CC BY
26
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобаневского, 2011, № 4 (1), с. 166-172
УДК 517.9
О РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ ДВОЙСТВЕННЫХ АЛГОРИТМАХ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ФИНАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ МАГНИТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
© 2011 г. А.В. Калинин, М.И. Сумин, А.А. Тюхтина
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 18.03.2011
Рассматриваются начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационар-ном магнитном приближении. Изучаются основанные на теории двойственности регуляризирующие алгоритмы решения обратной задачи финального наблюдения для дифференциального уравнения, описывающего напряженность магнитного поля.
Ключевые слова: квазистационарные электромагнитные поля, обратная задача финального наблюдения, двойственная регуляризация, итеративная двойственная регуляризация, правило останова.
Значительная часть технологических процессов допускает описание в рамках квазиста-ционарного магнитного приближения, в котором пренебрегают токами смещения [1-4]. В настоящей работе выделена задача о создании электромагнитного поля заданной конфигурации с помощью источников (объемной плотности сторонних токов) в результате квазистацио-нарного управляемого процесса. Математически эта задача может быть сформулирована как обратная задача финального наблюдения для дифференциального уравнения, описывающего напряженность магнитного поля.
В работе обсуждаются алгоритмы решения указанной обратной задачи, непосредственно связанные с теорией двойственности (см., например, [5,6]). Они опираются в своей основе на метод двойственной регуляризации [7-10], выбор которого в качестве базового для решения рассматриваемой обратной задачи связан с рядом его важных отличительных особенностей по сравнению с другими известными методами регуляризации [11,12]. В нем, во-первых, самым существенным образом используется классическая идея снятия ограничений, заложенная в принципе Лагранжа; во-вторых, он непосредственно сопрягается с методом возмущений (см., например, [5]), что позволяет эффективно использовать преимущества последнего при анализе и решении оптимизационных и обратных задач [13,14]; и, наконец, в-третьих, наиболее полно используется оптимизационная техника, развитая в последние десятилетия для задач оптимизации с операторными ограничениями (см., например, [15]), к которым естественным образом сводятся самые разнообразные обратные задачи, в том числе, и рассматриваемая в дан-
ной работе. Укажем в этой связи и на хорошо известное общепринятое мнение, что основанные на двойственности алгоритмы являются одними из самых популярных и эффективных при решении оптимизационных задач с ограничениями [6].
Отметим, что с исторической точки зрения применение теории двойственности в теории алгоритмов решения задач оптимизации началось с известной работы Х. Удзавы [16], в которой был предложен алгоритм решения оптимизационной задачи на условный экстремум, получивший впоследствии название алгоритма Удзавы. Вопросы его сходимости рассматривались, например, в работах [17-19], отметим также его большую популярность при решении различных прикладных задач [17-19]. Однако к существенным недостаткам этого классического двойственного алгоритма относятся требования при его обосновании, связанные с точным заданием исходных данных оптимизационной задачи и существованием седловой точки ее функции Лагранжа. Эти требования являются чрезвычайно ограничительными при решении реальных обратных задач. Во-первых, для практических задач характерным является именно наличие ошибки в задании их исходных данных и, во-вторых, для таких задач, как правило, само доказательство существования седловой точки представляет собой сложную математическую задачу. Формальное же применение классического алгоритма может привести и приводит к стандартным эффектам неустойчивости приближенного решения (подробности см. в [9,10]). Подчеркнем, что применяемый в работе метод двойственной регуляризации [7-10] свободен от указанных выше недостатков классического двойственного алгоритма.
1. Постановка и основные свойства прямых задач
Система уравнений Максвелла в квазиста-ционарном магнитном приближении записывается в гауссовой системе единиц в виде [1]:
rot H (X, t) = — J (X, t), (1)
c
div B(X, t) = 0 , (2)
rot E (X, t) = -—(X, t), (3)
c dt
div D(X, t) = 4^p(X, t), (4)
где (X, t) e Q = Qx(0, T), H , B , E J : Q ^ R3
и P : Q ^ R1 - неизвестные функции, Q с R3 -
открытая ограниченная область класса С2, го-меоморфная шару, T > 0 .
