О сложности реализации линейной булевой функции в базисе Шеффера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следствие. Пусть G < PSL2(Z) — нормальная подгруппа модулярной группы конечного индекса, также нормальная в расширенной модулярной группе G < EPSL2(Z). Тогда факторрисунок HDess^/G дуален графу Кэли Cay(EPSL2(Z)/G, X) факторгруппы, являющейся его расширенной группой автоморфизмов.

Близкие результаты получены в работе [1], а именно в ней доказана изоморфность 1-остов-представле-ния Кори регулярного рисунка и графа Кэли его группы автоморфизмов.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору Г. Б. Шабату за ценные указания и постоянное внимание, а также участникам семинара "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" за дружественную атмосферу и полезные замечания.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержки гранта РФФИ № 10-01-00709-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Singerman D., Wolfart J. Cayley graphs, Cori hypermaps, and dessins d'enfants // Ars Mathematica Contemporánea. 2008. 1. 144-153.

2. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2010.

3. Адрианов Н.М., Кочетков Ю.Ю., Суворов А.Д., Шабат Г.Б. Группы Матье и плоские деревья // Фунд. и прикл. матем. 1995. 1, № 2. 377-384.

4. Кнэпп Э. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс, 2004.

5. Белый Г.В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. 43, № 2. 267-276.

Поступила в редакцию 13.04.2012

УДК 519.95

О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

В БАЗИСЕ ШЕФФЕРА

Ю.А. Комбаров1

Заметка посвящена реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе, состоящем из единственного функционального элемента — штриха Шеффера. Найдено точное значение сложности реализации неоднородной линейной функции, а также дано описание всех минимальных схем, реализующих линейную функцию.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, линейная булева функция, минимальная схема, стандартный блок.

The paper is focused on realization of linear Boolean functions by circuits of functional elements in the basis {ж&у}. The exact value of complexity of negation of linear function is obtained in this paper. Another result is the description of all minimal circuts realizing a linear function.

Key words: circuit of functional elements, linear Boolean function, minimal circuit, standard block.

Введение. Одними из наиболее изученных с точки зрения минимальных реализаций_являются линейные булевы функции, представляемые в виде 1п(х\,..., хп) = Х\ ® ... ® хп или в виде 1п(х\,..., хп) = xi ® ... ® xn ® 1, где "®" означает сложение по модулю два [1]. Еще в 1952 г. в работе [2] был получен следующий результат: для реализации линейной булевой функции (существенно зависящей) от n переменных контактной схемой необходимо и достаточно 4n — 4 контактов. Сложность реализации линейных функций схемами из функциональных элементов [3] (определяемая обычно как наименьшее возможное число функциональных элементов, достаточное для реализации функции f схемой в заданном базисе, и

1 Комбаров Юрий Анатольевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

обозначаемая как L(f)) известна для многих базисов, состоящих из функциональных элементов не более чем с двумя входами. Так, в работе [4] показано, что L(ln) = L(ln) = 4п — 4 в базисе {ж&у, ж V у,х} и L(ln) = L(ln) = 7п — 7 в базисах {ж&у,ж} и {ж У у,х}, а в работе [5] показано, что L(ln) = L(ln) = 3п — 3 в базисе {ж —у,ж&у}. Для некоторых базисов известны очень точные оценки для сложности реализации линейных функций, например в работе [6] доказано, что L(ln) = 4п — 4 и 4п — 4 ^ L(ln) ^ 4п — 3 в базисе {ж&у}, а в работе [7] доказано, что L(ln) = 4п — 4 и 4п — 4 ^ L(ln) ^ 4п — 3 в базисе {ж —у, ж}. Для некоторых базисов есть описание устройства минимальных схем. Например, в работе [5] установлено, что все минимальные схемы, реализующие линейные функции в базисе {ж —у,ж&у}, имеют определенную блочную структуру, а в работе [8] аналогичный результат доказан для минимальных схем, реализующих линейные функции в базисе {ж&у,ж У у, ж}.

В настоящей работе устанавливается точное значение сложности функции 1п в базисе {ж&у}, состоящем из единственного функционального элемента — штриха Шеффера, а также описывается структура всех минимальных схем, реализующих функцию ln в том же базисе.

Основным приемом доказательства является метод забивающих констант, предложенный в работе [4] и применяемый также в статьях [6-10]. Впрочем, для доказательства утверждений из данной работы одного только метода забивающих констант оказалось недостаточно, поэтому в ней использован ряд соображений, связанных с глобальной структурой схемы.

Основные определения и формулировка результатов. В работе рассматриваются реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов [1, 3] в базисе Б, состоящем из штриха Шеффера, а также в базисе Б', состоящем из штриха Шеффера и инвертора. Вес штриха Шеффера в базисе всюду принимается равным единице, а вес инвертора равным 0,5. Как и в работах [4, 6], предполагается, что на входы схем разрешается подавать константы 0 и 1. При доказательстве результатов будет показано, что подобное предположение не ограничивает общности и результаты остаются верными и для обычных схем из функциональных элементов.

