О разрешимости задач сопряжений для нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, с учетом (3.7)—(3.10) с отображением утп:ет^е„, (ш>п) ассоциируется поля гиперконусов

2. В„2_1 и г„2_1 в ап=утпет.

Поэтому в евклидовом пространстве Ет и в аффинном пространстве Ап можно определить поля двумерных площадок по аналогии с пунктами 2.5 и 2.6 данной статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. О дифференцируемом отображении евклидова пространства Em в аффинное An (m<n) // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 314. -№ 2. - С. 5-9.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Ивлев Е.Т., Тыртый-оол, Бразевич М.В. О некоторых геометрических образах многообразий двойственных линейных подпространств в многомерном проективном пространстве // Математический сборник. Изд-во Томского госуниверситета. - Томск, 1974. - Вып. 1. - С. 68-91.

Поступила 06.05.2009 г.

УДК 517.956.6

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

К.Г. Кожобеков

Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская республика E-mail: [email protected]

Доказаны теоремы существования и единственности решения задач сопряжений для нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка.

Ключевые слова:

Задача сопряжения, нелокальная задача, нелинейные уравнения, принцип сжатых отображений. Key words:

Conjugation problem, nonlocal problem, nonlinear equations, principle of contraction mapping.

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в двухслойных средах с резко отличающимися физическими свойствами, часто сводится к задачам сопряжения для уравнений в частных производных [1-3].

В области Б={(х,у):0<х<е,-Н2<у<Н1}(е,Н1,Н2>0) рассмотрим задачу сопряжения для следующих нелинейных уравнений третьего порядка

иххх (х, У) - иу (х, у) = /1 (х, у, и(х, у), и (х, у)),

(х, у) е Д = Б п (у > 0), (1)

ихуу (х, у) = л(х, у, и(х, у), иу (х, у)),(х, у) е Б2 =

= Б п (у < 0), (2)

где /(/=1,2) - заданные функции. Задача 1. Найти функцию и(х, у) е С(Б) п С'(Б), и_ е С(Д), и^ е С(Д),

удовлетворяющую уравнениям (1) и (2) в областях Б1 и Б2 соответственно и краевым условиям

и(0,у) = ф(у), и(£,у) =ф(у), их(0,у) = Ф3(у), 0 < у <И,, (3)

и(0, у) = х(у), - И < у < 0, (4)

и(х, -И2) = у(х),0 < х < I, (5)

где ф(у)(/=1,3), ф(у), у(х) - заданные функции.

Уравнения (1) и (2) по классификации работы [4] принадлежат к разным типам уравнений с частными производными третьего порядка относительно старших производных.

Из постановки задачи 1 следует, что на линии у=0 выполняются условия сопряжения и(х, -0) = и(х, +0), иу(х, -0) = иу(х, +0), 0 < х< I (6)

Отметим, что прямая у=0 является одновременно характеристикой как для уравнения (1), так и для уравнения (2). Уравнения (1) и (2) в совокупности с условиями сопряжения (6) являются уравнениями смешанного типа [5] в области Б. Краевые задачи для нелинейных уравнений смешанного типа второго порядка рассмотрены в работах [6, 7], а для нелинейных уравнений третьего порядка в [8, 9].

Сделаем следующие предположения относительно заданных функций:

1) ф (y) е C'[0, hj (i = 1,3), х(У) е C2[-й2,0], (х) е C 1[0,i(0) = (0), (-h2) = (0);

у; (х, y, u, p) е C(D х Л2), V(х, y, u, p) е D x Л2: max | / (х, y, u, p) | < H, i = 1,2,

2)

H=const>0,R - двумерное пространство переменных (u,p);

3)

Vu, p,u, p е Л2 3 i = const > 0:

|/(х, y, u, p) - /(х, y, u, p)<

< i(|u -u| + |p - p|),i = 1,2.

