CC BY
13
УДК 519.633.6
У. Х. Жемухов1
О СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ УГЛОВОЙ ОСОБЕННОСТИ У ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЯ
Получена оценка скорости сходимости 0(т + h2) In(j + 1) для решения четырехточечной неявной разностной схемы, аппроксимирующей на равномерной сетке одномерное уравнение теплопроводности при условии, что краевые и начальные данные подчинены в угловых точках только условию непрерывности и никакие другие условия согласования не выполнены. Для этой цели с использованием дискретной функции Грина получена априорная оценка сеточного решения через подходящую негативную норму правой части.
Ключевые слова: начально-краевая задача, угловая особенность, конечно-разностный метод, дискретная функция Грина, оценка сходимости.
1. Введение. При анализе численного решения краевых и начально-краевых задач, как известно, обычно используются предположения об ограниченности [1, 2] решения и его производных вплоть до границы. Если граница рассматриваемой области содержит угловые точки, то эти предположения в общем случае не выполняются, но в ряде случаев [3] оказывается возможным наложить на входные данные в этих точках так называемые условия согласования [3, 4, с. 363]. При невыполнении указанных условий согласования может наблюдаться неограниченный рост [3, 5] значений производных решения вблизи углов. А это, в свою очередь, часто приводит к уменьшению скорости сходимости приближенного решения. Однако есть случаи (см., например, [6]), когда рост производных в окрестности угловых точек не приводит к (существенному) ухудшению погрешности приближенного решения, но обоснование этого факта требует дополнительных исследований. Именно такой случай рассматривается в данной работе. ___
Введем область Qt = {(ж,t) : 0 < х <1, 0 < i ^ Т} и обозначим через QT ее замыкание. В QT рассматривается начально-краевая задача:
du(x,t) 2d2u(x,t) Lu:=——--а —— = /( x,t), (x,t)€QT, (1)
u(0,i) = /ii(i), u(l,t) = fi2(t), t G [0,T], (2)
1 Факультет BMK МГУ, acn., e-mail: zhemukhov-uQyandex.ru
5 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
и(х, 0) = <р(х), же [0,1], (3)
где а — постоянная, f(x,t), <р(х), (J>i(t), (J>2(t) — заданные достаточно гладкие функции.
Для аппроксимации задачи (1)-(3) используется [1] неявная четырехточечная разностная схема на сетке ш\1Т = а'¡и хшт, где шh = {xrn = mh, h = l/N, m = 0,..., N} шшт = {tj = jr, т = Ч"/М. j = = 0,... ,М}. Множество внутренних узлов обозначим через ш\1Т = х шт = {(xm,tj) : m = 1,... ... ,JV-1, i = l,...,M}.
Итак, в соответствие (1)-(3) ставится разностная задача:
{£Угп := У^гп ~ а Уях,т = fmi G шhri
(4)
Уо = fii(tj), Ум = №(tj), tj G шт, y°m = <p{xm), xm G uh,
где У^т = (yin ~ Ут )/Ti y¡cx,m, = (Уто+1 — ^Угп y3m-l)/h ' frn = f{xmitj)-
Известно, что при классическом подходе [1] для получения оценки погрешности решения задачи (4) 0(h2 + r) предполагается непрерывность производных d2u/dt2, д^и/дх4 вплоть до границы. А это, при условии достаточной гладкости входных функций, подразумевает выполнение, например в угловой точке (0,0), условий согласования:
9?(0) = ¿¿i(0) — условие 0-го порядка, (5)
^р(О) — = /(0, 0) — условие 1-го порядка. (6)
Ub \J Ju
Важно, что при решении конкретных прикладных задач требование выполнения условия согласования не всегда является естественным и может быть слишком обременительным. Более того, невыполнение этих условий в угловых точках во многих задачах (см. [7] и цитированную там литературу) является закономерным.
Таким образом, в точке (0,0) мы отказываемся от условия (6), а в (/,0) для простоты изложения предполагаем, что аналогичное условие выполнено.
Отметим работы [7] и [8], где изучались численные методы для задач с угловыми особенностями. В первой из них обсуждаются различные подходы (конечно-разностные схемы не рассматривались) к численному решению начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с угловой особенностью и проводится их сравнение. Основное внимание в этой работе уделено рассмотрению полудис-кретизованного метода Фурье и показано, что для его решения upf(xi^t) в точке (х\,í) = (тг/iV, l/N2) из окрестности угла справедлива оценка \u(xi,t) — UN(xi,t)\ = 0(N~2).
