О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом Текст научной статьи по специальности «Физика»

і fli і мін

J ЩКУСТИКА

Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/

2004, 5

С. С. Воронков

Псковский политехнический институт

Россия, 180680, г. Псков, ул. Л. Толстого, 4, e-mail: [email protected]

О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом

Получена 30.12.2003, опубликована 07.05.2004

При математическом моделировании волновых процессов в газовом тракте энергетического оборудования - компрессоров, турбин и др. возникает вопрос о корректности использования изоэнтропного значения скорости звука. Получена формула для скорости звука в потоке вязкого газа с учетом диссипации энергии и теплообмена. Установлена существенная зависимость скорости звука в сдвиговом течении от интенсивности возмущения, частоты, скорости потока и др. Показано, что амплитуда изменения скорости звука в сдвиговом течении обратно пропорциональна амплитуде возмущения плотности и возрастает с увеличением скорости потока. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

При математическом моделировании волновых процессов в газовом тракте энергетического оборудования - компрессоров, турбин и др. возникает вопрос о корректности использования изоэнтропного значения скорости звука. С одной стороны, современные численные методы позволяют моделировать процессы с учетом диссипации энергии и теплообмена, которые не являются изоэнтропными, а с другой, в большинстве случаев в качестве скорости звука принимается изоэнтропное значение. Такой подход не всегда допустим, и требует уточнения значения скорости звука с учетом диссипации энергии и теплообмена.

В общем случае под скоростью звука понимают местную скорость распространения малых возмущений относительно движущегося газа в данной точке потока и определяют ее по формуле

2 dp

a эр (1)

где a — скорость звука, p и р — давление и плотность газа.

Первые теоретические исследования по определению скорости звука в воздухе принадлежат И. Ньютону [1]. Впоследствии П. Лаплас показал, что совпадение теории с экспериментом значительно улучшается, если процесс распространения считать адиабатным и изоэнтропным. Дальнейшее развитие этого направления получено в работах Стокса, Кирхгофа, Гельмгольца, Рэлея и других [2]. Общим выводом этих работ является следующее: при распространении звука в открытом пространстве в виде

плоских волн процесс распространения является адиабатным, и в первом приближении трение в газе не влияет на скорость звука. Лишь в очень узких трубах вязкость и теплопроводность воздуха оказывают заметное влияние на скорость распространения. Эти результаты, полученные для покоящейся среды, хорошо согласуются с экспериментальными данными и являются в настоящее время классическими. Но они, как было отмечено, получены для покоящейся среды и необоснованно экстраполируются на область движущегося газа. В потоке вязкого газа с поперечным сдвигом возникает интенсивная диссипация энергии, и предположения об изоэнтропности и адиабатности процесса при определении скорости звука требуют проверки.

Получим формулу для скорости звука в газе с учетом диссипации энергии и теплообмена. Выпишем уравнение энергии в виде [3]

р— + рё1уУ = Ф, Л И

(2)

д(пдТ Л д(пдТ Л д(пдТ Л

Ф=—| А— І + — дх ^ дх) ду

+ М-

А—

ду

( ди' Ї2 ґ ду Л ( дм' Л21 ґ ду ди Л

| + + | І + 1

1дУ ) ) ^дх ду)

ґ дм дуЛ + — + — +| — + ду ді) ^д£ дх

+

(ди дw Л2 2 Іди ду дw^

3 ^ дх ду ді )

(3)

где Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен; Т — температура газа; е — удельная внутренняя энергия; V - вектор скорости газа с проекциями и, V, н на оси декартовой системы координат х, у, 2 соответственно; X — коэффициент теплопроводности; /и — коэффициент динамической вязкости; I — время.

Рассмотрим совершенный газ. Тогда

с1в = С¥с1Т, Т = ^~, у ’ рЯ

где Су — изохорная теплоемкость, Я — газовая постоянная. Из уравнения неразрывности [4] следует

=-1&Р.