Введем следующие обозначения u(х,0) = т(х), uy(х,0) = v(х), 0 < х< I (7)

Переходя к пределу при у/+0 из уравнения (1), получаем

Т(х) — v(х) = /(х,0,т(х),т'(х)), 0 < х < I (8)

Интегрируя уравнение (2) и учитывая краевые условия (4), (7), имеем

u (х, у) = т (х) + y v (х) + X ( у) - х '(0) у - х(0) +

х У

+J dS J(У -п)Ж П, u(S п ), u^ п )) dn,( х, У) е DT (9)

0 0

Используя условие (5) из (9), получаем соотношение

т( х) - h2v( х) = T( х) -

х 0

-JdS J (h2 +n)Л^пu(S,nXun(^,n))dn;

0 -h2

0 < х < (10)

где T(х) = ¥(х) - x(-h2) - hx'(0) + X(0).

Исключая v(x) из (8) и (10) относительно т(х), приходим к следующей задаче

Т(х)--1-т(х) = /1(х,0,т(х),т'(х)) --1-T(х) + h2 h2

1 х 0

+т JdS J (hi +n)/2(S,n,u(S,n),u-(S-)) dn,

h2 0 - h2

0 < х < e, (11)

т(0) = Ф1 (0), т(ф = Ф2(0), т'(0) =фз(0). (12)

Уравнение (11) запишем в виде

т'"(х) = F(х), 0 < х < t,

(13)

где F(х) = -1 т(х) + /1(х,0,т(х),т'(х)) -i-х) + h, h2

1 х 0

— J dS J (hi +n) u(S,nX un(S,n)) dn.

h2 0 -h2

Введем функцию фх^т^+Ф^х), где

+— h

(х) = | 1 - ^) Ф (0) +Ф (0) + ^ х - Х^ фз (0).

Тогда с учетом (12) и (13) для т(х) приходим к следующей задаче

х) = Г(х), 0 < х < £, Т (0) = 0, т1(£) = 0, т'(0) = 0. (14)

Решение задачи (14) имеет вид

где

G (х,£) =

1( х) = J G (х,^) F (S) dS,

0

S - хS

2^2

2

-(хS+S^-2х^), 0<S <х,

-—(£-S)2, х<S<I.

И2

- функция Грина.

Таким образом, для т(х) получим следующее со-

отношение

т( х) = Ф( х) + h- J G (^SMS) dS +

h2 0

I

+J G (х^) /¡(S,0,T(S),T'(S)) dS +

0

i 0

+JdS J E(x,S,n)m,n,u(S,n),un(S,n))dn, (15)

где

1 '

Ф( х) = Ф1( х) - — J G (х, S) T(S) dS,

h2 0

h + '

E(х, S, n ) = -2"+- J G(х, s) ds.

h h2

h2 S

Дифференцируя (15), имеем

х) = Ф' (х) + h- J Gx (х,S)т(S) dS +

h2 0

t

+J Gx (^S) /1(S,0,t(S),t ' (S)) dS +

0

i 0

+JdS J Ех(x,S,n)/2(S,n,u(S,n),u-(S,n))dn. (16)

0 -h2

Тогда для v(x) получим соотношение

v( х) = h- Ф( х) +1J G (^SMS) dS +

h2 h2 0

+h- J G( ^S) /1(S,0,T(S),T '(S)) dS +

20 0

+T J dS J Е(х^,-)/2(^-, u(S,n), u-(S-)) dn

0 - h

2 0 -h

1 x 0

+—jdE j (h2 +n)f2(E,n,u(E,n), ил(Е,,п)) dn -

- i T(x)

"2

(17)

С учетом (15) и (17) для и(х,у) приходим к инте-гро-дифференциальному уравнению

и(х, у) = ы0 (х, у) + ^ \ ОX, ЕЖЕ) +

h2 + У

j g (x,E) fl(E,0,r(E),r'(E)) dE

h2 + У + ——— x

с равенствами (15), (16), (18), (19) определяются формулами

t

Ag - goi +JK-g-E)dE +

0

+j К 2 m,0, g-(E), g2(E)) dE +

0

t 0

+jdE j K/3f2(t,n,g3(E,n),gE))dn +

0 -h2 x 0

+J dEj Ki4 f2(E,n, g3(E,n), g M,n)) dn +

0 У

x 0 _

+JdE j K„f2(E,n,g3(E,n),g<(E,n))dn, i== (21)

xjdE j E(x,E,n) Шп,u(E,nl un(E,n)) dn -

0 -h2 x0

+jdEj(n -y)f2(E,n,u(E,n),un(E,n)) dn +

где

0У x0

jdE j ÄM f2(E,n,u(E,n)Un(En))dn,

0 -h2 2

(18)

