О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 2(6)

УДК 512.541

А.Р. Чехлов

О СКОБКЕ ЛИ ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Рассматриваются абелевы группы, в которых квадрат всякого коммутатора (по другому - скобки Ли) эндоморфизмов равен нулю. Описаны группы с указанным выше свойством в ряде классов групп.

Ключевые слова: вполне инвариантная подгруппа, кольцо эндоморфизмов, скобка Ли эндоморфизмов.

Пусть Л - абелева группа. Тогда Е(Л) обозначает кольцо ее эндоморфизмов, г(Л) - ранг, если не оговорено противное, то Лр - ее ^-компонента, а ((Л) - периодическая часть. Если Л - однородная группа без кручения, то ((Л) - ее тип. Запись Н< Л означает, что Н- подгруппа в Л; Н< й Л, что Н- вполне инвариантная подгруппа в Л, т.е. _/Н с Н для каждого /£ Е(Л). Если ^ Л ^ В - гомоморфизм, то

/\ Н - ограничение/на Н с Л. Если В, G - группы, то через Нот (В, G)B обозначим след группы В в группе G, т.е. подгруппу, порожденную всеми гомоморфными образами В в G. N - множество всех натуральных чисел, О - аддитивная группа всех рациональных чисел. Через 1А обозначим тождественный эндоморфизм

группы Л. Л1 = П п 6 м пЛ. 2^ - квазициклическая _р-группа, 2р - группа целых ^-адических чисел.

Пусть [ф,у] = фу - уф (скобка Ли, или коммутатор). П.А. Крылов поставил

вопрос об изучении групп Л со свойством [ф,у]2 = 0 для любых ф, у £ Е(Л). Обозначим класс таких групп через BL2. Ясно, что прямое слагаемое группы из класса BL2 также принадлежит BL2. Кольцо Е(Л) коммутативно в точности тогда, когда

[ф,у] = 0 для любых ф, у £ Е(Л) (т.е. Л £ BL1). Класс BL2 можно рассматривать как обобщение класса групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Отметим несколько простых свойств скобки Ли.

1) -[ф,у] = [ - ф,у] = [ф, - у] = [у,ф];

2) [а,ф + у] = [а,ф] + [а,у], [а + Р,ф] = [а,ф] + [Р,ф];

3) фп[ф,у] = [ф,фпу], уп[ф,у] = [упф,у], [ф,у]фп = [ф,уфп], [ф,у]уп = [фуп,у] для любого п е N

4) [[а,Р],у] + [[Р,у],а] + [[у,а],Р] = 0, [а,[Р,у]] + [р,[у,а]] + [у,[а,Р]] = 0;

5) [[а,р],у] = [ар,у] - [Ра,у], [а,[Р,у]] = [а,ру] - [а,уР];

6) [а,Р]ф = а[Р,ф] + [аф,Р], [а,Р]ф = [а,Рф] + Р[ф,а];

7) ф[а,Р] = [ф,а]Р + [а,фв], ф[а,Р] = [фа,р] + [Р,ф]а.

Лемма 1. Пусть Л = ®у 6 ¡Лу, \ I \ > 1. Тогда:

1) если А} < fi Л для каждого у £ I, то Л £ BL2 в том и только в том случае, когда все Лу £ BL2;

2) если Л £ BL2, то а (Нот (Лу, Лг) Лу) = 0 для любого а; £ Нот (Лй Лк), где ], к £ I\ {г}.

Доказательство. 1) Очевидно. 2) Пусть 0 - проекция Л на Ф, 6 1 \ {,} Л, и уа = § £ Л, где а £ Лу, у £ Нот (Лу, Л,). Пусть теперь /£ Е(Л) - такой, что / \ Лу = у, / \ Л, = а,- и /\ Л, = 0 при я фу, г. Имеем [0/]§ = а,§ = агуа, [0/]а = -уа = -§. Следовательно, [0/]2а = -а,уа = 0. Откуда а,(Нот (Лу, Л)Лу) = 0 в силу произвольности у и а.

