О рядах Хаара на компактной нуль-мерной группе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

О РЯДАХ ХААРА НА КОМПАКТНОЙ НУЛЬ-МЕРНОЙ ГРУППЕ

С.Ф. Лукомский

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

На компактной нуль-мерной группе (G, +) строится система Хаара как система степеней и сдвигов некоторой системы характеров. Указываются условия, при которых ряд Фурье -Хаара непрерывной на G функции сходится равномерно. Указываются группы, для которых система Хаара получается из одной функции с использованием сжатий, сдвигов и возведения в степень.

Ключевые слова: компактные нуль-мерные группы, сжатия и сдвиги, функции Хаара, p-адические числа.

Haar Series on Compact Zero-Dimensional Abelian Group S.F. Lukomskii

In this article we construct a Haar system on compact zerodimensional abelian group as shifts and powers of some characters system. We find conditions under which a Fourier-Haar series of continuous function converge uniformly. We find groups for which Haar functions generated from one function by the operation of shifts, powers and dilations.

Keywords: compact zero-dimensional abelian group, Haar system, shifts, dilations, p-adic numbers.

ВВЕДЕНИЕ

Классическая система Хаара есть система сжатий и сдвигов одной функции г0 (£), которая есть нулевая функция Радемахера на полуинтервале [0,1) [1, с. 69]. В связи с потребностями математической физики в последнее время изучаются системы Хаара на полях р-адических чисел. Впервые система Хаара на поле р-адических чисел была указана в 2002 г. в работе С. Козырева [2]. Такая система порождается не одной, а (р — 1) функциями ф1,ф2, ...,фр-1. В [3] подробно рассмотрены 2-адические базисы Хаара. В работе [4] р-адическая система Хаара получена как всплесковый базис, возникающий в р-адическом КМА. В работах [5-6] рассматривались всплесковые базисы на группах Виленкина. В [7] рассмотрены вопросы построения сплесковых базисов Хаара на произвольной локально-компактной группе, содержащей открытую подгруппу. Мы приведем принцип построения базиса Хаара на произвольной нуль-мерной группе (сюда как частные случаи входят группы р-ади-ческих чисел и группы Виленкина), но ограничимся случаем компактной группы. Каждой такой группе соответствует некоторая последовательность (рп)^=0 простых чисел. В перечисленных выше работах [2-6] рассматривался случай рп = р. Мы покажем, что в этом частном случае система Хаара может быть определена (в отличие от [2-6]) одной функцией г0 (х), из которой остальные функции Хаара получаются с помощью сжатий, сдвигов и возведения в степень. Кроме этого мы укажем условия, при которых ряд Фурье - Хаара непрерывной функции сходится равномерно.

1. ХАРАКТЕРЫ НА КОМПАКТНОЙ НУЛЬ-МЕРНОЙ ГРУППЕ

Пусть (Є, +) — коммутативная компактная группа, топология в которой задана системой вложенных подгрупп

Є = Со э Єі э Є э ■ ■ ■ э £п э £п+1 э ... (1.1)

ГО

таких, что Р| Єп = {0}. Это означает, что базу топологии в Є образуют смежные классы (Єп + д)

п=0

(п Є М0 = N и {0}, д Є Є), из которых любые два либо не пересекаются, либо один включается в другой. Такую группу называют нуль-мерной [8]. Из компактности Є следует, что все фактор-группы Єп/Єп+і конечны. Обозначим через рп порядок такой фактор-группы. Можно считать, что все рп — простые числа, так как в противном случае, используя теорему Силова [9, с. 99], можно уплотнить цепочку подгрупп так, что порядки фактор-групп Єп/Єп+1 станут простыми числами. Обозначим т0 = 1 , тп+1 = тп ■ рп. Тогда при каждом п Є N группа Є есть дизъюнктное объединение тп смежных классов Єп + qj (і = 0,тп — 1). Все смежные классы в объединении с пустым множеством образуют полукольцо К. На К можно ввести меру ^ равенством ^(Єп+ qj) = ц,Єп = т—. После этого

© С.Ф. Лукомский, 2GG9

С.Ф. Лукомский. О рядах Хаара на компактной нуль-мерной группе

меру д можно продолжить на ст-алгебру д* измеримых множеств, например, по схеме Каратеодори. Получим меру, инвариантную относительно сдвига. Ее обычно называют мерой Хаара.

