О разрешимости задачи Штурма – Лиувилля, нелинейной по спектральному параметру Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.25

doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-9

О разрешимости задачи Штурма - Лиувилля, нелинейной по спектральному параметру

Г. В. Чалышов

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Проведено изучение разрешимости задачи Штурма - Лиувилля нелинейной по спектральному параметру на отрезке с краевыми условиями третьего рода. Материалы и методы. Основной метод исследования задачи -это ее эквивалентное сведение к интегральному уравнению. Результаты. Получена и доказана теорема о разрешимости интегрального характеристического уравнения. Этот результат позволяет получить результат о разрешимости исходной задачи. Выведено условие для коэффициентов уравнения, которое дает возможность доказать дополнительные результаты о разрешимости. Выводы. Математический аппарат, предложенный в настоящей работе, является достаточно мощным инструментом исследования задач Штурма - Лиувилля, в том числе получения важных результатов о свойствах собственных функций и асимптотике собственных значений. Ключевые слова: задача Штурма - Лиувилля, интегральная характеристическая функция, теорема разрешимости, интегральное характеристическое уравнение

Благодарности: автор благодарит к.ф.-м.н., доцента Д. В. Валовика за постановку задачи и полезные обсуждения.

Финансирование: работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант 24-21-00028.

Для цитирования: Чалышов Г. В. О разрешимости задачи Штурма - Лиувилля, нелинейной по спектральному параметру // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 4. С. 105-117. doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-9

On the solvability of the Sturm - Liouville problem, nonlinear in the spectral parameter

G.V. Chalyshov

Penza State University, Penza, Russia [email protected]

Abstract. Background. The paper studies the solvability of the Sturm-Liouville problem, which is nonlinear in the spectral parameter. The problem is studied on a segment with boundary conditions of the third kind. Materials and methods. The main method for studying a problem is its equivalent reduction to an integral equation. Materials and methods. The main method for studying a problem is its equivalent reduction to an integral equation. Results. A theorem on the solvability of the integral characteristic equation is obtained and proven, which leads to the result on the solvability of the original problem; an additional condition is given that contains a restriction on the functions P and Q and allows one to obtain more meaningful results on solvability. Conclusions. The developed mathematical ap-

© Чалышов Г. В., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

paratus, namely the integral characteristic equation, will make it possible in the future to obtain results on the properties of eigenfunctions and eigenvalues, as well as their asymp-totics.

Keywords: Sturm-Liouville problem, integral characteristic function, solvability theorem, integral characteristic equation

Acknowledgements: The author extends gratitude to D.V. Valovik (candidate of physical and mathematical sciences) for setting the task and useful discussions. Financing: the research was financed by the RSF within the grant No. 24-21-00028. For citation: Chalyshov G.V. On the solvability of the Sturm - Liouville problem, nonlinear in the spectral parameter. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(4):105-117. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-4-9

Формулировка задачи

Будем изучать задачу Штурма - Лиувилля для следующего уравнения:

(P(x,X)y(x))' + Q(x,X)y(x) = 0, xe x = [0,1], (1)

где (x,X)e xхЛ, а x = [0,a], 1 <a и Л = [Ь, +<»); b - вещественная константа. Мы предполагаем, что функции P, Q являются непрерывными по x,X при (x,X)e xхЛ, а функция P, кроме этого, и однократно непрерывно дифференцируема по x при xe x; а также P(x,X)> 0, Q(x,X)> 0 при (x,X)e xхЛ.

Задачей V будем называть задачу определения (доказательства существования) таких (собственных) значений параметра X, для которых существует нетривиальное классическое решение y = y (x; X) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям третьего рода:

y(0;X)-y'(0;X) = 0, y(1;X) + y'(1;X) = 0. (2)

Уравнение вида (1) является источником многих фундаментальных результатов, особо отметим работы ([1, с. 191; 2-11]). Многие частные случаи задачи Штурма - Лиувилля для уравнения (1) изучаются в [12-17], численным методам нахождения собственных значений и собственных функций также уделяется достаточное внимание, см., например, работы [4-6]. Здесь мы отметим, что в нашем исследовании накладываются менее ограничительные условия на поведение функций P и Q , чем в работе [1].

