CC BY
26
BucTOHHu-fcBpunencKun журнал передивын TeHHunuruO ISSN 1729-S774
пиіі.jл uivicvc-ui
У статті досліджується задача про сейсмостійкість та власні коливання тришарових неоднорідних ортотропних прямокутних пластинок, шари яких виготовлені з різних неперервно неоднорідних матеріалів. Використовуючи гіпотези Кірхгофа -Лява для всієї товщини елемента, отримані системи рівнянь руху пластинки. У разі шарнірного закріплення країв пластинки побудовано рішення задачі і знайдена формула для визначення частоти власних коливань пластинки
Ключові слова: тришаровий, ортотропні пластинки, неоднорідний, пружні характеристики, коливання, амплітудно-частотні характеристики
□---------------------------------------□
В статье исследуется задача о сейсмостойкости и собственных колебаниях трехслойных неоднородных ортотропных прямоугольных пластинок, слои которых изготовлены из различных непрерывно неоднородных материалов Используя гипотезы Кирхгофа-Лява для всей толщины элемента, получены системы уравнений движения пластинки. В случае шарнирного закрепления краев пластинки построено решение задачи и найдена формула для определения частоты собственных колебаний пластинки
Ключевые слова: трехслойный, ортотропные пластинки, неоднородный, упругие характеристики, колебание, амплитудно-частотные характеристики
УДК 539.3
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ И СЕЙСМОСТОЙКОСТИ ТРЕХСЛОЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК
С. Н. Гараисаев
Аспирант Кафедра «Теоретическая и строительная механика» Азербайджанский архитектурно-строительный университет ул. А. Султанова, 5, г. Баку, Азербайджан, Аз1073 E-mail: [email protected]
1. Введение
Как известно, в различных отраслях техники - машиностроении, судостроении, строительстве сооружений различного назначения широко используются элементы конструкции типа тонкостенных пластин и оболочек различного очертания.
Последние годы большое применение получили многослойные конструкции. Это, в первую очередь, связано с интенсивным использованием в промышленности новых искуственных материалов. Применение в строительстве и других областях техники подобных конструкций ставит перед инженером-исследователем повышенные требования к оценке прочности, устойчивости и амплитудно-частотных характеристик, так как при различных условиях работы и режимах нагружения возникает ряд вопросов, которые требуют решения новых задач напряженно-деформированного состояния и определения критических параметров [1].
Поэтому возникает необходимость учета влияния реальных физико-механических свойств материала слоев конструкции, режима и условия их работы и построения новых эффективных методик расчета, в которых учитываются вышеуказанные специфические особенности [2].
Многие вопросы прочности, устойчивости и колебаний многослойных элементов конструкций, рабо-
тающих в пределах упругости, в литературе исследованы достаточно, однако в этих работах в основном рассмотрены элементы конструкции с изотропными однородными слоями [3].
Во многих случаях слоистые конструкции изготавливаются из анизотропных неоднородно-упругих и неупругих материалов. Причиной проявления неоднородности являются технология изготовления конструкций, влияние нейтронного облучения и элементарных частиц, термическая обработка, неоднородность составов и т. д.
В зависимости от процесса изготовления и геометрии конструкции, упругие характеристики могуть зависеть от одной или нескольких координат точек тела.
Вопросы устойчивости и колебаний слоистых конструкций с учетом неоднородности в литературе изучены недостаточно. Поэтому в данной статье приводится постановка и решение задачи о колебании и сейсмостойкости трехслойных неоднородных орто-тропных прямоугольных пластинок.
2. Анализ литературных данных
В статье [4] исследуется задача устойчивости и колебаний непризматических слоистых призматических элементов мембран. В [5] дана постановка и исследова-
3
© .
на задача о колебании двухслойных чилиндрических оболочек из функционально неоднородного материала. В [6] изучается собственные колебания симметрично слоистых цилиндрических оболочек из материала с переменными характеристиками. В статье [7] дана постановка и исследована собственные колебания нано-пластинок на основе трехмерной теории упругости. В [8] проанализированы аэроупругая устойчивость и бифуркация слоистых панелей из нелинейного материала. В [9] задача о собственных колебаниях слоистых композитных пластинок исследована на основе метода конечных элементов. В статье [10] исследуется сейсмический контроль высоконапряженных элементов на основе трехмерной теории.
3. Постановка задачи
При моделировании задачи считается, что после удаления основных сейсмических воздействий на конструкцию в трехслойной пластинке происходят вибрации типа собственных колебаний и исследуются характеристики этих колебаний.
Рассмотрим трехслойную прямоугольную пластинку, изготовленную из неоднородного ортотропно-го материала. Координатная система выбрана следующим образом: оси ОХ и ОY расположены в срединной плоскости среднего слоя пластинки, ось OZ - направлена перпендикулярно им.
