CC BY
8Случай F < D рассматривается аналогично.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Виноградов И.М. Избранные труды. М: Изд-во АН СССР, 1952.
2. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // Докл. АН СССР. 1939. 22, № 7. 391-393.
3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.
Поступила в редакцию 29.10.2010
УДК 519.714
О СЛОЖНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
Д. А. Дагаев1
Рассматривается задача о сложности реализации функций трехзначной логики, принимающих значения из множества {0,1}, формулами в неполных базисах. Получены верхние и нижние асимптотические оценки для соответствующих функций Шеннона.
Ключевые слова: функции трехзначной логики, формулы, сложность формул.
The problem of the complexity of realization of functions of the three-valued logic taking values from the set {0,1} by formulas over incomplete generating systems is considered. Upper and lower asymptotic estimates for the corresponding Shannon functions are obtained.
Key words: functions of three-valued logic, formulas, complexity of formulas.
В данной работе рассматривается задача о сложности реализации функций трехзначной логики, принимающих значения из множества {0,1}, формулами над конечными системами. Некоторые результаты в этом направлении получены в [1]. Все определения можно найти в [2-6].
Пусть к ^ 2, n ^ 1. Положим Ek = {0,1,...,k — 1}. Обозначим через En множество всех наборов а. = (ai,..., an), таких, что ai,...,an Е Ek. Множество всех функций k-значной логики будем обозначать через Pk, а множество всех функций трехзначной логики, принимающих значения только из множества E2, — через P3 2. Пусть G С Pk. Обозначим через [G] замкнутый класс, порожденный системой G, а через G(n) — множество всех функций из G, зависящих от переменных xi,...,xn, n ^ 1. Пусть f(xi,...,xn) Е [G], Ф — формула над G, реализующая функцию f, а F С [G]. Обозначим через Ь(Ф) число символов переменных и констант, входящих в формулу Ф (сложность формулы Ф), через LG(f) — сложность функции f, а через Lg(F(n)) — функцию Шеннона для множества F. Пусть x — переменная, входящая в формулу Ф. Обозначим через N(Ф; x) число вхождений переменной x в формулу Ф.
О. Б. Лупанов [4] показал, что для любой полной системы булевых функций G выполняется соотношение
2n
ЬаШп)) ~ ;-
log2 n
(см. также [2, 3]). Известно [7], что для любой конечной системы G С P2 найдется константа c = c(G), такая, что для любой функции f (xi,... ,xn) из [G] имеет место неравенство LG(f) ^ cn. В работах [8, 9] для некоторых конечных полных базисов G С Pk, к ^ 3, получено соотношение
kn
LG(Pk(n))
logfc п
(см. также [10]). Пример последовательности функций 4-значной логики, сложность реализации которых в классе формул над некоторой конечной неполной системой имеет сверхэкспоненциальный порядок роста от числа переменных, приведен в [11].
1 Дагаев Дмитрий Александрович — доцент НИУ ВШЭ; e-mail: [email protected].
Будем придерживаться обозначений для замкнутых классов булевых функций из работы [12], а именно: 5 — множество всех самодвойственных функций; Тг — множество всех функций, сохраняющих константу г, г = 0,1; М — множество всех монотонных функций; Ь — множество всех линейных функций; О™ — множество всех функций, удовлетворяющих условию < 0™ >; I™ — множество всех функций, удовлетворяющих условию < 1™ >; К — множество всех конъюнкций; О — множество всех дизъюнкций; и — множество всех функций, существенно зависящих не более чем от одной переменной; С — множество всех функций, не имеющих существенных переменных.
Положим
Ьг = Ь П Тг, Мг = М П Тг, К = К П Тг, Бг = О П Тг, и = и П Тг, С = С П Тг, г = 0,1;
М01 = Мо П М1, Ь01 = Ьо П Ьъ К01 = Ко П Кг, Оох = Оо П Ох, Щх = Щ П и:; Би = 5 П и, Ми = М П и, О? = То П О™, I? = Т1 П I МО™ = М п о™, мг™ = М п I™, МО? = М п о?, М1™ = М п I
Пусть и(х1,...,хп) € Рэ,2- Проекцией функции и называется булева функция prf(х1,...,хп), значение которой на произвольном наборе а € Е'П определяется равенством prf(а) = f (а). Проекцией prF множества функций Е С Р32 называется множество У{prf}, где объединение берется по всем функциям f € Е. Нетрудно показать, что для любого замкнутого класса Е С Р32 множество prF является замкнутым классом булевых функций.