На Є можно определить интеграл по схеме Лебега, который инвариантен относительно сдвига и является абсолютно сходящимся. Характеры группы Є будем обозначать через х, а группу всех характеров — через X. Совокупность характеров х, таких что Vх Є Єп, х(х) = 1, называют аннулятором группы Єп и обозначают . Аннуляторы образуют возрастающую цепочку подгрупп группы X:

{1} = с ОІ с с ■ ■ ■ с с й^+і с

(1.2)

и С^ = X. Фактор-группы С^+1/С^ конечны и имеют порядок рп. При каждом п е М0 выберем

п=0

элемент дп е Сп \ Сп+1 и зафиксируем. Каждый элемент х е С0 однозначно представим в виде

ГО

х ^ ^ апдп (ап = 0, рп 1), п=0

где сходимость понимается в смысле топологии, порожденной цепочкой подгрупп (1.1). При каждом п е М0 выберем характер гп е С^+1 \ С^. Тогда характер х е X однозначно представим в виде

X = Ц(г»)“- (в>> = 0,рп — 1),

(1.3)

п=0

причем в произведении (1.3) лишь конечное число чисел ап отлично от нуля, т.е.

м

X = П (Гк)а- ,

(1.4)

к=0

где число М определяется характером х. В группе характеров можно ввести нумерацию следующим образом. Если х представлен в виде (1.4), то поставим ему в соответствие число

м

п=

к=0

и соответствующий характер будем обозначать через хп. Известно [8], что характеры (хп)ГО=0 образуют ортонормированную систему, замкнутую в £2(Є). Через £п обозначим множество комплекснозначных ступенчатых функций, постоянных на смежных классах Єп+д. При введенной нумерации

т- — 1

каждая функция / Є £п однозначно представима в виде ^ Xj (cj Є С). Через

j=о

т — 1

Xj

5=0

обозначим ядро Дирихле. Если т = тп, то

п —1

\0

^т- (х) = П ((гк (х))0 + (гк (х))1 + ■■ ■ + (гк (х))Р- ^

к=0

тп, х Є Єп

0, х Є Єп ,

и для частичной суммы (/, х) ряда Фурье функции / по системе характеров (хк)ГО=0 справедливо представление

(/,х)= тп I /(^Д(^.

Следующее утверждение очевидно [8].

Теорема 1.1. £сли / непрерывна на С, то (/, х) сходятся равномерно к / на С.

Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.1

2. СИСТЕМА ХААРА НА КОМПАКТНОЙ НУЛЬ-МЕРНОЙ ГРУППЕ

Определение 2.1. Определим функции Н?т-+к (і = 1,рп — 1; к = 0,тп — 1) равенством

Н0 (х) = 1 Я,-т- +к (х) = гп (х —q)lG- + д (х) где q Є Є и к Є N0 связаны соотношениями

q = а0д0+аШ + • • • + ап —1 дп —1 ^ к = а0т0 + а1 пт + ■ ■ ■ + ап —1 тп — 1

(а^ = 0,р^ — 1). Функции Н?т-+к назовем функциями Хаара.

Теорема 2.1. Функции Н0,Н?т-+к (п Є N0, і = 1,рп — 1, к Є 0,тп — 1) образуют ортогональную на Є систему комплекснозначных функций.

Доказательство. Рассмотрим несколько случаев.

1) Н0 ортогональна всем Н?т-+к. В самом деле,

//» /» р— 1 Г

1 ■ Я?т- +к (х)^д(х) = / (х — q)dд(x) = (х)^д(х) = ^ / гп (х)^д(х) =

с С- + д с ^ 0 С-+1 + ^д-

Рп -1 Pn-1 Pn -1

= ГП(Gn+i+vgn)^Gn+i = д^п+i fn(vgn) = д^п+i (rj(gn))v = o.

v=0 v=0 v=0

2) Функции Hjmn+k и ортогональны, так как при k = l их носители не пересекаются.

