О сходимости D-пределов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1

УДК 513.83

О СХОДИМОСТИ D-ПРЕДЕЛОВ П. В. Черников

Аннотация. Доказаны некоторые утверждения о сходимости D-пределов. Ключевые слова: финально компактное пространство, счетно полный ультрафильтр, D-предел.

Обозначим через X финально компактное хаусдорфово пространство. Пусть I — произвольное непустое множество, D — счетно полный ультрафильтр над I. В [1] доказана

Лемма 1. Пусть f G X1. Тогда существует единственная точка Xo G X такая, что для всякой окрестности V точки Xo

{i G I : f (i) G V} G D.

Эту точку обозначим, следуя [2], через D-lim f и назовем D-пределом функции f. В случае, когда D — ультрафильтр, X — компактное хаусдорфово пространство, теорема о существовании D-предела, аналогичная лемме 1, содержится в [2]. Докажем некоторые утверждения о сходимости D-пределов. Потребуется

Лемма 2. Пусть {fn}n= 1 С X1, f G X1 и

{i G I : lim fn(i) = f (i)} G D.

n—

Тогда для всякой окрестности V точки D-lim f существует такой номер N, что

{i G I : fn(i) G V} G D

при всех n > N.

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству теоремы 6 из [1].

Теорема 1. Пусть {fn}n=1 С X1, f G X1 и существует база B окрестностей точки D- lim f, состоящая из (открытых) множеств типа Fa. Пусть

{i G I : lim fn(i) = f (i)} G D.

n—

Тогда последовательность {D-lim fn}n=1 сходится к точке D-lim f.

Доказательство. Положим X0 = D-limf. Пусть U — окрестность точки Xo в пространстве X. Найдется окрестность V G B точки Xo такая, что V С U. По лемме 2 существует такой номер N, что

{i G I : fn(i) G V} G D

© 2016 Черников П. В.

О сходимости D-пределов

109

при всех n > N. По условию множество V имеет тип Fa, т. е. V = У Fk, где

k= 1

Fk — замкнутое подмножество пространства X, k > 1. При n > N имеем

оо

(г G I : /„(г) G V} = J (г G I : /„(г) G Fk} G D.

k=1

Значит, найдется номер k„ такой, что (г G I : /„(г) G Fkn} G D. Отсюда следует, что

D-lim /„ G Fkn С V С U при всех n > N. Теорема доказана.

Определение [3]. Подмножество Zo топологического пространства Z называется относительно секвенциально компактным, если каждая последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке пространства Z.

Теорема 2. Пусть (/„}„= С X1, / G X1. Пусть

(г G I : lim /„(г) = /(г)} G D

„—

и подмножество (D- lim /„ : n =1, 2,... } пространства X относительно секвенциально компактно. Тогда последовательность (D-lim /„}^=1 сходится к точке D- lim /.

Доказательство. Положим X„ = D-lim/„, n > 1, X0 = D-lim/. Допустим, что последовательность (X„}^=1 не сходится к точке Xo. Тогда найдутся окрестность U точки Xo и подпоследовательность (X„k последовательности (X„}^=1 такие, что X„k не принадлежит множеству U при всех k > 1. Найдется подпоследовательность (X„km }m=1 последовательности (X„k }^1, сходящаяся к некоторой точке Y G X. Так как Y не принадлежит U, то Y = Xo. Последнее противоречит теореме 5 из [1]. Теорема доказана.

Теорема 2 обобщает теорему 5 из [1].

Теорема 3. Пусть (/„}^=1 С X1, / G X1 и каждая точка D-lim /„, n > 1, имеет тип Ga. Пусть

S = (г G I : lim /„(г) = /(г)} G D.

„ —

Тогда последовательность (D- lim /„}^=1 сходится к точке D-lim /.

Доказательство. Положим X„ = D-lim/„, n > 1. Так как точка X„ имеет тип Ga, то

M„ = (г G I : /„(г) = X„} G D, n > 1. Пусть V — окрестность точки D-lim/. Имеем

оо

M = S П (г G I : /(г) G V} П р| M„ = 0.

k=1

110

П. В. Черников

Пусть io G M. Найдется номер N такой, что fn(io) G V при n > N, т. е. Xn G V при n > N. Теорема доказана.

Сходимость D-пределов рассматривается также в [4,5]. Дадим одно применение теоремы 6 из [1]. Пусть X* — финально компактное регулярное хаусдорфово пространство. Обозначим через I* множество всех счетно полных ультрафильтров над I. Для f G X*1 можно определить функцию F : I* ^ X* следующим образом:

F(L) = L-lim f, L G I*.

Теорема 4. Пусть D* — счетно полный ультрафильтр над множеством I*. Пусть {fn}n=i С X*, f G XI и

{i G I : lim fn(i) = f (i)} = I.

n—

Тогда последовательность {D*-limFn}^=i сходится к точке D*-limF (здесь Fn(L) = L-lim fn, F(L) = L-limf, L G I*).

Доказательство. Для любого L G I* выполнено включение I G L, поэтому по теореме 6 из [1] последовательность {L-limfn}n=1 сходится к L-limf, т. е.

{L G I* : lim Fn(L) = F(L)} = I*, I* G D*.

n—

Применяя еще раз теорему 6 из [1], получаем, что последовательность {D*-limFn}n=1 сходится к точке D*-limF. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черников П. В. Некоторые свойства элементарных теорий и пространства моделей // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, № 1. С. 153-159.

2. Кейслер Г. Дж., Чэн Чень-чунь. Теория непрерывных моделей. М.: Мир, 1971.

3. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

4. Черников П. В. Об элементарных теориях, пространстве моделей и D-пределах // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 155-158.

5. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Статья поступила 15 марта 2016 г.

Черников Павел Васильевич Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1

UDC 513.83

ON CONVERGENCE OF D-LIMITS P. V. Chernikov

Abstract: Some statements about the convergence of D-limits are proved. Keywords: finally compact topological space, countably complete ultrafilter.

REFERENCES

1. Chernikov P. V. "Some Properties of Elementary Theories and Spaces of Models," Math. Notes of Yakut. State Univ., 20, No. 1, 153-159 (2013).

2. Chang C. C. and Keisler H. J., Continuous Model Theory. Prinston Univ. Press, Prinston (1966).

3. Engelking R., General Topology, Warszawa (1977).

4. Chernikov P. V. "On Elementary theories, model spaces and D-limits," Math. Notes of Yakut. State Univ., 18, No. 1, 155-158 (2011).

5. Edwards R. D., Functional Analysis. Theory and Applications, Holt Rinehart and Winston, New York, Chicago, San Francisco, Toronto, and London (1965).

Submitted March 15, 2016

Chernikov Pavel Vasilievich

Novosibirsk State University,

Pirogova st., 2, Novosibirsk 630090, Russia

© 2016 P. V. Chernikov