Мощный метод исследования задачи Штурма - Лиувилля основан на введении и изучении отвечающей ей характеристической функции. Такая функция строится следующим образом. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1), начальные данные выберем так, чтобы они удовлетворяли первому краевому условию, т.е. при x = 0 в (2). Теперь подставляя это решение y (x; X) задачи Коши в оставшееся краевое условие, т.е. при x = 1 в (2), получим уравнение y (1; X) + y' (1; X) = 0 относительно спектрального параметра X. Построенное таким образом уравнение в теории задач Штурма - Лиувилля и

называется характеристическим уравнением, его левая часть называется характеристической функцией (параметра X) [18]. В настоящей работе мы также используем решение вспомогательной задачи Коши для построения некоторой функции параметра X. Нули этой функции являются собственными значениями изучаемой задачи Штурма - Лиувилля. С точки зрения сказанного выше построенную функцию можно рассматривать в качестве характеристической функции в смысле классического определения. Так как эта функция представлена в виде интегрального выражения, мы называем ее интегральной характеристической функцией. Приравнивая эту функцию к нулю, получаем уравнение относительно X, которое назовем интегральным характеристическим уравнением.

Основные результаты

Начнем с введения некоторых обозначений: собственные значения задачи V будем обозначать как Xn , так и X (без индекса), где n > 0 - целочисленный индекс, равный числу нулей соответствующей собственной функции y = y (x;Xn) при xe (0,1). При этом предполагается, что собственные значения Xn упорядочены по возрастанию.

Из предыдущего очевидно, что для функций P(x,X), Q(x,X) выполняются такие свойства:

0 < p-(X)< P (x, X)< p+(X), 0 < q-(X)< Q (x, X)< q+(X), (3)

где

p- (X) = minP(x,X), q- (X) = minQ(x,X),

xex xex

p+ (X) = max P (x, X), q+ (X) = max Q (x, X).

xex xex

Рассмотрим решение y = y(x;X) задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными:

y(0;X) = 1, y'(0;X) = 1. (4)

Это решение понадобится нам при построении интегрального характеристического уравнения.

Интегральное характеристическое уравнение задачи Р

Рассмотрим решение y = y(x;X) задачи Коши (1), (4). Это решение

может обращаться в нуль внутри рассматриваемого интервала. Для определенности будем предполагать, что указанное решение имеет n +1 нуль xj,..., xn+1 с x, где x = ( 0, a] и 0 < xj <...< xn+1 < a, где n > 0 - целое число. Очевидно, что в общем случае точки xt зависят от X. Поскольку y(x;X) = 0, то y'(xt;X) 0 при i = 0,n +1, где xq = 0.

__n

Пусть x, = (x,, xi+i), где i = 0, n, а = 0. При x e У x, существует и

i=0

непрерывна функция

y (x; A)

Из формул (2) следует, что

П(0;A) = P(0;A), n(1;A) = -P(1;A).

Принимая во внимание (1), получаем, что п удовлетворяет соотношению

n' = -w (n, x; A), (5)

П2 n

где w(n,x;A) = Q(x,A)+ ( A ), при xe у x,- .

P (x,A) i=0 Из условий P(x,A)> 0,Q(x,A)> 0 при (x,A)e xхЛ следует, что

w (x, n; A)> 0 (6)

при (x,n,A)e xхMхЛ.

Из формул (5) и (6) следует, что n'< 0, а значит n = n(x;A) монотонно

n

убывает при x e У x,- . Тогда ясно, что i=0

lim n(x; A) = ±^ для всех 1 < i < n. (7)

x^x, ±0

Полученные формулы со всей очевидностью дают существование непрерывных взаимно-однозначных отображений

gi :vi ^xi :n^x,

где Vo = (, П(0; А)), V, = (-~, +<~) при г = 1, п -1, vn = (п (1;А), Отдельно отметим, что если п = 0, то Vo = (п(1;А),п(0;А)). Введенные в рассмотрение взаимно-однозначные отображения gi позволяют определить такие функции х = gi (п;А), где пе V,, а хе х, = (х,,хг+1).