3) Проверим ортогональность H^mn+k и Hj2m„+k при ji = Пусть ji > j2, т.е. ji = j2 + a (1 < a < Pn - 1). Тогда

J Hjim„ +k (x)Hj2m„ +k (х)^Д(х) = J rji (x)f2 (х)^Д(х) = J Га(х)^Д(х) = 0.

G G„ G„

4) Проверим ортогональность HjimN+kl и Hj2mn+k2 при N = n. Пусть N > n. Тогда смежные классы GN+qi и Gn+ q2 либо не пересекаются, либо GN+ qi С Gn+q2. В последнем случае

y^jimN +ki (x)Hj2 mn +k2 (х)^Д(х) = J rj (x-qi )f^2 (x — q2 )^Д(х) =

G Gn + qi

= rn2 (Gn+ qi —q2) J rj (x—qi)^д(х) = f^2 (Gn +qi-q2) J rj (х)йд(х)=0,

Gn -+qi gN

и ортогональность доказана. □

Положим по определению Hjmn+k = д/тпHjmn+k, тогда Hjmn+k будет ортонормированной системой (ОНС) на G. Через <tn (f, x) обозначим частичные суммы ряда Фурье - Хаара по системе j +k(x). Отметим, что если j, n и k меняются так, что 0 < n < N, j = 1,pn — 1, k = 1,mn — 1, то числа mn + k принимают все натуральные значения между 1 и mN+i — 1. Так как dim LN+i = mN+i,

mN+i-i

то отсюда следует, что любая функция f е LN+i представима в виде f = AvHv (Av e C).

v=0

mN — i

В частности, при к = 0, т^ — 1 характер хк представим в виде хк = ^2 с^-Н, и в силу ортонор

•7=°

мированности систем (хк) и (Н ) матрица с^ ортогональна.

Лемма 2.2. Имеет место равенство £то- (/, х) = СТт- (/, х).

Доказательство. Через (/, д) обозначим скалярное произведение функций / и д. Тогда

m— — l m— — l / m— — l \ m—— l

C' H j

Sm— (f,x)= (g’Xk)Xk = X! (f’ ckl^4 ■ ckj^j

k=0 k=0 \ l=0 / j=0

m—— l m—— l m—— l m— — l

£ Я, £ (f, Я,^ cucij = £ Hj(f, Я,) = am„ (f,x), □

j=0 ,=0 k=0 j=0

С.Ф. Лукомский. О рядах Хаара на компактной нуль-мерной группе

Определение 2.2. Если f ограничена на G, то функцию wn(f) = sup |f (x) — f (y)| называют

x-y£Gn

модулем непрерывности функции f [8].

Лемма 2.3. Если f ограничена на G, то |(#jmn+k, f)| < Wn(f).

mn

Доказательство. По определению функций Хаара 1

mn

(#jm— +k ,f)=/ f (x)^jm—+k (x)d^(x)= / f (xK (x- q)dMx)

G G— + q

Выполняя замену x—q = y и учитывая инвариантность интеграла, получаем

1== (f,Hjm—+k)= I f(y+q)r7n(y)d^(y) =

n v=0

p— — l

mn

(f,#jm—+kН/ f(y+q)rn(y)dM(y)^^ J f(y+qK(y)dMy) =

G— + 1 + vg—

Gk

p— — l

rn(yn)vj f f(y+q)d^(y) =

v=0 „ •

G — + 1 + Vg —

— p— — l

X] fn(yn)vj / (f(y+q) - f(yn))d^(y) + fn(yn)vjf(yn)

___n __n

p— — l

dMy)- (2^1)

G—+ 1 + vg—

G —+ 1 + vg—

Так как pn простые и

d^(y) = ^(Gn+l +vgn) =

І

mn+l

G—+l + vg—

то

p— — l

X] fn (yn)vj f (yn)

v=0

dMy) = (rn (yn)j )v = О

mn+l

1 v=0

p— — l

G—+ l + vg—

Поэтому из (2.1) находим

mn

:(f, -^jm— +k)

□

mn+l

mn

Теорема 2.4. £сли / непрерывна на Є и ^п(/) = , то ряд Фурье - Хаара сходится

равномерно на Є.

