О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.246

О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С ТУРБУЛЕНТНЫМ ТРЕНИЕМ

А. А. Егорова, В. Е. Зотеев

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: [email protected]

Рассматриваются достаточные условия сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, описывающей в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений колебаний систем с турбулентным трением. Применение итерационной процедуры позволяет существенно повысить точность вычисления динамических характеристик систем с турбулентным трением за счет устранения смещения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения.

Ключевые слова: турбулентное трение, обобщённая регрессионная модель, среднеквадратичной оценивание, сходимость итерационной процедуры.

Одним из эффективных методов параметрической идентификации систем с турбулентным трением является метод, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов стохастического разностного уравнения, описывающего результаты наблюдений ординат колебаний механической системы [1, 2]. Построена линейно-параметрическая дискретная модель свободных колебаний системы с турбулентным трением, связывающая в рекуррентной форме несколько последовательных мгновенных значений виброграммы свободных колебаний, причём коэффициенты модели известным образом связаны с динамическими характеристиками системы. В матричной форме линейно-параметрическая модель колебаний систем с турбулентным трением имеет следующий вид:

где Р\ — невырожденная матрица линейного преобразования вектора є случайной помехи в результатах наблюдений. Алгоритм численного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения описывается совокупностью рекуррентных формул

Александра Арсеновна Егорова, аспирант, каф. прикладной математики и информатики. Владимир Евгеньевич Зотеев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и информатики.

(1)

(2)

где U-1 —ленточная пятидиагональная симметричная матрица размера N xN: Mil = U22 = U31 = 1, U32 = U23 = — А0 ^ (1 + ЛІ >) , U42 = U24 = 1 + A]_ ^,

пкк — 2 + 4^ (к - 2) + 2(Л^)2(к2 - 4к + 5) + ( 1 + (к - 2)^)

(¿)\2,

¡(0 А 2

к = 3,4,

ик к-1 — ик—1 к — —ло ^ (2 + 2(2к — 5)л1 ) + (2й2 — 10й + 13^л1 ))

к = 4, 5,... ;

ик к—2 — ик-2 к — (1 + (к - 3)л1г))2, к = 5, 6,... , Ж,

где г € М, л(г) — среднеквадратичная оценка вектора коэффициентов, вычисленная на г-той итерации. Остальные элементы и^ — 0.

В данной работе рассматриваются достаточные условия сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением, описываемой формулами (2).

Обозначим векторную функцию д( Л) — ти—1^ти—1Ь, где д —

' Л ' л

— (до, д1,..., д4) € М5. Далее рассмотрим систему нелинейных уравнений

Ло — до(Ло, Лъ • • •, Л4), л1 — д1(Ло, Л1,..., Л4),

Л4 — ?4( ЛС ЛЪ • • • і Л4), которая в матричной форме имеет вид

Л — 9( Л). (з)

В п-мерном пространстве введём норму вектора Л и матрицы Ш следующим образом: ||Л|| — шах^ |Л»|, \\Ш|| — шах^ ^?=11адчI, г = 1,2,..., п.

Теорема. Пусть функции <?г(Л) и дд^ (*,.] = 0,1,... , 4) определены и непрерывны в известной замкнутой области С действительного п-мерного пространства Еп, причём в области С выполняется неравенство:

Л — тах Л Є С

Ти-1^) V1

N

N

|е|| тах і V

(У1 \и°Ск \ + X/ \шік\

к=1

к=1

< 1, (4)

где со\к — элементы матрицы 11^ 1 размера ІУхіУ; е = і^А—6 — вектор

остатков.

Тогда, если последовательные приближения

Лк — <?(Лк-1), к Є М,

(5)

не выходят за пределы области С: Лк Є С, то

1) независимо от выбора начального приближения ЛС Є С, итерационный процесс (5) сходится, т. е. существует предел ііт^^, Лк — А;

2) предельный вектор А является единственным решением уравнения (3) в области С;

3) имеет место оценка

||Л — A(fc) II ^ ^—||A(fc) — II, (6)

1 — а где 0 ^ а < 1.

Доказательство. Пусть А(1) и А(2) € G. Тогда известно, что существует вектор £ € G такой, что выполняется неравенство

||q(A(1)) — q(A(2))|| < ||W(£)||||А(1) — А(2) II < max ||W(£)||||А(1) — А(2) II, (7)

Лес

где

W(£) = Г-

дЛ

W®= (8)

Л=5

j

— матрица Якоби системы функций {д^( л)}4=0 по переменным л0, л1,..., л4, вычисленная в точке £ € С.

