О редукции к идеальному прибору по данным тестирующих измерений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.21

О РЕДУКЦИИ К ИДЕАЛЬНОМУ ПРИБОРУ ПО ДАННЫМ ТЕСТИРУЮЩИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Е. А. Черемухин, А. И. Чуличков

(.кафедра компьютерных методов физики) E-mail: cherem@newmail.ru; ach@cmp.phys.msu.su

На основе теории измерительно-вычислительных систем (ИВС) предложен новый подход к решению задачи интерпретации экспериментальных данных в случае, когда модель измерений априори неизвестна, но имеется набор тестирующих измерений. Результат интерпретации измерения рассматривается как выходной сигнал прибора, ближайшего к идеальному при заданном уровне случайной погрешности.

Введение

Рассматривается схема измерений, характерная для большинства экспериментов:

S = Af + l', (1)

где £ — искаженный шумом V результат измерения выходного сигнала А/ прибора А, на вход которого подан сигнал / от некоторого объекта. Требуется определить, как выглядел бы результат измерения ¿7/ того же сигнала с помощью идеального прибора II (в частности, можно считать II = I, где I — тождественное преобразование). Один из подходов к интерпретации измерения £ состоит в его линейном преобразовании Я, результат которого Щ = ЯА/ + Яр можно рассматривать как выходной сигнал прибора ЯА, ближайшего к II. Поиск такого преобразования составляет задачу редукции к идеальному прибору [1, 2]. Если известна математическая модель эксперимента, связывающая измерения с параметрами объекта, то решается стандартная задача редукции. Иногда данные о математической модели можно получать из тестирующего эксперимента, в котором измеряется отклик измерительной системы на ряд известных (тестовых) сигналов, поданных на ее вход. Особенностью этой работы является то, что данные тестирующего эксперимента используются для редукции напрямую, т. е. без промежуточного восстановления модели прибора А. В работе [3] подобный подход использовался для наиболее точного синтеза сигнала 17/; в настоящей работе минимизируется погрешность синтеза прибора II.

Постановка задачи

В теории измерительно-вычислительных систем [1, 2] рассматривается модель схемы (1), в которой сигналы А/, £ и V являются элементами евклидова пространства Яп размерности п ^ оо, сигнал / — элемент евклидова пространства Як размерности N ^ оо, известен линейный оператор А е (Яы —> Яп) > действующий из пространства Ям в Яп, а шум V считается случайным векто-

ром пространства Яп с нулевым математическим ожиданием Ег/ = 0 и корреляционным оператором X е (Яп Яп). О сигнале / априори ничего не известно. Эта модель носит обозначение [А, X].

Рассмотрим случай, когда линейный оператор А е (Яы —> Яп) заранее неизвестен, но есть возможность его тестирования. Для этого на вход прибора А подается серия известных тестовых сигналов /ъ • • •, /к С Дат и измеряются соответствующие выходные сигналы согласно схеме

Чс/ ••!/./ + '•'./• 3 = 1,...,К, (2)

где погрешности измерения щ имеют нулевые математические ожидания и заданные ковариационные операторы ] = 1,...,К. Задача состоит в том, чтобы по набору тестовых сигналов Д,..., ¡к С Як, результатам их измерений ..., ^к С Яп и известной модели погрешностей ц, ] = 1,..., К, оценить сигнал 11$ на основании измерения, проведенного по схеме (1) с заданной моделью погрешности V.

