О соотношении между критическими скоростями реверса и дивергенции прямого крыла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том IX

197 8

№ 4

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.424

О СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ КРИТИЧЕСКИМИ СКОРОСТЯМИ РЕВЕРСА И ДИВЕРГЕНЦИИ ПРЯМОГО КРЫЛА

А. П. Сейранян

На основе выведенного интегро-дифференциального уравнения, описывающего явление реверса элерона прямого крыла, для различных случаев анализируется соотношение между критическими скоростями реверса и дивергенции в зависимости от параметров задачи.

1. Рассмотрим прямое крыло большого удлинения переменной жесткости в потоке воздуха (фиг. 1). Пунктирная линия на фиг. 1 указывает линию аэродинамических центров, а штрихпунктирная— упругую ось.

Примем, что аэродинамические силы, действующие на крыло, вычисляются согласно теории несущей полосы. Угол закручивания

крыла относительно упругой оси обозначим через 0 (у), а угол отклонения элерона — через Р(у). Выпишем уравнение упругого равновесия крыла в потоке [1]:

Фиг. 1

в (X) = д [ N (х, у) [ае (у) 0 (у) + е (у) + р (у)} с2 (у) йу, (1)

дС

где ц — скоростной напор, а — коэффициент подъемной силы, -дС

и—щГ — заданные коэффициенты, Ы(х, у) — функция Грина, соответствующая граничным условиям 6(0) = 6/0' | у=.$ = 0.

N (х, у) =

У

I

0

X

1

от

о/(С)

, 0<JZ<JC<S,

, 0<Л<>»<5.

(2)

В этом выражении й1 (С) есть жесткость крыла на кручение. Относительно углов 0(у) и Р(у) обычно принимается [1]

0(У) = %/(У), Р(У) = Роё(У)-

Функция g(y) при у £ [&, у)«] считается заданной, (_у) = 0 при у £ [О, Ц] и [7]5, 5]. Для жесткого элерона

.£00=1. У £ ^]; 0<$<т)<1.

(3)

Суммарный момент крена относительно центральной оси самолета равен

^1 дСе о

Критическая скорость реверса определяется условием (■ _0 = О- С использованием (1) — (3) отсюда получается интег-

ральное уравнение относительно /(у) (см., например, [1]):

(«6 (У) + Р (У)) с {у)уйу.

/(•*) = Я | К(х, у)Ґ(у) йу,

К{х, у)*=аИ (х, у) е (у) с2 (у) —

£

-4 д?> \

(4)

ас (у) у |*Л^(л:, у) (>>) + | с2 (у) £ (у)(1у

о

дСе

| £ (у) С (у) у Лу

Уравнение (4) определяет задачу на собственные значения. Роль собственного значения в этой задаче играет Наименьшее положительное собственное значение ц определяет скорость реверса ^рев = ).

Перейдем от интегрального уравнения (4) к интегро-диффе-ренциальному, используя выражение для функции Грина (2). Дважды дифференцируя (4), получим

[О/ (У) /' Су)]' + дае (у)/(у) с2 (у) — да& (у) е2 (у) е (У) + ^-] {/ (у) с (у) у Чу

(5)

dp

-g(y)c(y)ydy

с граничными условиями 0(0) — ОІЬ’ | у=5 = 0. Таким образом, приходим к несамосопряженной краевой задаче на собственные значения.

Помножим (5) на собственную функцию / и проинтегрируем. Ввиду самосопряженности оператора левой части (5) имеем

S

f аес2 р dy — --------------

S

дС,

<?р

г- 8СУ йУ

2. Рассмотрим случай прямоугольного крыла постоянной жесткости с жестким элероном. Функции 1{у), е(у), с (у) будем считать заданными константами, положим равным единице, g(У) = } 0, 0 < у < й

= | 1 “ведем безразмерную независимую переменную

х = у!$ и обозначения

qaec2 s2

01 ’ " ~■ 1 - S21

В этих обозначениях уравнение (5) примет вид

1

f + ^f=^g(x)A\f(x)xdx, /(0) = /'(1) = 0. (6)

