CC BY
10
ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ
УДК 532.546
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОСЕСИММЕТРИЧНОИ ФИЛЬТРАЦИИ ВОДЫ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ ВОДОНАСЫЩЕННЫХ ГРУНТАХ
© 2014 г. А.Г. Баламирзоев, В.В. Иванов
Баламирзоев Абдул Гаджибалаевич - д-р техн. наук, профессор, Махачкалинский филиал Московского государственного автомобильно-дорожного университета. Тел. 928676-95-25.
Иванов Владимир Валерьевич - аспирант, Дагестанский государственный технический университет. Тел. 963-42973-19.
Balamirzoev Abdul Gadzhibalaevich - Doctor of Technical Sciences, Makhachkala branch of Moscow State Automobile and Road University. Ph. 928-676-95-25.
Ivanov Vladimir Valer 'evich - post-graduate student, Dagestan State Technical University. Ph. 963-429-73-19.
Дается аналитическое решение задачи осесимметричной фильтрации воды в деформируемых во-донасыщенных грунтах с ограниченной мощностью. Получено асимптотическое решение задач фильтрации в конечном и бесконечном грунтах.
Ключевые слова: фильтрация; водонасыщенный грунт; напор; сооружение; давление.
There is presented analytical solution of the problem of axis-symmetrical filtration in the deformed water-saturated grounds with a limited capacity. From the obtained solutions in relation to pressure function, there is followed, as the particular case, the known solution of the analogous problem for a non-limited ground.
Keywords: filtration; water saturated soil; drive; construction; pressure.
При действии на поверхность водонасыщенного деформируемого грунта местной нагрузки, равномерно распределенной по площади круга, фильтрация воды будет осесимметричной. Такая ситуация имеет место при строительстве сооружений на водонасы-щенных деформируемых грунтах, когда фундамент сооружения круглый (или близок к кругу). В настоящей работе исследуется проблема фильтрации воды в водонасыщенном деформируемом грунте с мощностью T < ж , когда на верхнее основание по площади круга с радиусом R действует местная равномерно распределенная нагрузка q = const, нижнее основание грунта (плоскость z = Т) водонепроницаемое (рисунок). Грунт считается однородным, скелет грунта - не обладающим структурной прочностью, а движущаяся в порах вода - несжимаемой.
q = const
т
т ±
V V
R
hi
z
нагрузка q прикладывается мгновенно. В момент приложения нагрузки она вся воспринимается водой (в силу ее несжимаемости), в области движения (бесконечная полоса шириной T (рисунок)) в поровой воде мгновенно устанавливается поле действующего напора (давления), и тут же начинается неустановившаяся фильтрация вследствие движения воды из-за разности значений напора в области движения и на ее границах. Таким образом, задача фильтрации заключается в определении напорной функции в любой точке области движения в любой момент времени. При решении вопросов, связанных с устойчивостью надфунда-ментных конструкций, необходимо знание величин неравномерной осадки грунта. Ниже помимо напорной функции Н = Н(г, 2, Г) определяется также неравномерная осадка грунта как следствие фильтрационной задачи [1, 2].
Поставленная выше задача осесимметричной фильтрации заключается в решении уравнения
дИ
~дГ
f д 2 И
д 2 ИЛ
i дИ
2 2
дг2 r дг dz2
(i)
у у у '/ у у у у у у у у у у у у
Осевое сечение области движения
Под фундаментом сооружения имеется песчаная подушка небольшой толщины для выхода и отвода фильтрующейся воды. Предполагается, что внешняя
где с - коэффициент консолидации, с начальным условием
И (r, z,0) = h (r, z) (2)
и граничными условиями
дИ
И 0 = о,
\z=0 '
да
lr =0 '
z=T
lim И = 0 . (3)
r ^ад
r
= c
Аналогичная задача уплотнения водонасыщенно-го грунта для полубесконечной области z е (0, да),
T = да , ранее была рассмотрена Н.Н. Веригиным [3]. Начальное условие (2), представляющее мгновенное начальное распределение напора в силу несжимаемости поровой воды, определяется как решение уравнения Лапласа (стационарная задача)
d 2h 1 dh d 2h л —^ +--+ —г- = 0
дг2 r дг dz2
(4)
с условиями:
дН ~dz
\z=0 (0<r <R)
= ho = q;
z=0 = 0;
(r >R)
= 0 hlr
< да,
h\ = 0.