где

и0(х,у) = ^^Ф(х) - у Ч(х) +

п2 п2

+Х(У) -х'(0)У-х(0). Дифференцируя по у, из (18) получим 1 1

иу (х, у) = и0у (х, у) +—| 0(х, Е)т(Е) dE +

п2 0

+1} 0( х,Е) /1(Е,0,т(Е),т'(Е)) dE +

20 0

- jdE j E(x,E,n) f2(Enu(E,n),uv(E,n)) dn

72 0 - h2

x0

-j dEj f2(E,n, u(E,n), uv(E,n)) dn +

0 У x0

к- = -G(x,E), К 12 = G(x,E), h2

K13 = E(x,E,n), K-4 = 0, K-5 = 0,

K2i = -Gx(x,E), к22 = Gx (x, E), h2

K23 = Ex(x,E,n), K24 = 0, K25 = 0,

K3l =

h+y G (x,E), к22 = ^ h2

h

G( x, E),

K33 =

h2 + У

к

E (x,E,n\ K34 =n- У, K35 =

У (К2+У)

к '

+|dE | ^Пти(£л),и„(Ел))<п. (19)

0 - И2 п2

Таким образом, разрешимость задачи 1 сведена к решению системы уравнений (15), (16), (18), (19), которая является замкнутой системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для ее решения применим принцип сжатых отображений. С этой целью систему уравнений запишем в виде операторного уравнения

ё = Аё, (20)

в котором ¿=(?1„?2„?з„?4) - вектор-функция с компонентами gl=т(x), g2=т(x), g3=u(x,y), g4=uy(x,y), а оператор А=(А1,А1,А},Л*) определен на множестве функций geC(D 2) и его компоненты в соответствии

к41 = -V о (х,Е), к42 = П- о (х,Е),

п2 п2

К43 = П-Е(х,Еп), К44 =-1, К45 =

п2 п2

а &1=ФМ, ^Ф'^), goз=Uo(x,y), go4=Uoy(x,y) - компоненты вектора ^(^ь^&з,^).

Пусть оператор А осуществляет сжатое отображение шара 3^0,И)=^:\^^0\\<М} в себя, где М- некоторое заданное число. Норму g определим равенством ||ё|| = тах тах|ё,|. Для элементов g, принад-

II II 1<^4 1 1

лежащих шару 3^0,М), имеет место оценка И<Ы+М=0. В силу свойств заданных функций (условие 1, 2) заключаем, что шах\^^\<Г, /=1,4, у'=1,5.

Покажем, что оператор является на шаре S(g0,M)_оператором сжатия. Пусть geS(g0,M). Тогда Лg&C(D2) и, кроме того, справедливо неравенство

1

|Аё - ёо, |<Л К\\ёЕ dE +

0

1

+Л к,,|| МЕЛ ёЕ ё 2 (ЕЕ) | dE +

0

I о

+1 dE | \Къ\\/2(Е,п,ёз(Е,п),ёЕ))\dn +

2 0 -h

20

20

0 -h

2

0 -h

+J diu Kt f2e,n, g з£,П), g Л*П))\ dn +

0 y x 0

+J di J Kfin g3i,n), g<i,n))\dn <

0 -h2

< Tt (Q + H + 3Hh2), i = 14.

Отсюда заключаем, что если T£(Q+H+3Hh2)<M, то оператор отображает шар S(g0,M) в себя. Если учесть, что Q=|g0||+M, то из предыдущего неравенства имеем TM+T£(|g0||+H+3Hh2)<M. Очевидно, что оно имеет место, если TK1 и

M >

T i -1

1 - T í

|^||+ H + 3 H Ai).