В работе [8] рассматривалась первая начально-краевая задача на отрезке для сингулярно возмущенного параболического уравнения с разрывом решения в одной из угловых точек, т. е. без каких-либо условий согласования. Для численного решения этой задачи использовалась четырехточечная неявная схема на кусочно-равномерной сетке Шишкина с регуляризованным начальным условием и вне конечной окрестности угловой точки получена оценка сходимости 0(iV_1 + г).
В следующей теореме содержится основной результат данной работы.
Теорема 1. Пусть у3т —решение разностной задачи (4), au(x,t) —решение дифференциальной задачи (1)-(3), (5). Тогда справедлива оценка погрешности
|vL ~ u(xm,tj)\ < C(h2 + г) ln(j + 1), (
i'tj) G Ш]-1Т.
Доказательство приводится ниже в разделе 4.
Далее в работе через С и с обозначаются положительные постоянные, различные в отдельных случаях и не зависящие от h и т.
2. Анализ решения и производных дифференциальной задачи. Изучим характер угловой особенности у производных решения задачи (1)-(3), (5). Для этого воспользуемся результатами работы [5], в которой, в частности, была построена декомпозиция решения уравнения теплопроводности на гладкую и сингулярную составляющие и получены оценки производных.
Запишем эту декомпозицию без изменения:
и(х, t) = U(ж, t) + V(x, t).
(Г)
Функции из разложения (7) удовлетворяют [5] следующим начально-краевым задачам:
dU(x,t) 2d2U(x,t) „ . , . ^
dt ~ дх2 = /(ж'(ж'G Qt' tf(0,i) = /ii(i)-^(0,i), U(l,t)=/i2(t)-V(l,t), t G [0,T],
(8)
и
l ?7(ж,0) = ^(ж), же [0,1] 2d2V(x,t)
= 0, ж G (0, oo), ie(0,T],
<9i <Эж2
^(ж,0) = 0, ж G [0, oo), F(0,i) = Ai, t G [0, T],
(9)
где А = /Х1{(0) — а29Ржж(0) — /(0,0).
Решение последней задачи выписывается в явном виде:
т_, Аж Гте ia2(t-r) V (ж, t) = ——== / —--——-ат = А
v ' ' 2ау/7г J (i^r)3/2
* + i) erfC
ж
6 4a2t
0л/ 7Г
(10)
где ег£с(г) = 1 — ег£(г) — дополнительная функция ошибок. Чтобы понять характер угловой особенности, выпишем производные найденной функции У(х, I):
dv 2d^v ( л c^F
^ i j — ft ^ ^ ^ i j — -/1 6ПС j Zft у iy ^ ^ i j — ft ^ ^ ^ i j —
Аж
dt
dt2
0ж4
-6 4a2t.
2a^3/2
Как видно из этих выражений, производные, входящие в погрешность аппроксимации разностной задачи (4), имеют (см. [5]) угловую особенность.
Заметим, что разложение, аналогичное приведенному выше, справедливо и в случае, если в точке (/, 0) не выполнено условие согласования 1-го порядка. Для этого достаточно сделать замену у = 1 — х и повторить все рассуждения.
3. Сеточная функция Грина вспомогательной задачи и ее оценки. В сеточной области {(жm,tj) : хгп = mh, tj = jr, h = l/N, т = T/M, m G N, j = 1 ,...,M} рассмотрим разностную задачу:
t.m
а 4х,ш = FL ™ е N, 1 < j < M,
(Н)
^ = о, 1 < </ < М, < = 0, тем.
