О разрыве между минимальной размерностью ортонормального помечивания и размером наименьшего кликового покрытия графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 4

Е. В. Просолупов

О РАЗРЫВЕ МЕЖДУ МИНИМАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ ОРТОНОРМАЛЬНОГО ПОМЕЧИВАНИЯ И РАЗМЕРОМ НАИМЕНЬШЕГО КЛИКОВОГО ПОКРЫТИЯ ГРАФА

1. Введение

Обозначим х(С) размер минимального кликового покрытия графа, то есть минимальное число полных подграфов графа О, объединение вершин которых совпадает с множеством вершин графа О. Обозначим а(О) размер максимального независимого множества (множества попарно несмежных вершин) графа О. Эти функции связаны соотношениями а(С) = со(С) и х(О) = с ДВУМЯ широко известными функциями

графа: размером максимальной клики (полного подграфа) ш(О) графа О и хроматическим числом графа Хорошо известно, что а(С) < х(С), кроме того, вычисление каждой из этих функций является NP-сложной задачей.

Графы, для которых вместе со всеми их подграфами выполняется равенство а(О) = х(О), называются совершенными. В рамках данной работы нас интересует случай графов, для которых неравенство является строгим: а(С) < х(С)- Отрезок [а(С),х(С)] может быть сколь угодно велик; более того, ни одна из его границ не может быть оценена через другую (см. [2, 12]). Поэтому для нас представляет интерес разбиение данного интервала на отрезки меньших размеров посредством других функций и рассмотрение связей между ними.

В интервале [а(С), лежит известная функция Ловаса — Она особенно ин-

тересна тем, что хоть и лежит между двух функций, вычисление которых ЖР-сложно, является вычислимой за полиномиальное время. Таким образом, для совершенных графов за полиномиальное время вычислимы и границы интервала.

Другая функция из рассматриваемого интервала, которая нас интересует, — размерность минимального ортонормального помечивания графа О — определяется как минимальное целое число ¿(О), для которого существует ортонормальное помечивание вершин графа О векторами из то есть отображение / : V(О) ^ такое что:

1) I/= 1 для всех V е V(О),

2) /Ы) ■ /V) = 0, если } е Е(О).

Здесь точка обозначает точечное произведение, то есть для х = )Т е Кк и

у = (П1,Пк)Т е Мк

к

х ■ у = ^2 & П''

г=1

Подробнее о функциях $(О) и ¿(О) можно прочитать в [9, 11]; в частности известно, что

а(С) < 9{С) < д,{С) < х(О).

Ортонормальное помечивание назовем неотрицательным, если все компоненты всех векторов, сопоставленных вершинам графа этим отображением, неотрицательны. Минимальную размерность такого помечивания обозначим ¿+(О).

© Е. В. Просолупов, 2004

Широко известны задачи ограничения хроматического числа через ранг связанных с графом матриц. Ван Нуфелен полагал, что x(G) < rank(G) [14]. Вторично эта гипотеза была выдвинута компьютерной программой Graffiti [7], но опровергнута Алоном и Сеймуром [3], которые привели пример графа, для которого хроматическое число равно 32, а ранг — 29. Позже возможность оценки хроматического числа в терминах ранг матрицы смежности графа рассматривалась многими учеными [13, 15-16]. Наилучшей известной является оценка, указанная Котловым в [10]: x(G) = O(Arank(G)), где Д —

4

трансцендентное число чуть меньше, чем

В работе [8] хроматическое число ограничено через другую функцию, выраженную через ранг, —терм ранг графа Rk(G). Терм ранг определяется как максимальный ранг, достижимый на вещественной n х n матрице, имеющей 0 в каждой ячейке, которая имеет нулевое значение в матрице смежности A(G) графа G. Там доказано, что для любого графа с ребрами верна верхняя оценка x(G) < Rk(G), причем равенство достигается тогда и только тогда, когда граф G представляет собой (не считая изолированных вершин) полный граф Kn или звезду Ki,n-i.

Мы тоже будем изучать функции, определяемые через ранг матриц, ассоциированных с графом. Рассмотрим следующие множества и функции:

A(G) = {X : X е Rnxn, X = Xт,I - A(G) < X < I + A(G)},

A>o(G) = {X : X е A(G), X У 0}, A>o(G) = {X : X е A(G), X > 0}, r(G) = min rank(X),

XeA(G)

r+(G) = min rank(X).

xea>q (g)

Выражения X > 0 и X У 0 в предыдущих формулах означают соответственно, что матрица X состоит из неотрицательных элементов и что матрица X положительно полуопределена. Неравенство X < Y для двух матриц X и Y выполняется поэлементно.

