сопротивления. На рис. 1, а, б приняты обозначения: г - кинематическое возмущение; к, к, к — коэффициенты жесткости пружин в соединении «звезда»; к12, к23, к31 — коэффициенты жесткости пружин для соединения типа «треугольник»; ко — коэффициент жесткости упругого
элемента, связывающего массу щ с основанием; тът2,т3 — массоинерционные элементы.
Расчетные схемы на рис. 1, а, б носят принципиальный характер, что отражается в изображениях наклонов пружин; на самом деле все колебания происходят по вертикали и траектории движения элементов щ, щ, щ располагаются на одной вертикальной линии. По существу, в представленной работе предлагается вариант доказательства теоремы о возможности построения эквивалентных соотношений на основе специальных приемов составления математических моделей и использования некоторых предположений.
1. Для упрощения процедур определения приведенных жесткостей в схеме на рис. 1 , а может быть введена промежуточная масса щ , которая движется, имея координатой у4 . В дальнейшем принимается, что щ = 0, что позволяет вернуться в класс систем с тремя степенями свободы.
2. Полюсом схемы «звезда» является элемент массой щ , который затем представляется точкой (1) при щ = 0 .
3. Поскольку преобразования носят эквивалентный характер (отыскиваются соотношения между к12, к23, к31 и к1, к2, к3), то при обоих видах соединений кинетическая и потенциальная энергия при рассмотрении движения в статусе трех-массовой системы должны сохраняться неизменными.
II. Свойства соединения элементов по типу «звезда»
Рассмотрим соединение типа «звезда» (рис. 1 а) полагая, что кинетическая и потенциальная энергия системы имеют вид
Т = ^щу1 +^т2У2 (!)
1 2 1 2
П = -к10(У1 — 2) + ~к1(У4 — л) +
+1 к2 (У 2 — У4)2 + 1 к3( Уз -У4)2-
Полагаем, что
дТ . дТ . дТ . дТ — = ЩУ1, — = т2У2; т— = ЩУъ, = т4У4>
дУ\ дУг суъ дУ4
=кю У1— кю ^+к1У1— к1У4;
дУ\
дП-и _ ^ дП _ .
= к2У2 к2У4; - = к3У3 к3У4; дУ2 дУ3
Т = к1У4 — к1У1 + к2 У4 — к2 У2 + к3 У4 — к3 У3, дУ4
(2)
тогда система дифференциальных уравнений движения примет вид
ЩУ\ + у1 (¿ю + К ) " к\у 4 = (3)
т2у2+к2у2-к2уА=0, (4)
Щуз+кзуз~кзу4=^ (5)
~Ку\ ~к2у2~ кЗу4 + т4у4 + у4 (к1 + к2 + к3 ) = (6)
Примем в уравнении (6), что щ = 0, тогда получим
к1У1 + к2 У 2 + к3У3
У4 =■
к1 + к2 + к3
(7)
Подставим (7) в уравнения (3)^(5); коэффициенты уравнений системы в координатах У1, У2, У3 приведены в табл. 1.
Таблица 1 Значения коэффициентов уравнений (3)^(5) в координатах у, У2, уъ («звезда»)
«11 «12 «13
2 , к1(к2 + к3) щр + к10 -— а —к2 к1 а «
«21 «22 «23
—к2 к1 а 2 к2(к1 + к3) щ р2 -— « —к2 к3 «
«31 «32 «33
а —к2 к3 « щ р 2 + к3( к1 + к2)
а 02 03
кА2 0 0
Примечание: Ц, , 03 — обобщенные силы в системе.