Проведенные рассуждения позволяют корректно определить выраже-

ние

i

v,

где q (v;A) = Q(- (v;A); A) + v2/ P(- (v;A);A) при ve v,, i = 0,n. 108

Определим функцию

ф(Х; п ) = % (Х).

1=0

В следующей теореме получаем главный результат.

Теорема 1 (об эквивалентности). Значение ХеЛ является собственным значением задачи V, если и только если существует целое число п > 0 такое, что Х = Х при п = П удовлетворяет уравнению

Ф(Х; п)-1 = 0. (9)

Формула (9) представляет собой семейство (но не систему) уравнений при различных п = 0,1,... Уравнение (9) и будет нашим интегральным характеристическим уравнением задачи V, а функция Ф(Х; п)-1 называется интегральной характеристической функцией этой задачи.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Пусть Х = Х - решение уравнения (9) при п = п. Тогда при Х = Х решение у = у(х;Х) задачи Коши (1), (4) удовлетворяет краевым условиям (2) и имеет п + 2 простых (кратности 1) нулей ху е [0,1]. Если

п > 1, то ху =ф(^;у -1) ,где 1 < у < п .

Отсюда получаем, что расстояние между двумя последовательными нулями и х+ собственной функции у(х;Х) определяется формулой

= Г ^У

''!, ФХ)'

Обратим внимание читателя на то, что обозначение Хп, введенное для собственных значений задачи V, устанавливает связь между числом нулей соответствующей собственной функции уп = у (х;Хп), которые находятся

внутри интервала х = (0,1), и индексом п собственного значения Хп. Это

значит, что индекс п в обозначении Хп соответствует значению параметра п в уравнении (9). Принимая во внимание, что уравнение (9) содержит п +1 слагаемых, то ясно, что получаемые на основе анализа этого уравнения оценки для Хп будут выражены через некоторые функции от аргумента п +1. Если сделать замену индекса, то можно получить оценки для Хп через функции от аргумента п, как это обычно и принято в литературе.

Сделаем еще замечание: если уравнение (9) имеет к > 2 различных решений Х = Х для одного и того же значения п = п , то чтобы избежать недоразумений в нумерации, эти решения можно снабжать дополнительным индексом: Хп 1,...Ха к (предполагается, что собственные значения упорядочены по возрастанию).

Из теории Штурма - Лиувилля известно, что уравнение (1) для заданного А имеет не более двух линейно независимых решений. Это значит, что пространство собственных функций, отвечающих одному и тому же собственному значению, имеет размерно не более 2. Как известно, размерность этого пространства равна числу линейно независимых решений краевой задачи (1)-(2) при выбранном А = А, и это число называется кратностью собственного значения.

Верны следующие утверждения.

Утверждение 1. Всякое собственное значение А задачи V является простым (кратности 1).

Утверждение 2. Если функция Т (А) определена, то она является положительной и непрерывно зависит от А е Л,.

Результат, позволяющий исследовать разрешимость уравнения (9),

дает

Утверждение 3. Справедлива оценка

(А)<^22. (10)

^+(а) 1 ^-(А)

Из утверждения 3 элементарно получаем

Следствие 2. Имеет место оценка

ю,:&ф(А; п )<„(,+1)в . (и)

у<?+(А) ^-(А)

Доказательство существования собственных значений задачи V основано на использовании полученных выше оценок (10) и (11). Оценки подобного рода, получаемые из исследования интегралов (8), являются основным инструментом выяснения условий разрешимости уравнения (9).