Для получения оценки решения (11) будем исходить из его явного представления через функцию Грина, которая удовлетворяет следующей задаче:
' С4-(жто,жр,^') - а2СЖж(жто,жр,^) = 0, 1 < э < М, т,р е М,
G(0, хр, tj) = lim G(xm, хр, tj) = 0, 1 ^ j ^ М,
ТО—»-ОС
(12)
ч С(жто,жр,0) = ¿то.рА, е М,
где 5ТО)Р — символ Кронекера. Легко проверить (ср. с [9]), что решение этой задачи представляется
в следующем виде:
G(xm,xp, tj) —
1
2irh
дЧСЦег(ш-рК ^ ег(ш+Р)^ dC = _ I gi(C)sin(mC)sin(pC)dC, (13)
Г 1_1
где д(С) = 1 + (4га2/к2) зт2(£/2) . Из (13) получим представление решения (11):
з оо к= 1 р= 1
6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
В дальнейшем нам также понадобится разностное отношение
7Г
= ^ / Я3 (О вт(С/2) 8т(тС) СО8((р + 1/2)0 «*С- (15)
о
Лемма 1. Для разностного отношения (15) справедлива оценка
3 ^ ^
тах|С(жта,жр+1,^) - С(жта, жр, [/г,"1 < + 1), 1 < < М. (16)
f=1
Доказательство. Чтобы получить оценку (16), будем действовать в два этапа, соответствующие случаям у = В первом случае оценка для GXiP(xm,xp,tv) получается путем решения разностной задачи, получающейся из (12) на первом слое:
а тСгхх,т {хщ, 1 ■Ерч т) + G(жто, Хр, т) — /h, т,р £ N, G(0, хр,т) = lim G(xm, хр, т) = 0, р € N.
Решение этой задачи легко выписывается (см., например, [1, с. 184]) и имеет вид
ГС?™ - 9Т)дР1-, пг^р,
G(xrn,xp, т) - R Л р р
где В = л/4а2т + /г,2, д!)2 = (1 + к2/2а2т) ^ {¡г/2а2т)л/4а2т + /г2, 0 < < 1, = 1. Из выражения для функции Грина определяем первое разностное отношение
а = с(жта,жр+1,г) ^с(жта,жр,г) = 1 /(д!-!-№)<&,
Ь + т > р.
Далее, принимая во внимание выражение для В, получаем оценку
тах|СЖ)р(жто,жр,г)| < 2(1 - ц^/ВЬ, < (у/4а2т + К2 - Ъ)/а2тВ < 1 /а2т, т,р е N. Теперь рассмотрим случай 2 ^ V ^ у. Используя неравенства
Я (С) < (1 + {4та2/7г2к2)С2)~\ 8т(С/2) < С/2, С € [0, тг],
получим,что
max р
7Г 7Г
2 Г Iff Ата% \~v
Gx,p(xm,xp,tv) / 9W(C)sin(C/2) / Ц1 + j d<> =
о 0
1 тг2/г2(1 - (1 + 4та2/к2)1~и) тг
^ о 91 ' 2 ii I/ ^ j-
кh2 8т{у - 1)а2 Sa2tv-\
Объединяя последнюю оценку со случаем v = 1 и суммируя, получаем (16).
Теорема 2. Пусть F^ — сеточная функция, достаточно быстро убывающая на бесконечно сти. Тогда для решения задачи (11) справедлива поточечная оценка
sC Cln(j + 1)тах^/г ^
р=0 п=р+1
1 < k < j < М, meN. (17)
Доказательство. Для получения этой оценки воспользуемся формулой суммирования по частям [1, с. 98] и оценкой (16). При помощи указанных формул и учитывая, что С{хт,1{),11:1+1-};) = 0 и ¿^ —> 0 при р —> сю, преобразуем (14) к виду
J ОС J ОС г ОС
уЗ =
"т
= Е hFn = ETEWM Е ^
fc=l р=1 fc=l р=1 Ln=p+1
3 ос /ос
?к п
Х,р к= 1 р=0 чп=р+1
Из последнего равенства путем несложных рассуждений и с учетом (16) получаем оценку (17).
4. Оценка скорости сходимости численного решения. Изучим вопрос о скорости сходимости решения задачи (4) к решению дифференциальной задачи (1)-(3), (5). Для этого представим решение (4) по аналогии с (7) в виде суммы
Ут Um + Vml (18)
где слагаемые удовлетворяют следующим разностным задачам:
С/| — а С/|Ж)ТО = /¿j, (xm,tj) G ojfiri
Ui = Mb) - vj, UjN = /хзОtj) - tj G шТ, (19)
, Um = v{xm), xm G aJh, и
Vi - a2Vix,m = 0> m G N, tj G wT,
(20)
V^ = 0, m G N, V01 = Atj, ij GwT.