В линейных средах справедливы материальные соотношения
B = цН, D = sE, (5)
где ц - тензор магнитной проницаемости среды, s - тензор диэлектрической проницаемости. Имеет место дифференциальная форма обобщенного закона Ома
J = ct(E + Ecm ), (6)
где ст - тензор проводимости, Ест - напряженность поля сторонних электродвижущих сил.
В работе предполагается, что Ест : Q ^ R3 -суммируемая с квадратом функция, ц, ст, s -самосопряженные линейные операторы из L (q)}3 в {L2 (q)}3 , удовлетворяющие условиям
81 й 2 12,о < й й)2,о < 8 2 1 й 2 2,о
a1 й 2 І2,о < (ай , й )2,о < а2 й 2 II2,о
M-1 й 2 І2,о < (\ш, й)2,о < Ц 2 й 2 І2,о
ц 1, ст;, е 1, i = 1, 2 - заданные положительные числа.
Система (1)-(6) рассматривается при краевых условиях
ЙХ(х, ?)= 0, х е ЭО , t е (0, Т) (8)
и начальном условии
Й(х,0) = к(х), х еО , (9)
где к е {Ь2 (о)}3 .
Определяются следующие гильбертовы пространства вектор-функций с соответствующими скалярными произведениями [19, 20]:
Й(^; О) = и е {^2 (о)}3 : div и е (о)},
К(div; О) = {7 е {^2 (о)}3 : div и = о},
(и, v)div = J (и • v)dX + J div и div vdX ,
Q Q
H(rot; Q) = {? e {L2 (q)}3 : rot и e {L2 (q)}3 },
(u, v)rot = J(u • v)dX + J (rot и • rot v)dX.
Q Q
Через H0 (rot; Q) обозначается замыкание множества пробных функций в H (rot; Q).
Пусть функции Ecm e {L2 (Q)}3, h e {L2 (q)}3 известны. Решением задачи (1)-(6), (8), (9) называются функции Н e L2 (0, T, H0 (rot; Q)), B e L2 (0, T, K(div; Q)), J e L2 (0, T, K(div; Q)),
E e l2 (0, T, {l2 (q)}3 ), D e l2 (0, T, {l2 (q)}3 ),
pE L2 (0, T, H - (q)) , удовлетворяющие равенствам (1)-(6), (9) в смысле распределений на Q, а условиям (8) - в смысле теории следов [21-23].
Используя соотношения (3), (5), (6), уравнения (1), (2) можно записать в виде
——uH + — rot (ст-1 rot H )= rot Ecm, (10)
c a 4^ v ’
div |uH = 0. (11)
В пространстве {L2 (q)}3 вводится скалярное произведение формулой
(и, v)ц = J (ци • v)dX.
Q
Ввиду (7) норма, порождаемая скалярным произведением (-,-)ц, эквивалентна норме ||]|2Q .
Получившееся гильбертово пространство обозначается Lu(Q).
Далее вводятся следующие гильбертовы
пространства [24, 25]:
W = {и e H0 (rot; Q): ци e H(div; Q)},
(и, v)w = J(u ] v)dX + J (rot и • rot v )dX +
Q Q
+ J div ци div цvdX,
Q
K(div ц; Q) = {и e Lц (q) : ци e K(div; Q)},
(u, v)K(div^Q) = («, v)ц ,
V = W n K (div ц; Q), (и, v )V = (и, v )rot.
Задача определения напряженности магнитного поля (10), (11), (8), (9) допускает следующую обобщенную постановку: найти функцию H e L2(0,T,V), удовлетворяющую начальному условию (9), при которой для всех v e V справедливо равенство
1 — J (|oH • v)dX + — J (ст-1 rot H • rot v)dX =
Cd'Q r/^”Q \ °2)
= J (Ecm • rot v)dX.
Q
Справедлива
Лемма 1. Пусть Й е Х2(0,ТV) - решение задачи (12), (9). Тогда функции Й, В = цЙ,
1
Е = а-1 J - Ёст,
D = 8Ё,
р = — div D - решение задачи (1)-(6), (8), (9).