Доказательство. Используем лемму 2.2. Запишем частичные суммы стг(/, х) при тп < I < тп+1 в виде

г—1 г—1

СТг (/,х)= СТ'т-+к (/,х) = стт- (/,х) + X! (/,^№(х) = ^т- (/,х) + X! (/,^№(х), (2.2)

^=т- V=т-

где £т- (/, х) — частичные суммы ряда Фурье по системе характеров. По теореме 1.1 £т- (/, х) сходятся к / равномерно. Покажем, что второе слагаемое в правой части (2.2) стремится к нулю равномерно.

В самом деле, при каждом фиксированном х в сумме

г—1

£г(/,х) — £т-(/,х) = X! (/ (х)

v=m-

содержится не более рп — 1 отличных от нуля слагаемых. Поэтому по лемме 2.3

|5г(/,х) — #т- (/, х) | < (рп — 1) ^тп < рп Шп(/) ^ 0. □

V тп

Следствие. £сли рп ограничены в совокупности, то ряд Фурье - Хаара непрерывной функции сходится равномерно.

І

3. СИСТЕМА ХААРА НА НУЛЬ-МЕРНОИ ГРУППЕ С ПОСТОЯННОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ

Рассмотрим компактную нуль-мерную группу (Є, +), для которой все рп = р. Последовательность (рп) будем называть образующей. Оператор А : Є ^ Є назовем оператором растяжения, если

1) А(°п+1) = °п (п > 0),

2) Vх,у Є Єп А(х+ у) = А(х)+А(у) (п > 1).

Свойства оператора растяжения.

1) Если д Є Єп \ Єп+1, то Ап (д) Є Є0 \ Є1.

2) Если д Є Єп \ Єп+1, то Ап(Єп+1 +д) = Ап(Єп+1 )+Ап(д) = Є1 +Апд, т.е. смежный класс

Єп+1-+ д, составляющий Єп, оператор Ап переводит в смежный класс, составляющий Є0.

3) Если у1,у2 Є Єп \ Єп+1 и у1— у2 Є Єп+1, то Ап(Єп+1^У1) П Ап(Єп+1 +У2) = 0, т.е. образы

различных смежных классов Єп+1 + у при отображении Ап есть различные смежные классы. В самом деле, Ап(Єп+1-ЬУ1) = Є1 +Апу1, Ап(Єп+1 +у2) = Є1+Апу2 и по свойству 1) Апу1, Апу2 Є Є0\Так как у1—у2 Є Єп+1, то у1 = у2+а и а Є Єп\Єп+1. Поэтому Апу1 = Апу2+ Апа, причем Апа Є Є0 \Є1. Это и означает, что Апу1 — Апу2 Є Є1, т.е. смежные классы Є1 -+Апу1 и Є1 +Апу2 различны.

4) г0(Апх) есть характер подгруппы Єп, причем г0(Апх) Є Є^+1 \ Є^. Действительно, г0(Апх) постоянна на каждом смежном классе Єп+1-+д, составляющем Єп+1, следовательно, г0(Апх) непрерывна на Єп. Кроме того, если х, у Є Єп, то г0(Ап(х+у)) = г0(Апх+ Апу) = г0(Апх) ■ г0(Апу), т.е. г0(Апх) характер на Єп. По свойству 2) г0(Ап(Єп +1)) = Г0(Є1) = 1, т.е. г0(Апх) Є Є^+1 и Г0(Ап(Єп+1 + у)) = Г0(Апу) = 1 при у Є Єп+1. Таким образом, Г0(Апх) Є Є^+1 \ Є^.

5) г0(Апх) можно продолжить до характера гп(х) Є Єп+1 \ на всей группе Є.

Из этих свойств и теоремы 2.4 сразу следует

Теорема 3.5. Если все рп = р, то функции

Но (ж) = 1, (ж) = р2 г0 (Ап (ж-9))1С„+д (ж) О' = 1,---,Р - 1)

образуют ортонормированную систему (ОНС) на С, которые будем называть функциями Хаара.

Как мы видим в случае рп = р функции Хаара можно получить как степени, сжатия и сдвиги одной функции го (ж). Если р = 2, то для ] возможно только одно значение ] = 1, и мы получаем классическую двоичную систему Хаара как сжатия и сдвиги одной функции.