+ÍI Ki 2

О

t О

bj di j |K,3

О - h2 x О

+j dij| K-4|

d i +

fiiA g((() (i), g 2()(i)) -

- f( (i, О, g(2)(i), g f(£))

f2(i,n, g fin), g 4()(i,n)) -

- f2(i,n, g 32)i,n), g 42)(i,n)) f2(i,n, g 3()in), g4()(i,n)) -

- /2(i,n, g32)i,n), g 42)(i,n))

dn + dn +

bj dij |K,5

f1(i,n,g3 (i,n),g44i,n)) -- f2(i,n, g 32)i,n), g 42)i,n))

dn <

< Tl (1 + 2L + бLh2)||g(1) - g Отсюда следует, что если T£ <- 1

(2)

1 + 2L + 6Lh

(22)

При таком подборе M имеем, что VgeS(g0,M):|^g-g0||<M, то есть AgeS(g(l,M).

Пусть ¿^/^ЛЛ

произвольные два элемента, принадлежащие шару S(g0,M). Тогда с помощью условия 3) имеем Используя это условие из (21), получаем

-А^21 < }|К• |я1(1)©-я32) ^^ +

то оператор A осуществляет сжатое отображение шара S(g0,M) в себя. Тогда в силу теоремы С. Банаха в шаре S(g0,M) существует и притом только одна неподвижная точка отображения, т. е. существует только одно решение уравнения (20). Решая это уравнение, например, методом последовательных приближений, мы однозначно определим все компоненты вектора g, в-том числе g1(x)=т(x) и g3(x,y)=u(x,y) в области D2 Тем самым определяем решение задачи 1 в области D2.

Решение задачи 1 в области D1 определим как решение следующей задачи: найти в области D1 регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (3) и u(x,0)=т(x).

Однозначная разрешимость этой задачи в случае линейного уравнения (1) рассмотрена в работе [10], а для нелинейного уравнения - в работах [11, 12].

Таким образом, доказано следующая теорема.

Теорема. Если выполняются условия 1-3 и уравнение (22), то решение задачи 1 существует и единственно.

Аналогично исследуется

Задача 2. Найти функцию u(x,y), удовлетворяющую всем условиям задачи 1, если вместо условия (5) выполняется условие uy(x,-h2)+a(x)u(x,-h2)=y(x) 0<к<£, где а(}>) - заданная функция, причем

-h

О

О

у

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. - 1959. -Т. 14. - Вып. 3 (87). - С. 3-19.

2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 536 с.

3. Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженерно-физический журнал. - 1964. - Т. 7. - № 1. - С. 89-92.

4. Джураев Т.Д., Попелёк Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференциальные уравнения. - 1991. -Т. 27. - № 10. - С. 1734-1745.

5. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970. - 296 с.

6. Гвазава Дж.К. О некоторых классах квазилинейных уравнений смешанного типа. - Тбилиси: Мецниереба, 1981. - 94 с.

7. Майоров И.В. Об одной нелинейной системе уравнений смешанного типа // Доклады АН СССР. - 1968. - Т. 183. - № 2. -С. 280-283.

8. Сопуев У.А. Краевые задачи для нелинейного уравнения смешанного типа третьего порядка // Естественные и технические науки. - 2005. - № 6. - C. 14-20.

9. Сопуев А., Кожобеков К. Г. Задача сопряжения для нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. -Бишкек: Илим, 2006. - Вып. 34. - С. 146-151.

10. Cattabriga L. Un problema al contorno per una equazione parabolica di ordine dispari // Annali della seuola normale Superiore di pisa. - 1959. - V. XIII. - Serie III. - Fasc. II. - P. 163-203.

11. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. - Ташкент: Фан, 1979. - 240 с.

12. Абдиназаров С. Краевые задачи для уравнений с кратными характеристиками: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Ташкент, 1992. - 239 с.

Поступила 18.02.2009 г.