Таким образом, оценка погрешности решения (4) будет получена как сумма оценок для гладкой и сингулярной частей. Обозначим эту погрешность через z4 и представим
zm = %гП + zja = U^ — U(xm,tj) + — V(xm,tj). (21)
Сингулярная составляющая Щп = V,— V(xm,tj) этого разложения удовлетворяет задаче
zf^a Zg.xm = ifrmi ш G N, tj € шт,
(22)
Zq = 0, tj G шт, zm = 0, m G N,
где для погрешности аппроксимации ф^, используя выражения для производных d2Vjdt? и d^V/dx4", получаем оценку
И ^ + ^ G G (®m-l,®ro+i). (23)
В этой оценке попытаемся избавиться от промежуточных точек. С учетом неравенств xm ^ 2xm-i при m ^ 2 и tj ^ 2ij _ 1 при j ^ 2 из (23) получаем оценку
+ (24)
V V / tj
Заметим, что в оценке (24) нам не удается уйти от промежуточных точек во всей области. Поэтому на множестве узлов {j = 1, m ^ 1} и {m = 1, j ^ 2}, где не выполняется эта оценка, мы не будем пользоваться априорной оценкой (17). В этих подмножествах оценка погрешности будет получена отдельно для каждого случая, исходя из (23) и явного представления погрешности через функцию Грина (13):
joо ^
mi 1 — к)Фр1 m G N, 1 < j < M. (25)
fc=i p=i
F =
Til
Представим в виде суммы трех компонент:
= Ч,тп + ,гп + 4,тп- (26)
7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Первые два слагаемых этой суммы представляют собой решения задачи для погрешности (22) с правыми частями ф{ т и 1р2 г«! соответственно, где
ГО, т = (ф^ т = 1,2^з^М,
ф(,т = т ^ 2, 2 «С з < М, И ф{т = ^ о, т ^ 2, 2 «С з < М,
[О, 1,з = 1, [О, 1,з = 1.
А третье слагаемое т с учетом 2з то = 0 определяется как решение задачи
а z: Р - О
rl _
= 0,
. z3,то ~~ ^то V(xm,t),
me N,
2 < i < M,
m e N.
(27)
Отметим, что при таком способе задания погрешность ^ удовлетворяет задаче (22). В этом легко убедиться, если учесть справедливость равенств
zl,m — z2,то — (см- (25)) и £,Z^ m —
'0, i ^ 2, тем,
ЛУш ~ У(хт,т)) =ф^, j = l, meN
и применить разностный оператор С к выражению (26).
Теперь, прежде чем переходить к оценке убедимся, что подходящей является норма для правой части в (17), если вместо ¿^ подставить ф3т из (24).
__Еа_ ,, 2
Подставляя функцию = входящую в выражение для ф3т, в двойную
сумму из (17) и вводя обозначения 7 = к/4а^/Щ, д = е-7 , Фп = пдп , получим
оо сю
сю сю
сю сю
Е h*(xn,tk) =(4а)373 Е Е ие_7П =(4а)373 Е Е (28)
а=0 п=а+1 а=0п=а+1 а=0п=а+1
Преобразуем последнее выражение, используя формулы суммирования по частям. Учитывая обозначения va = a, Vv = va — va-i, Av = va+i — va, получаем
oo 00 00 00 00 00 00 00
E E = E = = = = (29)
a=0ti=a+l a=0 n=a+1
a=0
a=1
a=1
a=l
Чтобы получить оценку для (29), воспользуемся двумя следующими леммами.
Лемма 2. Пусть вз(г,д) = вз(г\т) — тэта-функция Якоби, где иг г = 1пд. Тогда справедлива следующая оценка
\в3(г,д)\ < 1 + ^/0п1/д. (30)
Доказательство. Для03(г,д) верно неравенство (см. [10, с. 336] и [11, 5.3.2]):
(31)
п= 1
Далее, имеем
оо оо
2 д»2 = £ е-»2 1п(1/«) <с / е-«2 Щ(1/9) ^ =
П=1 П=1 д
где последнее равенство следует из [11, 2.3.15]. Подставляя эту оценку в (31), получим искомую оценку. Лемма 3. Справедливы следующие соотношения:
Y,n2qn =в3(0
00 2п — 1
ч
п=1
^ (1 + g2n_1)2
П=1
Оз(0,?)
1-9
0 < д < 1.