Очевидно, что d(G) = minxед>-0(g) rank(X). Для доказательства этого факта достаточно вспомнить, что любая положительно полуопределенная матрица X размерности n х n и ранга r представима в виде X = ZтZ, где Z — (r х п)-матрица. Столбцы матрицы Z для любой заданной матрицы X е Ayo(G) будут, таким образом, определять ортонормальное помечивание графа G. Обратно, из векторов ортонормального поме-чивания графа G можно составить матрицу Z, для которой ZтZ е A>-o (G).

Можно также показать, что х(^) = d+(G) и, более того, эта функция тоже может быть выражена в терминах минимума ранга на множестве матриц, ассоциированных с графом (см. [1]): x(G) = d+(G) = minXeC(G) rank(X), C(G) = {X : X £ A(G),X = B ■ BT, B > 0}.

Несложно видеть, что

a(G)<r(G)<d(G), r+(G)<x(G).

Отношение между функциями d(G) и r+ (G) остается неясным. В [4] доказана следующая

Теорема 1. Для любого графа G справедливо, что

a(G) = r_|_(G) =Ф a{G)=x{G).

Это дает основания к выдвижению следующего предположения. Предположение 2. Для любого графа О справедливо, что

а{С) = <1{С) =Ф а{С) = х{С).

Кроме того, из [5] известно, что

а(О) = г(О) ^ а(О) = ¿(О).

Таким образом, доказательство предположения 2 сразу повлекло бы как следствие утверждение, что

а{С)=г{С) =Ф а(С)=х(0).

Контрпример к предположению 2 впервые был приведен в [6]. Там показан способ построения графа Г, для которого

а{С) = г{С) = <1{С) = 3 < г+(С) = х{С) = 4.

Этот граф будет подробнее рассмотрен в следующем параграфе.

Кроме того, в [6] доказано, что если в графе нет двух циклов длины 4 без хорд и с общим ребром, то а(С) = г (С) влечет а(С) = х(О). То есть ключевой особенностью всех графов, для которых не выполняется предположение 2, является наличие в них описанной структуры.

В данной работе подробно рассматривается контрпример к предположению 2 и приводится его обобщение, показывающее, что разница между а(С) и х(О) может быть сколь угодно велика даже для графов, удовлетворяющих равенству а(О) = ¿(О).

2. Контрпример

Рассмотрим систему векторов $ = (а, 61, 62, Ьз, о\, С2, сз, ¿1, ¿2, ¿3, в\, в2, ез}, где

а = (1, 1,1)Т,

61 = (0,1,-1)Т, 62 = (1,0, -1)Т, Ьз = (1, -1, 0)Т,

С1 = (0,1,1)Т, С2 = (1,0,1)Т, сз = (1,1,0)Т,

¿1 = (1,-1,-1)Т, ¿2 = (1, -1,1)Т, ¿з = (1,1, -1)Т,

е1 = (1, 0, 0)Т, е2 = (0, 1, 0)Т, ез = (0, 0, 1)Т.

Построим по ней граф Г следующим образом: V(Г) = $, (ие Е(Г) ^ и ■ V = 0.

Граф Г выглядит, как показано на рис. 1. Более удобным для рассмотрения может оказаться изображение его дополнения, поскольку оно содержит меньше ребер. Наиболее наглядное изображение графа Г представлено на рис. 2.

Лемма 3. Для графа Г выполнены следующие равенства: а(Г) = ¿(Г) = 3, г+(Г) = х(Г)=4.

Доказательство. Докажем это, глядя на рис. 2. Нетрудно видеть, что а(Г) > 3, так как в Г присутствуют треугольники. Так же очевидно, что с!(Г) = 3, поскольку система векторов $ определяет ортонормальное помечивание Г размерности 3, если каждый из векторов в й* нормировать. Предположим, что х(Г) = 3, то есть множество вершин графа Г можно разбить на такие три подмножества VI, V2 и Vз, что V порождает в графе

Рис. 1. Граф Г

Рис. 2. Граф Г

Г клику, г = 1, 2, 3. Тогда вершины в\, в2 и ез принадлежат различным подмножествам. Не умаляя общности, пусть ег € У;, г = 1, 2, 3, и пусть а € VI. Тогда Ьз € У2 и Ь2 € Уз, следовательно сз € VI и С2 € VI, тогда ¿2 € У2 и ¿з € Уз и, в конце концов, е\ € VI. Но вектора е\ и С1 ортогональны и, следовательно, соответствующие вершины не смежны в Г. Таким образом, VI не может порождать клику. Противоречие доказывает, что Х(Г)>3.