Существование собственных значений задачи Р

Один из классических результатов теории Штурма - Лиувилля - это существование бесконечного множества собственных значений с точкой накопления на бесконечности. Имея ввиду этот результат, было бы естественно найти условия на коэффициенты Р и Q , при которых рассматриваемая задача будет иметь бесконечное число собственных значений. В следующей теореме представлено одно из возможных условий такого рода.

Теорема 2. Пусть имеет место формула

АНт а (12)

(А)

Тогда найдется такое целое по > 0 , что уравнение (9) имеет не меньше одного решения А = Ап е Л для каждого п = П0, П0 +1,...; при этом /шп^тоАп и Лг- являются неограниченными множествами для всех

I > 0.

University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(4) Из теоремы 2 получаем

Следствие 3 (теорема о разрешимости I). Если справедливо условие (12), то задача V имеет бесконечное число собственных значений Хn с точкой накопления на бесконечности.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Предположим, что Х -собственное значение задачи V. Отсюда следует, что решение y(x;Х) задачи Коши (1), (4) - собственная функция задачи V. Кроме этого, пусть это решение имеет n нулей xj,...,xn. Можно также предположить, что эти n нулей лежат в интервале (0,1). Используем решение y(x;Х), чтобы построить

n

функцию n = n(x; Х), определенную на ^ xt.

i=0

Используя введенные выше взаимно-однозначные отображения gt и определенные с их помощью функции P(gi (г;Х);Х) и Q(gi (г;Х);Х), непрерывные при пе Vi, приходим к выводу, что функция ) = )(x;Х) является решением уравнения

г' = -$г (п; Х), (13)

первая часть которого определена после формулы (8). Очевидно, что справедливы соотношения

г( ± 0;Х) = ±~ j = 0,n +1 . (14)

Уравнение (13) является автономным. Разделив переменные и проинтегрировав это уравнение на каждом из интервалов xt для i = 0, n, учитывая, что функция n=)(x;Х) удовлетворяет этому уравнению, мы получаем следующее соотношение:

-S =Ь (15)

справедливое для любых а,Ре xt. Сделав в определенном интеграле в левой части равенства (15) замену переменной v = )(x;Х), будем иметь

г(т d

- i ^Гй = в-а.

narfi(v; Х)

Устремляя в этом равенстве а к xt + 0 и в к x^+i - 0 , получаем, учитывая соотношения (14), равенство

—^ d

- i = xi+1 — xi, (16) l.*(v;Х)

где г = 0, п. Поскольку правые части в (16) являются конечными, то и левые части также конечны. Это приводит к сходимости всех несобственных интегралов. Суммируя равенства (16) по г = 0, п, мы получаем следующее соотношение:

Принимая во внимание, что у(х;А) является собственной функцией, получаем, что хп+\ = 1, а значит Ф(А;п)-1 = 0. Важно отметить, что если решение задачи Коши не является собственной функцией задачи V, то хп+1 < а

Итак, мы показали, что всякое решение задачи V является решением уравнения (9) для некоторого п = п.

Достаточность. Предположим, что А является решением уравнения (9) для п = п. Очевидно, что имеет место равенство Ф(А;п)-1 = 0. Отсюда

получаем, что решение у(х;А) задачи Коши (1), (4) удовлетворяет условию

у(1;А) + у'(1;А) = 0 и при этом число нулей функции у(х;А) на интервале

(0,1) равно в точности п. Но выполнение условия у (1; А) + у'(1; А) = 0 для построенного решения задачи Коши (1), (4) означает, что выбранное значение А является собственным значением задачи V. Но тогда, как и было установлено в доказательстве необходимости, действительно выполняется соотношение Ф(А; п)-1 = 0.

Доказательство следствия 1. Результат о том, что функция у (х;А)

удовлетворяет краевым условиям (4), следует из доказательства теоремы 1.

Если у(х,;А) = у(х{;А) = 0, то у(х;А) = 0, что противоречит условию

у'(0;А) = 1. Это приводит к выводу, что нули х, являются однократными.

Формулы (16) описывают расстояния между соседними нулями решения у (х; А). Суммируя первые у членов в (16), мы получаем формулу, выражающую значение у -го нуля.

