О разрешимости первой смешанной задачи для параболических уравнений слабым вырождением типа Трикоми Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СО СЛАБЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА ТРИКОМИ

И, М, Петрушко, Т. В, Капицына

Пусть Q — ограниченная область в Rn, расположенная в полупространстве xn >0. Часть границы Го области лежит в гиперплоскости xn = 0, остальную часть границы обозначим через Fi: Fi = dQ n{xn > 0}, Г0 u fi = dQ. Будем предполагать, что граница dQ области Q — (n — 1)-мерная замкнутая поверхность без края класса C2. Тогда существует столь малое число 6о > 0, что для всех 6 £ (0, ¿о] подмножество Qg = Q П { min |x — y| > 6} являете областью с границей dQg

класса С2. При произвольном 3 £ (0, ¿о] для любой х0 £ д^ существует единственная точка х$ поверхности дфг, отстоящая от точки хо на расстояние, равное 3:

где v(xo) = (vi, V2,..., vn) — вектор внешней по отношению к области Q единичной нормали к dQ в точке xo-

Обозначим через г(x) расстояние от точки x £ Q до границы dQ:

r(x) = min |x — y|. (2)

yeSQ

Обозначим через QT цилиндр Q x (0,T).

Рассмотрим в QT линейное параболическое уравнение второго порядка:

yeöQ

xg = xg( x0) = xQ — 6v(x0),

(1)

(3)

© 2011 Петрушко И. М., Капицына Т. В.

с коэффициентами ац = ац £ С1 (С}), 1, 2,..., п — 1, а^ £ С1

г = 1,2,... ,п, а £ С(С^) и постоянной то, 0 < то < 1.

Будем предполагать уравнение (3) параболическим, т. е. для всех точек (ж, £) £ Qs х (О, Т) существует такая постоянная > 0, что для всех £ £ Д„

Ф(хЛ£) = ]Г ау+ х^" > 761£|2• »,¿=1

(4)

На границе дQ х (О, Т) уравнение (3) вырождается.

Будем также предполагать, что существует такая постоянная 70, что для любого 5 £ (0, ¿о] и Для всех щ £ Г, £ £ (О, Т)

Е" х0)^-( х0) 2, ,

——^г— + кЫ)>ю-

(5)

Пусть р — некото рое число, р > 1. Введем следующие функциональные пространства: Ьр(Q,r(x)/xm) — множество измеримых в Q функций щ(х), для которых

р

Ьр(< <,г(х)/х

= J \щ(х)\Р^(1х < оо,

Ьрд,т — банахово пространство, полученное пополнением множества

С°°(С} ) по норме

ньрд.т ят) б0

1ы<¿0 х(0,т))

¿л ■

Ьр{ о ,т))

60

О

1/(х,м) |р

(ж) ¿ж

/р

¿¡л.

Функцию /(ж, £), стоящую в правой части уравнения (3), будем предполагать принадлежащей пространству Ьр,\осП QT)•

Определение. Принадлежащая (Q^) функция и(ж,£) назы-

вается обобщенным из №р'®осрешением уравнения (3), если она

удовлетворяет интегральному тождеству

п-1

- + Е "¿3«жПхз + Цж„(хтп) х

ЦТ I- М = 1

п + амП

¿=1

= J fn ^хЛ (6)

для всех финитных в <5Т функций г](х,{) £ + | = 1).

Пусть р(х) — функция, обладающая следующими свойствами:

р(х) = г(х), же<5/<5г0, р{х)£С2{С}) и существует такая постоянная 71 > 0, что для всех х £ ^ 71г(х) ^ рх) ^ 7-1г(х).

Так как уравнение (3) параболично при (х,£) € Qg х (0,Т), справедлива следующая

Лемма 1. Пусть и(х,£) —обобщенное решение из урав-

нения (3) с правой частью / из ЬРг\0СТогда для любых 6 £ (0, ¿о]> в € (0, ¿о] и Для любого Т' справедливо равенство

I Гл*-1-

6

(р -1)

в Чг

п-1

Е

¿,5=1

(Чз «х, «ж,-

,-2Р(х) - 6

< МР-2(Р(х) -

а^ц^ 1 ^ —сккА

в Чг

¿

в дЦг

Е

^ ¿,3=1

т'

р I I х™

т'

в Чг

¿,3=1

в Чг

/

/

г

п

п

1

J ! /|м|p~1sgnм(p — 5)ё,х<И.

в Яг

Доказательство леммы 1 с некоторыми изменениями повторяет доказательство леммы 1 из [1], поэтому приводить его не будем.

