О СЕЙСМОНАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

DOI: 10.24412/2181 -144X-2023-3-10-17

Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Ишмаматов М.Р. Турсинбоева З.У.

О СЕЙСМОНАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН

Сафаров Исмоил Иброхимович - профессор кафедры "Высшая математика" Ташкентского химико-технологического института, республика Узбекистан, г.Ташкент,

Тешаев Мухсин Худойбердиевич - профессор кафедры "Высшая математика" Бухарского инженерно-технологического института, республика Узбекистан, г.Бухара,

Ишмаматов Матлаб Рахматович - доцент кафедры "Высшая математика и информационные технологии" Навоийского государственного горнотехнологического университета, республика Узбекистан, г. Навои, Турсинбоева Зебо Уринбоевна - Старший преподаватель кафедры "Высшая математика и информационные технологии" Навоийского государственного горно-технологического университета, республика Узбекистан, г.Навои.

Аннотация. В работе рассматривается воздействие сейсмических волн на подземные трубопроводы. Задача сводится к задаче плоской деформированного состояния теории вязкоупругости. Уравнения движение окружающей среды и трубопроводов удовлетворяют уравнениям Ламе. На контакте ставятся условия жесткого контакта (равенство соответствующих перемещений и напряжений), а на бесконечности ставятся условия излучения Зоммерфельда. Задача решается в потенциалах перемещений, с помощь его преобразования Грина - Лэмба. Полученные численные результаты сравниваются с приближенными значениями. Установлен предел применимости приближенного метода.

Ключевые слова: сейсмическая волна, трубопровод, деформированное состояние, длина волны, напряжение

ON THE SEISMICALLY STRESSED STATE OF UNDERGROUND STRUCTURES UNDER THE ACTION

OF SEISMIC WAVES

Safarov Ismoil Ibrokhimovich - Professor of the Department of Higher Mathematics Tashkent Institute of Chemical Technology, Republic of Uzbekistan, Tashkent,

Mukhsin Khudoiberdievich Teshaev - Professor of the Department of Higher Mathematics at the Bukhara Institute of Engineering and Technology, Republic of Uzbekistan, Bukhara,

Ishmamatov Matlab Rakhmatovich - Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Information Technology Navoi State University of Mining and Technology, Republic of Uzbekistan, Navoi,

Tursinboeva Zebo Urinboevna - Senior Lecturer at the Department of Higher Mathematics and Information Technology Navoi State University of Mining and Technology, Republic of Uzbekistan, Navoi.

Abstract. The paper considers the impact of seismic waves on underground pipelines. The problem is reduced to the problem of the plane deformed state of the theory of viscoelasticity. The equations of motion of the environment and pipelines satisfy the Lame equations. Hard contact conditions are set at the contact (equality of the corresponding displacements and stresses), and Zommerfeld radiation conditions are set at infinity. The problem is solved in displacement potentials using its Green-Lamb transformation. The numerical results obtained are compared with approximate values. The limit of applicability of the approximate method has been established. Keywords: seismic wave, pipeline, deformed state, wavelength, voltage

SEYSMIK TO'LQINLAR TA 'SIRIDA YER OSTI INSHOOTLARINING SEYSMIK KUCHLANISH HOLATI

Safarov Ismoil Ibrohimovich - Toshkent kimyo-texnologiya instituti "Oliy matematika" kafedrasi professori, O'zbekiston Respublikasi, Toshkent shahri, Teshayev Muhsin Xudoyberdiyevich - Buxoro muhandislik-texnologiya institutining "Oliy matematika" kafedrasi professori, O'zbekiston Respublikasi, Buxoro shahri,

Ishmamatov Matlab Rahmatovich - Navoiy davlat kon-texnologiya universitetining "Oliy matematika va axborot texnologiyalari" kafedrasi dotsenti, O'zbekiston Respublikasi, Navoiy shahri,

Tursinboyeva Zebo Urinboyevna - Navoiy davlat kon-texnologiya universitetining "Oliy matematika va axborot texnologiyalari" kafedrasi katta o'qituvchisi, O'zbekiston Respublikasi, Navoiy shahri.