4л
Исходные данные задачи (1)-(6), (8), (9) обозначаются далее через П = (й, Ёст ).
Лемма 2. Пусть ОсR3 - открытая ограниченная область класса С2, гомеоморфная шару. Для любого Пе Кц; О)х{і2 (б)}3 существует единственная функция
Н [П] е L2(0,TV), удовлетворяющая начальному условию (9) и равенству (12) при всех V е V. При этом Н [П] эквивалентна непрерывной функции из [0,Т] в Lц(Q) и справедлива оценка
sup ||Й[П](t)||
/є(0,Г )11 ^
< СТ I Ё
+ h
ll2,Q 11 ііц
I (R • rot v )dX.
Лемма 3. Пусть ё е К(div ц;О). Существует единственная функция ^е £2(0, ТV), удовлетворяющая условию (14) и равенству (15) при всех V е V. Функция Л эквивалентна непрерывной функции из [0,Т] в £ц(о), и справедлива оценка
sup
»є( 0,T)
t ^ + INIV < CTI HR +1 Idii
где CT > 0 не зависит от П.
Леммы 1, 2 доказаны в [24, 25] с использованием метода Фаэдо-Галёркина, возможность применения которого обоснована с помощью полученных в [26] неравенств для скалярных произведений векторных полей. Из лемм 1, 2 вытекает
Теорема 1. Пусть QcR3 - ограниченная область класса C2, гомеоморфная шару, ц, ст, s - самосопряженные линейные операторы из {L2 (q)}3 в {L2 (q)}3 , удовлетворяющие условиям
(7), Eст e {L2 (Q)}3, h E K(div ц; Q). Тогда существует единственное решение задачи (1)-(6),
(8), (9).
Пусть d e {L2 (q)}3 , R e{L2 (Q)}3. Сопряженная к (8)-(11) задача определения функции 'л e L2(0, t V) имеет вид
1 д .. с
------цл + —
с dt 4л
^(X, T ) = d(X), X eQ . (14)
Равенство (13) выполняется в смысле распределений на Q [23] и эквивалентно тому, что для всех v e V
-1 ~ J (цЛ • v)dX + — J (ст-1 rot л • rot v)dX =
Cdt Q 4Л° (15)
= I (R•rotv
Лемма 4. Пусть H и Л - решение задач (12), (9) и (15), (14) соответственно. Тогда
T T
JJ (R • rot H )dXdt - JJ£- • rot Л)dXdt =
0 Q 0 Q
= - — J(pH (T )• d )dX + — J(p^ (0)^ h )dX.
c q c Q
Через n[d] обозначается решение задачи
(15), (14), в которой R = 0.
Из лемм 2, 3 следует
Лемма 5. Для любых П1, П2 e K(div ц; Q)x х {L2 (Q)}3, dl, d2 e K(div ц; Q) справедливы
оценки
sup
їє (0,T )
Й[П1 fc)-Й[П2fc|n +Й[П1 ]-Й[п2]|V <
< CTI ЁГ - £" + Н - h2
T 111 1 2 II2,Q II 1 2 II ц
(1б)
sup |N[d 1 ]t) - N[d 2 ](tI + |N[d 1 ] - N[d 2
їє( 0,T )N ll2,Q 11
|aN + — rot (a 1 rot n)= rot R , (13)
< CTI ||d1 - d2
2. Постановка задачи финального наблюдения
Со гласно теореме 1 и лемме 2 задание пары П = (к, Ёст ) полностью определяет конфигурацию магнитного поля. Пусть D с К(<1^ ц; О)х
Х^2 (б)}3 - выпуклое замкнутое ограниченное множество, д е К(div ц; О). Ставится задача определения напряженности магнитного поля в начальный момент времени и напряженности поля сторонних электродвижущих сил П е D по финальному (в момент времени Т) наблюдению д = Й [п](Т).
Ищется нормальное решение задачи, то есть решение с минимальной нормой
П =
Н + Ё
I ІІЦ II
2
1І2,Є
Справедливы следующие утверждения:
Обратная задача поиска нормального решения при финальном наблюдении д е К ц; О)
эквивалентна задаче оптимального управления с ограничением типа равенства [7, 8]:
C
+
2
(Pq) I о (п)^ inf, І1 (п) = q, Пє D , q є K(div ц; о),
где Іо (п) - НІ2 +1|Ёст||2 Q , І1 (п) - Й[П]Г).
