CC BY
9
УДК 512.572
О солитонах Риччи на 2-симметрических лоренцевых многообразиях*
Д.Н. Оскорбин, Е.Д. Родионов, И.В. Эрнст
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Ricci Solitons on 2-symmetric Lorentzian Manifolds
D.N. Oskorbin, E.D. Rodionov, I.V. Ernst Altai State University (Barnaul, Russia)
Важным обобщением эйнштейновых метрик на (псевдо)римановых многообразиях являются солитоны Риччи, которые впервые были рассмотрены Р. Гамильтоном. Задача нахождения соли-тонов Риччи является достаточно сложной, поэтому предполагаются ограничения либо на строение многообразия, либо на размерность, либо на класс рассматриваемых метрик, либо на класс векторных полей, участвующих в записи уравнения со-литона Риччи. Одним из важных примеров такого рода ограничений являются многообразия Уо-кера, то есть псевдоримановы многообразия, допускающие гладкое параллельное (в смысле связности Леви-Чивита) распределение изотропных векторов. Геометрия многообразий Уокера, а также солитоны Риччи на них исследовались в работах многих математиков. В исследовании рассмотрено уравнение солитона Риччи на некоторых лоренцевых многообразиях Уокера. К числу таких многообразий относятся 2-симметрические лоренцевы многообразия, которые были исследованы Д.В. Алексеевским, А.С. Галаевым. Позднее К. Онда и В. Батат исследовали солитоны Риччи на четырехмерных 2-симметрических ло-ренцевых многообразиях и доказали локальную разрешимость уравнения солитона Риччи на таких многообразиях. В данной работе доказана локальная разрешимость уравнения солитона Рич-чи на пятимерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях.
Ключевые слова: солитоны Риччи, многообразия Уокера, лоренцевы многообразия.
БЭТ 10.14258/izvasu(2017)1-20
Ricci solitons are an important generalization of Einstein metrics on (pseudo) Riemannian manifolds, and this notion was introduced by R.Hamilton. The problem of solving the Ricci soliton equation is quite difficult, therefore one can assume some restrictions either on a structure of the manifold or on the dimension or on a class of metrics, or on a class of vector fields, which are contained in the Ricci soliton equation. Walker manifolds are one of the most important examples of such restrictions, that is pseudo-Riemannian manifolds admitting a smooth parallel (in sense of Levi-Civita connection) isotropic distribution. The geometry of Walker manifolds and Ricci solitons on them were studied by many mathematicians. In this paper, we investigate the Ricci soliton equation on some Lorentzian manifolds. In particular, we study the Ricci solitons on 2-symmetric Lorentzian manifolds, which are Walker manifolds, as it was proven by D.V. Alekseevsky and A.S. Galaev. K. Onda and B. Batat investigated Ricci solitons on four-dimensional 2-symmetric Lorentzian manifolds, and proved local solvability of the Ricci soliton equation on such manifolds. In this paper we have obtained local solvability of the Ricci soliton equation on five-dimensional 2-symmetric Lorentzian manifolds.
Key words: Ricci soliton, Walker manifold,
Lorentzian manifold.
Введение. Уравнение солитона Риччи является обобщением уравнения Эйнштейна, и впервые данный термин был введен Р. Гамильто-
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты: №16-01-00336А, №16-31-00048мол_а), Минобрнауки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).
ном в работе [1, с. 237]. Позднее солитоны Рич-чи исследовались в работах многих математиков (см., например, обзор [2]). В общем случае задача исследования и классификации солитонов Рич-чи является достаточно сложной, и поэтому она рассматривается при некоторых ограничениях на многообразие. К числу многообразий с такими ограничениями относятся 2-симметрические ло-
ренцевы многообразия, которые были исследованы Д.В. Алексеевским и А.С. Галаевым. Позднее К. Онда и В. Батат исследовали солитоны Риччи на четырехмерных 2-симметрических лорен-цевых многообразиях и доказали локальную разрешимость уравнения солитона Риччи на таких многообразиях (см. [3, с. 561]). В данной работе доказана локальная разрешимость уравнения со-литона Риччи на пятимерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях.