р &

Подставляя (4) и (5) в уравнение (2) и учитывая, что

(4)

(5)

С

1

а1 = кР,

Я к -1 р

после преобразований получим

(6)

2

2

2

ЛР - а8 ЛР = (к - 1)Ф .

Лі 8 Лі у ’

(7)

Здесь к — показатель адиабаты, а5 — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука.

Полные производные в уравнении (7) представляют собой сумму локальной и конвективной производных и расписываются:

ІР — ^ + V. graф,

Лі ді

— — — + V ■ gradр. Лі ді

(8)

(9)

Принимая во внимание (8) и (9), разделив левую и правую части уравнения (7) на

др

ді

, с учетом (1) после преобразований получим

2 2 , а — а 8 +

V ■ (а^гаёр - §гаф)+ (к - 1)Ф

дР ' (10)

дt

При выводе формулы (10) мы не делали никаких предположений о характере процесса распространения возмущения. Поэтому для совершенного газа она является наиболее общей и учитывает диссипацию энергии и теплообмен в потоке.

При рассмотрении распространения звука в потоке вязкого газа принцип суперпозиции не применим, так как уравнения, описывающие эти процессы, нелинейные и будет происходить взаимодействие основного потока с акустическим полем. Поэтому использовать полученную формулу (10) для определения скорости звука без знания характеристик потока вязкого газа не представляется возможным.

Для описания процесса распространения акустических возмущений в потоке вязкого газа составим математическую модель, включающую:

1. Уравнение неразрывности [4]

&Р + рй^ = 0.

А

2. Уравнение Навье-Стокса в проекциях на оси х, у [4, 5]

(11)

Ли др д

р— —-------------1----

Лі дх дх

_ ди 2 2 ц,---------->шlvV

дх 3

+ -

д

ду

(

ди ду ду дх

\

(12)

Лу др д

р— —--------------1----

Лі ду дх

(

ду ди дх ду

V

+ -

ду

_ ду 2

2 ц--------------цdlvV

ду 3

(13)

3. Уравнение энергии [3]

р— + pdivV = Ф . dt

(14)

д

4. Уравнение состояния для совершенного газа

Р = ркт. (15)

В этой системе из пяти уравнений неизвестных 5 величин: р, р, Т, и, V.

Для повышения точности численных расчетов в качестве неизвестных используются консервативные переменные [5]: р, ри, рv, Е (Е — удельная внутренняя энергия торможения). Систему уравнений (11-15) удобно записать в векторном виде

ди дЕ дО

- + — + — = 0, dt дх ду

(16)

где векторы и, ¥, О представляют собой упорядоченные наборы комбинаций основных переменных [5].

Численное решение системы уравнений (16) осуществлялось по двухшаговой схеме Браиловской [5]

Un+1 = Un -

<5Fn SGn

+ -

Un+1 = Un -

Sx

■ + ■

Sx

+ -

SGn

■ + ■

At, (17)

At, (18)

3 3

где I и V — индексы соответственно невязких и вязких членов функций Е и О; — и —

3х 3у

Sx Sy

SF1n+1 sf;

Sy Sy

представляются центральными разностями, Е1п+1 = Е1 (ии+1) и т. д. Шаг по времени определялся из условия устойчивости [5]

At < min

A2 Re 8 :

A

Л

\и\ + м + a

42

(19)

где А — размер ячейки, А = д/Ах • Ay ; Re — число Рейнольдса.

Программа реализована в среде MathCad Professional 2000.

Моделировался процесс распространения акустических возмущений в потоке вязкого газа в плоском канале. В качестве начальных условий задавалось стационарное ламинарное течение с параболическим распределением скоростей. Акустическое возмущение задавалось на входе в канал в виде гармонического сигнала с амплитудой возмущения плотности Ар. Скорость звука определялась по формуле

a =

Ap AP м

Р1 - Р

Р1 -Р

(20)

где р1, р1, р, р — значения давления и плотности на разных временных слоях в фиксированной точке канала.

