О скорости достижения точных границ остаточного члена в проблеме Гекке-Кестена Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 519.21

О СКОРОСТИ ДОСТИЖЕНИЯ ТОЧНЫХ ГРАНИЦ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА В ПРОБЛЕМЕ ГЕККЕ-КЕСТЕНА 1

А. В. Шутов (г. Владимир)

Аннотация

В работе для иррациональностей с ограниченными неполными частными разложения в цепную дробь доказано, что время е-приближения к точной границе остаточного члена в проблеме Гекке-Кестена обратно пропорционально е.

Ключевые слова: равномерное распределение, проблема Гекке-Кестена, теорема о трех длинах.

ON THE SPEED OF ATTAINMENT OF THE REMAINDER TERM EXACT BOUNDARIES IN THE HECKE-KESTEN PROBLEM

A. V. Shutov (Vladimir)

Abstract

For irrationalities of bounded combinatorial type it is proved that the time of е-approximation of exact boundary of the remainder term in Hecke-Kesten problem is inversely to е.

Keywords: uniform distribution, Hecke-Kesten problem, three length theorem.

1. Введение

Для любого иррационально а и любого интервала I С [0; 1) определим величину

N(а, n,I) = { : 0 < i < n, {ia} £ I},

подсчитывающую количество точек последовательности {ia}, попавших в интервал I. Здесь {•} - дробная часть числа.

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00578-а.

Согласно теореме Вейля о равномерном распределении [12], справедлива асимптотическая формула

N (a,n,I ) = n\I \ + o(n). (1)

Обозначим через r(a, n, I) остаточный член данной асимптотики, то есть

r(a, n, I) = N (a, n, I) — n\I \

и

r(a, n, I) = o(n).

Гекке [7] показал, что для интервалов I, удовлетворяющих условию \I\ £ Z + aZ справедлива значительно более сильная асимптотическая формула

r(a, n, I) = 0(1). (2)

Более того, им была доказана оценка

\r(a,nJ)\ < \h(I)\, (3)

где h(I) - единственное целое число, удовлетворяющее условию \I\ — h(I)a £ Z.

Позднее Кестен [8] доказал, что из оценки (2) вытекает, что \I\ £ Z +

aZ, а также высказал гипотезу о возможности существенного усиления оценки (3). Соответствующие интервалы I будем называть интервалами ограниченного остатка. Оценка (3) в дальнейшем улучшалась в целом ряде работ, например в [3], [4], [5], [11]. Точная по порядку h(I) оценка r(a,n,I) для интервалов ограниченного остатка была доказана в работе [2].

Пусть I - произвольный интервал ограниченного остатка. Определим точные границы остаточного члена r(a, n, I) на этом интервале

r+(a,I) = sup r(a,n,I),

n

r-(a, I) = inf r(a, n, I).

n

Точные формулы для r+(a, I) и r- (a, I) были получены в работе [1].

Пусть е £ (0; r+(a, I) — r-(a, I)). Определим величины

S+(a, I, е) = min{n : r(a, n, I) > r+(a, I) — е}, (4)

S-(a, I, e) = min{n : r(a, n, I) < r-(a, I) + е}, (5)

S(a,I,e) = max{S +(a, I,e),S-(a,I,e)}.

Величина S(a, I, e) характеризует скорость достижения точных границ r+(a, I) и r-(a, I).

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть I - интервал ограниченного остатка и все неполные частные разложения a в цепную дробь ограничены. Тогда справедлива оценка

S(a.I.e) < (1 + C(Q))\h(/, (6)

е

где C(a) - наибольшее из неполных частных разложения a в цепную дробь.

Автор благодарит Владимира Георгиевича Журавлева за постановку задачи.

2. Время первого попадания точки в интервал

Для произвольного интервала I С [0; 1) определим величину

n(a, I) = min{i > 0 : {ia} £ I},

описывающую время первого попадания точек последовательности {ia} в интервал I. Также определим величину

n(a,e) = sup n(a,I).

I,\I\=S

Из теоремы Вейля о равномерном распределении (1) легко следует оценка

/ ч Г1_ n(a, е) >

где [•] - верхняя целая часть числа. Цель данного параграфа состоит в доказательстве верхней оценки для n(a^).

Пусть {qi} - последовательность неполных частных разложения a в цепную дробь, а {Qi} - последовательность знаменателей подходящих дробей к a. Нам потребуется следующий результат [9].

Теорема 2. Пусть T(a,t) - разбиение интервала [0; 1) точками {ia},

0 < i < Qt + Qt-1. Тогда наибольшая из длин интервалов разбиения T(a,t) равна \\Qt-1a\\, где \\ • \\ - расстояние до ближайшего целого.

Отметим, что теорема 2 является частным случаем хорошо известной теоремы о трех длинах [6], [10].

Лемма 1. Пусть \I\ > \\Qt-1a\\. Тогда n(a,I) < Qt + Qt-1.

Доказательство. Предположим противное, то есть n(a,I) > Qt + Qt-1. Тогда интервал I не содержит точек из разбиения T(a,t). Это означает, что

1 содержится в некотором интервале J этого разбиения. При этом \J\ > \I\ > ||Qt-1a||, что противоречит теореме 2.

Лемма 2. Пусть \I\ > 1. Тогда n(a,I) <Qt + Qt-1.

Доказательство. Доказательство немедленно вытекает из леммы 1 и оценки \\Qt-1a\\ < 1.

Теорема З. Пусть

t^) = min{t : Qt > 1}.