II ііц II 112,Q
Пусть DJ-Ілє D: ||І1 (л)-q|| <у}, у> 0, и определена величина
P(q) - P+0(q) - lim0 Py(q), Py(q) - infT 1 о(п),
У^+0 ' П^І
Py (q) - +*, если Dq=0. Функционал P: K(div|a; о) ^ R1 U {+ <»} называется функцией значений задачи ( Pq ). Очевидно, в общей ситуации P(q) <P0(q ) для всех q є K(div ц;о), где P0 : K(div ц;о)^ R1 - классическая функция значений.
Минимизирующее приближенное решение (м.п.р.) в смысле Дж. Варги [27] в задаче (Pq) -
это последовательность элементов П' є D , i=1,
2,..., такая, что
I о (пi )<P(q )+5i
п' є D\
a 1 - (a5)-1 II <5.
( p5 ) I0 (П)^ inf, If (П) = q5, Пе D , q5 e K (div ц; Q), где I*(n) = H 5[П](Т).
Функционал Лагранжа задачи (Pq ) имеет вид
L5q(п,X)-10(П)+ (X,H5[п](т)- q5)ц , П е D , Хе L^Q),
двойственная задача -
su^ Vq5(0)= ІПШ Lq (П, X)
О є !ц (о)
(17)
Поскольку функционал является сильно выпуклым на выпуклом замкнутом множестве D, минимум в определении Vq достигается в
для некоторых последовательностей сходящихся к нулю неотрицательных чисел 5г, у, -=1,2,...
Функционал 10 : D ^ R1 сильно выпуклый, оператор 11 : D ^ Кц; О) - линейный и, согласно оценке (16), непрерывный. Справедлива поэтому
Лемма 6 [5,10]. Если р(д) < +<», то нижняя грань р(д) в задаче (Рд) достигается на элементе П е D и справедливо равенство р(д) = р0 (д). Функционал р : К(div ц; О)^
^ R1 и {+*} является выпуклым и полунепрерывным снизу.
Из этой леммы и определения м.п.р. следует, что для любого м.п.р. П', -=1, 2,..., в задаче (Рд) справедливо предельное соотношение
10 (п - )^р 0 (д).
Пусть д е йотр . Естественно предположить, что вместо д и проводимости ст заданы их приближения: элемент д 5е Кц; О) и
оператор ст 5 :{Ь (о)}3 {Ь {О}}3, удовлетво-
ряющий условиям (7), такие, что
единственной точке П5(Х). Функционал Vgs определен для любого X е Ьц (о) и вогнут.
Лемма 7. Производная в смысле Фреше функционала Vq5 в точке X е Ьц (О) равна
д^5 (X)=Й5 [п 5 (х)](т) - д5.
Эта производная удовлетворяет условию Липшица.
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2.6 из [8].
3. Алгоритмы решения двойственной задачи
В данном разделе рассматриваются алгоритмы решения обратной задачи финального наблюдения (Рд), основанные на методе двойственной регуляризации [7-10].
3.1. Алгоритм двойственной регуляризации в случае неограниченно убывающей ошибки наблюдения. Может быть использован следующий алгоритм двойственной регуляризации [7-10]. При фиксированном значении параметра регуляризации а решается задача
Через Н 5[п] обозначается решение задачи
(12), (9), где проводимость ст заменена на ст5 . Таким образом, имеется семейство зависящих от ошибки 5 задач
R(5•a = Vв5 (X) - а X ^ тах , X е Ь (о) . (18)
II 11ц ц
Функционал R5qa сильно вогнутый и, согласно лемме 7, имеет равномерно непрерывный (липшицевый) градиент. Поэтому задача безусловной макс имизации (18) имеет единственное решение X5ga, которое может быть найдено с помощью того или иного градиентного метода, например, метода скорейшего подъема [6, 28, 29]. Справедливо утверждение:
Теорема 2 [8-10]. Пусть выполнено следующее условие согласования ошибки задания финального наблюдения 8 с параметром регуляризации а :
а
(8)
— 0, 8 — 0.
