CC BY
11ISSN 0868-5886
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 2, с. 27-32 ФИЗИКА И ХИМИЯ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ — -
удк 534.131.2 © Б. П. Шарфарец
О РЕШЕНИИ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ТЕРМОУПРУГОЙ ТРУБКЕ С ПОМОЩЬЮ НЕСВЯЗАННЫХ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА
Получены несвязанные уравнения типа Кирхгофа, позволяющие решать связанные линеаризованные уравнения термоупругости для твердых тел и связанные уравнения системы Навье—Стокса для вязкой тепло-проводящей жидкости как в стационарном, так и в нестационарном случаях. Уравнения записаны для скалярных потенциалов смещения твердого тела и скорости в жидкости, а также для полей температуры в твердом теле и жидкости. Полученные уравнения предоставляют дополнительные возможности для расчетов указанных полей в упругих областях, контактирующих с жидкостью.
Кл. сл.: вязкая теплопроводная сжимаемая жидкость, термоупругость, уравнение Кирхгофа, связанные уравнения
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] описана математическая модель, позволяющая рассчитывать стационарные температурные поля и поля упругих колебаний в термоупругой трубке и вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости при условии связанности упругих и тепловых процессов. При решении задачи о движении жидкости в трубке использовалась система связанных уравнений Навье—Стокса и теплопереноса. И если в случае, когда жидкость занимает неограниченное пространство, решение связанной системы уравнений получается достаточно просто [2, 3], то в случае, описанном, например, в [1], аналитическое решение такой системы становится крайне проблематичным в силу существенного различия краевых задач для упругих и температурных компонентов поля. Отметим, что в [2, 3] упругие и температурные компоненты поля описывались через единые собственные функции оператора Лапласа. В рассматриваемой в [1] постановке задачи такой подход несправедлив в силу связанности продольных и поперечных компонент упругих полей (на границах сред происходит взаимная трансформация продольных волн в поперечные и обратно).
Существует, однако, возможность перехода от системы связанных уравнений второго порядка для потенциальных составляющих поля и температуры в упругой трубке и в жидкости к одному уравнению — т. н. уравнению Кирхгофа [2]. Это уравнение относительно либо температуры, либо скалярного потенциала скорости жидкости (деформации упругого твердого тела). Уравнение
Кирхгофа уже является уравнением четвертого порядка (в полном согласии с принципом сохранения трудностей).
Представляет интерес получение системы несвязанных уравнений типа Кирхгофа в такой мультифизичной задаче, каковой является движение вязкой теплопроводной жидкости в термоупругой трубке.
ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Таким образом, необходимо получить уравнение Кирхгофа линеаризованной задачи для случая вязкой теплопроводной жидкости, находящейся в термоупругой трубке.
Напомним постановку краевой задачи о течении вязкой теплопроводной жидкости в термоупругой трубке [1].
Пусть в состоянии равновесия (покоя) жидкость характеризуется параметрами (используем индекс 0): v0, р0, р0, Т0 (соответственно скорость, давление, плотность, абсолютная температура). Возмущенное состояние будем характеризовать штрихованными добавками с порядком приближения, равным количеству штрихов, а именно: v = v 0 + v'+ v"+ ..., р = Р0 + Р '+ Р "+ ..., р = Р0 + +р'+ р"+..., Т = Т0 + Т'+.... Аналогично и для вводимых ниже параметров у = у0 + у'+..., а = = а0 + а'+..., ц = ц0 + ..., д = д0 + д'+... и т. д.
В работе [3] приведена стандартная линеаризованная система уравнений Навье—Стокса
-р- = ^-V-V 'I, (1)
дt У0 \ 0 дt '
Р0 = -Vp'+ ц Av'+I д + у IVV - V', (2)
р + р^. V' = 0.
дt 0
(3)
^0 д?
к0 д?
жидкости; а = ц
/ —у,. —у, 2 „ —у,
- + -
дх, 3
дх,
I )
РТ - = РТ д?
д* I -т 1 dT + 1-1 К—¥ )т dV . Тогда
( д* I дТ + (—4 —VI
К —ТI v )Т д? )
Учитывая соотношения [5, с. 185-187]
= -
/V /Т /V
предыдущее выражение в виде
rтlдs дТ ^а дV дТ 1 а др
р! — = р^ — + р!--= р^--Т---.
д? д? В д? д? р р д?
Здесь а = 1 I — термодинамический коэф-
фициент расширяемости; ¡3 = —1
Г дV^
др
тер-
В [1] приведено также линеаризованное уравнение теплопереноса, полученное изначально в [3],
ДТ >—. 1 дТ'_ а0Т0 дР '
v Г /т
модинамический коэффициент сжимаемости; ср , cV — удельные теплоемкости при постоянном
давлении и объеме соответственно.