С другой стороны, выбрав, например, VI = {е1,Ь2,сз,^з}, У2 = {е2,Ьз,С1,^}, Уз =

{ез, 61, С2, сЬ}, У4 = {о}, получим, что х(Г) < 4. Значит х(Г) = 4.

Поскольку по теореме 1 из а(С) = г+(С) следует, что а(С) = х{С), то ск(Г) ф^ '"+(Г) и значит г+ (Г) =4. □ Следствие 4. с1{С)фх{С).

Следствие 5. Из того, что а(С) = с1(С), не следует, что а(С) = х{С).

3. Обобщение контрпримера

Обобщим приведенный пример графа. Нетрудно показать, что система ненулевых векторов Б представляет собой максимальный набор попарно неколлинеарных векторов

в М3, компоненты которых принадлежат множеству { —1, 0,1}. Можно предположить, что если построить семейство графов Г по множеству векторов Б4, максимальному набору ненулевых попарно неколлинеарных векторов из М4, компоненты которых принадлежат множеству { —1,0,1}, то можно ожидать от графов семейства свойств аналогичных свойствам графа Г = Г3.

Во-первых, заметим, что мощность множества всех векторов из М4 с компонентами

из { —1, 0,1} равна 34. Удалив оттуда нулевой вектор и по одному из каждой пары

ч'-1

коллинеарных векторов, получим, что в искомом множестве 2 векторов. Определим ¿>1 = {(1)} и для любого г = 1, оо

$+1 = {(х, 0) I х € Бг} и {(х, 1) I х € Б} и

и {(х, —1) I х € Б^} и {е+1 = (0,..., 0,1)}.

В частности Бз = Б.

Лемма 6. Множество Бг есть .максимальное множество ненулевых попарно неколлинеарных векторов из компоненты которых принадлежат множеству { — 1, 0,1} Доказательство. В множество £¿+1 входит 3 • |Бг| + 1 вектора. Нетрудно показать по индукции, что ^г+х! = 3 +2~3 + 1 = 3 +2~1. Таким образом, вектора множества $¿-1-1 попарно неколлинеарны, различны и их число совпадает с максимальным числом таких векторов. Лемма доказана. □

Построим по множеству векторов Б1 граф указанным выше способом, Ь = 1,оо. Г1 —отдельная вершина. Г2 изоморфен циклу С4. а(Г4) = ¿(Г4) = Ь, так как орты порождают в Г4 независимое множество размера Ь, а нормированные вектора множества Б4 образуют ортонормальное помечивание графа Г4 размерности Ь. Графы Г4 связны, поскольку для любых двух ортогональных векторов и,у € Б4 существует V € ^, неортогональный им обоим. Покажем это. Существуют два целых числа г и у, такие что щ = 0, = 0. Если можно выбрать г = у, возьмем V = ег. Если г = у, и^ =0, = 0, возьмем в качестве V вектор с нулями во всех позициях, кроме г и у: и!г = Wj = 1, если щ = Vj; выберем вектор, для которого VI • Wj = —1, если щ = Vj.

Рассмотрим Г4, Ь > 3. Не сложно видеть, что объединение графа Г = Гз и (Ь — 3)-х изолированных вершин дает нам граф С с а(С) = ¿(С) = ( и = + 1),

поскольку ск(Г) = (¿(Г) = 3, х(Г) = 4, а каждая изолированная вершина увеличивает все эти функции на единицу. С другой стороны, такой граф является подграфом Г4, поскольку в Б4 присутствует 13 векторов, первые 3 компоненты которых совпадают с векторами системы Б, а остальные — нули. Дополнив эти вектора (Ь—3)-я ортами е4, ..., е4, получим систему векторов, соответствующую искомому подграфу. Следовательно доказано

Утверждение 7. Для, любых £ > 3 выполняется неравенство (¿(Г4) < х(Г().

Следующим шагом рассмотрим граф О, равный объединению к > 1 графов Г. Такой граф имеет а(С) = ¿(С) = ?>-к ъх{&) = А-к. Этот граф является подграфом графа Гз ь Действительно, в Б^.^ найдутся такие 13 • к векторов, что у первых 13-и из них первые 3 компоненты совпадают с векторами системы Б, а остальные — нули; у следующих 13-и компоненты 4, 5 и 6 совпадают с векторами системы Б, а остальные — нули; и так далее. Полученная система векторов соответствует подграфу графа Гз ^, изоморфному С. Отсюда сразу следует, что х(Гз й) — ск(Гз.&) > к.

Лемма 8. Для, любых Ь > 3 выполняется, неравенство х(Г() — СК(Г() > ■

Объединяя все вышеописанное, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 9. Для любого k существует такой связный граф G, что a(G) = d(G) и a(G)+k <x(G).