III. Математическая модель соединения типа «треугольник»
Для соединения типа «треугольник» (рис. 1 , б) можно провести аналогичные выкладки, полагая, что кинетическая энергия имеет вид (1)
при щ4 = 0, а потенциальная - может быть представлена в виде:
1 2 1 2
П = ~ к10( У — 2 ) +- к12 (У 2 У1) +
+1 к23 (У 2 У3)2 + 1 к13(У3 —У1)2-
(8)
Сделаем ряд промежуточных выкладок и запишем уравнения движения для схемы на рис. 1 , б как соединения типа «треугольник»: т\У\ + У\ <Ао + к\2 + к\ъ)~ у2(^12) ~~ УъКъ = кю2- (9) т2у2 + у2{к\2 + к2ъ)~У\к\2 -к2зУз (10)
т2у2 + У2 (¿12 + ¿23 ) - к\ 2У\ - к2ъУъ = (11)
иркутским государственный университет путей сообщения
В табл. 2 приведены коэффициенты уравнений (9)^(11) для системы присоединений «треугольник».
Таблица 2 Коэффициенты уравнений (9)^(11) в соединении типа «треугольник»
а11 а12 а13
тх р2 + к10 + +к12 + к13 к12 к13
а21 а22 а23
к12 т1Р2 + к12 + к23 к23
а31 а32 а33
_к13 к23 щр2 + к23 + кз
01 02 03
к10 2 0 0
1 2 1 2
П = - ¿10 (^ " 2) КгЬг " Ух) +
+1 к23(Уъ " У2)2 + 1 к13(Уэ " У1)2-
(12)
В этом случае могут быть найдены коэффициенты при переменных (12) у, у2, у3 :
- при у2 получим кг + кз + ко; (13)
- при у2 , соответственно, к12 + к23; (14)
- при у32 найдем к13 + к23; (15)
- при у! у2 имеем к12; (16)
- при у2у3 имеем к23; (17)
- при у у имеем кз• (18)
Запишем аналогичные соотношения для соединения типа «звезда», полагая, что
у4 = (кл + к2у2 + ку3У, где а = к + к2 + к3 . Та-
ким образом, аналогично вышеприведенному получим:
- при у - к10 +
к1 (к2 + к3 ) к2 к1 к3к-1
- при У 2
2 кк2 к2(к1 + к3)
а
2
а
т,2 к3(к1 + к2)2 , к2к32 - при у3 — 1
- + -
к3к2
к1к3
- при У1У2
- при У2У3
- при У1У3
а2
к1к2 . а
к3к2 .
к1к3
а
(19)
(20) (21) (22)
(23)
(24)
В основу метода преобразования, как это было показано в работе [4], положена процедура предварительного увеличения числа степеней свободы системы с соединением типа «звезда» с привлечением дополнительной массы щ . После принятия т4 = 0 и выравнивания размерностей матриц можно сопоставить две системы уравнений (3)^(5) и (9)^(11). Сопоставление правомерно при учете такого обстоятельства, как неизменность системы координат и кинетической энергии.
Что касается значений потенциальной энергии, то можно предполагать, что при эквивалентных преобразованиях должны остаться равными и потенциальные энергии. Запишем выражение для потенциальной энергии для соединения типа «треугольник».
Сопоставляя (13^18) и (19)^(24), получим систему соотношений:
к12 + к13 = к1к2 +
к3 (кк + к2^3 + к2 )
; (25)
12
£ _ к1к3 ! к3 (к1к2 + к1к3 + к2 ) . рб)
к13 + к23 = к1к3 +
_ к1к2 . к12 = ; а
_ к2 к3 ,
к23 = ;
к3(к2к3 + к2к + к22).
к13 =
а
к1к3 .
(27)
(28)
(29)
(30)
Из представленных выше выражений можно предположить, что при известных параметрах «звезды» к, к и к3 могут быть определены параметры «треугольника» к12, кз, к3.
Используя вышеприведенный подход, можно также решить задачу о построении из и-лучевой «звезды» — и-стороннего многоугольника.