Пусть тестовые сигналы в выражении (2) представляют собой конечный набор произвольных векторов Д,..., ¡к С Як, К ^ N, К < оо. Построим матрицы Е е (Як —> Яп) и (Як ^ Яы), определяемые для любого вектора д = ... ,дк) €Е Як координатного векторного пространства Як соотношениями

к

-У

.7=1

Ng =

к

к

з=i

иными словами Vl,...,VK С Яп

ими координатами ных базисах, то

если векторы С Яп,

и Д) • • •! Дг С Як заданы ево-з некоторых ортонормирован-етолбцы матриц операторов

Е е (Як ->• Яп), N е (Як ->йп)и^€ (Як ->• Ям) в этих же базисах равны векторам ..., £к С Яп, г/1,..., г/к С Яп и Д, • • •, Д; С Ддг соответственно. Тогда схему тестовых измерений (2) можно записать в виде

3 = АР1 ^ Ж. (3)

Запишем вектор / е Як в виде

где 71- е {Як —> Як) — оператор, пеевдообратный к 71 [4]; здесь первое слагаемое справа представляет собой проекцию сигнала / на линейную оболочку тестовых сигналов, а второе — проекцию / на ее ортогональное дополнение в Ддг- Подставляя (4) в (1), с учетом (3) получим

£ = ÄFF / + А(1 - /<•/<• )/ + V = = (3 + N)F~f + A(I - FF-)f + v.

(5)

Таким образом, измерение вектора / с помощью прибора А, заданного тестовыми измерениями (3), можно рассматривать как измерение вектора / с помощью измерительного прибора EFе (Rn —> Яп), заданного с погрешностью. Задачи, в которых модель измерительного прибора задается случайным оператором, исследовались в работе [1] для задач прогноза и редукции измерений. Заметим, что в правой части равенства (5) известен лишь оператор EFе (Rn —> Rn), остальные слагаемые можно рассматривать как мешающие оценке сигнала Uf.

Будем искать оценку сигнала Uf на основании измерения (5), считая, что в схеме (5) оператор 3 е (Rk —> Rn) известен с погрешностью N е (Rk —> Rn) > обладающей нулевым математическим ожиданием и известным вторым моментом*), погрешность измерения v €Е Rn имеет нулевое математическое ожидание и заданный ковариационный оператор Е е (Rn ^ Rn)- Линейный оператор А е (Rn —> Rn) неизвестен.

Запишем линейное преобразование R е (Rn ^ Rm) сигнала £ из (5) с учетом (4):

Щ = R(E + N)F~f + RA(I - FF )/ + Rv =

= Uf + (REF- -UFF~)f + RNF-f + (6) + (RA - U)(I - FF~)f + Rv.

Результат этого преобразования можно рассматривать как сигнал на выходе прибора REF, отличающегося от U на линейный оператор

(REF - UFF ) + RNF + (RA — I") (/ — /'"/•" ). (7)

кроме того, его выходной сигнал искажается еще и шумом Rv. Выберем преобразование R е (Rn Rm) так, чтобы отличие оператора REF от U было как можно меньше, при этом величина шумовой погрешности Rv была ограничена.

Рассмотрим каждое слагаемое в (7) отдельно. Для конечного числа тестовых измерений первые два слагаемых в (7) являются конечномерными операторами, а значит, операторами Гильберта-Шмидта. Первое из этих слагаемых при фиксированном операторе R зависит от известного результата тестовых измерений и заданного оператора U. Оценить его можно в метрике Гильберта-Шмидта:

> В данном случае достаточно знать линейный оператор ЕN{F-F-*)N* е (RK^RK).

||_ /•/<•/<• ||2 < ос'-, здесь квадрат нормы Гильберта-Шмидта оператора С (для заданных базисов пространств Rк и Rm квадрат этой нормы равен сумме квадратов всех матричных элементов матрицы С).

Второе слагаемое — случайный оператор, однако при заданном операторе R можно оценить средний квадрат его нормы Гильберта-Шмидта: Е\\RNF-\ll = Е trRNF-(F-)*N*R* = trR(ENF-— (F~)*N*)R*. Введя обозначение 7 = ЕЖТ1-(71-получим оценку для этого слагаемого: Щ\RNF-\\l = trRJR*.