Замечание. При рп =3 образуем функции -01 (ж) = л/2Ле(г0(ж)) и 02(ж) = л/2Тт(г0(ж))2. Нетрудно проверить, что

■0l(x) = <

л/2, x Є Gl,

— "^2 , x Є Gl~+gl, l

У2 ,

^2 (x) = <

l2, x Є Gl+2gl,

О, x Gl ,

-^=, x Є Gl-+ gl,

, x Є Gl-+2gl ■

Тогда функции

H0 (x) = 1, 3 2 ^i (An(x^ q))lGn + q (x) 3 2 ^2(An(x^ q))XGn +q (x)

образуют ОНС на G. Когда G есть группа всех p-адических чисел и p = 3, эта система была построена в [4].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента по поддержке ведущих научных школ (проект НШ-2970.2008.1).

Библиографический список

1. Кашин С.Б., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: tion analysis and pseudo-differential operators // 2008.

АФЦ, 1999. http: // arxiv.org/ abs/ 0705.2294.

2. Козырев С.В. Теория всплесков как p-адический 4. Khrennikov A.Yu., Shelkovich V.M., Skopina M.

спектральный анализ // Изв. РАН. Сер. мат. 2002. p-Adic refinable function and MRA-based wavelets //

Т. 66, № 2. С. 149-159. 2008. http:// arxiv.org/ abs/ 0711.2820.

3. Shelkovich V., Skopina M. p-Adic Haar multiresolu- 5. Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты с компакт-

ными носителями на локально компактных абелевых группах // Изв. РАН. Сер. мат. 2005. Т. 69, вып. 3. С. 193-220.

6. Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты на прямых произведениях циклических групп // Мат. заметки. 2007. Т. 82, вып. 6. С. 934-952.

7. Benedetto J.J., Benedetto R.L. A wavelet theory for

УДК 517.535.4

О РАЗЛОЖЕНИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НА ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Р.Г. Письменный

Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт,

кафедра математики и методики ее преподавания E-mail: [email protected]

Статья содержит развитие известной теоремы И .Ф. Красичкова-Терновского о расщеплении на случай уточненного порядка. При этом охватывается ситуация с нулевым порядком. Доказательство осуществляется по той же схеме и основано на факториза-ционной теореме Адамара.

Ключевые слова: целая функция, конечный порядок, нулевой порядок, факторизационная теорема.

local fields and related groups // The J. of Geometric Analysis. 2004. V. 14, № 3. P. 423-456.

8. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: ЭЛМ, 1981.

9. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

Factoring of an Entire Function Into Two Equivalent Functions R.G. Pismennyi

The article contains the development of the known Krasichkov-Ternovskii’s theorem about fission on event of the proximate order. Herewith event of the zero order is covered. Proof is realized on the same scheme and is founded on Adamara’s theorem.

Key words: entire function, Unit order, order zero, factorization theorem.

1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Выберем неотрицательную функцию определённую на луче - > 0. Считаем, что она возрастает, дифференцируема в окрестности и

Нш = +го, Нш Д = р < +го. (1)

г—+го 1п - г—+го д(-)

Отметим, что из условий (1) вытекает, что функция р(-) = является уточнённым порядком, то

есть

lim p(t) — p< +го, lim tp/(t) ln t — 0- (2)

t——+ ^0 t——+ ^0

Действительно, Нш 1п д(-) = +го, значит, по известному правилу

г—+го

Цш р(() = Цш ^ = Нш ^ = р

г——+го г——+го 1п - г——+го /л(-)

и при этом

(()1п - = ^ ^ 0,

д(-) 1п -

если - ^ +го. При р > 0 верно и обратное, то есть для любого уточненного порядка р(-) ^ р функция д(-) = удовлетворяет соотношениям (1). Действительно, при р > 0 имеем

д(-) дч-)- .

------= -------> и —= -р (-) 1п- + р(-) ^ р при - ^ + ГО.

1п - 1п - д(-)

Таким образом, при р > 0 условия (1) и (2) эквивалентны.

© Р.Г. Письменный, 2GG9

19