О разрешимости сингулярного функционально-дифференциального уравнения с регулярным вполне непрерывным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О РАЗРЕШИМОСТИ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМ ОПЕРАТОРОМ

© И.М. Плаксина

Ключевые слова: сингулярные уравнения; функционально-дифференциальные уравнения.

Получены условия однозначной разрешимости сингулярного по независимой переменной линейного функционально-дифференциального уравнения.

Пусть Ор — пространство абсолютно непрерывных функций х: [0,6] ^ М, имеющих производную из пространства Ьр, 1 <р< ж, и удовлетворяющих дополнительному условию х(0) = 0. Норма в пространстве определяется равенством ||х||др = \\Х\\l-p. Рассмотрим уравнение

(Сх)(Ь) = Х(Ь) + а(Ь)х(Ь) + (Тх)(Ь) = /(Ь), Ь € [0,6]. (1)

к

Здесь коэффициент а(Ь) имеет вид а(Ь) = + а(Ь), к € М, к = 0, суммируемая на отрезке

[0,6] функция а: [0,6] ^ М ограничена в существенном на каждом отрезке [е,Ь], е> 0, и

удовлетворяет предельному условию Нш Ьа(Ь)=0. Функция а(Ь) не суммируема на отрезке

*^0+

[0,6] и терпит разрыв второго рода в точке Ь = 0. Оператор Т: О0 ^ Ьр вполне непрерывен и регулярен: Т = Т + — Т-, операторы Т +: Ор Ьр и Т- : Ор Ьр положительны.

Описание процессов, при изучении которых возникают уравнения вида (1), и достаточно подробный литературный обзор приведены в монографии [1, с. 176] и работе [2].

Для изучения условий разрешимости уравнения (1) будут применяться методы теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения [1, с. 14].

Положим

д+ = Т+1, д- = Т -1. (2)

В монографии [3] Е. И. Бравым предложен новый эффективный метод получения необходимых и достаточных условий разрешимости краевых задач для семейств функционально-дифференциальных уравнений. Этот метод заключается в сведении вопроса о разрешимости исходной задачи к вопросу о разрешимости задачи для уравнения с двумя постоянными значениями аргумента. В рамках этого метода сформулирована теорема 1.4 [3, с. 6]

0 разрешимости краевой задачи вида

х(Ь) + (Тх)(Ь) = /(Ь), 1х = а, Ь € [0,6].

Здесь I — линейный ограниченный функционал, определенный на пространстве О1 абсолютно непрерывных на отрезке [0,6] скалярных вещественных функций, оператор Т: О1 ^ Ь1 является регулярным и вполне непрерывным.

В предлагаемой работе теорема 1.4 переформулирована на случай пространства Ьр,

1 < р< ж, для сингулярного по независимой переменной функционально-дифференциального уравнения (1):

2639

Теорема1. Пусть заданы почти всюду на отрезке [0, 6] неотрицательные функции д+, д- € Ьр. Уравнение (1) однозначно разрешимо при любой правой части / € Ьр и при всех положительных операторах Т +,Т- : Бр ^ Ьр, удовлетворяющих условию (2), тогда и только тогда, когда все уравнения вида

х(Ь) + а(Ь)х(Ь) + д1(Ь)х(Ь1) + д2(Ь)х(Ь2) = 0 (3)

имеют только тривиальное решение при всех значениях Ь1,Ь2 € [0,6] и всех функциях д1,д2 € Ьр таких, что

д1(Ь),д2(Ь) € [—д-(Ь),д+(Ь)], д^Ь) + д2(Ь) = д+(Ь) — д-(Ь), Ь € [0,6]. (4)

С помощью теоремы 1 получим достаточные условия однозначной разрешимости уравнения (1).

Определим сопряженный к р индекс р' = —Р— и вспомогательную константу

р — 1

ь

М = /|а(Ь)| М. Также положим Т+ = ||д+||ьр и Т- = ||д-||ьр.

0

Теорема 2. Пусть к> 0, а(Ь) ^ 0 при почти всех Ь € [0,6] и выполнены неравенства Т- < шт

{,6-1/р' ,61/р'} , Т+ < 26-1/р,л/1 — 6-1/РТ-. Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части.

Теорема 3. Пусть выполнены неравенства к> 0, 1 — М Т- < —, Т- <

Mb1/p" ыъ1/р'

2 /-------------- 1 1 (kp* + ^

T+ < „ , ,Л ,plV 1 — Mbl/p T- или неравенства —- <k< 0, T- <My—b—) ’ T+ <

2 (kp' + 1 \ 1/р I ( b \ l/p

< M 1—b—) V 1 — M ( k ' + 1j T-' Тогда уравнение (1) имеет единственное ре-

шение при любой правой части.

В теоремах 2 и 3 условия на нормы T+, T- обеспечивают однозначную разрешимость

всех уравнений вида (3) при условиях (4). Неравенства k> 0, —- <k< 0 являются необ-

р

ходимыми и достаточными [2], [4] для фредгольмовости и однозначной разрешимости так называемого модельного уравнения [1, с. 30].

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Наука, 2002.

2. Плаксина И.М. Об одном сингулярном линейном функционально-дифференциальном уравнении // Известия вузов. Математика. Казань, 2012. № 2. С. 92-96.

3. Бравый Е.И. Разрешимость краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.

4. Плаксина И.М. Об одной модельной сингулярной задаче // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2010. Вып. 1 (1). С. 19-23.

Plaksina I.M. ON SOLVABILITY OF SINGULAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH REGULAR COMPLETELY CONTINUOUS OPERATOR

Conditions of unique solvability of the singular in the independent variable linear functional differential equations were obtained.

Key words: singular equations; functional differential equations.

2640