III. Переход от соединения типа «треугольник» к соединению «звезда»
Для дальнейших расчетов используем поня-
тие податливости, полагая, что 5 =
- 1
то есть по-
датливость является обратной величиной по отношению к коэффициенту жесткости пружины. Преобразуем (28), принимая
1 , 1 , 1 , 1
к12 = ' к1 = ' к2 = ' к3 = ' 512 51 52 53
тогда
2
2
2
а
а
а
а
а
а
а
2
а
а
а
2
а
а
1 1
5 50
5 5
152
512
1 1 1
52 53 + 51+ 5152 515253
515253
5152(5253 + 5153 + 5152)
Из (31) следует, в частности, что
_ (5152 + 5253 + 5153)5152 512 = , 515253
Примем, что
5152 + 5153 + 5253 = ,
тогда
5 =-
5ч =-
5 =-
512
513
5 23
Подставляя (34) в а , получим
а =■
■+-
12 513
12 5 23
13523
или
Используя (35), можно найти, что:
595
5 =-
12513
512
5ч ="
5 23 + 512523
513
512
5 23
513
523531
512
5 23
513
1—1 1 к12к13 к — к 2 + к 1 +
13
к23
кл о ко
к = к + к + ' 12 23 к2 = к12 + к23 + ,
к13
111 к23к13 к3 = к23 + к13 + "
к,
12
(31)
жения для механических колебательных систем с сочленениями, что было приведено в работе [4].
Для дальнейших исследований динамических свойств механических систем значение представляет соединение элементов по типу «звезда — треугольник» (рис. 2).
У
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
Рис. 2. Принципиальная расчетная схема для механической системы типа «звезда - треугольник»
Кинетическая энергия системы определяется выражением (1); потенциальная энергия запишется в виде
1 2 1 2
П = - к10(У - 2) +- к12(У2 - У1) +
1 2 1 2
+ 2к1(У4 -У1) +2 к23(У3 -У2) +
+1 к2(У2 -У4)2 +1 к3(У3 -У4)2 +1 к13(У3 -У1)2.
(42)
Делая ряд преобразований, окончательно получим
(39)
(40)
(41)
Таким образом, зная значения к12, к23, к13, можно, используя определенные приемы преобразований, найти соответствующие выражения для определения параметров соединения типа «звезда»: к1, к2, к3.
Отметим, что преобразование «звезды» в «треугольник» производилось путем введения в расчетную схему (рис. 1, а) дополнительной массы щ и соответствующей координаты точки (1) — у4 • В последующем принималось, что щ = 0, а у4, в конечном итоге, приняло вид (7). Такой прием использовался при выводе уравнений дви-
Производя ряд выкладок, запишем систему дифференциальных уравнений движения в координатах у1 + у4 следующим образом:
Щ Л + Л (кю + к12 + к1 + ко) + У2 ("к12) +
+Уз(-к1з) + >'4(-к1) = кЛ,
т2У2 + У2 (к12 + кгз + кг ) + Л ("к12 ) +
+Уз(-к2з) + >'4(-к2) = 0,
ЩУз + Уз (кгз + кз + к13 ) + У1 ("к13 ) + Уг ("к13 ) +
(-^23 ) + (~к3 ) =
т4У4 +УЛк1 +к2 +кз) + >'1(-к1) + +у2(-к2) + у3(-к3) = 0.
(43)
(44)
(45)
(46)
Коэффициенты уравнений (43)^(46) приведены в табл. 3.
Полагая, что т4 = 0, сделаем ряд преобразований. Результаты представлены в табл. 4, в которой принято, что щ = 0, а координата у4 исключена. Последнее уменьшает число степеней свободы системы на рис. 2 до трех.