є

Тогда

п^є) < Чє) + 1. (7)

є

Доказательство. Пусть I - интервал с \I\ = е. Тогда, в силу определения ^е), имеем \I\ > . Применяя лемму 2, получаем, что

n(a, I) < Qt(e) qt(e)Qt(e)-1 + Qt(e)-1 = (qt(e) + 1)Qt(e}-1-

По определению t^),

Qt(e)-1 < е

и, следовательно,

( t\ ^ qt(£) + 1 n(a,I) < —^-------.

е

Для доказательства (7) остается заметить, что последняя оценка не зависит от выбора конкретного интервала I длины е.

Следствие 1. Пусть неполные частные разложения a в цепную дробь ограничены и

C (a) = max qi(a).

i

Тогда

1 + C(a)

n(a^) < -----------------------------------------. (8)

е

Доказательство. Доказательство немедленно вытекает из теоремы 3 и определения C(a).

3. Доказательство теоремы 1

Перейдем к доказательству теоремы 1. Доказательства в случаях к(1) > 0 и к(1) < 0 полностью аналогичны, поэтому мы приведем рассуждения только для случая к(1) > 0.

Пусть I - интервал ограниченного остатка с к = к(1) > 0. Тогда можно записать I = [5; 5 + {ка}).

В работе [7] доказана следующая теорема.

Теорема 4. Справедливо равенство

h

r(a, n, I) = {ha} + ^^({(i — n — 1)a + 8} — {ia + 8}).

i=1

Пусть

Ch(a, x) = {(i — 1)a + 8 — x}.

i=1

Тогда (9) переписывается в виде

r(a, n, I) = Ch(a, {na}) + Dh(a),

где

Dh(a) = {ha} — Ch(a, —a)

не зависит от n. Пусть

C+ = sup Ch(a, {na}),

n

C— = inf Ch(a, {na}).

hn

Поскольку дробные доли {na} равномерно распределены на [0; 1), имеем

C+ = sup Ch(a,x),

хф;1)

C— = inf Ch(a,x).

h xe[0;1)

Тогда определения (4) и (5) могут быть переписаны в виде S+(a, I, е) = min{n : Ch(a, {na}) > C+ — е},

S —(a, I, е) = min{n : Ch(a, {na}) < C— + е}.

Пусть теперь

J +(е) = {x £ [0; 1) : Ch(a,x) > C+ — е},

J— (е) = {x £ [0; 1) : Ch(a, x) < C+ + е}.

Тогда

S+(a,I^) = n(a,J+(e)), (10)

S— (a,I^) = n^J-^)), (11)

В работе [1] показано, что функция Ch(a,x), рассматриваемая как функция x £ [0; 1) = S1, является кусочно-линейной функцией, определенной на окружности единичной длины, причем ее точками нелинейности являются в точности точки вида xi = {ia + 8}, i = 1, 2,... ,h — 1. Эти точки разбивают интервал [0; 1)

на h интервалов J0, J1,... , Jh—1. На каждом интервале Jk функция Ch(a, x) является линейной и может быть записана в виде

Ch(a, x) = —hx + jk (12)

с некоторым эффективно вычислимым jk. При этом

jk = jk+1. (13)

Пусть

C+k = sup Ch(a,x), x&Jk

C—k = inf Ch(a,x). x£Jk

Определим интервалы

J+ (е) = {x £ Jk : Ch(a,x) = —hx + jk > C+k — е},

J— (е) = {x £ Jk : Ch(a, x) = —hx + jk < C—k + е},

Кусочно-линейная функция, определенная на окружности, может принимать экстремальные значения только в точках нелинейности. Поэтому существуют kmin и kmax такие, что

C+ = C+ ,

h h,kmax ,

C— = C+k . .

h h,kmin

Тогда

J+max (е) ^ J+(e),

J—min (e) — J (e).

Заметим, что данное включение не обязано быть равенством множеств в силу возможной неединственности значений kmin и kmax.

Отсюда, (10) и (11) переписываются в виде

S+(a,I,e) < n(a,J+max (e)), (14)

S—(a,I,e) < n(a,J—min(e)), (15)

Из (12) и (13), получаем, что

е

J (е)\ = \J— . (е)\ = -т

1 kmax 4 ' 1 1 kmin 4/1 L-.

и, следовательно,

е

S(a, I, e) < n(a,—).

h

Для завершения доказательства теоремы 1 нам остается только воспользоваться оценкой (8).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. 2011. Т. 89, вып. 1. С. 43—52.

2. Шутов А. В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. Вып. 7(57) С. 168—175.

3. Шутов А. В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 3. С. 112—121.

4. Шутов А. В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Саратов. Ун-та, 2005. Вып 3. С. 146—158.

5. Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, вып. 3. С. 110—128.

6. Floreik K. Une remarque sur la repartition des nombres mod 1 // Coll. Math. Wroclaw. 1951. Vol. 2. P. 323—324.

7. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. Vol. 5. P. 54—76.

8. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Szusz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. Vol. 12. P. 193—212.

9. Siegel A. Theoreme des trois longueurs et suites sturmiennes: mots d’agen-cement des longueurs // Acta Arithmetica. 2001. Vol. 97. P. 195—210.

10. Slater N. B. Gaps and steps for the sequence n0 mod 1 // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1967. Vol. 63. P. 1115—1123.

11. Shutov A. V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Anal. Probab. Methods Number Theory. Edited by E. Manstavicisus et al. Vilnius: TEV, 2007.

12. Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzpha-nomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. 1910. Vol. 30. P. 377—407.

Владимирский Государственный Университет

Поступило 5.05.2013