О решении методом регуляризации А. Н. Тихонова одной обратной задачи физики твердого тела и оценка погрешности этого метода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительная математика -

УДК 517.968.21 Б01: 10.14529/ст8е160104

О РЕШЕНИИ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

A.Н, ТИХОНОВА ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ЭТОГО МЕТОДА

B.П. Танана, А.И. Сидикова

Рассматривается одномерное интегральное уравнение Фредгольма I рода с замкнутым ядром, имеющее единственное в пространстве И'^1 [а, 6] решение. Дли решения данного уравнении используется метод регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка. Этот метод позволяет свести данное уравнение к вариационной задаче, решая которую приходим к интегро-дифференциальному уравнению второго порядка. Для решения этого уравнения использован метод конечно разностной аппроксимации, который позволяет свести исходную задачу к системе алгебраических уравнений.

В работе приведена оценка погрешности, предложенного алгоритма, которая учитывает погрешность конечно разностной аппроксимации уравнения и позволяет увязать ее с параметром регуляризации и погрешностью исходных данных.

Этот алгоритм использован для решения задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости.

Ключевые слова: регуляризация, метод невязки, модуль непрерывности, оценка погрешности, некорректная задача.

ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ

Танана В.П., Сидикова А.И. О решении методом регуляризации А.Н. Тихонова одной обратной задачи физики твердого тела и оценка погрешности этого метода //' Вестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная математика и информатика. 2016. Т. 5, № 1. С. 35-46. БОГ 10.14529/ст8е 160104.

Введение

Многочисленные практически важные задачи приводят к некорректно поставленным задачам, как, например, уравнениям Фредгольма первого рода. При численном решении некорректных задач возникает проблема дискретизации исходной задачи, то есть замены непрерывной математической модели некоторым ее конечномерным аналогом. Наиболее употребительным способом дискретизации является коиечноразностный. при котором нахождение приближенного решения обычно сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

В данной работе рассмотрен метод регуляризации А.Н. Тихонова [1] для решения одной обратной задачи физики твердого тела [2|. Используемый к работе коиечноразностный вариант метода регуляризации при решении данной задачи подробно описан в работе [3], но в ней отсутствует обоснование данного алгоритма. В частности, нет увязки параметров дискретизации с исходными данными задачи, а также значение параметра регуляризации никак не зависит от погрешности дискретизации. В |3| отсутствует оценка погрешности предложенного алгоритма.

В данной работе даны ответы па все указанные вопросы. Для этой цели использована теория, развитая в работе |4] для интегральных уравнений Фредгольма первого рода. На ее основе получена оценка погрешности в интегральном операторе, вызванная его дис-

кретизацией. Значение параметра а, определенного из принципа невязки [5], в методе регуляризации увязано не только с погрешностью исходных данных, но и с погрешностью дискретизации.

Использование данного подхода проиллюстрировало на примере задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости. Исследование возможности выявления тонкой структуры, в первую очередь, количества, положения и величины пиков функции и разработка для этого эффективных, т.е. требующих минимальной априорной информации и оптимальных по точности методов решения некорректно поставленных задач, имеет важное теоретическое и практическое значение, не ограничивающееся рамками рассматриваемой обратной задачи.

В разделе I рассматривается одномерное интегральное уравнение Фредгольма I рода с замкнутым ядром, имеющее единственное в пространстве [я, 6] решение. В разделе 2,3 исследован регуляризутощий алгоритм приближенного решения интегрального уравнения первого рода, включающий конечномерную аппроксимацию исходной задачи. Получена оценка погрешности этого алгоритма, использующего дискретизацию интегрального уравнения первого рода по двум переменным. В разделе 4 данный подход проиллюстрирован на примере задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости.

1. Постановка задачи

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода

где Р(М) € С([а, Ь] х [с, d)), d— может быть ею, /(f) € L-2[c, d) и ядро P(s,t) оператора А замкнуто.