I r=да
z=T
h =
íhj,0 < r < R, jh2, r > R.
h, = h0, h, < да,—1
1 lz=0 0' 1 lr=0 ' dz
= 0;
z=T
= h
dh
1 Ir=R 2 lr=R' dr
dh
r =R
dr
, h2 0 = 0;
2 z=0
(5)
r=R
dz
= 0, h2 = 0.
¿ I r=да
z=T
Общие решения уравнений (7) (уравнения Бесселя) с условиями (8) имеют вид
h =
h1n -
1 -(-1)"
+ 0|^|r 1 + C2„^01 §r|;
, , n" | ( n"
h2" = C3n70| 2Tr 1 + C4nK0 I 2Tr
(9)
Для решения задачи разобьем область движения г е [0, да) на две:
где 10 ] и К0 J - модифицированные
функции Бесселя нулевого порядка соответственно первого и второго родов.
С помощью первого и последнего из условий (8) находим, что в (9)
^ = Сз„ = 0, а с помощью остальных условий из (8) получаем:
С1" = h0 T R
С4п = h0 TR
(-1)" -1 "1 -(-1)"
+Kml^^R I;
+ ^R
Функции hj (r, z) и h2 (r, z) удовлетворяют уравнению Лапласа (4) и условиям:
dh
[ %П | [ %П |
где 11п I —к I и к1п I - модафщированные
функции Бесселя первого порядка соответственно первого и второго родов.
И тогда решение задачи (7), (8) получим в виде:
2h
h1n =-
1 -(-1)"
hR
1 -(-1)"
xKm |^R|/0 l^rl, (0 < r < R);
2T
n"
2T
С помощью интегрального преобразования
1 2T . n"
h" =— I h sin—zdz,
Irl ГТ1 J Í А ГТ1 y
T
2T
где h =
íh1,0 < r < R, íh9, r > R.
Из (4), (5) получим систему уравнений:
d h" + 1 dh,
dr2
r dr
2h
h1"
1 -(-1)"
+ 1 dh2" (ni12 h2" = 0,
dr2 r dr 12TI 2" '
которые связаны условиями:
hJ„L=o hJ«l =Д = h2n Г=д ,
dh
1"
dr
dh
2"
r =R
dr
h2"\r = да = 0.
r=R
(6)
= 0;
(7)
(8)
h„ =
h^R
T
1 -(-1)"/11 ^"R |K |^r|, (r >R).
2T
n"
2T
Обратное относительно (6) преобразование дает решение стационарной задачи:
да пп Ь =Е Ьт sш—z, (/ = 1,2);
п=1 21
2h0 R
h (r, z) = h0 Ф1 (r, z);
T
2h0R
(10)
h2 (r, z ) = Ф 2 ( r, z )
T
где
, s „ ^ I 2" + 1 nw 2" + 1 2" + 1 Ф1 (r,z) = X K1 _ nR |/0 | __ nr |sin|-nz
"=0
2T J V 2T (0 < r < R);
Ф2 (r, z )=Z /1
2" +1
nR | K
0
2" + 1
"=0 V 2T J V 2T
(r > R).
nr | sin
2T
2" + 1
-n
2T
x
2
На оси ( r = О)
имеем
uta \ и 2^R » Г2n + i V Г2n + i
h (О,z )=hn t^ s Ki Г^ Jsin h^
Таким образом, в момент приложения внешней круговой нагрузки в области движения воды имеется первоначальное распределение напоров (начальное условие) в виде функций (10). Для нахождения решения основной задачи (1) - (3) применим к ней интегральное преобразование
Hm (r^)= hm (r) = *
2h
nm
i—(—i)"
hjR,
T '
^ ( nm L (nm )
l mJ í О Г U" J,
(О < r < R ) ;
M J í1 (m 1 кО fe- '
T m=i 112T J О 12T y
К r > R ).
Hm (r, t )= T el 2T J * 2JH (r, z, t) sin nmzdz , (ii)
и, как известно, тогда
Н (г, 2, 0=£ ^2Т ^ Нт (г, t) еш^ . (12)
т=1 2Т
После преобразования (11) приходим к следующей задаче относительно искомой функции Нт (г, t):
H дt
Гд2 Hm + 1 М„Л дr 2 r дr j
Hm\ < œ, Hm = О,
m Ir=О m lr=œ
Íhim , О < r < R,
(i3)
(i4)
Hm (r^)= hmm = Приводим окончательное решение задачи (i3)
lh2m , r > R.