Доказательство. В качестве G можно выбрать Гз.&. □

Таким образом, мы нашли последовательность связных графов {Г} для которых ск(Гг) = d(T'i) < х(Гг), причем х(Г®) — ск(Гг) > . Можно предположить, что полученный результат возможно усилить, доказав следующее

Предположение 10. Для любых t > 3 выполняется x(Ti) — а(Г4) > t — 2. То есть, начиная с i = 2, разрыв между а(Г^) и х(Г®) возрастает с каждым новым г.

Тем не менее, разрыв между d(G) и x(G) не на столько произволен, как разрыв между a(G) и x(G), поскольку x(G) может быть ограничена через d(G). Утверждение 11. Для любого графа x(G) < 2d(G)~1.

Последнее утверждение легко доказать, заметив, что ортонормальное помечивание f размерности d можно выбрать так, чтобы первая компонента всех векторов была неотрицательна, а все остальные компоненты — ненулевыми.

Рассмотрим множество R всех векторов из Rd, у которых нет нулевых компонент. Оно может быть разбито на 2d подмножества, в каждом из которых все вектора имеют один и тот же вектор знаков компонент. Только 2d-1 из этих подмножеств содержат вектора с неотрицательной первой компонентой и, следовательно, могут содержать вектора помечивания f. Обозначим их RiR^d-i. Очевидно, что Ri не может содержать ортогональных векторов для любого i.

Для получения неотрицательного ортонормального помечивания графа G размерности 2<г~1 достаточно сопоставить е^, г-й орт пространства R2 , каждой вершине v, для которой f(v) G Ri, i = 1, 2d~1. Следовательно, x(G) = d+(G) < 2d~1.

Summary

E. V. Prosolupov. On the gap between the minimal dimension of the orthonormal labeling and the size of the smallest clique covering of a graph.

An estimation of the gap between the minimal dimension of the orthonormal labeling (d(G)) and the smallest number of cliques (x(G)) that cover the vertices of graph G is considered. It's well known that d(G) belongs to the interval between a(G) and x(G), where a(G) is the size of the largest stable set in G. It is also known that the interval [a(G),x(G)] can be arbitrary large for any a(G) > 2 and that computing these functions is a NP-hard problem. A family of graphs for which the interval can be arbitrary large even when equality a(G) = d(G) holds is constructed. However in this case x(G) can be estimated in terms of d(G) and consequently in terms of a(G).

Литература

1. Добрынин В. Ю. Хроматическое число графа и ранг матрицы // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 3 (№15). С. 120-122.

2. Зыков А. А. // Мат. сб. Т. 24. 1949. №2. С. 163-188.

3. Alon N., Seymour P. A counterexample to the rank-coloring conjecture //J. Graph Theory. Vol. 13. 1989. P. 523-525.

4. Dobrynin V. Yu. On the function "sandwiched" between a(G) and x(G) // Electron. J. Combinat. Vol. 4. 1997. R19.

5. Dobrynin V. Yu. On the rank of a matrix associated with graph // Discrete Mathematics. Vol. 276. 2004. № 1-3. P. 169-175.

6. Dobrynin V. Yu., Pliskin M., Prosolupov E. On the functions with values from [a(G),x(G)] // Electron. J. Combinat. (представлено к публикации)

7. Fajtlowicz S. On conjectures of Graffiti // Discrete Math. Vol. 72. 1988. P. 113-118.

8. Fishkind D. E., Kotlov A. Rank, term rank, and chromatic number // Discrete Mathematics. Vol. 250. Issue 1-3. May 2002.

9. Knuth D. E. The Sandwich Theorem // Electron. J. Combinat. Vol. 1. 1994. A1. 48 p.

10. Kotlov A. Rank and chromatic number of a graph // J. Graph Theory. Vol. 26. 1997. P. 1-8.

11. Lovasz L. On the Shannon capacity of graphs // IEEE Trans. Inform. Theory. Vol. 25. 1979. P. 1-7.

12. Mycielski F. // Collog. Math. Vol.3. 1953. №2. P. 161-162.

13. Nisan N., Wigderson A. On rank vs. communication complexity // Proceedings of the 35th FOCS. 1994. P. 831-836.

14. Van Nuffelen C. A bound for the chromatic number of a graph // Amer. Math. Monthly. Vol. 83. 1976. P. 265-266.

15. Raz R., Spieker B. On the log-rank conjecture in communication complexity // Proceedings of the 34th FOCS. 1993. P. 168-176.

16. Razborov A. The gap between the chromatic number of a graph and the rank of its adjacency matrix is superlinear // Discrete Math. Vol. 108. 1992. P. 393-396.

Статья поступила в редакцию 19 февраля 2004 г.