Обозначим через Л' подгруппу группы Л, порожденную всеми ее подгруппами вида [£,п]Л, т.е.

Л' = <К,п]Л \ £, п £ Е(Л)>

(Е-коммутант группы Л). Ясно, что кольцо Е(Л) коммутативно в точности тогда,

когда Л' = 0. Если а £ Л, то через [ф,у]а обозначим коммутатор элемента а.

Если Л = ВФО, то, как можно видеть из следующей леммы, может случиться так, что В', О' = 0, но Л' = Л.

Лемма 2. Если Л = ВФО, то Л' = <Нот (В,О)В, Нот (О,В)О, В', О> Доказательство. Пусть п: Л ^ В, 0: Л ^ О - проекции, у £ Нот (В,О) и 0 ф Ь £ В. Тогда если/£ Е(Л) - такой, что/\ В = у,/\ О = 1е, то [0/]Ь = уЬ. Это доказывает, что Нот (В,О)В С Л'. Если теперь £,п £ Е(Л), то

К,П]Ь = [(п + 0)£,(п + 0)п]Ь =

= [п£,пп]Ь + (п£0пЬ - пп0£Ь) + (0£ппЬ + 0£0пЬ - 0пп£Ь - 0п0£Ь).

Здесь [п£,пп]Ь £ В', второе слагаемое принадлежит Нот (О,В)О, а третье -Нот (В,О)В. Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для элементов подгруппы О, то Л' совпадает с указанной подгруппой.

Лемма 3. Пусть Л = ВФО, где О < й Л. Тогда условие Л £ BL2 равносильно

тому, что В, О £ BL2, [ф,у](Нот (В,О)В) = 0 для любых ф,у £ Е(О) и в(В') = 0 для

любого в £ Нот (В,О). В частности, если кольца Е(В) и Е(О) коммутативны, то

Л £ BL2.

Доказательство. Необходимость. Продолжим ф,у £ Е(О) до эндоморфизмов

группы Л, полагая ф \ В = в £ Нот (В,О), у \ В = 0. Тогда для Ь £ В имеем [ф,у]Ь = фуЬ - уфЬ = - увЬ. Откуда [ф,у]2Ь = - [ф,у]увЬ. Следовательно, [ф,у]у(Нот (В,О)В) = 0. Симметрично [ф,у]ф(Нот (В,О)В) = 0.

Если продолжить ф, у следующим образом: ф \ В = 1в + в, у \ В = 1в - в, то [ф, у]Ь = 2вЬ - фвЬ - увЬ. В силу уже доказанного получаем 2[ф,у]вЬ = 0.

Если же положить ф \ В = 1в + 2в, у \ В = 1в - в, то получим 3[ф,у]вЬ = 0. Откуда следует, что [ф,у]вЬ = 0. Поэтому [ф,у](Нот (В,О)В) = 0 в силу произвольности в и Ь.

Докажем, что в(В') = 0. Зафиксируем в £ Нот (В,О). Продолжим £,п £ Е(В) до п £ Е(Л), полагая £ \ О = 1е, П \ О = 0, £ \ В = £ + в, П \ В = п. Тогда для Ь £ В имеем [^, п]Ь = [£,п]Ь + впЬ. Так как [£,п]2Ь = 0 и [ п1РпЬ = 0 (последнее равенство следует из вполне инвариантности О), то [^, п]2 Ь = впК,п]Ь = 0. В силу произвольности элемента Ь получаем вСлК,П]В) = 0 и, симметрично, в(Ж,п]В) = 0.

Если продолжить £,п следующим образом: £ \ О = 1е, п \ О = 1е, £ \ В = £ + в, П \ В = п - в, то [^, п]Ь = [£,п]Ь + впЬ + в£Ь - 2вЬ. Откуда ввиду уже доказанного [%, п]2 Ь = - 2в[£,п]Ь = 0.