Покажем, что при выполнении условия (4) выполняется условие

шах||Ш( л)|| ^ а < 1,

Лес

т. е. отображение (3) является сжимающим в области С. Действительно, матрицу Якоби (8) можно представить в виде Ш( л) —

dq dq dq

<9Aq д\\ д\4

где —вектор-функции. Тогда

a\j

dq d(Fт U-1F )-1 ^ ^ dU-1

-2- = —---£--—FTU71b+(FTU71F)~1FT—^b =

д Л д Л л д Л

dF TU-1F ди

= -(FTU71F)~1---^----(FTU71F)-1FTUr1b-(FTUr1F)-1FTUr1—Aur1b =

л дЛ^- л л л л дЛд- л

ди

= (FTUr1F)-1FTUr1—Aur1F(FTUr1F)-1FTU71b-л л дЛ^- л л л

- (FTU71F)~1FTU71^U71b =

л л дЛо- л

х3

ли

= (РТи71Р)-1РТи71—Аи71(РХ - Ъ).

дЛ5

Обозначив вектор остатков через е — ^ л — Ь, получим

-ДЯ- = (^тС7Г1^)-1^тС7Г1^&С7Г1е, дЛ^- л л д Л^- л

дЦ, гг0

где —^ = и ^ — ленточная трехдиагональная симметричная матрица размера

дЛо л

N хЖ:

и£к — 2 Ло(1 + (к — 2)Л1 )2, к = 3, 4,... , N;

пк к-1 — пк_ 1 к — -2 - 2(2к - 5) Лх - (2к2 - 10к + 13)Л2, к = 4, 5, • • • , N;

ленточная

^32 = ^23 = “(1 + ^1); остальные элементы ик^ = 0; —^ = и1 пятидиагональная симметричная матрица размера NхЖ:

и32 — и23 — — Л0; и42 — и24 — 1;

икк — 4(к — 2) + 4 Л1(к2 — 4к + 5) + 2(к — 2)л§(1 + (к — 2)Л1), к = 3,4,..., N; ик к—1 — и1—1 к — —2 Ло(2к — 5 + (2к2 — 10к + 13)Л1), к = 4, 5,... , N; ик к-2 — ик-2 к — 2(к — 3)(1 + (к — 3)Л1), к = 5, 6, . . . , N;

остальные элементы и

1

к і

„ диЛ диЛ диЛ

—г^—нулевые матрицы размера

дЛ2 дЛз дЛ4

NхN, поскольку матрица Цл зависит только от коэффициентов Ло и Л1. Тогда матрица Якоби (8) примет вид

^ (О — (^1 и-1^ )-1 ^1V ( л),

Л

(9)

где V ( Л) —

и-1 и 0и-1е и-1и*1и-1 е 000

Л Л Л Л Л Л

— матрица размера N х5,

и элементы матрицы V( Л) могут быть описаны формулой

N

ХХк ек,

к=1

7' г т — 1 диЛ Т Т — 1

'Хи ~ элементы матрицы и с —^ и с . ¿к Л 9Л,’ Л

Оценим норму матрицы УЛ:

N

N

N

1^1 — тах — “НЕ ^ Єк + Е ^ ек

І=С

к=1

к=1

N

N

N

N

к=1

к=1

где ||е| — шахк |ек|, к = 1, 2,..., N; г = 1, 2, В соответствии с (9) получаем

і

к=1

к=1

|ж(с)|| — ||Ти-1^ VТ|| ■ ( Л)|| <

рТтт— 1 т?А-1 рТ |

< II(^ти—1^ — 1^т||||е|| шах(£ |^°кI + £ Кк|). Следовательно, с учётом (4) имеем оценку

к=1

к=1

Шах ||Ш(£)|| —шах I (^т и-1^) 1 ^т Ij.IV ( Л)

|(^ти—1^) —Vт||||е|| ша^ |^°к| + Е Кк|)

N N

^ шах Лес

г

к=1 к=1

< 1.

Тогда, усиливая неравенство (7), получим

||д(Л(1)) — д( Л(2))|| ^ а||Л(1) — Л(2) ||, (10)

где 0 ^ а < 1. Следовательно, отображение (3) является сжимающим в области С.

Покажем, что при выполнении условия (10) итерационный процесс (5) сходится. Для этого используем обобщённый критерий Коши:

|Л(к+1) — л(к)|| — Цд(Л(к)) — д( Л(к—1))! ^ а|Л(к) — Л(к—1}| <

^ а2|Л(к—1) — Л(к—2)|| < ... < ак||Л(1) — Л(0)||. (11)

Рассмотрим норму

||Л(к+р)—л(к)|| — ||(Л(к+1)—Л(к))+( Л(к+2)—Л(к+1)+...+( Л(к+р)—Л(к+Р—1)))| ^

р—1

|Л(к+г+1) — Л(к+г)||. (12)

г=0

Отсюда с учётом (11) получаем

||д(к+р) -\№\\ < ^С1 - аР) II д(1) _ д(0)|| /13ч

1 — а

Так как 0 ^ а < 1, то Ншг^те аг — 0 и из (13) следует, что Уе > 0 — N(е):

\/к > N(е) и Ур > 0 ^ |Л(к+р) — Л(к)| < е, т. е. для последовательности {Л(к)} ~ о выполнен критерий Коши. Поэтому существует Ишк^те Л(к) — Л, причём Л € С в силу замкнутости области С.