8к > °,ак >0, Рк >0, !im(8к +ак +Рк) =^
к —“
— < С
а
"0 •
к+1
а к + 1 -а к\ у Р
пт —гг = lim
к
Тогда для любого д е ^тР регуляризован-ные элементы П8[Х8да] сильно сходятся при
8 , а — 0 к решению исходной задачи П 0.
Подчеркнем, что в отличие от классического двойственного алгоритма Удзавы сформулированный в теореме 2 алгоритм может использоваться при приближенном задании исходных данных и независимо от того, разрешима или нет двойственная задача. Заметим здесь же, что свойство разрешимости или неразрешимости двойственной задачи теснейшим образом связано со свойствами субдифференцируемости (в смысле выпуклого анализа) функции значений Р(д). Алгоритм параметрической двойственной регуляризации [13,14] приводит к утверждению: двойственная задача (17) при 8 = 0 разрешима тогда и только тогда, когда субдифференциал Эр(д) не пуст. При этом оказывается, что следствием свойств субдифференцируемости полунепрерывных снизу выпуклых функций в гильбертовом пространстве (см., например, [30]) является тот факт, что точки д е ёотР, в которых этот субдифференциал не пуст, расположены всюду плотно во множестве всех тех точек, где функция значений принимает конечное значение.
3.2. Алгоритм итеративной двойственной регуляризации в случае неограниченно убывающей ошибки наблюдения. При практическом решении оптимизационных задач используются процедуры итеративной регуляризации численных алгоритмов [12]. Они позволяют избежать точного решения регуляризованной задачи при каждом фиксированном значении параметра регуляризации а. Алгоритм итеративной двойственной регуляризации [8-10] применительно к рассматриваемой здесь обратной задаче осуществляется следующим образом.
Пусть А0^ = Ак. Последовательность ук, к = 1, 2,..., конструируется по правилу
(а к)3 р к
-^4-Г = Нт-;—-к—“(а к) к-“(а к)
Ха кр к =
к
+“ .
= 0,
(20)
В качестве одного из возможных примеров последовательностей ак, Рк, к = 1,2,... можно взять ак = к 16, Рк = к 3/5. Справедлива
Теорема 3 [8-10]. Пусть П°д - решение задачи (Рд) и выполняются условия согласования (20). Тогда
Нт ук - Ак = 0, к—“II II
нт|| п 8к (ук )-п 1 = 0.
к—“II д11
(21)
Доказательство теоремы проводится так же, как доказательство аналогичных утверждений в
[7-10]. Если функционал Vq0 достигает на 1ц(о) максимума, то условия (20) согласованного стремления к нулю величин к , а к , Р к , к = 1,2,..., можно заменить на менее жесткие условия [28]:
8к > ^ак > ^ рк > ^ к1т(8к +ак +Рк) = ^
к—“
11т 1“ к+■ ,-а к| = цт К = 1,т ^ = 0,
к—“
(а к)2 Р к
к—“
а
к—“
а
Ха кР к =
(19)
ук+1 = ук + Р к д^8к (ук)- 2Р к а к ук, к = 1, 2,..., у1 е !ц(о),
где последовательности 8к, ак, Рк, к = 1,2,..., удовлетворяют условиям
= +“.
Одним из примеров таких последовательностей ак, Рк являются ак = к~1/3, Рк = к~1/2.
Из предельного соотношения (21) и леммы 5 следует, что имеет место сильная в метрике Ь2
сходимость И5 [п8 (Х8да(5))](г) — И[пд ](г) = д .
3.3. Правило останова процесса итеративной двойственной регуляризации в случае конечной фиксированной ошибки наблюдения. При практическом решении многих конкретных прикладных задач ошибка 8 > 0 исходных данных является конечной и не стремится к нулю. Пусть последовательности чисел 8к, ак, Рк, к = 1,2,..., удовлетворяют условиям (20). Вводится следующее правило останова процесса (19): при каждом 8 < 8^ итерации продолжаются до такого наибольшего номера к = к (8), при котором выполняется неравенство 8, >8 . Имеет место
Теорема 4 [10, 14]. Вне зависимости от того, разрешима ли двойственная к (Pq) задача, справедливо предельное соотношение ||п5(у * (5))-П q\\ — 0, 8 — 0,
где П5(у*(5)) - результат *(5) итераций процесса (19).