Доказательство утверждения 1. Предположим, что существует такое собственное значение А еЛ, которому соответствуют два линейно независимых решения у = у^ (х; А) и у = у2 (х; А) задачи (1)-(2). Составим определитель Вронского, связанный с этими двумя решениями:

п(0;А)

п-1+то

п(1;А)

Поскольку у1 и у2 - линейно независимые решениями (1), то определитель V (х) Ф 0 для всех хе х. Но в то же время ясно, что

W (0 ) =

Л (0; X) y2 (0; X) y1 (0; X) y'2 (0; X)

У1 (0; X) y2 (0; X) У1 (0; X) y2 (0; X)

= 0.

Это означает, что решения yi и У2, вопреки первоначальному предположению, на самом деле линейно зависимы. Отсюда следует, что любое собственное значение X еЛ задачи V является простым.

Доказательство утверждения 2. Принимая во внимание, что w (x, n; X)> 0, получаем q (v; X)> 0, а значит Tt (X)> 0 для всех XeA и всякого целого i>0.

Из классических результатов теории следует, что решение y = y (x; X) задачи Коши (1), (4) непрерывно зависит от X при XeA [20]. Но тогда в силу свойств взаимно-однозначных отображений gi получаем, что функции x = gi (n;X) непрерывны по n и X при (n,X)e v. xA. Поэтому подынтегральные выражения в Ti (X) также непрерывны при (n,X)e Vi хЛ как суперпозиции непрерывных функций. Отсюда следует, что для каждого i функция T (X) непрерывно зависит от X при XeЛ, а значит, и сумма непрерывно зависит от X при XeЛ.

Доказательство утверждения 3. Рассмотрим функцию Ti (X), заданную формулой (8). Введем обозначение:

ь с X)= С (С gi(X); X) +^(Lpj.

пусть b+(v; X):= max tEVjь (v, t; X) и b-(v; X):= min tEVjь (X).

Тогда, как можно легко увидеть, справедливы следующие неравенства:

f——— < f-^< f. (17)

V. b+(v; X) V. й- (v;X) V. b-(v; X) ;

vi vi vi

Величины b+(v; X) и b-(v; X) можно оценить следующим образом:

(v;X) < max supЬ (v,t;X) < (v;X),

i=0,ntevi-

b-(v;X) > mininf Ь(v,t;X)>^"(v;X),

i=0,ntevi■

v2 v2

где b+(v;X) = q+ +--и b"(v;X) = q_+--, а p± и q± определены в (3) и

P- P+

зависят от X.

Учитывая сказанное, можем записать неравенство (17) в следующем

виде:

Г * < Г ^ < ¡-^< Г ^ < Г ^ (18)

V. (V; I. % ( I * ( ьу V. (V; X)" V- Г ( X) '

Откуда следует следующая оценка:

Г < Т (Х)< Г . (19)

Ь) Л } 1*Т(г,X) ' 9

Интегралы в левой и правой частях в (19) вычисляются точно и дают

I

f dv =КЧр- f dv =KV p+ (20)

-U>;x)~ 4У+ ' -U-(v;xf 4У- '

Теперь неравенство (19) с учетом результата (20) приводит к (10). Доказательство теоремы 2. Несколько важных следствий из оценки (10) и условия (12). Первое: множества Л1 являются неограниченными для

всех i > 0. Второе: для каждого i > 0 существует подмножество Лi , являющееся неограниченным и связным.

Кроме уже полученного из оценок (10), (11) и условия (12) получаем,

что min Ф(Х; n )< 1. А поскольку функция Ф является суммой расстояний

ЬЕА n

между смежными нулями xt решения y(x;X) задачи Коши (1), (4), то начиная с некоторого n = пд > 0 получаем max Ф(Х; n) = a > 1.

hEÄ n

Далее, поскольку min Ф(Х;n)< 1, а max Ф(Х;n)> 1, то, принимая во

hEÄn XEÄn

внимание непрерывную зависимость T (X) от X при ХеЛi, найдется такое значение XX еЛ n, что Ф(Х; n ) = 1.