о

Нетрудно получить решение этого уравнения, рассматривая его по отдельности на отрезках [0, 5], [$, 1] и сшивая решения из условия непрерывной дифференцируемости. При этом накладывает-

ся условие нормировки |/(л;) х dx = const, которое используется в

о

дальнейшем для определения собственных значений. Решение уравнения (6) имеет следующий вид (k — произвольная постоянная):

f{x)

k (tg 0) — tg w£) sin (OX, x б [0, ?]; k (tg to sin юл: + cos <ox—1/coswS), .*€[£, 1].

Для собственных значений ю получается трансцендентное уравнение, которое совпадает с уравнением (8.112), приведенным В [2],

+ ^ ^ сое ш5) -4- <*>2 соэ о) = 0. (7)

Исследуем соотношение между критическими скоростями реверса элерона и дивергенции. Как известно [1, 2], явление дивергенции для прямоугольного однородного крыла описывается уравнением (6), в котором отсутствует правая часть [£(.*:) = 0]. Критическая скорость дивергенции определяется первым собственным

значением этого уравнения, равным u> = it/2. Исследуем вопрос: какими параметрами определяется соотношение между критическими скоростями реверса и дивергенции. Для анализа запишем (7) в виде

2В (W_i\ (8)

1 — Z3 \ COS со J ’ ' '

дС I дС

где В= 1 + е —щ- j . Из графического рассмотрения этого

уравнения следует, что критическая скорость реверса всегда существует.

На фиг. 2 представлен случай |>1/3. Функция — 1 и ее

производная равны нулю при ш = 0, монотонно возрастают на отрезке [0, те/2] при любом % £ [0, 1] и обращаются в бесконечность при «ои/2. Для того, чтобы выяснить, пересекает ли функция <р(ш) =

— с0-— — 1 параболу ф (о>) =ю2 на отрезке (0, тс/2], доста-

COS ^ «£)

точно исследовать поведение этой функции в нуле. Для этого разложим <р(ш) в окрестности нуля и удержим члены до 4-го порядка малости:

Отсюда следует, что если В^> 1 или 0, то уравнение (8) не имеет решения на отрезке (0, я/2] и, следовательно, qpeB^>qtUB-Если же 0<£<1, то отрезок (0, я/2] содержит корень этого

уравнения и ^рев-гС^див- Знак равенства реализуется только при В = 0, что непосредственно видно из уравнения (7).

С использованием выражения для В и с учетом того, что дС дС

—щ->0, - «<0 [1, 2], окончательный результат представим в

следующем виде:

eT+T<0^^eB<^-B’ еТ + ^>0=ф^ев>^ив;

е д$ ^ djF = ^ ^рев = ^ив‘

Отметим, что параметр £ не влияет на соотношение скоростей реверса и дивергенции.

3. Перейдем к рассмотрению общего случая прямого крыла переменной жесткости с элероном. Уравнение реверса (5) запишем в виде

і

(01 f)' + qax (x)f(x) — qa2 (x) d (x) j f(x) аг (x) dx,

о

/ (0) = Gif' |д:=1 = 0,

(9)

где

а1 (х) = ае (х) с4 (х) я2; а2 (х) — ■ ;

^ 8 (х) с (х) хЛх

о

аз(■*) = с(х)х; d(x) = 1+^-/-^-е(х).

Функция угла отклонения элерона g(x) считается заданной неотрицательной функцией, отличной от нуля на отрезке [?, Т)]. Функции а^л:), ай(х) положительны при х £ (0, 1), а2 (х) неотрицательна.

Уравнение дивергенции в этих обозначениях имеет вид

(Gif')' + q0 ах (x)f0 (х) = 0, /o(0)=G//;|_r=1 = 0.

(10)

Вследствие положительности а (х), а!(л:)(10) описывает самосопряженную и положительно определенную задачу на собственные значения [3].