Для схемы S в базисе Б или Б' через L(S) обозначается сумма весов функциональных элементов в S; число L(S) называется сложностью схемы S. Сложностью реализации произвольной булевой функции f в базисе Б (в базисе Б') называется число min L(S), где минимум берется по всем схемам S, реализующим функцию f в базисе Б (в базисе Б'). Сложность реализации функции f в базисе Б будем обозначать через L(f), а сложность реализации функции f в базисе Б' — через L'(f).

Двухвходовый элемент E в схеме S назовем верхним, если оба его входа соединены со входами схемы. Легко заметить (например, с учетом возможности монотонной нумерации элементов схемы [11]), что во всякой схеме в базисе Б существует хотя бы один верхний элемент.

Пусть V — вход какого-то элемента Е схемы S, а w — какая-то вершина этой схемы (под вершиной схемы здесь, как и в [3], понимается либо некоторый вход схемы, либо выход какого-либо ее элемента). Будем говорить, что вершина w и вход v связаны (в схеме S), если вход v соединен либо с вершиной w, либо с выходом некоторого инвертора E-, вход которого соединен с w. Кроме того, будем говорить, что между w и v есть инвертор, если вход v соединен с выходом инвертора, вход которого соединен с w.

Схему, изображенную на рисунке, а, будем называть стандартным блоком, а схему, изображенную на рисунке, б, — специальным блоком. Все элементы, входящие в стандартный и специальный блоки, являются двухвходовыми. На рисунке буквами w, v отмечены входы блоков, которые будем называть главными, звездочкой — элемент, который мы будем называть главным, элементом блока. Знак "□" указывает элементы блоков, которые мы будем называть выходными. Стандартный или специальный блок входит в некоторую схему S правильно, если выходы всех элементов этого блока, кроме выходных, не подаются на входы элементов, не принадлежащих блоку.

Основными результатами данной работы являются следующие две теоремы.

Хеорема 1. Всякая минимальная схема в базисе Б, реализующая линейную функцию ln — xiф...ф xn, состоит из n — 1 стандартных блоков, каждый из которых входит в схему правильно, и на входы этих блоков не подаются константы.

В следующей теореме устанавливается точное значение сложности функции 1п в базисе Б.

Теорема 2. При любом натуральном п сложность реализации линейной функции 1п = Х\ © ... © хп ф 1, п ^ 2, в базисе Б составляет 4п — 3.

Вспомогательные утверждения. При доказательстве теорем 1 и 2 используется следующая теорема 3, доказанная в статье [6].

Теорема 3. Сложность реализации линейной функции 1п = Х\ © Х2 © ■ ■ ■ © хп, п ^ 2, в базисах Б и Б равна 4п — 4. Сложность реализации линейной функции 1п — Х1 ф Х2 Ф . .. ф Хп ф 1, п ^ 2, в базисе Б равна Ап — а для сложности реализации этой функции в базисе Б выполняются следующие оценки: 4п-4 < Ь'(1п) < 4п-3.

Всякую минимальную схему, реализующую линейную функцию от п переменных (п ^ 2) в базисе Б или Б' со сложностью 4п — 4, будем называть правильной, если входы этой схемы не соединяются со входами инверторов.

Для доказательства теорем 1 и 2 потребуются следующие леммы.

Лемма 1. Пусть Бп (п ^ 2) — правильная схема, реализующая линейную функцию от п переменных, Е\ — верхний элемент в ней. Тогда в схеме Бп можно выделить правильно входящий в схему стандартный или специальный блок, главным элементом которого будет элемент Е\.

Доказательство леммы 1, основанное на использовании метода забивающих констант, не приводится здесь из-за своего значительного объема.

Лемма 2. Пусть Бп — правильная схема, реализующая линейную функцию от п переменных и содержащая правильно входящий в схему специальный блок В, главные входы которого соединены со входами схемы. Тогда в схеме Бп не существует входа, соединенного со входами более чем одного выходного элемента блока В.

Доказательство леммы 2 также проводится при помощи метода забивающих констант. Отметим, что при доказательстве этой леммы, как и в работе [10], возникла необходимость подавать константы более чем на один вход схемы.

Лемма 3. Всякая правильная схема в базисе Б, реализующая линейную функцию от п переменных (п ^ 2), состоит из п — 1 стандартных блоков, каждый из которых входит в схему правильно, и на входы этих блоков не подаются константы.

