О разрешимости эволюционных уравнений с памятью Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 35G10

О РАЗРЕШИМОСТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ

В.Е. Фёдоров, O.A. Стахеева

Челябинский государственный университет, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск, 454001, Россия, e-mail: [email protected], [email protected].

Аннотация. Методами теории полугрупп операторов найдены условия однозначной разрешимости задачи Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения с памятью в банаховом пространстве в смысле классических решений на полуоси, а также в смысле более гладких решений на отрезке. С помощью этих результатов доказано существование единственного решения на полуоси задач Коши и Шоуолтера для вырожденного линейного эволюционного уравнения с памятью в банаховом пространстве. Общие результаты использованы для установления однозначной разрешимости в неограниченном по времени цилиндре начально-краевой задачи для линеаризованной интегро-дифференциальной системы уравнений Оскол-кова, описывающей динамику вязкоупругой жидкости.

Ключевые слова: эволюционное уравнение, полугруппа операторов, уравнение с памятью, интегро-дифференциальное уравнение, начально-краевая задача, система уравнений Осколкова.

1. Введение. В работе исследуется разрешимость задачи Коши дня невырожденного линейного интегро-дифференциального уравнения

г

ь(г) = Ль(г) + у Х(в)ь(г - э)с1э + /(г) (1)

0

с оператором Л, порождающим в банаховом пространстве (С0)-непрерывную полугруппу. а также разрешимость начальных задач Коши и Шоуолтера для вырожденного интегро-дифференциального уравнения

г

Ьи(г) = Ми(г) + у %(э)и(г - э)с1э + /(г) (2)

0

с линейными операторами Ь,М, К(э), э > 0, действующими из банахова пространства и в банахово пространство V, кег Ь = {0}. При этом предполагается, что пара операторов Ь, М порождает вырожденную сильно непрерывную полугруппу операторов (т.е.

Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительства РФ № 14.250.31.0020).

выполняется условие сильной (Ь,р)-рздиалыюсти оператора М [1,2]). К таким задачам редуцируются начально-краевые задачи дня иптегро-дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику некоторых процессов с эффектами памяти, например, термомеханическое поведение полимеров |3,4|, вязкоупругих жидкостей [5] и других процессов [6-9]. Вырожденность оператора Ь означает, что система по разрешима относительно производной по выделенной переменной, как правило, по времени.

По сравнению с работами |10,11|, в которых рассмотрено невырожденное уравнение с оператором Л, порождающим аналитическую полугруппу, здесь рассмотрен более широкий класс операторов Л и более общая постановка задачи, когда заданная история системы с памятью учитывается функцией f в правой части уравнения. При этом в большинство ситуаций доказана глобальная разрешимость задачи Коши дня уравнения (1), в отличие от работ 110,111. В |12| рассмотрены те же начальные задачи дня уравнений (1), (2), что и в настоящей работе, по при более жестких условиях на оператор Л

Ь, М (порождение вырожденной аналитической полугруппы) в случае уравнения (2). Кроме того, в работе удалось отказаться от условий на ограниченность справа спектра

Л Ь М

функции К при доказательстве существования решения на всей полуоси.

Отметим серию работ М.В. Фалалеева и С.С. Орлова |13-17|, в которых исследованы иптегро-дифференциальные уравнения с эффектами памяти, вообще говоря, высокого порядка, имеющие вырожденный оператор при старшей производной. В предположении

М

набора у оператора Ь, либо при уел овин (Ь, ^-ограниченности опер атора М (в работе |14|) доказана разрешимость задачи Коши для уравнения (2) как в смысле классических, так и в смысле обобщенных решений. Аналогичные результаты получены дня уравнений высокого порядка.

Основная цель данной работы — исследовать разрешимость начальных задач дня уравнения (2). Дня этого в §2 сначала найдены условия однозначной разрешимости задачи Коши дня уравнения (1), глобальной дня классических решений и локальной в случае решений большой гладкости. Рассмотрен также случай, когда гладкость по выделенной переменной £ заданных в уравнении функций К, f заменяется условием их

Л

жопиях, как правило, соответствует их большой гладкости но пространственным церемонным.

ЬМ

ющие из этих условий и используемые в дальнейшем утверждения о порождении парой этих операторов вырожденной сильно непрерывной полугруппы, о представлении пространств, в которых эти операторы действуют, в виде прямых сумм и расщеплении действий операторов вдоль этих сумм. Это позволяет перейти в §4 к рассмотрению задач Коши и Шоуолтера дня вырожденного эволюционного уравнения с памятью (2). Оно сводится к системе двух уравнений на взаимно дополняющих друг друга подпространствах. При наложении некоторых дополнительных условий на образ или ядро

оператор-функции из интегральной части уравнения эту систему удается решить. При этом в одном из случаев требуется существование решения уравнения (1) повышенной гладкости, доказанное в §2.