3.4. Итерационный процесс решения обратной задачи в пространстве исходных (прямых) переменных. В соответствии с леммой 4, п(х) = PrD (-1/ 2F (Х)), где
F (Х)= (л[Х](0), с rot ^[X])e K (div ц; Q)x {L2 (б)}3.
Действуя, как и в [10], оператором -1/2F на обе части итерационной формулы (19), получаем итерационную формулу в пространстве решений исходного уравнения:
П*+1 = П* -1/2Р* Ц К (п*))- F(q5 ))-
- 2р * а * П *, * = 1,2,..., П1 е D.
В силу предельного соотношения (21) при выполнении условий (20) последовательность
PrD (п*), * = 1, 2,..., сходится к решению задачи
(P).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-97019 - р_поволжье_а), аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (шифр заявки НК-13П-13, контракт № П945).
Список литературы
1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 616 с.
2. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988. 208 с.
3. Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов В.С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1988. 232 с.
4. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационар-ные электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: Наука, Физматлит, 1995. 320 с.
5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
6. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. 488 с.
7. Сумин М.И. Оптимальное управление параболическими уравнениями: двойственные численные методы, регуляризация // Распределительные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде. Сб. докладов к Международной конференции (Екатеринбург, 30 мая - 3 июня 2000 г.). Екатеринбург: Изд-во Института математики и механики УрО РАН, 2000. С. 66-69.
8. Сумин М.И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 11. С. 2001-2019.
9. Сумин М.И. Регуляризация в линейновыпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 602-625.
10. Сумин М.И. Некорректные задачи и методы их решения. Материалы к лекциям для студентов старших курсов: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2009. 289 с.
11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
12. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
13. Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляризация в оптимизации, оптимальном управлении и обратных задачах // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2010. Т.15. Вып. 1. С. 467-492.
14. Sumin M.I. Parametric Dual Regularization in a Linear-Convex Mathematical Programming / In book «Computational Optimization: New Research Developments». Chapter 10. New-York: Nova Science Publishers Inc., 2010. P. 265-311.
15. Сумин М.И. Принцип максимума в теории субоптимального управления распределенными системами с операторными ограничениями в гильбертовом пространстве // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем. математика и ее прилож. Тематические обзоры. 1999. Т. 66. С. 193-235.
16. Эрроу К.Дж., Гурвиц Л., Удзава Х. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962. 336 c. [Англ. оригинал: Arrow K.J., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in linear and nonlinear programming. Stanford University Press. 1958.]
17. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.
18. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 576 с.
19. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.
20. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.
21. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.
22. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
23. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.
24. Калинин А.В., Калинкина А.А. Квазистацио-нарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла // Вестник Нижегородского университета. Сер. «Математическое моделирование и оптимальное управление». 2003. Вып. 1 (26). С. 21-38.
25. Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007. 319 с.
26. Калинин А.В., Калинкина А.А. //’-оценки векторных полей // Известия вузов. Математика. 2004. № 3. С. 26-35.
27. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 622 с.
28. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
29. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.
30. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.
31. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.
32. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 288 с.
ON REGULARIZING DUAL ALGORITHMS IN INVERSE PROBLEMS WITH FINAL OBSERVATION FOR MAXWELL’S EQUATIONS IN QUASISTATIONARY MAGNETIC APPROXIMATION
A. V. Kalinin, M.I. Sumin, A. A. Tyukhtina
Initial-boundary value problems for Maxwell’s equations in quasistationary magnetic approximation are considered. Duality-based regularizing algorithms are studied for solution of the inverse final observation problem for a differential equation describing magnetic field intensity.
Keywords: quasistationary electromagnetic fields, inverse problem with final observation, dual regularization, dual iterative regularization, stopping rule.