Пусть В — произвольный замкнутый класс булевых функций. Положим
pr-1B = и € Рз,21 prf € В}.
Легко видеть, что множество pr-1B является замкнутым классом и для любого замкнутого класса Е С Р3 2, такого, что prF = В, выполняется соотношение Е С pr-1 В. Класс pr-1B будем называть максимальным замкнутым классом. Таким образом, каждому замкнутому классу булевых функций соответствует максимальный класс функций из Рз,2. Известно [6], что замкнутый класс pr-1B является конечно-порожденным тогда и только тогда, когда В € {С, Со, С1}.
Обозначим через ]г(х) функцию из Рз,2, равную 1 при х = г и 0 в остальных случаях, г € Е3, а через к(х) — функцию из Р3 2, равную 1 при х € Е2 и 0 при х = 2. Обозначим через х + у и х ■ у функции из Р3 2, такие, что для любых а, в € Е3 выполняются равенства а + в = 'х (а) ф ]1(@) и а ■ в = 'х^^&'х(в) соответственно, где ф и & — сложение и умножение по модулю 2. Пусть р € Е3. Положим
5(х1 ,х2) = jl (х1) ■ к(х2), 0(х1,х2) = jl (х1) + ;'2 (х2), Рр(х1,х2 ,х3) = л(х1) + 'р(х2) ■ j2 (х3)
Фр(х1,х2,х3) = jl (х3) + Л (х1) ■ jp(X2) ■ j2 (х3), Ср(х1,х2,х3 ,х4) = л(х4) + Л (х1) ■ jp(X2) ■ ,]2^3).
Отметим, что проекции функций 5,9 и Рр,Фр,Ср, р € Е3, принадлежат множеству Щц. Положим Я = ^1,5,0, ро,р1 ,р2,фо,ф1 ,Ф2,(0,(1,(2}. Очевидно, что prЯ С Щоь Известно [6], что [Я] = pr-1Uоl, а также для любого замкнутого класса булевых функций В, отличного от классов С, Со, С1, и для любого множества А С Р3 2, такого, что prA = В, множество А и Я является порождающей системой класса pr-1B.
Основным результатом данной работы является следующая
Теорема 1. Пусть В — произвольный замкнутый класс булевых функций, такой, что В / {С, Со, С1}, Е(В) — произвольное конечное подмножество множества Р32, такое, что [ргЕ(В)] = В, а С = Е(В) и Я. Тогда
зп зп
-- < ¿с(рг~1В{п)) < --+ ЬргС(В(п)).
log2 п 1с^2 п
Приведем схему доказательства теоремы 1. Сначала на основе метода из работы [13] строится разбиение множества Е3, г ^ 3, на непересекающиеся подмножества ио,и1,...,ит(г), такое, что мощность множества ио удовлетворяет неравенству
|[/оК2г+г-Г1 + Г(Г2"1) • 2Г~2,
а каждое множество иг, г = 1,... ,Т(г), обладает следующими свойствами:
1) иг является подмножеством некоторого шара радиуса 1;
2) найдется I = 1(г), 1 ^ I ^ г, такое, что 1-я компонента каждого набора из иг равна 2.
Затем оценивается мощность Т(г) данного разбиения: доказывается неравенство
3Г + 1
Т(г) < 2---1п т.
г
Далее для каждой функции f (Х1,... ,Хп), п ^ 3, из максимального класса рг-1Б строится некоторое разложение. Обозначим через gf (Х1,... ,хп) функцию из Рз,2, значения которой совпадают со значениями функции f на множестве Е'П и равны нулю на всех наборах из ЕП \ Е'П, а через hf (х1,..., хп) — функцию из Рз,2, значения которой совпадают со значениями функции f на множестве Е'П \ ЕП и равны нулю на всех наборах из Е^п. Положим hf (х1,... ,Хп, Хп+1) = л(Хп+1) + hf (Х1,..., Хп). Очевидно, что функция hf принадлежит классу рг-1Цо1. Легко видеть, что имеет место равенство
f (Х1, ...,Хп) = hf (Х1, . . .,Хn,gf (Х1, .. .,Хп)). (1)
Кроме того, для функции hf на основе описанного выше разбиения множества Е3 строится представление, аналогичное третьему представлению булевых функций из [3].