Это рассуждение подходит для каждого n = щ, nQ +1,... Отсюда получаем, что для каждого n = щ, n0 +1, ... найдется не меньше одного решения Х = Хn е Л уравнения (9). А значит, при условии (12) существует бесконечное число решений Xn е Л уравнения (9). Отсюда получаем limn^^Xn = .

Список литературы

1. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : ИЛ, 1953. Т. I. 348 с.

2. Mennicken R., Schmid H., Shkalikov A. A. On the eigenvalue accumulation of sturm-liouville problems depending nonlinearly on the spectral parameter // Mathematische Nachrichten. 1998. Т. 189, № 1. С. 157-170.

3. Bohner M., Kratz W., Hilscher R. S.. Oscillation and spectral theory for linear hamilto-nian systems with nonlinear dependence on the spectral parameter // Mathematische Nachrichten. 2012. Т. 285, № 11-12. С. 1343-1356.

4. Абрамов А. А., Юхно Л. Ф. Нелинейная спектральная задача для уравнения типа Штурма - Лиувилля со связанными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39, № 7. С. 1119-1133.

5. Акуленко Л. Д., Гавриков А. А., Нестеров С. В. Численное решение нелинейных по спектральному параметру векторных задач Штурма - Лиувилля с условиями Дирихле // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 9. С. 1503-1516.

6. Крегжде А. В. О разностных схемах для нелинейной задачи Штурма - Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, № 7. С. 1280-1284.

7. Lütgen J. P. Eigenvalue accumulation for singular sturm-liouville problems nonlinear in the spectral parameter // Journal of Differential Equations. 1999. Т. 159, № 2. С. 515-542.

8. Hilscher R. S. Eigenvalue theory for time scale symplectic systems depending nonline-arly on spectral parameter // Applied Mathematics and Computation. 2012. Т. 219, № 6. С. 2839-2860.

9. Hartman P. Boundary value problems for second order, ordinary differential equations involving a parameter // Journal of Differential Equations. 1972. T. 12, № 1. С. 194212.

10. Atkinson F. V., Langer H., Mennicken R. Sturm-liouville problems with coefficients which depend analytically on the eigenvalue parameter // Acta Sci. Math. (Szeged). 1993. Т. 57, № 1-4. С. 25-44.

11. Guliyev N. J. Essentially isospectral transformations and their applications // Annali di Matematica Pura ed Applicata. 2020. Т. 199, № 4. С. 1621-1648.

12. Желтухин В. С., Соловьёв С. И., Соловьёв П. С. Аппроксимация наименьшего собственного значения нелинейной задачи Штурма - Лиувилля // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2015. Т. 157, № 2. С. 40-54.

13. Jonas P., Trunk C. A sturm-liouville problem depending rationally on the eigenvalue parameter // Mathematische Nachrichten. 2007. Т. 280, № 15. С. 1709-1726.

14. Langer M. Eigenvalues of a X-rational sturm-liouville problem // Mathematische Nachrichten. 2000. Т. 210, № 1. С. 163-176.

15. Kravchenko V. V., Torba S. M. Modified spectral parameter power series representations for solutions of sturm-liouville equations and their applications // Applied Mathematics and Computation. 2014. Т. 238. С. 82-105.

16. Adamjan V., Langer H., Langer M. A spectral theory for a X-rational sturm-liouville problem // Journal of Differential Equations. 2001. Т. 171, № 2. С. 315-345.

17. Sukhtayev А., Zumbrun K. A sturm-liouville theorem for quadratic operator pencils // Journal of Differential Equations. 2020. Т. 268, № 7. С. 3848-3879.

18. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма - Лиувилля. Киев : Наукова думка, 1972. 219 с.

19. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.

20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Мир, 1970. 720 c.

References

1. Sansone G. Obyknovennyye differentsialnyye uravneniya = Ordinary differential equations. Moscow: IL, 1953;I:348. (In Russ.)