Предположим, что при f(t) ¡= fQ(t) существует точное решение «о(з) уравнения (1), которое принадлежит множеству Мг, где

а 1/(5)— производная «(з) по з.

Из замкнутости ядра Р(з,£) следует единственность решения ио(з) уравнения (1). Пусть точное значение /о(£) нам неизвестно, а вместо пего дапы € Ьо [с, d) и 6 > О такие, что

Требуется по и Мг определить приближенное решение щ(з) и оцепить его

уклонение от точного решения ^(5) в метрике пространства ¿2[а, 6].

Сделаем некоторые преобразования уравнения (1). Для этого введем оператор В, отображающий пространство Ь2[а,Ь] в ¿а[а,6], формулой

(1)

(3)

Оператор С зададим следующим образом:

Cv(s) = ABv(s); v(s) е L2[a,b\,Cv(s) € ¿2[c,d).

(4)

Из (3) и (4) следует, что

Сф) - [ (5)

'а

= £ (6)

Дчя численного решения уравнения (1) аппроксимируем Оператор С конечномерным оператором Сп.

Для определения оператора Сп разобьем отрезок [а, Ь) на п равных частей и введем функции К^Ь) и Кп($, £) формулами

= К(зиг), (7)

Бг+ Зг+1 (?: + 1)(£> - а) г{Ь - и)

где 6'г =--, вг+1 = а 4--, в* = а +-, г = 0,1, ...,п - 1, и

2 п п

кп(в,£) = К^ьу, 81<8<8г+1, t€[c,d), г = 0,1, ...,п - 1. (8)

Используя (8), определим конечномерный оператор Сп формулой

Cnv(s) = / Kn(s,t)v(s)ds: t 6 [с, ci), J а

(9)

где Сп отображает пространство ¿а[а,Л] в Li[c,d). Теперь оценим величину ||С„ — С||. Для этого введем функцию N(t) формулой

N(t) = max |P(s,i)|, t € [с,ci). (10)

а< s<b

Так как P(s,t) G C([a,i>] x [с,d)), то из (10) следует, что

N(t) € C[c,d).

Д011олпител ыго предположим, что

N(t) € L2[c,d).

Используя функцию N(t), определенную (10), перейдем к оценке ||С„ — С||.

Лемма 1. Пусть h —--, а операторы С и Сп Определены формулами (5) и (9). Тогда

п

справедлива оценка

Доказательство. Так как из (5) и (9) следует, что

Cv(s) - Cnv{s) = j (I<(s,t) ~ Kn(s,t))v{s)ds, __i»__

2016, т. 5, № X 37

\\cn-cf <зирЦ ^ \кп{8,г)-|Ф)|Л»

то, учитывая (7), (8), (10) и то, что

(И : |М| < 1

I \кп(з,г) - к(з,г)\ |*>(в)|&</" \к(в,г) - \о(в)\й8 < н • [ №(*)№«>

• 'а а а

\\Сп-С\\2<1? Г [" Ш\<1з

с 1_-/а

ГЬ

Из того, что ||г|(5)|| < 1, а / < у/Ь — «||г;(в)||, учитывая (11), получим

■) а

Тем самым лемма доказана. □

В дальнейшем величину ку/Ь — будем обозначать через г)п.

2. Метод невязки

Введем конечномерное подпространство Хп пространства Ь?[а, Ь]* состоящее из функций, постоянных на промежутках [в», «¿+1), г — 0,1. 2,..., п — 1.

Через Уп обозначим подпространство пространства Ьо[с, (I), определяемое формулой

Уп — СпХп.

Через (I) обозначим функцию пространства Уп, определяемую формулой

где рг(/,5 ; У„) метрическая проекция в пространстве Ь2[с, (I) функции на Уп.

Для решения уравнения (1) воспользуемся конечномерным вариантом метода регуляризации А.Н. Тихонова 111

(П)

Ы^\\Спу(8) -/?(г)\\2 + а£у2(з)(1з : |)(в)€Х»|, а > 0.