Связь между компонентами напряжений и деформаций на основе обобщенного закона Гука имеет вид
а‘і1 = ^‘цЕц + ^‘і2є22 ,
°‘22= ^21Е11 + ^22Е22 , °‘і2 = ^‘33Е12 (і=1,2,3). (1)
Здесь предполагается, что упругие характеристики материала слоев являются непрерывными функциями координаты толщины т. е.
Хук =^к'.а;кф.
Используем гипотезу Кирхгофа-Лява для всей толщины елемента пластинки
Е11= е11 - ,е22= е22 - ^22 , Е12= е12 - zx12,
(2)
где е11, е22, е12 и х11, х22, х12 - бесконечно малые изменения деформации и кривизны срединной плоскости.
Компоненты усилий и моментов вычисляются по формуле:
-Ь/2 Ь/2 Ь/2+Ь2
V 1 + 1 ^ + 1 °3аг,
-Ь1 -Ь/2 - Ь/2 Ь/2
_1/2 11/2 11/2 1 П2
М^ = | o1jzdz + | o2zdz + | o3zdz ,
-1,-1/2
1/2
-1/2
1/'2+12
1/2
(3)
где Ь1, Ь и Ь2 - толщины соответствующих слоев. С учетом (1), (2) из (3) получим:
Т11= ^2 иА011еи+ X2 12А°12є22- ^2 11А111Х11-
- X2 12А1цХ22 ,..., (4)
Мі!= X2 цА1ИеИ+ X2 12А111Є22 - X2 1іА2ИХИ-
- X2 12А212Х22 , ... . (5)
В этих формулах А^к - обобщенные жесткостные характеристики.
4. Получение уравнений движения пластинки
Как известно [1], уравнения движения прямоугольных пластинок состоит из следующих уравнений:
ЭТи + ЭТ.2 = ТхЬх +ТЬ + 7212 д2и
'эt2
Эх Эу
g
(6)
ЭТ12 ЭТ22_ у1Ь1 + уЬ + у2Ь2 Э2v
Эх Эу g Эt2
э2Мц + 23^2 +д!Мі+Т х +
0x2 3„2 11 11
ЭхЭу Эу
у^ + у1і + y2h2 Э2w g
(7)
Здесь 71, у, у2 - удельные весы материала слоев, g -ускорение силы тяжести, и, V, w - перемещения точек срединной плоскости по направлениям х, у, г -соответственно.
Используем связь между деформациями и кривизнами с компонентами перемещений:
Эи Эv Эи Эv
—, е19 —----------------+ ,
Эу Эу Эх
Є11 — , Є22 — - , Єі*> —
Эх
(8)
Э2w
Э2w
Эх2^ Х22 = Эу2 , Х12 =
Э^
ЭхЭу
С учетом (4), (5), (8) из (6), (7) получается система уравнений движения относительно перемещений рассматриваемой пластинки в общем виде:
Ц(и,)—
7111 + у1і + У2^
g Эt2 ,
(i,j —1,2,3), (и — и^,-№).
(9)
Здесь Li - полученные дифференциальные операторы.
Следует отметить, что деформации срединной плоскости пластинки должны удовлетворять уравнению совместности деформации:
д е11 + д е22 _ 2 д е12 — 0 Эу2 Эх2 ЭхЭу
(10)
х—
11
Е
Как видно, полная система уравнений движения Здесь di и Di выражаются через обобщенные
рассматриваемой трехслойной пластинки в точной жесткостные характеристики пластинки.
постановке состоит из (9) и (10).
5. Приближенная постановка задачи
В общем виде решение системы уравнений (9) связано с большими математическими трудностями. Поэтому в практике часто используется приближенная постановка задачи. В этом случае предполагается, что в системе (6) можно отбросить инерционные силы. Тогда эти уравнения будут удовлетворены тождественно, если ввести функцию напряжений F следующими соотношениями:
Т —
11
Эу^
Т —
Эх2,
Т —_
12
Э^
ЭхЭу
(11)
Для преобразования уравнений (7), (10) к необходимому виду, необходимо выразить ещ через Т и хщ из соотношений (4). Тогда после некоторых преобразований из (4) находим:
еи=анТп+ а12Т22+Ьнхп+Ь12х22, Є22 = а21Тц+ а22Т22+Ь21х11+Ь22х22, Є12 = аззТ12+Ьззх12.
(12)
6. Решение задачи
Таким образом, в приближенной постановке задачи уравнение собственных колебаний трехслойной неоднородной ортотропной пластинки получены в виде (14) и (15).
При шарнирном закреплении краев квадратной пластинки для прогиба и функции напряжения можно принять следующие выражение:
. тпх . тпу w — Sin-----------Sin , COS т *,
ф — фтп Sin
а Ь . тпх . тпу
(17)
а
Здесь т, п - число полуволн по сторонам, ттп - частота собственных колебаний пластинки.
Подставляя (17) в уравнение (15), получим:
^^тп —-DoФmn,
а—-
2 / \ 2 тп Н пп’
(18)
Подставляя (12) в выражения (5) для моментов, получим:
Мн-ГпТп+Г12Т22+Яихн+Я12х22,
М22=Г21Тн+Г22Т22+Я21хи+Я22х22,
М12=ГззТ12+Яззх12.