(32)
Доказательство. Дифференцируя тождество в правой части (31) по д и учитывая [10, с. 345, 346], получим равенство
2 Эд
п=1 чп=1
Из этого равенства следует оценка (32), если учесть соотношения
сю
Е'Г
(1 + д2"-')2'
П= 1
00 „2п-1
Е ' -
„2п-1
^ (1 + д2п~1)2
п=1 П=1
9 <: 9
I — д'2 1 — д
Далее, учитывая (29), (30), (32) и наши обозначения, из (28) получаем
сю сю 2
к < (4а)3(7 + ^)-7
а=0 п=а+1
е^2 — 1'
Так как выражение в правой части последнего неравенства принимает ограниченные значения при 0 < 7 < оо, то с учетом (24) получим окончательную оценку
сю сю
IТ/4II := тахк ^ кф^ <С'(т + к2), 2^т<оо,
(33)
р=0 п=р+1
Теперь запишем теорему о сходимости численного решения для угловой особенности. Теорема 3. Пусть — решение разностной задачи (20), а У(х,1) — решение дифференциальной задачи (9) на отрезке х е [0,1]. Тогда справедлива оценка
\У1 -У(хт,Ь)\ < С{к2+ т)ЫЦ+ 1), (34)
Доказательство. Чтобы доказать (34), необходимо получить оценку каждого слагаемого из (26). Если подставить ф{т в (17), учесть (33) и равенство 1} гп = 0, получим оценку
Щ,т\ ^С(к2+ т)ЫЦ+ 1), теМ,
Оценка для Р2 т следует из представления (25), если использовать выражение для ф2тш неравенство (см. (13)) 10(хт,хр,^+1-к)\ < 2/к:
IР I -
к=2
к=2
Теперь, вводя обозначения /Зк = £1/2а^/Ц^ /Зк = х\/2ау^ и учитывая, что (Зке ( '. и (Зке ^ С,
УД, /Зк, получаем |^>2д| С С(к2 + Используя эту оценку, имеем
Ц,т\<С(к2 + т)^-^С(к2 + т) 1п0' + 1), теМ,
к=2
Осталось найти оценку для гп. Для этого необходимо получить оценку разности — У(хгп,т). Так как из (20) при у = 1 получается краевая задача для обыкновенного разностного уравнения, решение которой легко находится, то не составляет труда получить оценку искомой разности в точках (жто,т). Итак, из (20) имеем
+ К,' (>• т е М, К1 = Ат, Ит УГ1 = 0.
то—»сю
Решение этой задачи представляется в виде
у}п = Атд'{\ дг = (1 + к2/2а2т) - (к/2а2т) у/Аа2т + к2, 0 < дг < 1.
8 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Далее, чтобы получить оценку упомянутой разности, достаточно показать, что для У(х,1) из (10) выполнено У(хт,т) = О(т). В этом легко убедиться, если учесть:
х1ег{фт/2ал/¥) ^ ^^ хтЛ/¥е~^4а Т ^ ^ ^ ^ ^ ут £ ^
2а2 ау 7Г \ 2 аут /
Учитывая эти соотношения и 0 < д! < 1, получаем искомую оценку
- У(хгп,т)\ ^Ст^ С{к2 + т).
Теперь, применяя принцип максимума [1, с. 269, 294] к задаче (27) для то, получаем оценку
Объединяя оценки для Щ то, Щ т и т, завершаем доказательство.
Осталось получить оценку сходимости для гладкой составляющей, т.е. решения задачи (19). С учетом наших обозначений из (21) запишем разностную задачу для £;^:
Щ — а = Фт*, (хт€ Ш]1Т1
¿¡5 = 0, 13и = У^ - V(xN,tj), ^ € шт, (35)
^гп — хт ^
где погрешность аппроксимации = Ы1{хт,1:)) —
Заметим, что правое граничное условие в (35) не является однородным и содержит У^ — У(ждг, Но оценка этой разности получена в теореме 3. Учитывая это и тот факт, что и{х,Ь) по построению достаточно гладкая (см. (8)) и не имеет угловой особенности, для оценки погрешности воспользуемся принципом максимума [1, с. 40-43, 269], из которого следует
= \и3т - С(Ъ2 + т)1п(</ + 1), (хт,^) € Щ1Т. (36)
Таким образом, из (34) и (36) следует оценка погрешности решения задачи (4).