Если же положить £ \ О = 1е, п \ О = 1е, £ \ В = £ + 2в, п \ В = п - в, то

[^, п]Ь = [£,п]Ь + 2впЬ + в£Ь - 3вЬ. Откуда [^, п]2 Ь = - 3в[£,п]Ь = 0. Следовательно, в([£,п]В) = 0. Поэтому в(В') = 0 в силу произвольности £ и п.

Достаточность. Пусть п: Л ^ В, 0: Л ^ О - проекции и у,5 £ Е(Л). Имеем [у,5] = (п + 0)[у,5](п + 0) = п[у,5]п + 0[у,5]п + 0[у,5]0

(учесть, что п[у,5]0 = 0). Здесь можно считать, что 0[у,5]0 £ Е(О). Поэтому осталось проверить действие [у,5] на В. Если Ь £ В, то [у,5]Ь = [пу,п5]Ь + 0у(п5Ь) -05(пуЬ) + [0у,05]Ь. Последние три слагаемые принадлежат следу В в О, поэтому они аннулируются при действии [у,5]. Следовательно,

[у,5]2Ь = 0у(п5[пу,п5]Ь) - 05(пу[пу,п5]Ь) + [0у,05][пу,п5]Ь = 0

поскольку, так как пу,п5 £ Е(В), все эти слагаемые принадлежат образу в О подгруппы [пу,п5]В.

Лемма 4. Если Л = Ф, 6 ¡Л,, \ I \ > 1, то Л £ BL2 в том и только в том случае, когда все Л, е BL2, а, (Нот (Лу, Л,) Лу) = 0, [ф,,у,](Нот (Лу,Л,)Лу) = 0 и в,(Л/) = 0 для

любых а,, в, £ Нот (Л,, Лк) и ф,,у, £ Е(Л,), где у, к £ I \ {г}.

Доказательство. Необходимость вытекает из лемм 1, 3.

Достаточность. Пусть Ву = Ф, 6 л {у} Л,, п: Л ^ Лу и 0: Л ^ Ву - проекции, а у,5 £ Е(Л). Если а £ Лу, то

[у,5]а = [(п + 0)у,(п + 0)5] = [пу,п5]а + [пу,05]а + [0у,п5]а + [0у,05]а =

= [пу,п5]а + пу05а - 05пуа + 0уп5а - п50уа+ 0у05а - 050уа .

Здесь 05а £ Нот (Лу,Ву)Лу и пу \ Ву £ Нот (Ву,Лу), поэтому пу05а = 0. Аналогично п50уа = 0. Далее

05пуа, 0уп5а, 0у05а, 050уа £ Нот (Лу,Ву)Лу, а поскольку в скобках [пу,05], [0у,п5] в качестве множителей входят гомоморфизмы из Нот (Ву,Лу), то перечисленные элементы аннулируются при действии этих скобок. С учетом того, что [пу,п5]2а = 0 и [0у,05](Нот (Лу,Ву)Лу) = 0 окончательно получаем [у,5]2а = 0.

Из лемм 1, 3 следует, что делимая группа принадлежит BL2 тогда и только тогда, когда все ее ненулевые ^-компоненты имеют ранг 1, а часть без кручения либо нулевая, либо также имеет ранг 1.

Теорема 5. Если Л £ BL2, то каждая ее ненулевая р-компонента Лр есть либо циклическая группа, либо прямая сумма циклической группы Вр и группы 2^ ,

причем в последнем случае Л1Лр = рЛ/Л^) при Вр Ф 0.

Доказательство. Вытекает из лемм 1 и 3.

Следствие 6. Если Л - периодическая группа, то Л £ BL2 тогда и только тогда, когда каждая ее ненулевая р-компонента есть либо ненулевая циклическая группа, либо прямая сумма некоторой (возможно, нулевой) циклической группы и

группы 2^ . В частности, если Л редуцирована, то ее кольцо эндоморфизмов коммутативно.

