CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №8_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
С.А.Исхоков, О.А.Нематуллоев
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОРОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 04.06.2012 г.)
В работе исследована разрешимость однородной вариационной задачи Дирихле для одного класса эллиптических операторов высокого порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе. Исследование проводится c применением аналога неравенства Гординга для рассматриваемого класса дифференциальных операторов.
Ключевые слова: задача Дирихле - эллиптический оператор - однородные граничные условия - степенное вырождение.
1. Разрешимость однородной вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области ранее исследовалась многими авторами (см. [1-4] и имеющуюся там библиографию). Однако во всех этих работах исследования проводились без использования аналога неравенства Гординга для соответствующих операторов с вырождением, что привело к чрезмерно жёсткому условию эллиптичности. В отличие от этого здесь мы применяем аналог неравенства Гординга для рассматриваемого класса операторов.
2. Пусть Q - ограниченная область в n -мерном евклидовом пространстве Rn с (п — 1)-мерной гладкой границей 9Q. Точки пространства Rn обозначим через X = (х1,х2, ■■■,хп). Пусть
- регуляризованное расстояние от точки х £ Q до ЭО, то есть бесконечно дифференцируемая в Q функция, удовлетворяющая условиям
р(х) >-< dist{x, an}, |p(fe)0)| < Mfep1_'fe'(x) для любого мультииндекса к. Здесь и далее знак X означает наличие двусторонней оценки с постоянными множителями, к- мультииндекс, то есть n -мерный вектор к = (к^, к2, ---Дп) с целыми неотрицательными компонентами, |/с| = 1/cjJ + \к2 \ + —I- \кп\ - длина мультииндекса к, и^к\х) (х G П) - обобщенная в смысле Соболева производная функции u(x) (х Е П) мультииндекса к.
Пусть г - целое неотрицательное, а, р - вещественные числа, р > 1. Символом Lp a(Ci) обозначим класс измеримых в П функций и(х) с конечной полунормой
( г )1/р
II U-, £р,а(П)|| = £ J pVa(x)\uW(x)\Pdx .
4fc|=rn •
Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
п1/р
При г = 0 класс ¿р>а(П) совпадает с весовым лебеговым пространством ¿ра(П), норма которого определяется равенством
||и;/,р,я(П)|| = /РраШи(х)\р(1х ЧК|=гп •
Далее при а = 0 вместо будем писать Ьр Символом обозначим пространство
функций м(х), определённых в области П, со следующей нормой
II и; И£„(П)|| = {|| и; 1гр,а(0)|Г + ||и; ¿р(П)||р}
0
Если В - некоторое нормированное пространство функций и(х), определённых в А, то символом В обозначим пополнение класса (П) в метрике пространства В, а символом В' обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов, определённых на В, наделённое нормой сопряженного пространства.
Пространство подробно исследовано в монографии [5] (см. также обзорную работу
[2]).
3. Рассмотрим полуторалинейную форму
В [и,А= 2|Рк (х) ^ (х) аы (х) и[к](х) уМ(х) ¿*> (1)
\к\ ,|, <г О
где рк (х) = ра~г+1к1(х) и ак1^х) - комплекснозначение функций, на которых ниже накладываются некоторые условия.
Далее мы исследуем разрешимость следующей вариационной задачи Дирихле, связанной с формой (1).
г
Задача в0. Для заданного функционала ^ е (ж 2„(П}) требуется найти решение и(х) уравнения
В [и, у] = Г, V (УУ е Од (О)), (2)
0
принадлежащее пространству Ж г2а(О).
Разрешимость задачи О0 ранее исследовалась в работах С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, Н.В.Мирошина, Б.Л.Байдельдинова, С.А.Исхокова, А.Ё.Куджмуродова и др. (см. [2-4] и ссылки в них) в предположении, что коэффициенты а^^х) удовлетворяют следующему условию эллиптичности
Яе ^ ак1 (х) Рк (*)р (*)Ск С, * с,р2а (*) 2Ск|* (3)
|2
Ск
|к1| 1| <г |к|=г
для всех хбй и любого набора комплексных чисел В отличие от этого, здесь мы предпола-
гаем выполнение более слабого чем (3) условия (см. условие I теоремы 1).