Наметим план доказательства леммы 3. Пусть Бп — правильная схема в базисе Б, реализующая линейную функцию от п переменных. Она содержит верхний элемент, а значит, согласно лемме 1, в ней можно выделить стандартный или специальный блок. Если в Бп можно выделить стандартный блок, то его можно удалить, подав константу 0 на один из входов схемы, которые подаются на входы главного элемента блока, и получить схему Бп-1. Схема Бп-1 является схемой, реализующей линейную функцию от п — 1 переменной в базисе Б со сложностью 4п —8, а значит, эта схема — правильная схема, к которой применима лемма 1. Если в схеме Бп-1 можно выделить стандартный блок, удалим и его аналогичным образом. Будем продолжать процесс удаления стандартных блоков до тех пор, пока не получим правильную схему Бг, в которой всякий верхний элемент является главным элементом некоторого специального блока, или до тех пор, пока мы не удалим из схемы все элементы (отметим, что в этом случае входы каждого из удаляемых стандартных блоков не соединяются со входами схемы, соответствующими константам, так как тогда схема, содержащая такой стандартный блок, не была бы минимальной). Во втором случае, очевидно, утверждение леммы выполнено. Покажем, что первый случай невозможен.

Пусть Бг — правильная схема в базисе Б, реализующая линейную функцию от I переменных, {Е*, . ..,Е**} — множество ее верхних элементов (содержащее по крайней мере один элемент), для любого г € {1,...,к} элемент Е* является главным элементом специального блока В¿. Рассмотрим следующие случаи.

1. Вход хотя бы одного выходного элемента хотя бы одного из блоков В1,...,В^ (без ограничения общности блока В1) соединен со входом схемы. Невозможность этого случая доказывается при помощи метода забивающих констант с использованием лемм 1 и 2.

2. Входы выходных элементов блоков В1,..., В^ не соединяются со входами схемы.

2.1. Пусть некоторые два блока из В1,...,В/С (без ограничения общности блоки В1 и В2) имеют общие выходные элементы. Невозможность этого случая также можно доказать при помощи метода забивающих констант.

2.2. Никакие два блока из В1,...,В^ не имеют общих выходных элементов. Занумеруем некоторые элементы схемы Бг согласно следующемы алгоритму.

I. Выходному элементу схемы Бг присвоим номер 1.

II. Если некоторому элементу Е, не являющемуся выходным элементом некоторого блока из В1,...,Вь или верхним элементом, присвоен наибольший (среди уже занумерованных элементов) но-

мер i, присвоим номер i + 1 любому (ровно одному) двухвходовому элементу, выход которого связан со входом элемента E.

III. Если некоторому элементу E, являющемуся выходным элементом некоторого блока Bj, присвоен наибольший (среди уже занумерованных элементов) номер i, присвоим номер i + 1 тому двухвходовому элементу, выход которого связан со входом E и который не входит в блок Bj.

IV. Если некоторому верхнему элементу E присвоен какой-то номер, остановим процесс нумерации.

Отметим, что перед совершением шага III вход выходного элемента блока Bj, вообще говоря, может

оказаться соединенным с выходом выходного элемента какого-либо другого специального блока.

Шаг II мы всегда можем осуществить, так как схема Si правильная, а значит, ее входы не подаются на входы инверторов. Возможность осуществления шага III гарантируют нам предположение случая 2 и предположение случая 2.2. В результате проведения этого алгоритма никакой элемент не окажется занумерованным дважды, поскольку в таком случае схема содержала бы ориентированный цикл.

Покажем, что элементы блоков Bi,..., Bk, отличные от выходных и главных, не будут занумерованы. Пусть E — один из таких элементов, входящий в специальный блок Bj, и E получил номер i. Элемент может получить номер i, если только его выход связан со входом элемента, получившего номер i — 1. Но выход элемента E связан лишь с двумя выходными элементами блока Bj. Если один из выходных элементов Bj получил номер i — 1, то после этого будет совершен шаг III, и, значит, номер i получит элемент, не входящий в блок Bj, а не элемент E. Теперь несложно видеть, что главные элементы блоков Bi,..., Bk также не будут занумерованы.

Поскольку количество элементов в схеме конечно, процесс нумерации должен остановиться. Но он может остановиться только после совершения шага IV (т.е. после нумерации некоторого верхнего элемента схемы). Но в схеме Si все верхние элементы являются главными элементами блоков Bi,...,Bk, которые, как было показано выше, занумерованы не будут. Полученное противоречие доказывает невозможность случая 2.2.

Доказательство теоремы 1. Согласно теореме 3, всякая минимальная схема в базисе Б, реализующая функцию ln, содержит 4n — 4 элемента. Это означает, что все минимальные схемы в базисе Б для функции ln правильные и к ним применима лемма 3.

Заметим, что поскольку схемы, описываемые в теореме 1, не содержат элементов, входы которых соединены со входами схемы, соответствующими константам, то теорема 1 остается верной и для схем, на входы которых не разрешается подавать константы.