Пусть Т' £ (Т/2,Т) и 5 £ (0, ¿о]- Введем обозначения: т'

в Яг

^»,3=1

™т

х% ' и2х ) \и\р 2{р — 5)(1х(И

У X™

1

5

1(х, р)\р——(1х-

в

дЯб

Заметим, что в силу свойств функции р{х), принадлежности д(5 классу С и неравенства (5) существует такая постоянная 72 > 0, что

п-1

ъ

¿3—1

для всех х £ д5 х (О, Т).

РхъРх^ 2

г Рх г

< 12

(х,г) ЕдЯх(0 ,т)

Следовательно, справедливы следующие неравенства:

I I I \и(х,Р)\р?-^-(Ь

в

< С

\f\Пp-1^-dxdt + Щp(u)

-с1хскЬ (7)

х

в Яг

в Яг

т'

ълу у

м2 —-¿хсИ < Со

в Яг

т'

У у |/1 м*-1

в Яг

р — 5

дхдк

р

п

п

п

т' т'

\и\р<1з<И+ [ \и(х,/3)\р^-^-(1х+ ( (Щ-д,хЖ

■) хп ■! ■! хп

в дЦг Чг в Чг

и тем самым справедливы следующие леммы.

Лемма 2. Пусть м(х,£) — обобщенное из решение

уравнения (3). Тогда для любых 6 € (0, 60], в € (0,6о], Т' € (Т/2,Т) справедлива оценка

т'

[ [ + (8) ./ ./ хп ' '

в Чг

Лемма 3. Пусть м(х,£) — обобщенное из ^р'1ос) решение уравнения (3). Тогда для любых 6 € (0, 60], в € (0,6о], Т' € (Т/2,Т) справедлива оценка т'

дм ц + у у

в Ч

хпп

р

< ^ [II/И^тдт) + НМк^гх(Я,т')) + 1Кх,в)11^,^)] • (9)

Для любой функции м(х, € функция

т'

М(6) = У У |м|р + У |м(х,6)|р ¿х

г дЧг Чг

6 € , 6 •

Будем говорить, что функция м(х,£) принадлежит классу Нр, если функция М(6) ограничена на (0, 6о), т. е.

вир М(6) < то.

Теорема 1. Для того чтобы обобщенное нз решение

уравнения (3) с / € Ьр,]0СП Ьрд,т(QT) принадлежало классу Нр необходимо и достаточно, чтобы функция

была интегрируема по Q1 , т. е. т

1

n — 1

О Q

a»j Хг m3 + Uxn ) НР 2r{x) dxdt < 00. (10)

Доказательство необходимости следует из леммы 3. Достаточность следует из леммы 2. Теорема доказана.

Будем говорить, что функция u(x,t) G Wpfoc(QT) принимает граничное значение

«|aQx(oт = V G Lp(dQ х (0, Т)), (11)

в смысле Lp, если для любого Т' G (Т/2, Т) т'

J lu{xs{x),t) - v(x,t)lp dsdt = 0. (12)

6 dQ

Будем также говорить, что функция u(x,t) G Wp f0C(QT) принимает начальное значение

/rix}

\ио(х)\Р—— dx < 00, (13)

xm

Q

в смысле Lv с весом если

lim [ \u(x,ö) -u0(x)\p^-dx = 0. (14)

s^oj xm

Qs

Определение. Функция u(x,t) является решением из Wpfoc(QT)

задачи (3), (11), (13) (cp G Lp(dQ x (0,T)), u0(x) G / G

Lp,i0c(QT) П LPji,m(QT)), если она принадлежит Wpfoc(QT), является обобщенным решением уравнения (3), удовлетворяет граничному условию (11) в смысле равенства (12) и начальному условию (13) в смысле равенства (14).

Теорема 2. При любых функциях v(x,t) G Lp(dQ х (0,Т)), uo(x) G Lp(^ßr,Q) и любой функции / G LPii0C(QT) Пbp,i,m(QT) первая смешанная задача (3), (11), (13) имеет обобщенное решение из Wp foc(QT),

это решение единственно, и для него справедлива оценка т

2 г(х) , 2 I 1Ю-2

о Ц

вир тах т'е(т/2,т)

т'

//нр ^/к^Ш Р - ^

г дЧг г(х)

-¿хсМ ^ С13 I IIьрД>т(дт)

О Q

+ 1М1ьр( аЧх(о ,т)) + 1К 111р(г(ж)/жт,д)]' в котором постоянная С13 зависит только от коэффициентов уравне-

Доказательство. Пусть м(х,£) — обобщенное из (QT) решение задачи (3), (11), (13). В силу (12) и (14) м(х,£) € Нр. Следовательно, по теореме 1 функция {\Уи\2!^- + и2пг(х))\и\р~2 интегрируема по Qт и та основании теоремы Лебега при 6 ^0 т

7/ |2 Р - 6

г Чг

(р - 6) |м|р-2 ¿хА

|2—— + р(х) ) \и\Р 2 (1х(И.