Расчеты проводились в плоском канале. Количество узлов по оси х (вдоль канала) принималось г = 51, количество узлов по оси у (поперек канала) ] = 11. Шаг по пространственной переменной Ах = Ау = 10-2 м. Шаг по времени Аt = 2 х10-5 с. Амплитуда возмущения плотности варьировалась в пределах Ар = 10-10... 10-11 кг/м3. Это значения звука, соответствующие порогу слышимости. Частота звука принималась (основной режим) 1000 Гц. Максимальная скорость потока на оси канала принималась (основной режим) итах = 0,1 м/с, число Рейнольдса при этом равно 1323.

На рис. 1 приведен характерный закон изменения скорости звука в фиксированный момент времени вдоль канала вблизи стенки (/ = 10). Приведены изоэнтропная скорость звука asx10i 99 и скорость звука с учетом диссипации энергии и теплообмена аргт10г99.

Изоэнтропное значение скорости звука asт10г. 99 практически постоянно — около

343,7 м/с. Скорость звука с учетом диссипации энергии и теплообмена аргт10г 99 на

определенных участках претерпевает разрывы. Скачки происходят относительно изоэнтропного значения скорости звука.

„ Э5С

аргтІОі ;Я

ГП

.і -------- 345

(д 3.5 Т10, ^

а

340

335 0 10 20 30 40 50

і

Номер узла сегкнпо о сих Рис. 1

На рис. 2 приведена зависимость амплитуды изменения скорости звука от амплитуды возмущения плотности. Амплитуда скорости звука определялась по рис. 1 как разность (аргт10г,99 - аБт10;,99) при г = 30 для различных моделируемых режимов.

Зависимость обратно пропорциональная. С уменьшением амплитуды возмущения плотности амплитуда скорости звука возрастает. Этот закон следует также из формулы (10). При всех равных параметрах уменьшение амплитуды возмущения плотности приводит к уменьшению локальной производной плотности по времени, которая стоит

в знаменателе и, соответственно, к увеличению второго члена в формуле (10), определяющего амплитуду скорости звука.

Анализировалась зависимость скорости звука с учетом диссипации энергии и теплообмена от частоты. Зависимость получается более сложной и требует дополнительного анализа. Так, при частоте возмущения 1000 Гц (Лр = 10~п кг/м3, итах = 0,1 м/с) Ла = 0,9 м/с, увеличение частоты в два раза (2000 Гц) приводит к уменьшению Ла = 0,5 м/с, при уменьшении частоты в два раза (500 Гц) Ла = 1 м/с.

Л

И

И

со

К

Н

О

о

Л

о

и

о

Л

к

5-10

Ар,-

1 -10

Амплитуда возмущения плотности

Рис. 2

10

кг

3

На рис. 3 приведена зависимость амплитуды скорости звука от максимальной скорости потока. Как видно, эта зависимость близка к параболической. Возрастание максимальной скорости потока ведет к увеличению амплитуды изменения скорости звука, что является, видимо, одной из причин потери устойчивости ламинарного режима движения газа.

св

И

И

со

К

Н

О

о

Л

о

и

о

Л

ІГ

Аа

ишах с

Максимальная скорость потока

Рис. 3

м

Выводы:

1. Получена формула для скорости звука в потоке вязкого газа с учетом диссипации энергии и теплообмена.

2. Установлена существенная зависимость скорости звука в сдвиговом течении от интенсивности возмущения, частоты, скорости потока и др. Скорость звука с учетом диссипации энергии и теплообмена на определенных участках претерпевает разрывы.

3. Показано, что амплитуда изменения скорости звука в сдвиговом течении обратно пропорциональна амплитуде возмущения плотности и возрастает с увеличением скорости потока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. 687 с.

2. Рэлей. Теория звука. М.: Изд-во техн.-теор. лит., 1955. 475 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. 5-е изд. М.: Наука, 1978. 736 с.

5. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.