1
1
5
5
5
2
3
3
а
а
а
1
2
2
2
а
а
а
1
1
512513523
а1 =
512 + 513 + 5 23
Таблица 3
Коэффициенты уравнений (43)^(46) (схема по рис. 2)_
а11 а12 а13 а14
т1 р2 + к10 + +¿1 + ¿12 + ¿13 ¿12 ¿13 —¿1
а21 а22 а23 а24
¿12 т2 Р2 + ¿2 + ¿12 + ¿23 —¿23 —¿2
а31 а32 а33 а34
¿13 ¿23 т3 р2 + ¿3 + ¿23 + ¿13 —¿3
а41 а42 а43 а44
—¿1 —¿2 —¿3 т4 р2 + ¿1 + ¿2 + ¿3
01 02 03 04
0 0 0
Примечание: 0 04 — обобщенные силы системы.
В табл. 4 (позиции а12,а13,а23) наглядно отражаются связи между параметрами систем обоих типов соединений.
В задачах виброзащиты и виброизоляции соединение «звезда» имеет вид, показанный на рис. 1, а, что предполагает соединение элемента массой т через пружину с коэффициентом жесткости ¿10 . Однако возможна и такая ситуация, когда элемент массой т4 также будет иметь связь с основанием через пружину с жесткостью &4: при этом основание будет иметь закон движения (?) .
Тогда система уравнений (43)^(46) изменится. В этом случае уравнения (43)^(45) сохраняются, а уравнение (46) примет вид
+ у 4 (к\ + к2 + къ + к4) -
—.УЛ — ¿2 У 2 — ¿3 у3 = ¿4 24-
(47)
Если принять, что т = 0, то
у1к1 + у2к2 + у3к3 + ¿4 ^4 //юч
У4 =-1-1-1-1-. ( )
¿1 + ¿2 + ¿з + ¿4
В табл. 5 приведены коэффициенты уравнений системы вида «звезда» с учетом внешнего воздействия . Отметим, что силовое возмущение в виде силового фактора кАг, приложенного в точке (1), приводит к существенным изменениям правых частей системы уравнений (43)^(46).
Различие в коэффициентах а^ (' = 1,3, ] = 1,3)
в табл. 1 и 5 существует и связано с появлением дополнительного члена - к4. Что касается обобщенных сил 0, 02,03, то они также изменяются: при возмущении внешнее воздействие передается на все элементы. Если принять к4 = 0, то
Таблица 4
Значения коэффициентов в системе уравнений для расчетной схемы на рис. 2
а11 а12 а13
т1 р2 + ¿10 + ¿1 + ¿12 + ¿13 — — а k1k2 ¿12 а I k1k3 ¿13 а
а21 а22 а23
k1k2 ¿12 а т2Р2 + ¿12 + ¿23 + ¿2 —2 а ¿23 — k2k3
а31 а32 а33
¿13 а 7, k2k3 ¿23 а т3Р2 + ¿23 + ¿13 + ¿3 — а
01 02 03
¿1г 0 0
Таблица 5
Значения коэффициентов уравнений для соединения «звезда» с внешним возмущением
а11 а12 а13
щр2 + ко + к1( к2 + к3 + к4) а2 -к1к2 а2 -к1к3 а2
а21 а22 а23
- к3к1 а2 о ко (кл + к^ + к л) щр2 + -3-— а2 -к2 к3 а2
а31 а32 а33
- к3к1 а2 -к3к2 а2 о к^ (кл + к9 + к л) щр 2 + -2-— а2
01 02 03
к1 г1 + к1к4 г4 а2 к4к2 г4 а2 к4к3 г4 а2
табл. 1 и 5 становятся идентичными.
Сравнивая табл. 1 и 2, отметим, что учет внешнего возмущения при приложении к4г4 к точке (1) также позволяет получить ряд соотношений:
к1к2 .
к12
_ к2кз . к23 " -
43
а2 к1к3 .
к12 + к13 -
к23 + к12 —
к23 + к13 —
а2 -
к[ (к2 + к3 "
а2
к2 (к1 ' + к3 +
а2
к3( к1 + к2- + к4)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
Использование выражения (49)^(51) дает возможность выразить к12, к13, к23 через параметры жесткости к ,к , к ,к , то есть учет внешнего фактора, привносящего в структуру механической колебательной системы пружины к , не препятствует получению из трехлучной «звезды» соединения типа «треугольник».