(i4):
— Г re
4ct T Ь
H ( r, t)— e 4ct fehm (e) e e-I dz
2ct
2ct
и согласно (12) находим окончательное решение основной задачи осесимметричной фильтрации в деформируемой водонасыщенной и ограниченной по мощности среде:
Í
i —¿_œ
H (r, z, t)=-e 4ct f
У ' 2ct {
Л
XZ e 1 2T J hm (e) sin ^ m=1 2T
dz.
(15)
В решении (15) функция hm (r ) определяется согласно (1О) по формуле
i 2T nm
hm (r )=~ f h ( ^ z ) sin~ zdz,
T
2T
Решение аналогичной задачи неустановившейся фильтрации при действии внешней постоянной нагрузки по площади круга с радиусом R на поверхности полубесконечной области можно получить из (15) как предельный случай, когда T ^ ж . Решения стационарной задачи (10) о начальном распределении напора при мгновенном приложении местной нагрузки на границе полубесконечной области (при T ^ ж) имеют вид
2h R ж
h = h0--J K (PR) I0 (pr) sin pzdp,
h ( r, z ) =
( О < r < R ) ;
2 h R »
h2 =f íi (ßR ) к О (ßr ) sin ßzdß,
I (r > R).
При этом на оси ( r = О)
2 h R »
h1 = hn--f K1 (ßR ) sin ßzd ß =
n n
= h — hnz
Vr2+z2
=h
i —
Vr2+z2
Учитывая равенство
i—
Vr2+z2
= f J1 ( Rß) e~ßzdß,
находима, что для функции а1 (2,0) верно интегральное представление
ад
аг (г,0) = а0R | J1 (RP) ер,
о
где J1 - функция Бесселя первого порядка первого рода.
Из решения основной задачи (15) при Т ^ ад получаем следующее решение для полубесконечной области:
которая после некоторых преобразований принимает вид
h -
H (r, z, t) = e 4ct J 2ct
erf
2yfct
F—
2
2
c
2
2
r
œ
z
z
2
2
2
2
z
R дада l rt , .
— \\%e 4ctKj (|R) Io Io sin vzdvdl%) ,(16)
Л П П V 2ct у
(0 < r < R)
ho R
ct-
H(r,z,t) = ^e 4ct № ^*4ctIi (|R)Io [Г; :K0 (|t)sin |zd|dt (r > R) ,
да -|2cti- [ r£ Л 2 I ,2
F = Jte 4ctIo I—M dt, erfu = —== J dX . o o 12ct) Ъ * ^ o
При выводе решений (16) учтено, что при T ^ да
М-(-1)"
=1 m
2T ) „
да e-| ct
Jltn с с
sin—z ^ 2 J-sin |zd| =
2T
o I
= erf
2y[ct
xE
h2 (r, z ) = ho R X
, . 2n+1 Л
I I -TCR | 2n+1 „ ,
11 2T ) -^т™ , 2n +1
2T
n=o \2n +1 2T
sin-tcz.
2T
(17)
лг
При T ^ да (случай бесконечного грунта) имеем
да e-ßr
h2 (r, z) = —hoR J Io (ßR Wsinßzdß . (18)
nR
Vß
Для асимптотических представлений решений осесимметричной задачи фильтрации воспользуемся следующими известными асимптотическими выражениями функций Бесселя для больших значений аргумента г:
д. и^,
Тогда решение (10) относительно функции
И2 (г, z) (г > ^) будет
Подставляя (17) и (18) соответственно в формулы (15) и (16), получим асимптотические решения задач фильтрации в конечном и бесконечном грунтах.
Литература
1. Баламирзоев А.Г. Особенности нестационарной фильтрации в трещиноватой породе // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Приложение № 2. 2005. С. 70 - 72.
2. Барсегян Р.М., Геворгян А.С. Аналитическое решение задачи фильтрации при устройстве водохранилища на двухслойном деформируемом основании // Вестн. НовГУ. Естеств. и техн. науки. 1997. № 5. С. 52 - 56.
3. Веригин Н.Н. Консолидация водонасыщенного грунта при действии внешней нагрузки, нормальной к границе полупространства // Сб. докл. к VI Междунар. конгр. по механике грунтов и фундаментостроению. М., 1965. С. 41 - 46.
Поступила в редакцию
3 марта 2014 г.
e
и
2
2
x
e
z