Поскольку коэффициенты имеют разные знаки,

то представляется интересным исследовать случай, когда величина d(x) мала. Этот случай отвечает высокой эффективности элерона при скоростях полета, меньших критических [1]. Предположим, что функция d (х) на отрезке [Е, ■»]] имеет порядок е. Введем

малый параметр d (х) = е = гй (х), где функция И(х) имеет порядок единицы.

Применим метод возмущений [3, 4] и вычислим поправку собственного значения возмущенной задачи через решение задачи при е = 0 (явление дивергенции). Для этого выпишем разложения /=/о + еА + • • • > Я = Яо + + • • •» в которых /о, ?0 являются со-

ответственно первой собственной функцией и первым собственным числом задачи о дивергенции. Функции /г, 1 = 0, 1, ... удовлетворяют граничным условиям /Д0) = 0//д|д:=1 = 0. Подставляя разложения в (9) и приравнивая нулю множитель при е, получим уравнение относительно /

(О//;)'+ ./о ах (*)/!(*) = г

= — ^ а, (х)/0 (х) + Яо «г (•*) О (х) | /о (х)а3 (х) ах. (11)

о

Помножим обе части (11) на /0 и проинтегрируем с учетом граничных условий. Ввиду самосопряженности операторов, стоящих слева, имеем

п 1

С «2 (х) /о (х) О (а:) йх I" /о (х) а3 (х) <1х £ о

Ях-Яо------------I----------------------•

I

аЛх) /о (*) Лх

Таким образом, Я = Яо + еЯі с точностью до членов порядка е. Или

71 с

| я2/о Л (ІХ |/о я3 Лх

1 + ,-------------2---------

*7рев = <7див

йх

Вследствие того, что /0 является первой собственной функцией самосопряженного и положительно определенного оператора второго порядка, то на отрезке [0, 1] она не меняет знака и [3]. Без ограничения общности можно считать /0(л:)>0, х £ (0, 1). Отсюда и из неотрицательности функций а,, а2, аг вытекает следующий результат.

Соотношение между критическими скоростями реверса и дивергенции при малых значениях функции й(х) = 1 + /-^щ~е(х)

п

определяется знаком интеграла ] а2{х) ёх/0(х)йх.

При <1 (я) > 0, X £ [|, 7)] ?рев>?див,

при й?(л:)<0, л: £ [5, ч\] ЯР™<Ятв-

В заключение рассмотрим случай не малых с1(х). Помножим уравнение реверса (9) на функцию /0, а уравнение дивергенции

(10) —на/. Проинтегрируем их от нуля до единицы и вычтем одно из другого. В силу самосопряженности оператора {(31

получим

j а2 <*/о <1х | /«з йх

о

Функция /0 (х), как указывалось выше, на отрезке [0, 1] не меняет знака. Поэтому из соотношения (12) следует вывод:

Если (Цх)^>0 |^(л:)<0] при х £ [£, •»)], а функция /(х) не меняет знака на отрезке [0, 1], то <7рев > ?ДиВ (9рев < <7Див)-

Из соотношения (12) следует также: <7рев =» дтв тогда и только тогда, когда й (х) на отрезке х £ [£, •»)] меняет знак, причем 11 р

| а2 й/0 йх = 0, либо й(л:) = 0. Действительно, ] /а3йх^0, поскольку е о

в противном случае уравнение реверса (9) совпадает с уравнением дивергенции (10), поэтому собственная функция /(х) не меняет

из знакоопределенности функций а2(х), /0(х) вытекает справедливость сформулированного утверждения.

Автор благодарит Н. В. Баничука, В. И. Бирюка и А. А. Миронова за обсуждение результатов работы.

1. Ф ы н Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М., Физмат-гиз, 1959.

2. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит., 1958.

3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1, М., ГТТИ, 1933.

4. Н а й ф э А. X. Методы возмущений. М., „Мир“, 1976.

знака. Вследствие неотрицательности а3(х)

Отсюда и

о

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 81VIII 1977 г.