(12)

Известно, что задача (12) имеет единственное решение -у^(з). Значение параметра регуляризации а в решение V? (з) задачи (12) выберем из принципа невязки [5] .

Известно, что при условии

\шт>гг)п+&

существует единственное решение «(¿,п) уравнения (13).

(13)

Если решение (з) задачи (12), (13) обозначим через У5п(.з), то приближенное ре-

шение и,уп (5) уравнения (1) будет иметь вид

идп(я) = Въ^ё).

Для сведения задачи (12) к системе линейных алгебраических уравнений, в пространстве Хп введем ортонормированный базис } формулой

¥>¿00 =

п

вг < 5 <

Ь — а'

О ; $£[$1,81+1), г = 0,1,..., п - 1.

Используя этот базис, определим изометричный оператор ,/,., отображающий П" на Хп, формулой

га—I

ЛИ О3) = ^^¿^¿(й), X - (жо,ЖЬ...,Х„_1).

(14)

г=0

Используя оператор Зх для замены переменных в задаче (12), сведем ее к следующей

где ,}х оператор, обратный оператору .1Х.

Задача (15) эквивалентна системе линейных ал гебра и ч ее к их уравнений

га-1

Н^^ЬцУг + аУ) — qj] 3 = 0,1,...,п— 1, г=0

где ьц = яз = у/и [1К]{г)!Ш

Л с

Теорема 1. Пусть ^(й) и (и?) решение задач (12) и (16) соответственно. Тогда эти решения связаны соотношением

п-1 г=0

(15)

(16)

(17)

Доказательство этой теоремы приведено в |4|.

Решение системы (1С) обозначим через V01 — (и^, и",..., ).

Для выбора параметра регуляризации уравнение (13) сведем к следующему

г лЬг /

и* I (=0

тк - гт

<к\ = гцп + 8.

(18)

Решение уравнения (18) обозначим через а(5, п). Тогда решение задачи (16), (18) обозначим через г?"^'").

Теорема 2. Пусть оператор Зх определен формулой (14), 1>£п(з} — решение задачи (12), (13), а Т?1^'11)— решение системы (1С), (18). Тогда эти решения связаны соотношением

Убп(з) =

Методика доказательства этой теоремы приведена в [4]. 3. Оценка погрешности приближенного решения u$n(s)

Для оценки погрешности введем функцию

ш(т,г) = sup{||i/(s)|| : u(s)=Bv(s), |Ks)|| < г, |¡Aíí(s)|| < т}, r.r > 0. Из теоремы, сформулированной в [б], следует

Теорема 3. Пусть U5n(s) приближенное решение уравнения (1), a «o(s) — его точное решение. Тогда

||t»fa(e) -«o(s)ll < 2ш(гт}п + 6,г). (19)

4. Численное решение задачи определения фононного спектра кристалла

Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры, описывается интегральным уравнением первого рода

гь

Au(s) — í P(s,t)u(s)ds = —; О Ja ^

< í < ос, b > а > 0, (20)

s'¿ f(t) где P(s,t) — --,—r-, u(s) G L'2\a.b], - € Lafü.oo), — спектральная

I)'

плотность кристалла, а f(t) — его теплоемкость, зависящая от температуры [2].

Предположим, что при /(¿) — /о(() существует точное решение уравнения (20), которое принадлежит множеству где

Мг -

Ííí(s) : u(s)1u'(s) € £з[о,&], «(а) = 0, J [ïi'(s)]2ds < г2|,

г известное число, и'(з) — производная от функции и(.з) по з.

Пусть точное значение /о(£) нам неизвестно, а вместо него даны и й > 0 такие, что

/¿(г) т)

t t

< s.

L,

Требуется по /¿(i), 6 и Mr определить приближенное решение щ(я) и оценить его уклонение от точного решения и.о (а) в метрике пространства ¿2[«, Ь].