Если к4 — 0, то а — к1 + к2 + к 3 , и задача решается с получением выражений к12, к13, к2з через параметры «звезды» к1, к2, к3, а такие к1, к2, к3 можно определить через к12, к23, к13. В случае, ко-
гда к4 ф 0, возникает ситуация, при которой можно определить параметры «треугольника», но нельзя однозначно выразить к12, к13, к23 через к, к, к и к . Такая ситуация обсуждается, например, в работе [2].
Вопросы передачи возмущения в систему через точку соединения упругих элементов в предположении, что точка соединения пружин не обладает массой, можно отнести к числу еще малоизученных, хотя в практике такие ситуации встречаются достаточно часто. Отметим также, что конфигурацию системы по типу «звезда» при присоединении в точке (1) (рис. 1, а) некоторого дополнительного звена можно считать изменением исходной структуры. Другая ситуация возникает, когда в точке (1) (рис. 1 , а) прикладывается внешняя сила, тогда можно считать, что дополнительный упругий элемент вроде бы и не присоединяется, но координату точки (1) в связи с приложением силы исключить не удается. Во всяком случае, необходимо сформировать некоторое условие связи или определения к4 через к1, к2, к3 .
V. Возможности переноса сил
Рассмотрим вопрос о приложении силы к точке соединения пружин с жесткостями к и к , как показано на рис. 3, а,б,в.
Если при к — 0 сила находится в точке (1), то в статическом состоянии смещение в точке (1) будет равно
е
Л —
к
(55)
а
2
а
2
иркутским государственный университет путей сообщения
а)
X
т
2
{"2
б) о
т .(2)
4
в) о
т.
-X
т„
т. (2)
к
4
1
1*1
1
["1
•т.(1)
'■к
•т.(1)
X
\\ч\\\
\чч\\\
Рис. 3. Расчетные схемы системы с двумя степенями свободы и их трансформации: а) схема общего вида (щ ф 0,т2 ф 0, — ф 0,к2 Ф 0, к3 Ф 0 );
б) введение последовательного соединения пружин ( щ = 0, к3 = 0 );
в) учет дополнительной связи ( т4 = 0, к3 ф 0 )
Смещение верхней массы (точка (2)) будет таким же, что и в точке (1). Будем полагать, что сила 0 может быть перемещена в точку (2), обозначим силу через 0 , полагая, что при переносе смещения точки (1) останется прежним. Тогда при действии силы 0 смещение точки (2) должно быть равно у, определяемому из (55), однако смещение будет определяться (рис. 3, б) уже с учетом последовательного соединения ¿ и ¿ .
Тогда
0_ 01
—
к1к2
+ ¿2
•, откуда 01 =
—о
¿1 + —2
"0.
01 =
0[(—1 + —2) + —1—3 + —2—3 ] —1(—2 + —3)
—3)
к^ + ¿2 + —
Аналогичный результат можно получить, производя преобразования структурных схем, эквивалентных в динамическом отношении расчетным схемам механических систем на рис. 3 , а и 3 , б. Таким образом, если сила 0 прикладывается не к массе, а к точке (1), то есть к точке последовательного соединения пружин ¿ и ¿ , то силу 0 можно перенести на массу т2 (точка (2)), однако при этом получаемая сила 0 уже не будет равна 0 : произойдет изменение силы. При преобразованиях должно соблюдаться условие, которое заключается в следующем. Перенос силы из точки (1) в точку (2) сопровождается изменением силы, но при ее приложении в точке (2) смещение в точке (1) не должно измениться. Рассмотрев случай, соответствующий рис. 3в (в этом случае к3 ф 0), найдем, что выполняется условие
0=пй0— (56)
к^ + ¿2
Таким образом, в общем случае (рис. 3, в) при переносе 0 из точки (1) в точку (2) имеем
к1( к1
Заключение
Если рассмотреть механические колебательные системы в целом, имея в виду возможности их эквивалентного преобразования, то подход, основанный на учете тождества систем дифференциальных уравнений, представляется наиболее простым. В качестве соблюдаемых условий можно выделить по крайней мере два: равенство в соединениях двух типов кинетических энергий и равенство потенциальных энергий.