Теорема 7. Если 0 ф В - делимая часть группы Л, Л = ВФВ, то Л £ BL2 тогда

и только тогда, когда В,В £ BL2, Е-коммутант В' группы В периодичен, причем если обе подгруппы Вр, Вр ф 0, то В/Вр = р(В/Вр) и, кроме того, условие 0 ф ((В) ф В влечет периодичность В, в этом случае Л имеет строение

Л = (Фр 6 пЛр)ФВ0, где П - некоторое множество простых чисел, каждая Лр есть или циклическая группа, или прямая сумма некоторой (возможно, нулевой) циклической р-группы и группы 2^ , а В0 = О.

Доказательство. Необходимость. Если 0 ф Ь £ В - элемент бесконечного порядка, то ввиду инъективности группы В найдется гомоморфизм а: В ^ В со свойством аЬ ф 0, причем если часть без кручения В0 группы В отлична от нуля,

то а можно выбрать так, чтобы аЬ £ В0 и уаЬ ф 0 для некоторого у £ Нот (Л, 2^„ ). Поэтому в силу леммы 1 условие 0 ф ((В) ф В влечет периодичность В. Наконец, если Вр ф 0, то по теореме 5 Вр - циклическая группа, поэтому

В = ВрФЕ(р) для некоторой подгруппы Е(р) С В. Если теперь рЕ(р ф Е(р), то при условии Вр ф 0 найдется ненулевая композиция гомоморфизмов Ер ^ Вр ^ Вр, что противоречит лемме 1.

Достаточность. Пусть 0 ф ((В) ф В. Имеем Л = ВФ((В)ФВ0, где ВФ((В) < й Л, Е(В) и Е(((В)) - коммутативные кольца. Согласно лемме 3, ВФ((В) £ BL2. Поскольку след группы В0 в ВФ((В) содержится в подгруппе ((В), а Е(((В)) и Е(В0) -

коммутативные кольца, то из леммы 3 следует, что Л £ BL2. Если же В0 = 0, то Е(В) - коммутативное кольцо и В < й Л. Далее, если В = ВрФЕ(р), то по условию рЕ(р) = Е(р) при Вр ф 0. В силу леммы 2 В' = (Е(р))' и, значит, (В)^ = 0. Откуда ввиду

периодичности В' вытекает, что в(В') = 0 для каждого в £ Нот (В,В). Поэтому по

лемме 3 Л £ BL2. Пусть, наконец, В - группа без кручения. Тогда г(В) = 1, В < й Л, Е(В) - коммутативное кольцо и, так как В' - периодическая группа,

в(В') = 0 для каждого в £ Нот (В,В), следовательно, по лемме 3 вновь Л £ BL2. Следствие 8. Если 0 Ф В - делимая часть группы Л, Л = ВФВ и 0 Ф В - группа

без кручения, то Л £ BL2 в том и только в том случае, когда Е(В), Е(В) - коммутативные кольца.

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 7, а достаточность из леммы 3.

Отметим, что делимая группа В = ((В)ФВ0 имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов Е(В) тогда и только тогда, когда либо ((В) = 0, а В0 = О, либо В0 = 0, а Вр = 2^„ для каждого р с условием Вр Ф 0.

Следствие 9. Пусть Л = ((Л)ФЛ - расщепляющаяся группа (((Л), Я ф 0). Запишем Л в виде Л = ТФВФ((В)ФВ0, где ТФВ - редуцированная, а В = ((В)ФВ0 - делимая часть Л и ((Л) = ТФ((В). Группа Л £ BL2 в том и только в том случае, когда ((В) = Ф^ 6 п 2 „ , г(В0) < 1, Т = ®р еП1 Тр, каждая Тр - ненулевая циклическая

р-группа, рВ = В при р £ П' = ПППЬ Е(В) - коммутативное кольцо и, если В, В0 ф 0, то ((В) = 0.