5. Численные результаты. В качестве модельной рассматривается задача
ди/Ш - д2и/дх2 = же-*, (ж, е (0,1) х (0,2],
и(х, 0) = 2(ж — ж2), же [0,1], (37)
и(0,*) = «(1,*) = 3+ (г + 0.5)(1 - 5ег£(1/2^)) - 5е~^^/ф - е~г.
Численное решение этой задачи получено с использованием разностной схемы (4).
Легко проверить (см. (6)), что для начально-краевых условий задачи (37) в угловой точке (0,0) не выполнено условие согласования 1-го порядка, причем А = 5 (см. (9)).
На рисунке приводится график погрешности = — и{хт-, из которого видно, что основная погрешность сосредоточена вблизи начальной границы. В табл. 1 и 2 даны результаты численного расчета. В каждой ячейке таблиц для указанных N и М последовательно приводятся значения максимума разности между точным и приближенным решением, постоянной, фигурирующей в оценке погрешности, и порядка скорости сходимости, определенные следующими соотношениями:
Е^ = тах|?4 ^и(хгп,и)\, С1 = МЕ3т, С2 = ^ЩП, Р = 1п(£&/ЕИ)/ 1п2-
т,з
Анализ данных в табл. 1, 2 подтверждает справедливость теоретических результатов.
Автор выражает искреннюю признательность профессору В.Б. Андрееву за постановку задачи и ценные замечания при выполнении работы.
0,030 1 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0
О '
Погрешность численного решения задачи (37) \zi, N = М = 32
Таблица 1
Результаты численного расчета EfH, <71, Р
N = М
24 2 5 26 27 28 29 2ю 211 212
Е3 4.75е—2 2.76е—2 1.56е-2 8.35е-3 4.35е-3 2.24е—3 1.14е—3 5.77е—4 2.91е—4
<71 0.760 U.882 U.996 1.U68 1.114 1.144 1.166 1.181) 1.191)
р U.785 U.824 U.898 1).941) 1).961) U.971 U.982 U.988
Таблица 2 Результаты численного расчета EJm, <72, Р
М = N2
N 24 2 5 2е 27 28 29
Е3 1J т 4.72е—3 1.23е—3 3.15е—4 7.95е—5 1.99е—5 4.99е—6
(72 1.21)8 1.264 1.29U 1.3U2 1.3U6 1.3U9
Р 1.934 1.971 1.987 1.995 1.998
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
2. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.
3. В о л к о в Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН СССР. 19G5. 77. С. 89 112.
4. Ладыженская О.А., С о л он ни ко в В. А., У ральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
5. Бижанова Г. И. Решение в пространствах Гельдера краевых задач для параболических уравнений при рассогласовании начальных и граничных данных // Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. 36. С. 12 23.
6. Андреев В. Б. Равномерная сеточная аппроксимация негладких решений сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии в прямоугольнике // Дифференц. уравн. 2009. 45. № 7. С. 954 964.
7. Flyer N., Swarztrauber P.N. Convergence of spectral and finite difference methods for initial boundary value problems // SIAM J. Sci. Comput. 2002. 23. N 5. P. 1731 1751.
8. G г а с i a J. L., O1 R i о r d a n E. A singularly perturbed parabolic problem with a layer in the initial condition // Appl. Math, and Сотр. 2012. 219. N 2. P. 498 510.
9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
18
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2013. № 4
9. Сердюкова С.И. Равномерная устойчивость шеститочечной схемы повышенного порядка точности
для уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1967. 7. № 1. С. 214-218. 10. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции / Под
ред. Ф. В. Широкова. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. П.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Т. 1. 2-е изд., исправл. М.: Физмат лит, 2002.
Поступила в редакцию 23.05.13
ON THE CONVERGENCE OF THE NUMERICAL SOLUTION TO INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE HEAT EQUATION WITH CORNER SINGULARITIES
Zhemukhov U. Kh.
We prove the convergence rate estimate of 0(t + ti2) In(j + 1) to a solution for the implicit four-point difference scheme approximating a one-dimensional heat equation on a uniform grid, provided that the boundary and the initial data are subject to the corner points continuity condition only and no other compatibility conditions are satisfied. This result follows from a priori estimate of the grid solution in terms of appropriate a negative norm of the right-hand side. We obtain this estimate using the discrete Green function.
Keywords: initial-boundary value problem, corner singularity, finite difference method, discrete Green's function, estimate of convergence.