Разные виды внешних воздействий приводят к разным математическим моделям. Если силовые факторы прикладываются непосредственно к элементам системы, обладающим массами, то ситуация сохраняется при преобразованиях. В таких случаях структура соединения, например для «треугольника», в общем случае имеет вид, как показано на рис. 4.
_\\\
"И
Ф
\\Y\W
Рис. 4. Расчетная схема механической системы типа «треугольник» На рис. 4 представлен наиболее общий случай, когда все внешние возмущения либо приложены, либо могут быть простыми приемами связаны с массоинерционными элементами. В частности, при использовании структурных подходов, опирающихся на обобщенные представления сил,
2
3
кинематическое и силовое возмущения могут быть приведенными друг к другу [5].
В соединениях типа «звезда» внешние воздействия учитываются аналогично тому, как это делается и для соединений типа «треугольник». Однако системы отличаются тем, что «звезда» имеет особую точку-полюс (точка (1) на рис. 1, а). Если внешнее воздействие прикладывается к этой точке, то возможны варианты. На рис. 5 показана принципиальная схема внешних воздействий соединения типа «звезда».
Qг > к
2-х
17777
7777
Рис. 5. Принципиальная схема внешних воздействий на систему типа «звезда»
На рис. 5 характерным является приложение нагрузки через упругий элемент к0 при кинематическом воздействии 20 или приложение к точке (1) силы Q0 . В рассмотренных ранее случаях в точке (1) учитывалась масса т4, а для упругого элемента принималось, что к0 = к4 . Учет упругой связи полюса (точки (1)) усложняет задачу эквивалентного преобразования в «треугольник», однако такой однозначный переход возможен. Характерным обстоятельством при этом является то, что при возмущении в полюсе в эквивалентном «треугольнике» по всем координатам появятся соответствующие внешние возмущения ^, ^ и
Qз. При этом параметры кг, кз, к3 могут быть найдены через к, к, к и к4, однако обратный переход становится неоднозначным. Некоторые возможности связаны с упрощениями в системе на основе переноса сил, как это было рассмотрено в разделе IV, что может привести к некоторым условиям связи между к, к, к и к4 в виде алгебраических уравнений.
Эквивалентность преобразований в тех случаях, когда их однозначность соблюдается, может приводить к получению более компактных структурных схем, расширяющих возможности физической интерпретации процессов динамических колебаний и образования определенных форм самоорганизации движения системы. Отметим одну из особенностей в использовании различных форм соединений. Например, трехлучевая «звезда» может быть преобразована в четырехлучевую «звезду», если полагать, что к0 опирается не на основание, а на элемент с бесконечно большой массой.
Соединение типа «треугольник» является в классе систем, допускающих эквивалентные преобразования, самым простым. Более сложные структуры, например ««-угольники», могут приводиться к «треугольникам», если связи между отдельными элементами будут принимать предельные значения (к ] = [6, 7]. В свою очередь,
при кз ^^ «треугольник» на рис. 1, б превращается в систему с двумя степенями свободы. В этом случае к и к должны находиться между собой в определенных соотношениях, характерных для параллельного соединения пружин. Если к2з = 0, то система превращается в одну из разновидностей систем с тремя степенями свободы. При наличии упругой связи к10 (рис. 1, б) и рассмотрении основания как звена с предельным большим значением массы можно получить соединение типа «звезда», как это было обозначено выше.