Из линеаризованного уравнения неразрывности
(3) имеем = —р^- V'. С учетом этого послед-
д?
нее выражение в линеаризованном виде запишется
однако здесь представим его несколько в другом виде, следуя методике преобразования общего уравнения теплопереноса, приведенной в работе [2]. Линейная часть общего уравнения теплопере-носа [4, с. 272]
рТ + V -V* | = а' ^ + V - (К7Т)
в сжимаемой жидкости имеет вид
д*
р0Т0^7 = к0ДТ д?
т. к. все отброшенные члены носят порядок выше первого. Здесь * — энтропия единицы массы жидкости; к — коэффициент теплопроводности
д*
дТ' Т а
р0Т0 = р0с 0 +
д?
д?
V-V'.
В итоге уравнение теплопереноса в линейном приближении примет вид
ДТрсСю =_! Ъа V-v-.
к
- к0 30
С дУ1
дх
Это выражение совпадает с уравнением (2.148) работы [2]. Положив ^ = ср / у , а кроме того, исполь-
Та2
зуя выражение [2, с 87] ср — су = су (у — 1) = ——
Та ^ (у — 1)
и следующее из него равенство — = р —---,
3 а
перепишем последнее уравнение теплопереноса в виде
вязкий тензор напряжений; ц , д — соответственно коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; с0 — равновесная скорость звука в жидкости.
Представим энтропию * в переменных Т , V (здесь V — удельный объем, или объем единицы 1
р
дтаг = (^—1) V, V,.
1аУа д? ааУа1а
(4)
Это выражение уже совпадает с полученным иначе выражением (12) работы [3] с точностью до гармоничности процесса в указанной работе.
Для сокращения выкладок необходимо представить вектор колебательной скорости V' в виде суммы потенциалов
V' = V \ + V '? = gradФ + го№ .
(5)
| =[ —р 1 = а / В , запишем дV I К—Т 1
Здесь V \, V '? — продольная и поперечная составляющие колебательной скорости соответственно; Ф, ^ — ее скалярный и векторный потенциалы. Подставляя (5) в (1), (2), получаем:
др '_ с0р0 г — дф
и
д? у0 К д?
дVФ ( п I
р — = -Vp'+ noVДФ +1 ?0 + у IVДФ,
(6)
или
, i 4^0
р "аФ = " p + + if 1ДФ •
(7)
Уравнение (10) в гармоническом случае преобразуется к виду
AT'+ ia-^T' = (Го ~^ АФ .
Из выражения (7) следует полезное выражение для p'
p' = ic +^?о]АФ~Роа? • (8)
ХоГо аоГоХо
Из (12) находим
3
at
Дифференцируя (7) по t и подставляя в него зна-
ap'
чение —— из (6), получаем
at
ДФ = —ДФ — Т'. Дз
После подстановки этого выражения в предыдущее получаем
с +
со2 С з ) a
АФ +
AT'+ p2T' =
(1 ~ Го) Pi
Ф .
«оХоГо
(13)
a2ф c2 aT1
АФ__= « _ Здесь приняты обозначения:
at at2 уо о at
Го
/ро , где ^ —
Г 4л
Вводя обозначение Е = I д0 + —
совокупный коэффициент вязкости, перепишем последнее уравнение в виде
(
\
1 +
Со2 at)
АФ ~
a 2ф aT '
= ао-
о at
со2 at2
ATar:=(го~1) аф .
ХоГо at аоГоХо
a^
Ро — = ^о.
at
АФ + ДФ = ~
iaa,
T'.
P1 = Го®2/ (Со2Рз) ,
Р2 = 1®
: Рз + Г ~ 1
ХоГоРз
(9)
рз = 1 ~ 1аГо
Со +
4^о
РоСо
Наконец, подставляя в (4) выражение (5), получаем
(1о)
После применения операции rot к обеим частям (2) получаем стандартное уравнение для векторного потенциала в вязкой жидкости
Выражения (12), (13) представляют собой связанную систему уравнений относительно температуры Т' и скалярного потенциала Ф в гармоническом случае и совпадают с выражениями [3, (14, 15)]. Получим из них уравнения Кирхгофа для обеих переменных. Для скалярного потенциала Ф
(А + Р2 )(А + й) + fi^M
Рз аоХо
(11)
и для температуры
Выражения (9)-(11) полностью описывают в линейном приближении поведение вязкой теплопроводной жидкости. Причем связанными остаются выражения (9) и (10) для скалярного потенциала Ф и температуры Т'. Векторный потенциал ^ подчиняется автономному параболическому уравнению (11).