Применением результатов работы [6] и теоремы Лакса-Мильграма (см., например, [7]) устанавливается следующий результат о разрешимости задачи О0 Теорема 1. Пусть выполнены условия:
I) коэффициенты формы (1) при |/с| = |/| = г удовлетворяют условию эллиптичности
Яе £ "ыЮе?>с0\1;\2г
\к\=\1\=г
для всех х ЕО.,% Е Яп (Со - положительная постоянная независящая отх,%) и для любого достаточно малого V > 0 существует число е > 0 такое, что
|аы(х) - ак1(у)\ < V для всех у Е П и всех х Е Е Яп\\х — у\ <^8 р(у) |;
II) коэффициенты при |/|<г и |/с| + \1\<2г — \ принадлежат пространству
¿Pfc^-n/pfcI(íí), где
_(Чы при |/с| <г-1,|/| <г, Рк1 и1кпри\к\=г,\1\<г-1,
а числа определяются соотношениями:
п п
2г-|£|-|/| п
< Яш ^
г —
,еслип > 2(г — \к\),п > 2(г —
1»1, - < Чы. О < < -,еслип > 2(г — \к\),п < 2(г - |/|);
Т — \К\ Н" ¿*
( п 1
-—-,0 < е2 < -,если71 < 2(г-\к\),п > 2(г - Щ),
Як1 = < Г-\1\+Е2П 2
любое конечное число > 1, еслип < 2(г — |/с|),п < 2(г —
III) существует положительное число М0 такое, что
I р2а-2Г(хуг>(ху2(1х < щКе я^у] П
для всех V Е С(5°(П).
1
Тогда для любого заданного функционала ^ е (ж г2а(О)) существует единственное решение
о
\]{х) 6 ^^ (О) задачи и при этом выполняется оценка
0 Г о ^
и-> * ЦП) < м * 2,а(О)
V )
где число М > 0 не зависит от Р.
1 1
Согласно результатам гл.10 монографии С.М. Никольского [5], если - -<а<г — ~, то про-0
странство Ж Г состоит из всех функций и(х) из удовлетворяющих граничным усло-
виям
д5и
= 0, s = 0,1,... ,Sq 1,
an
дп5
где д/дп - производная по внутренней нормали, а 50 - целое число удовлетворяющее неравонствам
1 1 11
г — а — - <80<г — а + 1 — -. Поэтому в случае --< а <г -- задачу О0 можно сформулировать
следующим образом
Задача D'Q. Для заданного функционала F 6
w Цп)
требуется найти решение U{x)
уравнения (2) из пространгство Wja(ii), удовлетворяющее граничным условиям
dsU(x)
dns
= 0, s = 0,l,-,s0-l,
an.
1 1
где целое число sq такое, что г — а — - <s0<r — а + ~.
1 1
Теорема 2. Пусть --< а < г — - и пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого
заданного функционала F £ ^W г2а(П)^ существует единственное решение U(x) задачи D'ü и при этом справедливо неравенство (4).
Поступило 05.06.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.:1980, 664 с.
2. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В - Известия вузов. Математика, 1988, №8, с.4-30.
3. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Ё. - Доклады РАН, 2005, т.403, №2, с.165-168.
4. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Ё. - ДАН РТ, 2008, т.51, №12, с.795-802.
5. Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения - 2-е изд. пе-рераб. - М.: Наука.1977, 455с.
6. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. - Доклады РАН, 2012, т. 443 №3, с.286-289.
7. Chipot M. Elements of Nonlinear Analysis. Birkhauser Verlag., 2000.
С.А.Исх,о^ов, О.А.Нематуллоев
ОИДИ ХДЛШАВАНДАГИИ МАСЪАЛАИ ЯК^ИНСАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОР^ОИ ЭЛЛИПСИИ ТАНАЗЗУЛЁБАНДА ДАР
СОХДИ МАВДУД
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола налшавандагии масъалаи якчинсаи вариатсионии Дирихле барои як синфи операторной эллипсии дарачаи олии дар сонаи махдуд додашуда бо таназзулёбии дарачагй дар сарнад тадкик карда шудаааст. Тадкикот бо истифодаи нобаробарии Гординг барои операторнои омухташаванда гузаронида шудааст.
Калима^ои калиди: масъалаи Дирихле - операторной эллипси -шартуои сархадии якцинса - таназзулёбии дарацагй.
S.A.Iskhokov, O.A.Nematulloev ON SOLVABILITY OF THE HOMOGENEOUS VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS IN A BOUNDED
DOMAIN
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Solvability of the homogeneous variational Dirichlet problem for a class of the higher order elliptic operators in a bounded domain with power degeneracy on the boundary is investigated in the article. The investigation is based on an analogue of the Garding inequality for the class of operators under consideration. Key words: Dirichlet problem - elliptic operator - homogeneous boundary condition - power degeneracy.