Рассмотрим третье слагаемое. Поскольку оператор А произволен, то при условии (7 — ф О оценить величину этого слагаемого не удается, так как не контролируется составляющая (7 —вектора /, ортогональная линейной оболочке 7,(Д, ..., /к) С RN тестовых сигналов. Следовательно, отличие оператора (7) от заданного II можно контролировать тогда и только тогда, когда (7—= 0. Однако равенство выполняется либо при условии (7 — Т'Т1-) =0, т.е. когда тестовые сигналы Добразуют полную систему векторов в пространстве 7£дг, 7,(Д,..., /к) = Длг, либо если 7,(Д,..., /к) Ф RN, но априори известно, что

/еЦД,...,/*).

Наконец, на величину шумовой погрешности Rv в (6) наложим ограничение Е||Дг/||2 ^ е.

Итак, при выполнении условия (7 — FF-)f = 0 оператор R, осуществляющий редукцию измерения (1) к виду (6), свойственную измерению сигнала / прибором, ближайшим к II с контролируемой погрешностью Е||Дг/||2 ^ е, является решением задачи на минимум

ICII2 — ijT СС

R = arg inf |Е \\(REF- - Г FF ) + RNF || |Е||Дг/||2 ^e} = = arg inf I \v(REF -FFF )(REF -FFF )

■tr RJR*

t r R>IR* < s

У

(8)

Если же (7 — FF )f ф 0, то в (6) прибор {REF - Г FF ) + RNF- + (RA - U)(I - FF ) отличается от U на неконтролируемую величину.

Решение задачи (8) дается следующей теоремой.

Теорема. Если ковариационные операторы Е и N невырождены, то для любого прибора, заданного линейным оператором U, задача (8) разрешима при 0 ^ е ^ оо и ее решение имеет вид:

Re=<

R(u) = VE*S~1, ш = ш£, 0 < е < £о, R(0) = VE*So\ е^ео, 0, е = 0,

(9)

где V Г(/<- )\ Sw = EF-(EF-)* + J + шЕ, а- > О, ?о 1г 1'Е*;Ь'0 1 иЕ1'*, и и)е — корень уравнения е = !г ' *Е1'*. При этом уровень шума Н(и,е) = Е||Дег/||2 и отличие д(11,е) прибора ЯЕР~ от II даются равенствами:

h(U,e) =

е, О^е^еа,

£q, е > £о,

(10)

FE

"S^aF- - UFF-

FE

*s-lJli2

Ш = Ш£, 0 < £ < £о,

g(U,e) = {

FE

+ ||FE trUU*

с Q— li;

Sn

IF~ - UFF-

'J^wl

£ >0,

£ = 0.

(11)

связанный с (8). Качест-на решении

На практике используется подход, оперативной характеристикой задачи во синтеза прибора U, основанного вариационной задачи (8), задается соотношениями (10), (11), которые в параметрическом виде определяют зависимость величины «приборной невязки» g(U,e) от уровня шума h(U,e) на выходе прибора REF- для 0 ^ е ^ £о • Эта зависимость носит название оперативной характеристики задачи (8). График оперативной характеристики обычно изображается на плоскости (h,g), с каждой точкой графика оперативной характеристики однозначно связаны три значения: параметра ш, используемого для вычисления оператора Я(ш) по формуле (9), уровня шумов h(U,e) на выходе прибора REFи значения «приборной невязки» g(U, е). Выбор компромиссных значений h(U, £) и g(U, £) задает параметр ш указанием точки на графике g = g(h).

Схема измерений в случае ортонормированных тестовых сигналов

Рассмотрим теперь важный частный случай, когда тестовые сигналы представляют собой конечный набор ортонормированных векторов е\,... ,ек С С Rn, K^N:

i3 = Ae3 + v3, j 1.....A'. (12)

Обозначим Ек матрицу, столбцами которой являются тестовые сигналы е\,... ,ек\ в прежних обозначениях Ек = F. Так как ее столбцы — ортонорми-рованные векторы, Нк = Е*к. Выражение (4) примет вид:

к

з=1

(13)

где / = (I - ЕКЕ*К)$ € Ь (еь ..., ек) С RN -вектор из ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов е\,..., ек, а д3 — коэффициенты Фурье разложения вектора / по системе векторов еь • • •, ек: дз = (/, е3), ] = !,..., К.