0 Ц

Так как из принадлежности м(х,£) классу Нр вытекает, что

т

1 рК^) < ^

п

п

о Ц

имеем

/ / 3'хЛ / / 3'хЛ г Чг " о ч п

при 6 ^ + 0-

—-

п

Следовательно, в неравенствах лемм 2 и 3 можно перейти к пределу при 5 0, 5 О.В результате получим неравенство т

7/ |2 р{х) 2

«Х ИХ ¿хА + вир тах Ы(5)

хт п / т 'е( т/2 ,т)^(о. ¿о

о Я

< Св 01/\\£р,1>т(Ят) + Н^Ыая^о+ \\«о 111р(Я, г/х^], нз которого следует оценка (15).

Перейдем теперь к доказательству существования решения. Возьмем произвольные функции ср (Е Ьр(дС} х (О, Т)), щ(х) € Ьр(<3, ^г) и /{х,Ь) £ (5т) п ¿рд,т(5т)- Пусть — некоторая последова-

тельность функций из С2{35 х [0, Т]), сходящаяся в Ьр(35 х [О,Т]) к функции

\\фт — ф\\ьр(д<Ях(о,т)) при т ^ го, (16)

а {«От} — некоторая последовательность функций из С2(<5), сходящаяся в £р(<2, к функции щ(х): \\щт - щ\\ьр(я,г/х™) 0 при т ^ го, и пусть {/т} — некоторая последовательность функций из

—Т

С1 (<3 ), сходящаяся в Ьрд,т(<Зт) к /(ж,£): ||/т--0

при т ^ го.

Обозначим через «т(х, ¿) решение из Шр'1 (5т) задачи (3), (11), (13) с функциями ¡рт, п0т, /т.

Так как решение из Шр'рос(5т) является также решением из Мр1оС(дт), для «т(х,Ь) справедлива оценка (15). Следовательно, последовательность {пт} сходится к некоторой функции п(х,Ь) в банаховом пространстве В с нормой

т т

N1' = / у г(х)^ у у

•: _ 1 [//,„..

т 'е( т/2 ■! ■! ■! хт

[б дЯг Яг

т. е. \\п — «т\\в ^ 0 при т ^ го.

Покажем, что п(х, ¿) является обобщенным из Шр'¡>ос(5т) решением задачи (3), (11), (13).

Действительно, пусть 1 < p < 2. В силу неравенства

\V'u\2^ + ulnr(x) I \u\p-2 dxdt xn I

T'

+ // I<r-^dxdt,

0 Q "

справедливого для любой Q', строго вложенной в Q, получаем, что последовательность {um(x,t)} сходится к функции u(x,t) в Wp ^(QT) и, следовательно, функция u (ж, t) является обобщенным из Wp (QT) решением уравнения (3).

Пусть p ^ 2. № соотношения ||u — um ||B ^ 0 при m ^ то следует, что для любой Q', строго вложенной в Q, последовательность {um} сходится в W (Q' х (О, T')) к функции u(x, t), т. е. u(x,t) является обобщенным решением из ^j1 '°(Q' х (0, T')), и в силу принадлежности /(ж, t) пространству Lp , j0C(QT) функция u(xt) является обобщенным из Wp'l0C(QT) решением уравнения (3).

Выполнение соотношений (12) и (14) очевидно. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петрушко И. М. О граничных и начальных значениях в Lp, p > 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 125 (167), № 4. С. 489—521.

2. Петрушко И. М. О граничных значениях вырождающихся на границе области эллиптических уравнений // Мат. сб. 136 (178), № 2. С. 241-259.

3. Ficbera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order // Boundary Problems. Different. Equations. Madison: Univ. Wisconsin Press, 1960. P. 97-120.

4. Олейник О. А., Радкевич E. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Математический анализ, 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7-252. (Итоги науки.)

5. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

J J |Vu|p dx < C(Q') П J

0 0/ \0 Q

г. Москва

1 августа 2011 г.