Далее получим уравнения Кирхгофа. Вначале рассмотрим более простой гармонический случай. Пусть имеет место гармонический процесс с фактором е~"м (далее фактор е~"м опущен и выписаны выражения для амплитуд соответствующих величин при сохранении обозначений). Выражения (9)-(11) преобразуются к виду
(А + р )(А + Р2) + (1 ~ Г) Р1
рз «оХоГо
Ф = о (14)
T' = о (15)
получаем в силу коммутации операторов (Д + Д ) и (Д + Д) совершенно идентичные уравнения
Кирхгофа для гармонического случая.
Для (11) в гармоническом случае получаем уравнение [1, 2]
(А + Кз2 ) Y = о,
К =
1 +1
(16)
(12)
Здесь 8у =у]2у0 /" — глубина проникновения
вязкой волны.
Для связанных уравнений термоупругости в упругой теплопроводящей трубке имеем [1, 6]
з
2
ДТ'+ + ©1 Т' = а©(£\)2 р, (17)
ДР + (£ \ )2 Р= Г. Т'.
4 + 2^1
(18)
Здесь введены обозначения: р, V — скалярный и векторный потенциалы смещения в трубке; 4, — упругие модули Ламе для трубки; р1 — ее плотность; Г = (34 + 2ц1)а1 — термомеханическая постоянная; а1 — коэффициент линейного терми-
к
к
новесная температура тела; (£ '1 )2 = Вводя обозначение
а
(4 + 2^1) / р1 '
¡4 = i®[д+0J , перепишем (17) в виде
ДТ'+ В4Т' = а©( £ \ )2 р.
(17а)
(д + (£ '1 )2 )(Д + ¡4)
—ш©( £ \)
+ , 2 Г
4 + 2^1
(Д + ¡4 )(д + ( £ '1 )2) —
Г
т - = 0,
(19)
а©( £ \ )
р = 0.
(20)
4 + 2^1
Для векторного потенциала V легко получить
[1]
(д + £ '32) V = 0, £ '32 =
а
а
к с?)
(21)
определяют оба потенциала колебательной скорости и температуру в жидкости, а (19)-(21) определяют оба потенциала смещения и температуру в твердом теле. К уравнениям (14)-(16), характеризующим поля в жидкости, необходимо добавить выражение, определяющее давление. Для этого преобразуем уравнение (8) применительно к гармоническому случаю:
р' = | $0 + 4Ц0|ДФ + i®РoФ .
(22)
ческого расширения; Л = — — коэффициент тем-
сЕ
пературопроводности; к1 — коэффициент теплопроводности трубки; се — удельная теплоемкость
ГТ
при постоянной деформации; © = —0 ; Т0 — рав-
При решении несвязанных уравнений (14)-(16), (22), а также (19)-(21) необходимо учитывать механические и тепловые краевые условия задачи, подробно описанные в [1].
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ВРЕМЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПРОЦЕССА
Исходными для дальнейших преобразований примем уравнения (9) и (10).
Введем следующие дифференциальные операторы:
На основании выражений (17а) и (18) получаем для упругой трубки уравнения типа Кирхгофа:
А(—*, —?) = 1 +
К
Ь2(д х, д?) = Д —
^(д,) = а0 ^ , д?
М—
с 2 —
д—у--1
с02 д?2
1 д_ Х0У0 д?
х) =
(У0 — 1)
а0У0Х0
Д.
Тогда уравнения (9) и (10) перепишутся в операторном виде так:
Д(д х, д ? )Ф = Lз(дt )Т', L2(дх,д?)Т' = LA(дх)Ф .
(23)
(24)
Здесь с{ = — — скорость поперечных колебаний 'А
в упругом теле.
Таким образом, несвязанные уравнения (14)-(16)
После умножения уравнения (23) на оператор L2(д х, — ?) слева получаем (очевидно, что операторы коммутируют вследствие постоянства коэффициентов)
L2(д х, д ?) Д(д х, д? )Ф = L2(д х, д?) Lз(дt )Т' = = Lз(дt) L2(д x, д? )Т' = Lз(дt) L4(д x )Ф.