После этого строится формула Ф^ над системой С, реализующая функцию hf, такая, что
3п
< !-, (2)
1о§2 П
N (Фл; Хп+1) = 1. (3)
Строится также формула Фд над С, реализующая функцию gf, такая, что
ЦФд) < ЬргС(Б(п)) + С1П, (4)
где С1 — некоторая константа, зависящая от С. Из равенства (1) и соотношений (2)—(4) получаем верхнюю оценку для функции Ьс(рг-1Б(п)). Справедливость нижней оценки вытекает из мощностных соображений (см., например, [2, 3]).
Из теоремы 1 следует, что задача о поведении функции Ьс(рт-1Б(п)) сводится в некоторых случаях к задаче о сложности реализации булевых функций в неполных базисах (т.е. к задаче о поведении функции ЪрГа(Б(п))). В частности, из теоремы 1 и известных ранее верхних оценок сложности реализации булевых функций (см., например, [2, 4, 14]) вытекают асимптотически точные оценки для функций Шеннона, соответствующих некоторым максимальным классам. Таким образом, имеет место
Теорема 2. Пусть Б — замкнутый класс булевых функций, такой, что выполняется по крайней мере одно из следующих условий:
1) Ьо1 С Б ;
2) М01 С Б;
3) Б е
4) Б е{Бо1 ,Д,,Я1 ,А^01 ,Ко,К1,К,и,Би,ио1 ,Ми,ио,и1}._ Тогда найдется конечная система С С Рз,2, такая, что [С] = рг 1Б и
3п
ЬсЛ^~1В{п))
1о§2 П
Автор выражает благодарность профессору А. Б. Угольникову за внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения", проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дагаев Д.А. О сложности псевдолинейных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 2. 53-56.
2. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем // Проблемы кибернетики. Вып. 10. М.: Наука, 1963. 63-97.
4. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматгиз, 1960. 61-80.
5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008.
6. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin: Springer-Verlag, 2006.
7. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.
8. Гашков С. Б. О параллельном вычислении некоторых классов многочленов с растущим числом переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 2. 88-92.
9. Захарова Е.Ю. Реализация функций из Pk формулами // Матем. заметки. 1972. 11, № 1. 99-108.
10. Ложкин С.А. О сложности реализации функций fc-значной логики формулами и квазиформулами // Мат-лы XI Междунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Ульяновск, 10-14 июня 1996 г.). М.: Изд-во РГГУ, 1996. 125-127.
11. Угольников А.Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций 4-значной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 52-55.
12. Угольников А.Б. О замкнутых классах Поста // Изв. вузов. Сер. матем. 1988. № 7. 79-88.
13. Васильев Ю.Л., Глаголев В.В. Метрические свойства дизъюнктивных нормальных форм // Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1 / Под ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974. 99-148.
14. Угольников А.Б. Синтез схем и формул в неполных базисах // Докл. АН СССР. 1979. 249, № 1. 60-62.
Поступила в редакцию 18.02.2011
УДК 512.8
О НИЛЬПОТЕНТНОСТИ ЭНГЕЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА
Ю.Ю. Фролова1
В работе доказано, что энгелева алгебра Лейбница в случае поля нулевой характеристики является нильпотентной.
Ключевые слова: алгебра Лейбница, тождество, энгелевость, нильпотентность.
It is proved that a Leibniz algebra over a field of zero characteristic with the Engel condition is nilpotent.
Key words: Leibniz algebra, identity, Engel condition, nilpotency.
Основным результатом работы является обобщение результата Е. И. Зельманова о нильпотентности энгелевой алгебры Ли для поля нулевой характеристики на случай алгебр Лейбница. Алгебры Лейбница являются естественным обобщением алгебр Ли и были определены в работе [1], хотя свое название получили позже.
Все неопределяемые понятия можно найти, например, в монографии [2]. Характеристика основного поля F на протяжении всей работы предполагается равной нулю. Напомним, что векторное пространство над полем F называется линейной алгеброй, если на нем задана бинарная билинейная операция. В работе не предполагается ассоциативность, поэтому при более чем двух сомножителях имеет значение расположение скобок. Договоримся опускать скобки в случае их так называемой левонормированной расстановки, т.е. будем писать просто abc для (ab)c.
Напомним, что алгеброй Лейбница над полем F называется линейная (неассоциативная) алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница
(xy)z = (xz)y + x(yz). (1)
Отметим, что любой элемент алгебры Лейбница может быть записан как линейная комбинация ле-вонормированных элементов. Например, из тождества (1) следует, что x(yz) = xyz — xzy. Если вместо z подставить y, то получим следующее тождество:
х{уу) ЕЕ 0. (2)
1 Фролова Юлия Юрьевна — асп. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульяновск. гос. ун-та; e-mail: [email protected].