2. Mennicken R., Schmid H., Shkalikov A.A. On the eigenvalue accumulation of sturm-liouville problems depending nonlinearly on the spectral parameter. Mathematische Nachrichten. 1998;189(1): 157-170.

3. Bohner M., Kratz W., Hilscher R.S. Oscillation and spectral theory for linear hamilto-nian systems with nonlinear dependence on the spectral parameter. Mathematische Nachrichten. 2012;285(11-12):1343-1356.

4. Abramov A.A., Yukhno L.F. Nonlinear spectral problem for a Sturm-Liouville type equation with coupled boundary conditions depending on the spectral parameter. Zhur-nal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1999;39(7):1119—1133. (In Russ.)

5. Akulenko L.D., Gavrikov A.A., Nesterov S.V. Numerical solution of nonlinear in spectral parameter vector Sturm-Liouville problems with Dirichlet conditions. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2017;57(9): 1503—1516. (In Russ.)

6. Kregzhde A.V. On difference schemes for the nonlinear Sturm-Liouville problem. Dif-ferentsialnyye uravneniya = Differential equations. 1981;17(7):1280-1284. (In Russ.)

7. Lutgen J.P. Eigenvalue accumulation for singular sturm-liouville problems nonlinear in the spectral parameter. Journal of Differential Equations. 1999;159(2):515-542.

8. Hilscher R.S. Eigenvalue theory for time scale symplectic systems depending nonline-arly on spectral parameter. Applied Mathematics and Computation. 2012;219(6):2839-

9. Hartman P. Boundary value problems for second order, ordinary differential equations involving a parameter. Journal of Differential Equations. 1972;12(1): 194—212.

10. Atkinson F.V., Langer H., Mennicken R. Sturm-liouville problems with coefficients which depend analytically on the eigenvalue parameter. Acta Sci. Math. (Szeged). 1993;57(1-4):25-44.

11. Guliyev N.J. Essentially isospectral transformations and their applications. Annali di Matematica Pura ed Applicata. 2020;199(4):1621-1648.

12. Zheltukhin V.S., Solovyov S.I., Solovyov P.S. Approximation of the least eigenvalue of the nonlinear Sturm-Liouville problem. Uchenyye zapiski Kazanskogo universiteta. Ser-iya: Fiziko-matematicheskite nauki = Proceedings of Kazan University. Series: Phusical and mathematical sciences. 2015;157(2):40-54. (In Russ.)

13. Jonas P., Trunk C. A sturm-liouville problem depending rationally on the eigenvalue parameter. Mathematische Nachrichten. 2007;280(15):1709-1726.

14. Langer M. Eigenvalues of a X-rational sturm-liouville problem. Mathematische Nachrichten. 2000;210(1):163-176.

15. Kravchenko V.V., Torba S.M. Modified spectral parameter power series representations for solutions of sturm-liouville equations and their applications. Applied Mathematics and Computation. 2014;238:82-105.

16. Adamjan V., Langer H., Langer M. A spectral theory for a X-rational sturm-liouville problem. Journal of Differential Equations. 2001;171(2):315-345.

17. Sukhtayev A., Zumbrun K. A sturm-liouville theorem for quadratic operator pencils. Journal of Differential Equations. 2020;268(7):3848-3879.

18. Marchenko V.A. Spektralnaya teoriya operatorov Shturma - Liuvillya = Spectral Theory of Sturm-Liouville Operators. Kiev: Naukova dumka, 1972:219. (In Russ.)

19. Naymark M.A. Lineynyye differentsialnyye operatory = Linear differential operators. Moscow: Nauka, 1969:528. (In Russ.)

20. Khartman F. Obyknovennyye differentsialnyye uravneniya = Ordinary differential equations. Moscow: Mir, 1970:720. (In Russ.)

2860.

Информация об авторах / Information about the authors

Гордей Валерьевич Чалышов

аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Gordey V. Chalyshov

Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 18.10.2024

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 27.11.2024 Принята к публикации / Accepted 17.12.2024