Перейдем к пределу в равенстве (5): Ншк^те Л(к) — Ишк^те д( Л(к—1)). Учитывая непрерывность функции д( л) в области С, получим Нш^^,Л(к) —

— д( 11шк^^Л(к—1^ или

Л — д( Л). (14)

т. е. Л — решение уравнения (3).

Покажем, что это решение единственное в области С. Пусть Е Л — Л, причём

Л — д( Л). (15)

Вычтем из (14) равенство (15):

Л — Л — д( Л) — д( Л).

С учётом (10) имеем ||Л — Л|| — ||д(Л) — д( Л)|| ^ а||Л — Л|| или (1 — а)||Л — Л|| ^ 0.

Так как 0 ^ а< 1, то 0 < 1 — а ^ 1, а следовательно, ||Л — Л|| ^ 0. Однако

это возможно только в случае, если | Л — Л| — 0, т. е. Л — Л.

Поскольку в соответствии с (11)

||Л(к+2) — Л(к+1)| ^ а|Л(к+1) — Л(к)Ц,

| Л(к+3) — л(к+2) | ^ а | Л(к+2) — Л(к+1) 11 ^ а211 Л(к+1) — Л(к) 11,

||Л(к+г) — Л(к+г—1)| ^ аг|Л(к+1) — Л(к)|, г € М, то из формулы (12) получаем

р—1 р—1

11 л(к+р) — Л(к) 11 ^ ^ 11 Л(к+г+1) — Л(к+г) 11 ^ 11 Л(к+1) — Л(к) 11 ^ аг ^

г=0 г=0

^ 1 - ар Мд(к+1) _ д(к)м ^ «(1 - ар) и ^ _ ^(к_1)м

"" 1 — а 11 11 "" 1 — а 11

Отсюда, переходя к пределу при р ^ то, получаем (6), что и требовалось доказать. □

Следствие. Вектор остатков е в формуле (4) может быть представлен в следующем виде:

е — НРЛ е,

где ( )

Н — Р(Рти—1Р)—1^т и-1 — Е. (16)

ЛЛ

Доказательство. Из обобщенной регрессионной модели в виде (1) сразу можно получить

е — Р Л — Ь — Р л — Р Л — РЛе — Р ((Рт Ц^Р) —1 Рт и-1Ь — Л) — РЛ е —

— Р ((Р ти—1Р)—1Ет и—1(РЛ + РЛе) — Л) — РЛе —

— Р ( Л + (Рт и-1Р) —1Рт и-1РЛ е — Л) — РЛе —

— (Р (Рт и-1Р) —1 Рт и-1 — Е)РЛе — НРЛе. □

Используя (4), можно сформулировать ограничение на величину случайной помехи в результатах наблюдений, позволяющее обеспечить достаточное условие сходимости итерационной процедуры (5):

/ N N ч — 1

НеН — ( || (Р^Р)—1Рт|| ■ ||НРл|| ша^ |Кк| + Е Кк|) ) ,

' * к=1 к=1 '

где матрица Н находится по формуле (16), г = 1, 2,... , N.

Таким образом, рассмотрены достаточные условия сходимости итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов линейнопараметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию (код проекта РНП 2.1.1/745) и РФФИ (код проекта 10-01-00644-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зотеев В. Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебаний систем с турбулентным трением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2005. — №38. — С. 100-109.

2. Зотеев В. Е. О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2009. — №1(18). — С. 133-141.

Поступила в редакцию 10/11/2010; в окончательном варианте — 15/111/2010.

MSC: 65P40, 34C15, 37M05

ON CONVERGENCE OF ITERATION PROCEDURE FOR ROOT-MEAN-SQUARE ESTIMATION OF COEFFICIENTS OF LINEAR PARAMETRIC DISCRETE MODELS DESCRIBING OSCILATTIONS OF SYSTEMS WITH TURBULENT FRICTION

A. A. Egorova, V. E. Zoteev

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

E-mail: [email protected]

Sufficient conditions for convergence of the iteration procedure for mean-square estimation of coefficients of linear parametric discrete models describing in the form of stochastic difference equations the observational data of oscilattions of systems with turbulent friction are studied. Application of iterative procedure gives a chance to improve accuracy of calculation of dynamic characteristics of systems with turbulent friction fundamentally with the help of elimination blases of mean-square estimations of difference equation coefficients.

Key words: turbulent friction, extended regression model, mean-square estimation, iterative procedure convergence.

Original article submitted 10/II/2010; revision submitted 15/III/2010.

Alexandra A. Egorova, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Vladimir E. Zoteev (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.