Выражение (5) перепишется в виде

к

к

i 2^mA(:J +Af +'•' з=i

= ^) + АГ + 1У=(Е + М)д + АГ+1У,

з=1

(14)

где д = («я.,... ,дк) €Е Як • Таким образом, измерение вектора / с помощью прибора А, заданного тестовыми измерениями (12), можно рассматривать как измерение вектора д = (дг, ■ ■ ■, дк) £ Як, координаты которого являются коэффициентами Фурье разложения (13) проекции / на линейную оболочку Ь(ег,..., ек) С Ям, с помощью измерительного прибора Е е (Як —> Яп), заданного с погрешностью, а задача сводится к оценке вектора к

и= дзие3 = 17д. Запись (14) существенно упро-з=1

щает вычисления результата редукции и оперативной характеристики задачи (8). Заметим, что в (14), так же, как и в общем случае, не контролируется составляющая (I — ЕкЕ*к)$ вектора /, ортогональная линейной оболочке Ь(е 1,..., ек) С Ям тестовых сигналов.

Результаты численного эксперимента

Описанные выше методы иллюстрирует следующий численный эксперимент. В схеме измерения (1) использовался прибор А е (-Й400 Язоо)> задаваемый матрицей Ац = . В качестве тестовых сигналов был взят набор из ста ортогональных векторов из пространства Д400, имеющих вид импульсов:

(efc)i =

1, j = 4(fc — 1) + 1,... , 4(fc — 1) + 4,

0 в остальных точках,

1 = 1,..., 100; j = 1, • • •, 400.

300

Рис. 1. График зависимости значения координаты вектора от ее номера для одного из тестовых сигналов (20-й вектор из 100) и для результата его измерения в тестирующем эксперименте

200 j. 250

300 350

400

Рис. 2. График зависимости значения координаты вектора от ее номера для входного сигнала / € Люо

300

Рис. 3. Результат измерения £ выходного сигнала Af прибора А в измерительном эксперименте при подаче на его вход сигнала /

Рис. 4. Оперативная характеристика задачи (8) (относительные единицы погрешности (шума) и приборной невязки)

Отклик измерительного прибора на один из тестовых сигналов представлен на рис. 1. Каждое тестирующее измерение сопровождается погрешностью со среднеквадратичным отклонением, составляющим 1% от амплитуды выходного сигнала при подаче на вход некоторого тестового сигнала. Входной сигнал / измерительного эксперимента по схеме (1)

50 100 150 200 250 300 350 400

Рис. 5. Результат редукции к прибору U = I, ш = 10. Относительная погрешность интерпретации при этом параметре ho = 1.15, приборная невязка до =0.67

приведен на рис. 2, результат его измерения представлен на рис. 3. Среднеквадратичная погрешность измерения каждой координаты выходного сигнала составила 3% от величины выходного сигнала Af, т.е. предполагалось, что тестирующие измерения более точны, чем измерения сигнала /. График оперативной характеристики с выбранным значением параметра ш = 10 представлен на рис. 4. На рис. 5 приведен результат редукции вместе с погрешностью в каждой точке при U = I на основании тестирующих измерений. При редукции была учтена неотрицательность координат вектора / [1].

Заключение

Таким образом, показано, что новый метод может быть применен для ряда задач анализа и интерпретации сигналов, полученных на измерительных приборах в случаях, когда оценка параметров модели измерений проводится на основе результатов тестирующего эксперимента. Показана работоспособность алгоритма на одномерной задаче.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №02-01-00579.

Литература

1. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М., 2002.

2. Чуличков А.И. Основы теории измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения (линейные стохастические измерительно-вычислительные системы). Тамбов, 2000.

3. Голубцов П.В., Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. Построение оператора редукции по тестовым измерениям // Дискретные системы обработки сигналов. Устинов, 1986. С. 68.

4. Пытьев Ю.П. // Матем. сборник. 1982. 118(160), № 1(5). С. 19.

Поступила в редакцию 04.11.03