Заметим, что единственность решения уравнения (20) доказана в |7J. Введем оператор В, отображающий пространство L2[a, {>] в ¿¿[о. Ь], формулой

u(«) = Bv(«) = f v(£)d£, v{s), Bv(s) € L2[a,b]

__¿a__

40 Вестник ЮУрГУ. Серия «Вычислительная математика и информатика»

и оператор С

Cv(s) = ABv(s); v{s) € L^[a,b),Cv{s) € La[0,oo). Из (3) и (6) следует, что

Су(з)= [ К(а,ф(в)а», где К(з,г)=

•I а ■/Ь

Теперь, для замены оператора С конечномерным оператором Сп, воспользуемся конструкцией, описанной формулами (7)-(9). Тогда

гЬ

СпУ{8) = / Кп($,Ь)У(8)с18; [0, оо),

■ 'а

где Л'п(5, Ь) определена формулой (8) и Сп отображает пространство £2 [а, 6] в ¿^[О.оо). После этого перейдем к оценке погрешности дискретизации, то есть оценим величину

ЦСп-СЦ.

Из леммы 1 следует, что

\\Сп-С\\<у/Ь^а\тть,к, (21)

где 1г = -——, а N(t), следуя (10), определяется формулой п

N(t)= max |P(s,i)|, f€[0,oo). (22)

a<s<b

Из (20) и (22) следует, что

N(t) <-j-т-, (23)

»й-(¿5

Таким образом, из (23) следует, что при Ь —> оо

4i6sh I — 2t

b Vi

VW t2"

а при t —> 0

b4

4i® sh'1 f — 2t

Из (24) и (25) следует, что

b2

2f3sh2( — 2t

2t J

a, следовательно, и N(t) 6 ¿2(0,00).

(24)

0. (25)

e ¿2[0:oo), (26)

Из (21), (23) и (26) следует, что

\\Сп-С\\<у/Ъ=Ь-

I

СЙ

0 (68Ь4(-

к = щ.

(27)

Для решения уравнения (20) используем конечномерный вариант метода регуляризации А.Н. Тихонова 11|

(28)

+ а^[о(в)]2Лв : о > 0.

Обозначим через функцию пространства Уп, определяемую формулой

ЖО-Р^М; 1

V о И 1

где Уп определено в разделе 2, а рг ( —-—; Уп 1— метрическая проекция функции —-— на

Известно, что задача (28) имеет единственное решение Значение параметра ре-

гуляризации а в решении (а) выберем из принципа невязки [5]

СпУШ-Гб^)

= 8 + гцп.

(29)

При условии

\\гт\^>гЧп+5

уравнение (29) имеет единственное решение а(6, п).

У$п

Если решение Ух^'п\з) задачи (28), (29) обозначим через (й), то приближенное ре-

шение ^„(й) уравнения (20) имеет вид

^(з) = Ви$п(з).

Для сведения задачи (27) к системе линейных алгебраических уравнений воспользуемся изометричным оператором отображающим Яп на Хп формулой

п-1

1=0

где {^¿(я)} — ортонормироваппый базис пространства Хп, введенный в разделе 2. Используя оператор ./.,., сведем задачу (27) к следующей

где оператор, обратный оператору

Задача (30) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений (16)

(30)

п-1

ь ЪцШ + avj = у, 3 = 0,1.....п - 1.

(31)

г—О

г со roo

где bij = / ЗВДЗЗДА, a qj = Vh / K3(t)f^{t)dt. Jo Jo

Решение системы (31) обозначим через (vf), а следуя теореме 1. решение задач (27) и

(31) связаны соотношением

п-1

г=0

Для выбора параметра а в решение системы (31) используем уравнение (29), которое в дискретном варианте перейдет в уравнение (18)

е roa г 1

/ VhY,Ki(t)vf - f№

Wo L í=0

dt ^ = rr¡n + S.

Решение системы уравнений (31) и (18) обозначим через

Из теоремы 2 будет следовать, что решение задачи (27). (29) имеет вид

шп(Й) - тгЩод.