Тогда окончательное уравнение типа Кирхгофа для скалярного потенциала имеет вид
[ Ь2 (д x, д?)Д(дx, д ?) — ¿3(д ? )ЬА(д x )]Ф = 0. (25)
Аналогичным путем получаем уравнение типа Кирхгофа для температуры Т':
А(д х, 5 () L2(8 х, 5 ()Т' = Ц(д х, д,) L4(д х )Ф = = L4(д х) Ll(д х, 8, )Ф= L4(д х) Lз(д, )Т', или в компактном виде
[ А(д x, д, )Ь2(д^, д,) —ЬА(д^) 4(д, )]Т' = 0. (26)
Дифференциальные операторы в (25) и (26) полностью совпадают, вследствие того что составляющие их операторы являются коммутирующими. Отметим, что уравнения (25), (26) так же, как и в стационарном случае, имеют четвертый порядок по пространственной координате.
Таким образом, поле в жидкости полностью задается скалярным потенциалом, определяемым из (25), векторным потенциалом, определяемым уравнением (11), температурным полем, определяемым уравнением (26), и полем давления (8).
Рассмотрим уравнения типа Кирхгофа в нестационарном случае для упругого твердого тела. Общие уравнения термоупругости для твердого тела при отсутствии источников записываются так [6, с. 1, 24]:
L7 = Г.
Pi = МАи + Ц + M)W-и -TVT'
dt
1 dT ' du
AT---= ©V--.
Л dt dt
Последние уравнения запишем через потенциалы р и у (см. [1]):
1 d 2р
Ар---—i- = ГТ
Ау -
с,2 dt2
_L dy
С7 "dt2"
,2 = Л + 2M1
1 ~
P
= о,
с 2 = А s _
P1
дт—1Т = ©д^.
Л д, д,
Поступая так же, как для случая нестационарного процесса в жидкости, имеем
[Ь6(д^, д, ^, д,) — L7L8(дx, д, )> = 0, (27)
[Х,^, д, )L6(дx, д,) — , д, ]Т' = 0. (28)
Здесь операторы имеют следующий вид:
4(dx,dt) = ©А- .
dt
Таким образом, взамен связанных уравнений термоупругости выписаны несвязанные уравнения типа уравнения Кирхгофа для твердого термоупругого тела, позволяющие получить в нем все характеристики полей.
ВЫВОДЫ
Таким образом, получены несвязанные уравнения типа Кирхгофа, позволяющие решать связанные линеаризованные уравнения термоупругости для твердых тел и связанные уравнения системы Навье—Стокса для вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости как в стационарном, так и в нестационарном случаях. Уравнения записаны для скалярных потенциалов смещения твердого тела и скорости в жидкости, а также для полей температуры в твердом теле и жидкости. Полученные уравнения позволяют рассчитывать все нужные компоненты волновых полей в термоупругой твердой среде и в вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости. Это предоставляет дополнительные возможности для расчетов указанных полей в упругих областях, контактирующих с жидкостью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шарфарец Б.П., Князьков Н.Н., Пашовкин Т.Н. О математической постановке задачи движения вязких сжимаемых теплопроводящих жидкостей в термоупругой трубке // Научное приборостроение. 2013. Т. 23, № 4. С. 85-90.
2. Акуличев В.А., Алексеев В.Н., Буланов В.А. Периодические фазовые превращения в жидкостях. М.: Наука, 1986. 280 с.
3. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula // J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 101, nu. 2. P. 713-721.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.
5. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М.: Наука, 1971. 939 с.
6. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.
L5(d x, dt ) = А —1 , 5 с12 dt2
L6(d ,d,) = А -——, 6V x' t} Л dt
Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург
Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]
Материал поступил в редакцию 15.10.2013
32
E. n. fflАP®АPЕЦ
ABOUT THE SOLUTION OF THE LINEARIZED PROBLEM OF MOVEMENT OF VISCOUS HEAT-CONDUCTING LIQUID IN THE THERMOELASTIC TUBE BY MEANS OF KIRCHHOFF'S
UNTIED EQUATIONS
B. P. Sharfarets
Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, RF
The untied equations like Kirchhoff, allowing to solve the connected linearized equations of thermoelasticity for solid bodies and the connected equations of system of Navier—Stokes for viscous heat-conducting liquid both in stationary, and in non-stationary cases are received. The equations are written down for scalar potentials of shift of a solid body and speed in liquid, and also for temperature fields in a solid body and liquid. The received equations give additional opportunities for calculations of the specified fields in the elastic areas contacting to liquid.
Keywords: viscous heat conducting compressible fluid, thermoelasticity, Kirchhoff's equation, coupled equations
REFERENСES
1. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula. J. Acoust. Soc. Am., 1997, vol. 101, nu. 2, pp. 713-721.
Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich, [email protected]
Article arrived in edition: 15.10.2013