(13)
В этих формулах коэффициенты а^, Ц, гщ, вы-
ражаются через обобщенные жесткостные характеристики.
Подставляя выражения (12), (1з) в уравнения (7) и (10), после некоторых преобразований получим следующую систему уравнений собственных колебаний рассматриваемой пластинки:
^ ,,
а11 —у + аз —т.—тт+а1 11 Эх4 1з Эх2Эу2 12
Э^ Э^
+а21 Эх4 + D23 Эх2Эу2 + а
+ 1 (у1Ь1 + ТЬ + Т 212 )'|^ — 0,
Э^
Эу
Э^
!ТТ'
Эу
(14)
Подставляя (17) и (18) в (14) после некоторых преобразований для определения частоты собственных колебаний пластинки получим формулу
g
хШ„
7111 + т1 + 7212
4
23
а
, і тп^4 , (тп^2 (пп^2 , (пп
+л11|гГ]+ I -а-11 -Н + ^ I Ть-
1/2
(19)
При конкретных видах функций неоднородности материала слоев, частота собственных колебаний рассматриваемой пластинки определяется на основе (19).
7. Численные расчеты и анализ частоты собственных колебаний
Для проведения численных расчетов, функции неоднородности материала слоев принимались в следующем виде:
Э^ , Э^ ,
d11 Эх4 + ^3 ^Л„2 + ^2 ^,4
Эу4 Э ^
, Э4^ , Э2w , „ ..
+ ^^1 ---- + -+ - — 0.
21 Эх4 23 ЭхЭу 22 Эу4
(15)
а1^) — 1+ Ц1А а„^) — 1 + ц^, a2l(z) — 1 + ^^. (20) п1 и п2
Результаты численных расчетов представлены на рис 1.
3
Рис. 1. График зависимости частоты собственных колебаний от гибкости пластинки. Здесь пунктирной линией отмечено решение аналогичной задачи для однородной пластинки. 1: |-|=|2=|=0; 2: |-|=|2=|=1
8. Выводы
В статье дана постановка задачи и получена система уравнений движения трехслойных неоднородных ортотропных прямоугольных пластинок в точном и приближенном вариантах.
Получено решение задачи о собственных колебаниях трехслойных пластинок и найдена формула для определения частоты собственных колебаний.
Анализ проведенных численных расчетов показывает, что неоднородность и ортотропность материала слоев пластинки можеть существенно влиять на критические параметры пластинки.
Литература
1. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Вольмир. - М.;Наука, 1967. - 984 с.
2. Ломакин, В. А. Теория упругости неоднородных тел [Текст] / Ломакин, В. А. - М., изд-во МГУ, 1978. - 245 с.
3. Алфутов, Н. А. Расчеты многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов [Текст] / Н. А. Алфутов, П. А. Зиновьев, Б. Г. Попов. - М.;Машиностроение, 1984. - 264 с.
4. Rajasekaran, S. Stability and Vibration analysis of non-prismaticthin-walled composite spatial member sofgeneric section [Text] /
S. Rajasekaran, K. Nalinaa // J.Appl.Mechanics. - 2010. - Vol.77, № 3. - P. 310-319.
5. Arshad, S. H. Vibration analysis of bilayered FGM cylindricalshells [Text] / S. H. Arshad, M. N. Naeem, N. Sultana, A. G. Shah, Z. Iqbal // J.Appl.Mechanics. - 2011. - Vol. 81, № 8. - P. 319-343.
6. Viswanathan, K. K. Jang Hyun Lee. Zainal Abdul Aziz. Free vibration of symmetric angle-ply laminated cylindrical shells of variable thickness [Text] / K. K. Viswanathan, Jang Hyun Lee, Zainal Abdul Aziz //J.Acta Mechanica. - 2011. - Vol. 221, № 10. -
P. 309-319.
7. Alibeigloo, A. Free vibration analysis of nano-plate using three-dimensional theory of elasticity [Text] / A. Alibeigloo // J. Acta Mechanica. - 2011. - Vol. 222, № 11. - P. 149-159.
8. Li, Peng The aeroelastic stability and bifurcation structure of subsonic nonlinear thin panels subjected to external excitation [Text] / Peng Li, Yiren Yang, Wei Xu, Guo Chen // J.Arch.Appl.Mech. - 2012. - Vol. 82. - P. 1251-1267.
9. Avades, K. Free vibration analysis of laminated composite plates with elastical lyrestained edges using FEM [Text] / K. Avades,
N. D. Sharma // CentralEuropeanJournalof Engineering. - 2013. - Vol. 3, № 2. - P. 306-315.
10. Peng, Zhang Seismic Control of Power Transmission Tower Using Pounding TMD [Text] / Zhang Peng, Song Ganding, Li Hong-Nan, Lin You-Xin // J. Eng. Mech. - 2013. - Vol. 139 (10). - P. 1395-1406.
t