Используя формулу (20), получим приближенное решение уравнения (17)

Щп(з) = ВУ5п(з).

Из соотношения (19) следует оценка уклонения приближенного решения «¿„(.ч) уравнения (27) от его точного решения «о(«) в метрике пространства ¿2[о, 6]

||«S„(s) -Uo(s)|| < 2b>(rr¡n + S,r).

(32)

В работе |8| доказано, что для уравнения (27) на множестве Мг, определенном формулой (2), для модуля непрерывности и)(&,г) справедлива оценка

1+ -ТГ

7г \4а)

Си'((Г, г) < Г

Из (32) и (33) получим окончательную оценку

1

(33)

I|uá„(s) - «o(s)|| < 2г

1 + - hr я

4 (гт]п + ó)

Заключение

Фундаментальная научная проблема связана с обоснованием новых численных методов. При численном решении обратных задач одним из важнейших показателей используемого метода является его точность и, как следствие, наилучшая информативность приближенного решения. С возрастанием объема экспериментальной информации и улучшением ее качества (повышением точности наблюдений) для интерпретации эксперимента необходимо применять новые более полные математические модели и решать обратные задачи в рамках этих моделей новыми методами. Работа направлена на решение фундаментальной проблемы, связанной с исследованием точности этих методов, применимых для решения обратных задач математической физики в новых постановках, а также на разработку новых оптимальных и оптимальных по порядку методов и их программную реализацию.

В данной работе усилены результаты работы |8| за счет учета погрешности дискретизации интегрального уравнения. Показано, что для применения численных методов не требуется значительных преобразований физической модели. Это позволяет учитывать априорную информацию при решении задачи. Разработанный метод использован для численного решения одной обратной задачи физики твердого тела. Главная трудность этих задач заключается в том, что они, с одной стороны, являются некорректными, а с другой — имеют решение сложного вида.

Литература

1. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

2. Лифпгиц И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости / / Ж урн. эксперимент, и теор. физики. 1959. Т. 26, № 5. С. 551-556.

3. Иверонова В.И., Тихонов А.Н.. Заикин П.Н., Звягина А.П. Определение фононного спектра кристаллов по теплоемкости // Физика твердого тела. 1966. Т. 8, JVa 12. С. 3459-3462.

4. Танана В.П., Сидикова А.И. Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном принципе невязки, при решении интегральных уравнений // Журн. вычисл. методы и програм. 2015. Т. 16, № 1. С. 1-9.

5. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1966. Т. 6, № 1. С. 170-175.

С. Иванов В.К., Корешок Т.Н. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9, JVS 1. С. 30-41.

7. Танана В.П., Бояршинов В.В. О единственности решения обратной задачи определения фононных спектров кристалла // Деп. в ВИНИТИ. 1987. № 892-В87.

8. Танана В.П., Ерыгина A.A. Оценка погрешности метода регуляризации А.Н. Тихонова при решении одной обратной задачи физики твердого тела // Сиб. журн. индустр. матем. 2014. Т. 17, № 2. С. 125-136.

Танана Виталий Павлович, д.ф.-м.н., зав. кафедрой вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), [email protected]

Сидикова Анна Ивановна, к.ф.-м.н., доцент кафедры вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), [email protected]

Поступила в редакцию 10 сентября 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Computational Mathematics and Software Engineering"

2016, vol. 5, no. 1, pp. 35-46

DOI: 10.14529/cnisel60104

ON SOLUTION OF SOLID STATE PHYSICS INVERSE PROBLEM BY MEANS OF A. N. TIKHONOV'S REGULARIZATION METHOD AND ESTIMATION OF THE ERROR OF THIS METHOD

V.P. Tanana, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation A.I. Sidikova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation

The paper considers one-dimensional Fredholm integral equation of the first kind with a closed core. It is known that the equation has a unique solution in the space [a, b\. We use Tikhonov's regularization method of the first-order to solve the equation. The method allows us to reduce the equation to a variational problem. Solving the variational problem we got integro-diflerential equation of second order. We apply the finite-difference approximation method to reduce the original problem to a system of algebraic equations, regularization parameter.