Annotatsiya. Ishda seysmik to'lqinlarning yer osti quvurlariga ta'siri o'rganilgan. Masala qovushqoq elastiklik nazariyasining tekis deformatsiyalangan holati masalasiga keltiriladi. Atrof-muhit va quvurlarning harakat tenglamalari Lame tenglamalarini qanoatlantiradi. Kontaktda qattiq aloqa shartlari (mosli siljishlar va kuchlanishlarning tengligi) va cheksizlikda Sommerfeld nurlanishining shartlari o'rnatiladi. Masala Grin-Lemba alamashtirishlaridan foydalangan holda hal qilinadi. Olingan raqamli natijalar taxminiy qiymatlar bilan taqqoslandi. Taxminiy usulning qo'llanilish chegarasi o'rnatildi.

Kalit so'zlar: seysmik to'lqin, quvur liniyasi, deformatsiyalangan holat, to'lqin uzunligi, kuchlanish

Введение. В работе [1] рассматривается одномерная задача о распространении продольных сейсмических волн в грунте, представленном плоско - параллельной двухслойной средой, установленной на жестком основании. Рассмотрен случай, когда волна по нормальному направлению падает к границам раздела. Предполагается, что каждый из слоев однородный и изотропный. Внутри каждого слоя перемещения точки распределяются по закону стоячей волны. Спектральные кривые смещений показывают, что положение экстремумов в функции периода колебаний зависит от отношения, как толщин слоев, так и от акустических жесткостей их материалов. Чем меньше отношение акустических жесткостей материалов верхнего и нижнего слоев, тем значительнее величины смещений на поверхности. Анализ опубликованных работ [2-5] позволяет установить тенденцию уменьшения интенсивности воздействия с глубиной. Но это не дает возможности прогнозировать балльность в зоне проектируемого конкретного тоннельного сооружения. Также накопленная

информация о землетрясении (или по сейсмическим волнам) не позволяет прогнозировать характер затухания сейсмических волн с глубиной [6-9]. В горных сейсмических районах толщина грунтового слоя обычно незначительна; как правило, коренные породы выходят на поверхность.

При строительстве тоннельных сооружений все шире применяется энергия взрыва, причем величины взрываемых зарядов непрерывно растут, достигая тысяч тонн [10-12]. В результате взрыва в грунте распространяются волны напряжений типа сейсмических с рядом особенностей: характером волнового фронта (волны цилиндрические и сферические, а не плоские), другими спектральными характеристиками (сдвиг к более высоким частотам) меньшей длительностью воздействия. Сейсмобезопасность подземных сооружений зависит от ряда конструктивных мероприятий, например параметра воздействия, характеристики землетрясений, эпицентральное расстояние, интенсивность и направление воздействия, а также спектральный состав грунта. Существующие методы расчета подземных сооруженный на заданные воздействия могут быть разделены на две группы, в основу которых положены разные схематизации сооружений и их взаимодействия с грунтовой средой.

В первом случае влияние окружающей среды учитываются при помощи системы эквивалентах пружин и демпферов, где жесткость определяется экспериментально. Первая группа методов, включавшая сейсмодинамическую теорию сложных систем подземных сооружений [13-15], подробно разработана и широко применяется при расчете сейсмостойкости подземных трубопроводов, туннелей, станций метрополитенов и др. Вторая - определение сейсмонапряженного состояния подземных сооружений и грунтовых массивов при заданных воздействиях-связана с использованием методов волновой динамики, когда грунтовая среда рассматривается в рамках механики сплошных сред, сооружения в рамках различных континуальных и дискретных моделей [16]. Решение волновых задач динамики твердого деформируемого тела даже при простейших предположениях относительно свойств среды (линейно - упругая, однородная, изотропная) для областей, соответствующих геометрии конкретных конструкций подземных сооружений, все еще сопряжено со значительными вычислительными трудности. В этом случае на решениях динамических задач должно сказываться влияние свободной поверхности. Поэтому представляют интерес результаты исследования дифракции волн напряжений в полуограниченных массивах с цилиндрическими полостями. Волновое поле определяется значениями следующих параметров: дифракционного параметра D/A, глубины заложения. Пространственные факторы, вязкость окружающей среды в волновой теории ещё не учитываются. Поэтому расчет сейсмостойкости подземных сооружений производится исходя из сейсмодинамической теории сложных систем подземных сооружений.