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 7. Достаточность. Имеем ((Л) = ТФ((В) < Л. Если В0 = 0, то обозначим через О - след группы В в ((Л). О можно записать в виде О = О1ФО2, где О1 = Фр еП1 ш Ор С Т,

О2 = Ф^ 6 п Ор С ((В) (рО = О при р £ П', поэтому О^ПТр = 0 для таких р). Поскольку фр еП1 \П Тр < f1 ((Л) и кольца Е(Т), Е(((В)) коммутативны, то [ф,у]О = 0

для любых ф, у £ Е(((Л)). Поэтому Л £ BL2 по лемме 3. Если же В Ф 0 и В0 = О, то Л = ВФТФВ0, где ТФВ0 < Л и Е(В), Е(ТФВ0) - коммутативные кольца. Вновь

по лемме 3 Л £ BL2. Наконец, при В = 0 имеем Л = ТФВ, где Е(Т), Е(((В)) - коммутативные кольца и В £ BL2. Поэтому и в этом случае Л £ BL2.

Теорема 10. 1) Пусть Л - вполне разложимая группа без кручения, Л = ВФВ,

где В - делимая часть группы Л. Тогда Л £ BL2 в том и только в том случае, когда:

а) если В ф 0, то г(В) = 1, а В - прямая сумма групп ранга 1 несравнимых между собой типов;

б) если В = 0, то Л = Ф, е ¡Л,, где либо г(Л,) = 1, либо Л, = В,ФС,, г(В,) = 1, С, -прямая сумма групп ранга 1 несравнимых между собой типов > ((В,), причем типы прямых слагаемых ранга 1 групп Л, и Лу не сравнимы при различных г и].

2) Пусть Л - сепарабельная (векторная группа) без кручения, Л = ВФВ, где В -

делимая часть группы Л. Тогда Л £ BL2 в том и только в том случае, когда:

а) если В ф 0, то г(В) = 1, а В - прямая сумма (прямое произведение) групп ранга 1 несравнимых между собой типов;

б) если В = 0, то Л = Ф, е /Л, (Л = П, е /Л,), где либо г(Л,) = 1, либо Л, = В,ФС,, г(В,) = 1, С, - сепарабельная (векторная) группа, типы прямых слагаемых ранга 1 которых несравнимы между собой и > ((В,), причем типы прямых слагаемых ранга 1 групп Л, и Лу не сравнимы при различных г и ].

Доказательство. 1) Необходимость следует из леммы 3, поскольку для прямого слагаемого ^Ф^ФЭД группы Л, где г(Щ = 1, невозможны следующие соотношения для типов: ((N1) = ((N2) или ((N1) < ((N2) < ((N3). Достаточность в случае а) вытекает из леммы 3, поскольку В < й Л и Е(В), Е(В) - коммутативные кольца. В случае б) достаточность следует из того, что Л, < й Л, где, согласно лемме 3,

Л, £ BL2.

2) Прямые слагаемые сепарабельных групп являются сепарабельными группами. Далее, если О(Л) - множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 группы Л, то О(Л) можно разбить на классы эквивалентности О(Л) = и , Е / О,, где типы я, ( е О(Л) считаются эквивалентными, если существуют (ь...,(„ е О(Л), такие, что типы (, и (, + 1 сравнимы для всех г = 1,...,и (здесь (0 = я, (п + 1 = (). В этом случае

Л = Ф, е /Л,, О(Л) = О, и Л, < Л, т.е. типы из О(Л,) и О(Лу) не сравнимы при г фу [1; § 19, упр. 7]. С учетом этих фактов оставшиеся утверждения доказываются аналогично 1).

Теорема 11. Пусть Л - копериодическая группа, В - ее делимая часть, Л = ВФВ, В = ((В)ФВ0. Тогда Л £ BL2 в том и только в том случае, когда Л ал-

гебраически компактна, В = (Фр е п 2 )ФВ0, где П - некоторое множество про-

р

стых чисел, г(В0) < 1 и, кроме того:

а) если 0 ф ((В) ф В, то В = ®реП1 Вр, каждая Вр - циклическая р-группа и П1 -

некоторое конечное множество простых чисел;

б) если ((В) = 0 или В0 = 0, то В = ОФС, О = ПреП1 Вр, каждая Вр - циклическая р-группа, С = ПреП2 , П1 и П2 - такие множества простых чисел, что

ППП1ПП2 = 0, причем если В Ф 0, то множество П1ПП2 конечно.