Если принимать ки = 0 или к3 = 0, то «треугольник» превращается в цепную механическую систему с тремя степенями свободы. Использование типовых элементарных звеньев расширенного набора звеньев виброзащитных систем позволяет выйти на получение нового класса механических систем, обладающих свойствами эквивалентных преобразований и соответствующих соотношений между параметрами. Многолучевая «звезда» также может упрощаться, если принимать радиальные жесткости нулевыми. В каждом случае мы будем переходить от «звезды» с п лучами к звезде с п-1 лучами и т. д., пока не придем к системе с одной степенью свободы. При выполнении условий обнуления масс также будет происходить аналогичное упрощение. Однако в этих случаях существенную роль играют дополнительные упругие элементы к10,к20,...кп0, которые могут давать и другие варианты построения структур.
При рассмотрении структур типа п-угольника при наличии одной связи какого-либо узла через упругий элемент ко(;=Гй) с основанием,
2
0
иркутским государственный университет путей сообщения
«-угольник может быть превращен в треугольник с
параметрами ¿12, ¿23, £13 обобщенных пружин [7].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дружинский И. А. Механические цепи. - М. : Машиностроение, 1977. - 237 с.
2. Синев А. В. Определение нулей передаточных функций механических колебательных систем // Управляемые механические системы. - Иркутск. Иркутский политех. ин-т, 1984. - С. 2532.
3. Hedrichs S. L., Rairam S., Kamut N.P., Junkins I. L. Identification of Mass Dumping and Stiffness Matrices of large linear Vibrators Systems // AIAA Pap. - 1982. - № 1406. - P. 5.
4. Хоменко А. П., Елисеев С. В. Виброзащитные системы с сочленениями. Технологии построе-
ния математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. - Вып. № 3(27). - С. 8-18.
5. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., Засядко А. А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск : Изд-во Ир-кут. гос. ун-та, 2008. - 523 с.
6. Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Динамические свойства виброзащитных систем. Предельные переходы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2010. Вып. № 4(28). - С. 24-31.
7. Синев А. В. Выбор параметров систем виброизоляции и динамических гасителей на основе методов синтеза цепей // Машиноведение. -1972.- № 1.- С. 28-34.
УДК 517.988.7 Сидоров Денис Николаевич,
канд. физ. -мат. наук, доцент ИМЭИ ИГУ, с. н. с. ИСЭМ СО РАН тел. 8-3952-42-84-40, e-mail: [email protected] Сидоров Николай Александрович, д.ф.-м.н. проф. ИМЭИ ИГУ тел. 8-3952-24-22-28, e-mail: [email protected]
Леонтьев Роман Юрьевич аспирант ИМЭИ ИГУ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ВЕКТОРНЫМ ПАРАМЕТРОМ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
D.N. Sidorov, N.A. Sidorov, R.Ju. Leontiev
ASYMPTOTIC APPROXIMATIONS OF SOLUTIONS TO NONLINEAR BOUNDARY PROBLEMS WITH VECTOR PARAMETER IN THE NEIGHBORHOOD OF BIFURCATION POINT
Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение с фредгольмовым линейным оператором в главной части. Нелинейная часть уравнения зависит от функционалов, определенных на открытом множестве линейного нормированного пространства. Предлагается метод последовательных асимптотических приближений разветвляющихся решений. Метод применен для решения нелинейной краевой задачи, описывающей колебания спутника и решения краевой задачи об изгибе стержня, лежащего на упругом основании.
Ключевые слова: ветвление решений, фредгольмов оператор, асимптотика, регуляри-
затор Треногина, последовательные приближения.
Abstract. Nonlinear operator equation with Fredholm linear operator in the main part is studied. Nonlinear part depends on functional defined on the open set of linear normed space. The method of successive asymptotic approximations of branching solutions is proposed. The method is applied for studies of nonlinear BVP modeling the satellite oscillations in the plane of its elliptic orbit and for solution of the BVP of the bending of rod on elastic foundation.
Keywords: branching solutions, Fredholm operator, asymptotic, Trenogin regularizator, successive approximations.