Цель настоящей работы - сравнение двух подходов на примере цилиндрического слоя при стационарных (и нестационарных) воздействиях. Постановка задачи для цилиндрического слоя при действии гармонических волн изложена в работе [15]. Бесконечно длинный однородный изотропный упругий цилиндрический слой, погруженный в бесконечно упругую среду, нагружается нестационарной плоской волной расширения. Волновой фронт параллелен оси слоя [15], т. е. имеет место плоская деформация. При импульсном воздействии решение строится из частей, составляющих волновые уравнения и для слоя, и для окружающей среды. Эти решения включают напряжения н перемещения, связанные с падающей волной, возбужденными и отраженными волнами в слое и окружающей среде.

Составляющие решения следует скомбинировать так, чтобы внутренняя поверхность слоя была свободной от напряжений, а на внешней - выполнялись условия непрерывности для перемещений напряжений. Начальные условия задаются

при наличии интервалов между импульсами достаточной величины, позволяющих слою излучать такое количество энергии в окружающую среду, при котором материал слоя может аппроксимироваться как покоящийся перед приходом каждого импульса.

Постановка задачи и методы решения.

В предположении обобщенного плоско деформированного состояния (рис.1) уравнения движения в смещениях имеет вид

(Äf + 2~) graddivÜj — ~rotroiuj + bj = р

д_й1

dt2

(1)

где Х. и ^ (] = 1,2, ] = 1 - относится к окружающей среде, ] = 2 - к слою) -операторные модули упругости

j (t) = Л j

Hjf(t) = Mo j

f (t) — J )(t — z)f (T)dT

—да _

t

f (t) — J R(i)(t — r)f (T)dr

b - вектор плотности объемных сил (bj = 0); f(t) - некоторая функция; рj -

плотности материалов, '(г-т) и -т) - ядра релаксации, Л -,/и0]- мгновенные модули упругости вязкоупругого материала, и. (иг], ив) - вектор смещения, который зависит от г,в,г. Отсюда следует, что напряжения, и смещения легко могут быть выражены через потенциалы смещений

и,

d@j 1 d^j

dr r дв du„

и

1 d@j d^j r de dr

1 du.

_ rj __^

^ =17; ^ = r ~ee

и

1 1 durj du

в

■ + ■

в

и

2 r de dr

arr, = j 2Vj + 2~ j

°вв = jWj + 2~j

d2vj d Г1 dpj

dr2 dr r de

1 dp 1 d 2ф 11 dy d 2y

-(

■ + —

-) + ~ (~

r dr r de r r de drde 1 d 2v 1 dv

(2)

-v -rr re -r-j^r dedr r2 de

)

где иг] - радиальное смещение; ив - тангенциальное смещение; £ ., £вв], ^ элементы тензора деформации; о., ощ , о - элементы тензора напряжений.

Рис.1. Цилиндрическое сооружение кругового сечения

t

r

r

)

x

Как упоминалось выше, коэффициенты A и В.и определяются из

соответствующих граничных условий.

Рассмотрим бесконечно протяженный тоннель радиуса R, на который падает стационарная волна частоты о.

Основные уравнения теории вязкоупругости для этой задачи плоской деформаций сводятся к следующим уравнениям

Ар- - j R (t -z) + 2Rrf (t - z^p-dz =

1 82p1

2 p

2 2 ;

a2 8t

(3)

Ays- - j R ^ (t-z) Aysjdz =

8

b2 8t2

где a) =(ä0- + -)/ p-; b) = /л0- / p-; p- и ip- - потенциалы смещений; R^(t -z) и R ■ (t-z) - ядра релаксации.