Доказательство. Необходимость. Имеем Л1 = ВФВ1. Если Вр ф 0, В = В^ФЕ(р), то В1 = . Отсюда следует, что В1 - делимая подгруппа без кручения в В и, зна-

чит, В1 = 0, Л1 = В. Поэтому группа Л алгебраически компактна [2, предложение 54.2]. Если 0 ф ((В) ф В, то по теореме 7 В - периодическая группа. Всякая периодическая алгебраически компактная группа ограниченная [2, следствие 40.3], это доказывает а).

б) Замыкание О = (((В))- в Z-адической топологии периодической части ((В)

выделяется в В прямым слагаемым, В = ОФС, (П1 = {р £ Р | Вр ф 0}). Если Вр, Вр ф 0, то рС = С, поэтому ППП1ПП2 = 0. Если множество П1ПП2 бесконечно, то след группы С в О является смешанной группой, а это при условии В Ф 0 в силу леммы 2 противоречит теореме 7.

Достаточность. В случае а) Л £ BL2 по теореме 7. Если выполнены условия

б), то О < й (ОФС) и Е(О), Е(С) - коммутативные кольца. Поэтому по лемме 3

ОФС £ BL2. Пусть В Ф 0. По лемме 2 (ОФС)' = Нот(С,О)С. Так как множество П1ПП2 конечно, то (ОФС)' - периодическая группа и в(ОФС)' = 0 для каждого в е Нот(ОФС,В) в силу условия ППП1ПП2 = 0. Следовательно, по лемме 3 Л £ BL2.

Для каждого натурального п > 1 можно рассматривать класс BLn групп Л, таких, что [ф,у]п = 0 для любых ф, у £ Е(Л). Ясно, что BLn с BLn + 1. Для сравнения приведем один результат о группах из класса BLn (автор планирует подготовить отдельную статью, посвященную группам из BLn при п > 2). Напомним, что длиной цепи а1 <.<яп называется число п - 1.

Теорема 12. Пусть Л - сепарабельная группа без кручения, О(Л) - множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1 и п > 2. Группа Л е BLn тогда и только тогда, когда в Л нет однородных прямых слагаемых ранга > 2 и в О(Л) все цепи линейно упорядоченных элементов имеют длину < п - 1.

Доказательство. Необходимость. Пусть ВФО - прямое слагаемое в Л, В = О и ф: В ^ О, у: О ^ В - взаимно обратные изоморфизмы. Продолжим ф, у до эндоморфизмов группы Л (полагая их действия равными нулевому эндоморфизму на дополнительных соответствующих прямых слагаемых). Тогда для 0 ф Ь е В получаем [у,ф]пЬ = Ь ф 0. Пусть теперь Л1Ф.ФЛп + 1 - такое прямое слагаемое в Л, что г(Л,) = 1, 0 ф а е Л1, и ((Л1) <...< ((Лп + 1). Тогда существуют ф, е Нот (Л,, Л, + 1) со свойством ф^.^а ф 0. Откуда, если у - такой эндоморфизм группы Л, что у | Л, = 1^, при четном г и у | Л, = 0 - в противном случае, то для ф = ф1 + ... + фп

получаем [ф,у^а = ± фп. . .ф^ ф 0 (знак ± зависит от п).

Достаточность легко проверяется индукцией.

Поскольку группа из BLn не содержит прямые слагаемые, разложимые в прямые суммы изоморфных групп, то делимые группы и редуцированные алгебраически компактные группы без кручения принадлежат BLn в точности тогда, когда их кольца эндоморфизмов коммутативны, т.е. когда они из класса BLb

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. Е-mail: [email protected]

Статья принята в печать 07.02.2009г.