Основные определения. Псевдоримановым многообразием называется гладкое многообразие M, на котором задан гладкий невырожденный симметричный метрический тензор g. Если метрический тензор имеет сигнатуру (1,n — 1), то (M,g) называется лоренцевым многообразием.
Пусть (M,g) - псевдориманово многообразие размерности n, V - соответствующая связность Леви-Чивита. Тензор кривизны опеределим как R(X, Y)Z = [Vr, Vx]Z + V[x,r]Z и тензор Риччи как r(X, Y) = tr(V ^ R(X, V)Y), где X, Y,Z,V -гладкие векторные поля на M.
Определение. Полное псевдориманово многообразие (M,g) называется солитоном Риччи, если существует гладкое векторное поле X, удовлетворяющее уравнению
£х g + r = \g,
(1)
где r - тензор Риччи, Л G R - некоторая константа, £хg - производная Ли метрики g в направлении поля X.
Число Л называется константой солитона. При Л > 0,Л = 0 или Л < 0 солитон называют сжимающимся, стабильным или расширяющимся соответственно.
Определение. Гладкое распределение D на M называется параллельным, если для любых векторных полей X G D, Y G TM имеем VrX G D.
Определение. Псевдориманово многообразие, допускающее гладкое параллельное распределение изотропных векторов, называется многообразием Уокера (см. [4, с. 1196; 5, с. 69])
Определение. Пусть R - тензор кривизны метрики g. Если
VR = 0, V2R = 0,
то (M,g) называется 2-симметрическим псевдо-римановым многообразием.
Система координат. Уравнение солитона
Риччи. Рассмотрим лоренцево локально неразложимое 2-симметрическое многообразие Уокера (M,g) размерности 5. Следующая теорема А.С. Галаева и Д.В. Алексеевского позволяет выбрать систему локальных координат на M.
Теорема (см. [6, стр. 2331]). Пусть (M,g) -локально неразложимое лоренцево многообразие
Уокера размерности п + 2. Тогда (М,д) является 2-симметрическим тогда и только тогда, когда существуют локальные координаты хп, и такие, что
п
д — 2дмдм + + (Яуи + )xixj(¿и)2, (2)
i=1
где Hij - ненулевая диагональная вещественная матрица с диагональными элементами; \1 < • • • < \п, Fij - симметричная вещественная матрица.
Получаем локальную систему координат (у,х,у, г, и) на многообразии М. Пусть в этих координатах векторное поле X имеет вид X = (У,Х,У^,и), где У,Х,У^,и - гладкие функции на М. Запишем уравнение солитона Риччи в системе координат (V, х, у, г, и):
2Uv = 0
Ux + Xv = 0
Uy + Yv = 0
Uz + Zv = 0
Uu + Vv =Л
2Xx =Л
Yx + Xy = 0
Zx + Xz = 0
UxH + Xu + Vx = 0
2Y 2Yy =Л
Zy + Yz = 0
Uy H + Yu + Vy = 0
2Zz =Л
Uz H + Zu + Vz = 0
xUuH + 2Vu + XHx + YHy+
+ UHu 2 (Hxx + Hyy + Hzz) = ЛH
(3)
Разрешимость уравнения солитона Риччи.
Теорема. Уравнение солитона Риччи (1) локально разрешимо в классе 2-симметрических лорен-цевых многообразий размерности 5 для любой константы Л.
Схема доказательства:
Задача сводится к доказательству разрешимости системы уравнений (3) для любой константы Л.
Продифференцировав уравнения (3.6)-(3.8) по х, получим
^Х хх — — ^^ хх — 0.