Доказательство теоремы 2. Сложность реализации функции 1\{х) = х ® 1 в базисе Б, очевидно, равна 1, таким образом, утверждение теоремы верно для п = 1. Докажем его для п ^ 2.

По теореме 3 для фиксированного п (п ^ 2) сложность реализации функции 1п в базисе Б составляет An — 4 или An — 3. Предположим, найдется такое к (к ^ 2), что сложность реализации функции Iд. составит Ак — А. Тогда все минимальные схемы, реализующие Iд., правильные и, согласно лемме 3, состоят из к — 1 стандартных блоков, каждый из которых входит в схему правильно. Но поскольку каждый стандартный блок на выходе реализует сумму по модулю два функций, подаваемых на его входы, то все схемы, состоящие из — 1 стандартных блоков, каждый из которых входит в схему правильно, реализуют функцию а не функцию Iд..

Таким образом, для любого натурального п сложность реализации функции 1п составляет An — 3.

Несложно заметить, что существуют схемы, которые реализуют функцию 1п в базисе Б со сложностью 4n—3 и на входы элементов которых не подаются входы, соответствующие константам (такую схему можно получить, добавив к минимальной схеме для функции ln один двухвходовый функциональный элемент, на оба входа которого подается выход выходного элемента этой схемы). Таким образом, утверждение теоремы 2 остается верным и для схем, на входы которых не разрешается подавать константы.

В заключение автор приносит благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину за помощь в работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 11-01-00508.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

2. Cardot C. Quelques rézultats sur l'application de l'algèbre de Boole a la synthèse des circuits a relais // Ann. Télécommun. 1952. 7, N 2. 75-84.

3. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

4. Редькин Н.П. Доказательство минимальности некоторых схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 83-101.

5. Комбаров Ю.А. О минимальных реализациях линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> у, ж&у} // Тр. VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Москва, 6-9 апреля 2009 г.). М.: МАКС Пресс, 2009. 145-149.

6. Редькин Н.П. О минимальной реализации линейной функции схемой из функциональных элементов // Кибернетика. 1971. 6. 31-38.

7. Шкребела И.С. О сложности реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> у, х} // Дискреты, матем. 2003. 15, № 4. 100-112.

8. Комбаров Ю.А. О минимальных схемах для линейных булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 41-44.

9. Редькин Н.П. О минимальных и асимптотически минимальных схемах для некоторых индивидуальных булевых функций // Мат-лы IX Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения", посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова (Москва, 18-23 июня 2007 г). М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007. 11-19.

10. Редькин Н.П. О минимальной реализации двоичного сумматора // Проблемы кибернетики. Вып. 38. М.: Наука, 1981. 181-216.

11. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.

Поступила в редакцию 25.04.2012

УДК 514.853, 517.938.5, 515.146.2

ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО "ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ О ДРОБНОЙ МОНОДРОМИИ"

Д. И. Тонконог1

Приводится простое доказательство "Геометрической теоремы о дробной монодро-мии" (Broer-Efstathiou-Lukina, 2010). Дробная монодромия интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы над кривой 7 С R2 — обобщение классической монодромии на случай, когда слоение Лиувилля имеет особенности над кривой 7. "Геометрическая теорема о дробной монодромии" позволяет найти с точностью до целочисленного параметра дробную монодромию для систем типа резонанса 1 : (-2). Для доказательства дается удобное эквивалентное определение дробной монодромии в гомологических терминах.

Ключевые слова: интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система, дробная монодромия, бифуркация.

We present a simple proof of the "Geometric fractional monodromy theorem" (Broer-Efstathiou-Lukina 2010). The fractional monodromy of a Liouville integrable Hamiltonian system over a loop 7 С R2 is a generalization of the classic monodromy to the case when the Liouville foliation has singularities over 7. The "Geometric fractional monodromy theorem" finds, up to an integral parameter, the fractional monodromy of systems similar to the 1 : (-2) resonance system. A handy equivalent definition of fractional monodromy is presented in terms of homology groups for our proof.

Key words: Liouville integrable Hamiltonian system, fractional monodromy, bifurcation.

Введение. Пусть (M, и, fi,f2) — интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы. Это значит, что (M, и) — симплектическое 4-многообразие, функции fi,f2 : M ^ R коммутируют относительно и (т.е. u(Xf ,Xf2) = 0, где Xf. — гамильтоново поле функции f¿) и dfi, df2 почти всюду независимы. Мы обозначаем через F : M ^ R2 отображение момента: F(x) : = (fi(x),f2(x)), x Е M. Множество уровня {x : fi(x) = ci,f2(x) = C2} называется слоем Лиувилля (оно может быть несвязным). Точка x Е M называется особой точкой ранга k = 0,1, если rk dF(x) = k. Образ особых точек при отображении F называется множеством особых значений F или бифуркационной диаграммой.

1 Тонконог Дмитрий Иванович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].