м

Падающая плоская волна рассматривается распространяющейся в положительном направлении оси x и представляется следующим образом:

р(р) = р01 вКа1Х-°*), р) = 0; р) = ег(Дх-й*), р(р) = 0, (4)

р01 м - величины амплитуд; ш - круговая частота; а1 и Д - волновые числа, которые должны быть комплексными числами

«! = «„ +шп; Д + Д (5)

<0 и Д < о обозначают коэффициенты затухания; аш и обозначают волновые

числа продольных волн и волн сдвига соответственно. Решение уравнения (3) можно искать в виде:

Р. (г,в, г) = ^рк] (г,в)е'м; ¥] (г,в, г) = (г,в)еш, (6) к=1 к=1

где (г,в) и (г,в) - действительные функции, удовлетворяющие уравнениям

АФ + а)ф = 0;+ßij = 0 ; где

(7)

а: =

о2/с2

7-L2

ß2 =

о2/ с2 _s

1 - m 2

= Дя, (4) + 2Ям (4)}ехр(-ш4)ё4 , Мд =} ям

о о

Для описания вязкоупругих свойств материала использована наследственная теория Больцмана - Вольтера с ядром релаксации Ржаницына - Колтунова. Тогда (7) выражается через синус г(*) и косинус г(с) образцы Фурье ядро релаксации и

Я (г) выражается через Г(ау.) - Гамма функцию

Г: =

A Г(а- )

со а г (а ) о

с + ß2 )- '2 Sm(a- arCtgт } ' = (Т + f f 2 cos(aarctgс>

. ' д К— ■ Г-д

Решение уравнения (7) выражается через функции Ханкеля 1 -го и 2-го рода п-го порядка:

то

( = Е

n=0

то

n=0

АП]НП(1)(а-г) + A- Hn(Z'(а-r)

В njHn m(ß-r ) + B-' Hn ™(ß-r ) :hnt

e

(2).

cosnße-

sin пвв ~

(8)

© International Journal of Advanced Technology and Natural Sciences Vol. 3(4), 2023 SJIF IF=4.023

14

НМ-УЧ-ИЛ :ыЧКГ*0№ЛЯ

INDEX (TfR1 COPERNICUS LIBRARV.RU . „ r - Vs Л T , О « * ,

то

t

t t

где Anj, Anj , Bnj, Bnj - коэффициенты разложения, которые определяются соответствующими граничными условиями; Нпm(ajr) и Hn(2)(ajr) - соответственно функции Ханкеля 1 -го и 2-го рода n-го порядка H(2 (ar) = /и (ar) — iNn (ar) .

Решение (8) удовлетворяет на бесконечности г ^ ™ условию излучения Зоммерфельда:

.-^ f Р) т Л

(9)

lim v

lim(Jr) к \dVL + ialv

, \ dr

= 0,

lim(^fr)к

d¥1

+ ißi¥

= 0

lim = ° ' ^ Qr

r r

Для этого должно быть A = Bn = 0. Тогда решение уравнения (8) представляется

в виде:

v(r) = X АщНП1У(^1Г )COS(me)e—i^ ; (10)

да

У1(r) = X BnHnC1\ß1r )sin(ne)e—i.

Полный потенциал можно определить путем наложения потенциалов падающих и отраженных волн. Таким образом, потенциалы смещений будут:

Р1 = р(р' + ср!г', 1^1 = г' или

р =р1( г \ хух = р' + г' .

Согласно [8-10], подставив смещения и напряжения окружающей среды и слоя в граничные условия, получим систему комплексных неоднородных алгебраических уравнений шестого порядка, которую решим методом Гаусса с выделением главного элемента.

Вычисления проведены при следующих исходных данных:

Е / Е = 0,85; V = 0,22; V = 0,25;

т с ''г ''г ''

рт /рс = 0,65; аЪ = 0.6;т* = С г / Ь

да

=0

Рис.2. Зависимости кольцевого напряжения от длины волны, построенные по волновой теории (1-линия) и сейсмодинамической (2-линия) теории

Результаты сравнения значений (сгоо|r = Ъ) на основе указанных теорий (рис.2)

в зависимости от величины d/X показывают, что при d/ Л> 1 (в области длинных волн) они совпадают с точностью до 10- 15% [15], в области коротких различие составляет 60%.

Заключения.При расчетах подземных сооружений на действие сейсмических волн для d / Л< 1 необходимости учета дифракции (стационарных и нестационарных) волн отсутствует. В этой области достаточно изучить напряженно-деформированное состояние подземных сооружений на основе динамической теории сейсмостойкости. Задача дифракции возникает при действии на подземные сооружения коротких волн при D / Л> 1.