We obtain an error estimate for the proposed algorithm taking into account the error of finite-difference approximation and state the relation between the approximation with the error and the regular izat ion parameter and the error of the initial data.

This algorithm is used to solve the problem of determining the phonon spectrum of the crystal given its heat capacity.

Keywords: regularization, the method of residuals, the modulus of continuity, error estimation, ill-posed problem.

FOR CITATION

Tanana V.P., Sidikova A.I. On Solution of Solid State Physics Inverse Problem by Means of A. N. Tikhonov's Regularization Method and Estimation of the Error of this Method. Bulletin of the South Ural State University. Series: Computational Mathematics and Software Engineering. 201G. vol. 5, no. 1. pp. 35-46. (in Russian) DOI: 10.14529./cmsel60104.

References

1. Tihonov A.N. O reshenii nekorektno postavlenykh zadach i metode regulyarizacii [Solution of Incorrectly Formulated Problems and the Regularized Method], Doklady Akadernii Nauk SSSR [Doklady Mathematics]. 1963. vol. 151. no. 3. pp. 501-504. (in Russian)

2. Lifshis I.M. Ob opredelenii energeticheskogo spectra boze-sistemy po teployomkosti [On determining the energy spectrum of the Bose system in her heatj. Gumal eksperimental'not i teoreticheskoi fiziki |.lournal of Experimental and Theoretical Physics], 1959. vol. 26, no. 5. pp. 551-556. (in Russian)

3. Iveronova V.I., Tihonov A. N., Zaikin P.N., Zvyagina A.P. Opredelenie fononnogo spectra kristallov po teploymkosti [The determination of the phonon spectrum of crystals on the heat capacity|. Fizika tverdogo tela |Physics of the Solid State), 1966, vol, 8, no. 12. pp. 3459-3402. (in Russian)

4. Тал ana VP., Sidikova A.I. Ob ocenke pogreshnosty regulyarizuyshego algoritma, osnovannogo na obobshennom principe nevyazki, pri reshenii integral'nyh uravnenii [An Error Estimate of a Regularizing Algorithm Bazed of the Generalized Residual Principle when Solving Integral Equations]. Jurnal vychislitel'nye metody i progrnmmirovanie [Numerical Methods and Programming], 2015. vol. 16, no. 1. pp. 1-9. (in Russian)

5. Morozov V.A. О regulyarizacii nekorrectno postavlennyh zadach i vybore paramétra regulyarizacii [On the régularisation of ill-posed problems and the choice of the regularization parameter]. Jurnal vychisiitel'noi matematiki i matematicheskoy fiziki [USSR. Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 1966. vol. 6, no. 1. pp. 170-175. (in Russian)

6. Ivanov V. K.. Korolyuk T.I. Ob ocenke pogreshnosty pri reshenii lineinyh nekorrectno postavlennyh zadach [Error Estimates for Solutions of Incorrectly Posed Linear Problems]. Jurnal vychisiitel'noiI matematiki г matematicheskoy fiziki [USSR. Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 1969. vol. 9, no. 1. pp. 30-41. (in Russian)

7. Tanana V.P., Boyarshinov V.V. |On the uniqueness of the solution of the inverse problem of determining the phonon spectra of the crystal], Deponirovano v VINITI [Deposited in VINITI]. 1987. no. 892-V87. (in Russian)

8. Tanana V.P., Erygina A.A. Ocenka pogreshnosty rnetoda regulyarizacii A.N. Tikhonova pri reshenii odnoi obratnoi zadachi fiziki tverdogo tela [An error estimate for the regularization method of A.N. Tikhonov for solving an inverse problem of solid state physics], Sibirskii jurnal mdustrial'noi matematiki [Journal of Applied and Industrial Mathematics], 2014. vol. 17, no. 2. pp. 125-136. (in Russian)

Received September 10, 2015.