Аналогично из уравнений (3.1)-(3.8), (3.10)-(3.12) получим следующее:
Xyy =Y = Yyy = Zyy = 0,
Xzz =Y Y zz = Zzz = 0,
Xvv =Y vv Zvv = 0,
uvv Uxx Uyy Uzz
г
Отсюда следует, что функции X, У, Z, и являются многочленами от переменных V, х, у, г, коэффициенты которых зависят от и, причем степени этих многочленов по каждой переменной не превосходят 1. Этим мы будем существенно пользоваться. Введем обозначения Х1 = v,x2 = х,х3 = у, х4 = г,х5 = и. Тогда мы можем записать:
X(V, х, у, г, и) = У^ Х] (и)хх Хг(и)хг + Хо(и),
г,3
г = 1.А,о = 1..4,
Подставим это выражение в уравнения (3.9),(3.12),(3.14),(3.15):
= (^)у = (VI) г = 0, Нци + И22и + Н33и + ^11 + ^22 + ^33 = 2(^)г
где Хг](и) = Х]г(и), Хгг = 0. Аналогичная запись справедлива для функций У^,и. Уравнения (3.1), (3.6), (3.10), (3.13) сводятся к следующим равенствам:
ии = и<1 = и =0,
Х2г = Хг2 = У3г = Уг3 = Z4г = Zг4 = 0, Х2 = У3 = Z4 = —.
При выполнении этих равенств уравнения (3.1), (3.6), (3.10), (3.13) обнуляются. Далее мы полагаем, что не найденные ранее иг,Хг,Уг^г равны 0. Это сужает класс решений, но значительно облегчает доказательство. После подстановки полученных выражений в систему (3) уравнения (3.2)-(3.4), (3.7),(3.8),(3.11) примут следующий вид:
уи23 + ги24 + уХ1з + гХ14 = 0, хи2з + гиз4 + хУ12 + гУ14 = 0, хи24 + уи34 + xZl2 + yZlз = 0, vУl2 + гУ24 + vXlз + гХ34 = 0, vZl2 + yZ23 + vXl4 + уХ34 = 0, vZlз + xZ23 + vУl4 + хУ24 = 0.
Эти равенства выполнены при всех v,x,y,г. Откуда следует, что
и23 + Х13 = 0, и23 + У12 = 0, У12 + Х13 = 0.
Разрешая эту систему, получим и23 = Х13 = У12 = 0. Аналогично получаются равенства
и24 = и34 = Х14 = Х34 = У14 = У24 = 0, Zl2 = Zlз = Z23 = 0.
Если они выполнены, то обнуляются уравнения (3.1)-(3.4), (3.6)-(3.8), (3.10),(3.11), (3.13). Уравнение (3.5) примет вид
V, = Л.
Интегрируя по v, получим
V = Лv + V1(x,y, г, и).
откуда
V = Лv + у (Ни + Н22 + Н33)+
+ 2 (^11 + Р22 + Р33) + V), Vо е К.
Таким образом, все уравнения системы (3) выполнены и теорема доказана.
Полученное векторное поле X имеет координа-
X = (V,X,У,Z,U), и2
V = Лv + — (Н11 + Н22 + Н33)+ и
+ 2(^11 + Е22 + + V),
X = Лх,У =
Z = = 0.
Заключение. В результате проведенных исследований доказана локальная разрешимость уравнения солитона Риччи на пятимерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях. Данные результаты продолжают исследования К. Онды и В. Батата по существованию со-литонов Риччи на 2-симметрических лоренцевых многообразиях.
2
ты
Библиографический список
1. Hamilton R.S. The Ricci flow on surfaces // Contemporary Mathematics. - 1988. - Vol. 71.
2. Cao H.-D. Recent progress on Ricci solitons // Advanced Lectures in Mathematics. - 2010. -Vol. 11.
3. Onda K., Batat W. Ricci and Yamabe solitons on second-order symmetric, and plane wave 4-dimensional Lorentzian manifolds // Journal of Geometry. - 2014. - Vol. 105. - Issue 3.
4. Brozos-Vazquez M., Garcia-Rio E., Gavino-
Fernandez S. Locally conformally flat lorentzian gradient Ricci soliton // Journal of Geometric Analysis. - 2013. - Vol. 23, № 3.
5. Walker A.G. Canonical form for a Riemannian space with a parallel field of null planes // Quart. J. Math. Oxford. - 1950. - Vol. 1, № 2.
6. Alekseevsky D.V., Galaev A.S. Two-symmetric Lorentzian manifolds // Journal of Geometry and Physics. - 2011. - Vol. 61, № 12.