Список исползованных литературы:

1. Гольденблат И.И., Карцивадзе Г.Н., Напетваридзе Ш.Г., Николленко Н.А. Проектирование сейсмостойких гидротехнических и специальных сооружений. - М.: Стройиздат, 1971. - 280 с.

2. Завриев К.С., Назаров А.Г., Айзенберг Я.М. и др. Основы теории сейсмостойкости зданий и сооружений. - М.: Стройиздат. 1970 - 224 с.

3. Safarov, I.I., Tеshaev, M.Kh., Rahmonov, B.S., Axmedov, M.Sh., Rayimov, D.G. Seismic Vibrations of Spherical Bodies in a Viscoelastic Deformable Medium. Part 1. AIP Conference Proceedings, 2022, 2432, 030124

4. Кац А.З. Сейсмическое микрорайонирование с учетом изменения параметров колебаний и напряжений с глубиной. - В кн.: Сейсмическое движение грунта. Вопросы инженерной сейсмологии., М., 1980, вып.13, с. 16-30.

5. Медведев С.В., Карапетян Б.К., Быховский В.А., Сейсмические воздействия на здания и сооружения, - М. Стройиздат, 1968 - 192 с.

6. Safarov I., Teshaev M., Marasulov A., Jurayev T., Raxmonov B. Vibrations of Cylindrical Shell Structures Filled with Layered Viscoelastic Material/ E3S Web of Conferences, 2021, 264, 01027 DOI 10.1051/e3sconf/202126401027

7. I Karimov, Z Tursinboyeva, Z Ismoilova. Features of interaction of the construction works with a layered base under the influence of seismic loads. III International Conference on Geotechnology, Mining and Rational Use of Natural Resources (GEOTECH-2023), Navoi, Uzbekistan, T.; E3S Web of Conferences, Volume 417, id.06002

8. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. -Киев: Наукова думка, 1972. - 254 с.

9. Tеshаеv M.Kh., Sаfаrоv I.I., Bоltаyеv Z.I., Sobirova R.A., Ruziev T.R. Propagation of Natural Waves in Extended Viscoelastic Plates of Variable Thickness. AIP Conference Proceedings, 2647, 030002 (2022). https://doi.org/10.1063/5.0104170

10. Дашевский М.А. Расчет напорного туннеля на действие стационарных упругих волн типа сейсмических. - Гидротехническое строительство. 1969. №11. с. 4344.

11. Matlab Ishmamatov, Nurillo Kulmuratov, Nasriddin Kuldashov, Mirjalol Choriev and Nasriddin Axmedov, "Fluctuations of the ground surface at blasting operations on tunnel structures", E3S Web of Conferences 417, 06003 (2023) https://doi.org/10.1051/e3sconf/202341706004 GEOTECH-2023

12. Mirsaidov M., Teshaev M., Ablokulov Sh, Rayimov D. Choice of optimum extinguishers parameters for a dissipative mechanical system. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2020, 883(1), 012100 DOI 10.1088/1757-899X/883/1 /012100

13. Крузе - Паскаль Д., Гернет Г., Пифко Д. Влияние вязкоупругости окружающей среды на неустановившуюся реакцию круглых цилиндров произвольной толщины при действии плоских волн. - Прикладная механика: перевод с анг., 1967,

т.34, сер. Е. №2, с. 102-128.

14. Ismoil Safarov, Mukhsin Teshaev, Tulkin Ruziev, Matlab Ishmamatov, and Nurillo Kulmuratov, "Proper normal waves in a two-layer tube taking into account the rheological properties of materials", E3S Web of Conferences 417, 06003 (2023) https://doi.org/10.1051/e3sconf/202341706003 GEOTECH-2023

15. Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. - Ташкент: Фан, 1973, с. -182.

16. Safarov, I., Axmedov, S., Rayimov, D., Homidov, F. Manometric Tubular Springs Oscillatory Processes Modeling with Consideration of its Viscoelastic Properties. E3S Web of Conferences, 2021, 264, 01010 DOI 10.1051/e3sconf/202126401010