Наконец, в §5 результаты из предыдущего раздела используются дня получения условий однозначной глобальной но времени разрешимости начально-краевой задачи дня ингегро-дифференциальной системы уравнений Осколкова, описывающей динамику жидкости Кельвина-Фойгта, В отличие от работы |18| рассмотрен более простой случай ядра интегрального оператора, соответствующий, тем не менее, исходной модели предложенной Осколковым |5|, При этом решение найдено не в классе слабых решений, как в работе |18|, а в классическом но времени смысле.

2. Невырожденное эволюционное уравнение с памятью. Обозначим через L(X) банахову алгебру линейных непрерывных операторов на банаховом пространстве X, через Cl(X) — множество линейных замкнутых операторов с плотной областью определения в X. Кроме того, через р(А) обозначим резольвентное множество оператора A, а через Da — область определения оператора A, снабженную нормой его графика II ' II Da = II ' II X + II A ■ || x Da является банаховым пространством в случае замкнутого A

Рассмотрим эволюционное уравнение с эффектом памяти

v(t) = Av(t) + (Jv)(t). Здесь интегральный оператор памяти имеет вид

сю t сю

(Л)(0 = / хм - s)ds = / - s)ds + / K(t + s)v_(-s)ds- t > »,

0 0 0

при заданных оператор-функции X : [», — L(X) и вектор-функции v_ : (-то,»] — X

сю

j X(t + s)v_(-s)ds = f (t), t > », 0

тогда уравнение примет вид

t

v(t) = Av(t) + J X(s)v(t - s)ds + f (t), t > ». (3)

0

Решением задачи для уравнения (3) на отрезке [»,T ], од е T > »с условием

v(») = vo (4)

назовем функцию v G Cr([», T]; X) П Cr-1([»,T]; Da) при некотором r G N, удовлетворяющую уравнению (3) на [»,T] и условию (4). Аналогично определяется решение задачи (3), (4) на полуоси [»,

Замечание 1. Решения, более гладкие, чем из класса О1 ([0, Г]; X) П О([0, Г]; ДА), понадобятся в следующем параграфе при рассмотрении вырожденного уравнения. Обозначим при т = 0,1 0т([0, Т]; X) = 0т([0, Т]; X), при г = 2, 3,...,

ОГ([0, Т]; X) = (д € О0([0, Т]; X) : д(к)(0) = 0, к = 0,1,..., г - 2}.

Понятно, что в таком случае 001([0,Т]; X) = 01([0,Т]; X).

Теорема 1. Пусть оператор А порождает (О°)-непрерывную полугруппу операторов, г € N ^о € К € 00Г-1([0,Т0]; ¿(X)), / € О°([0,Т0]; X). Тогда при некотором Т € (0, Т1] существует единственное решение V € О0([0,Т]; X) П 00-1([0,Т]; Да) задачи

(3), (4).

□ Для операторов V(*) € ¿(X) полугруппы, порождаемой оператором А, при некоторых О > 0 а € К выполняются неравенства [19]

IV(¿)||£(*) < Ое"4, * > 0 .

Поэтому

( ОеаТ а > 0;

юивд <О(Т) = { О, а <0

В ведем обозначения

к к К (Т ) = £ 8ПР НК«^^), ||д||к = £ «пр I|g(г)(í)|x, к = 0,1, 2,...,

1=0 *е[°,Т] 1=0 4€[°,Т1

для К € Ок([0,Т]; ¿(X)), д € Ок([0,Т]; X), На полуоси [0, рассмотрим числовую функцию Д(Т) = Т(1+ Т/2)О(Т)К°(Т). Она непрерывна, неотрицательна, строго монотонно возрастает, неограничена (кроме тривиального случая К = 0, который исключается из дальнейших рассмотрений) и ^(0) = 0. Следовательно, найдется единственное число Т° > 0, такое, что Д (Т°) = 1, Д (Т) < 1 при люб ом Т € (0,Т°). Т € (0 , Т0 ) Т < Т1

^(¿) = Аv(t)+ д(*). (5)

При v0 € БАг, д € О°([0, Т]; X) решепне V € О0([0,Т]; X) П О0-1([0,Т]; ДА) задачи (4) дня уравнения (5) существует, единственно и имеет вид

v(t) = V(Ф° + 1 V(* - з)д(з)^, * € [0,Т], (6)

о

где (V(*) € ¿(X) : * > 0} — порождаемая оператором А полугруппа операторов (см. 1191). Действительно,

^0)(*) = V(*)А0Vо + V(*)д(0-1)(0) + I V(* - з)д(0)(з)^.

о

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Д^Д Серия: Математика. Физика. 2014. №19(190). Вып. 36 115

Определим на CO([»,T]; X) оператор

t

[*g](t) = J X(s)v(t - s)ds + f (t)= (7)

0

t t t_s

= J X(s)V(t - s)vods + j X(s) j V(t - s - T)g(r)drds + f (t),

0 0 0

vg в правой части. Имеем

t t ^ j X(s)V{t - s)v0ds = X(t)v0 + J X(s)V{t - s)Av0ds, 00

t t_s

^ J X{s) j V(t — s — T)g{r)dTds = 00 t t t_s

= J X(s)g(t. — s)ds — j 3C(s) J - s - T)g(r)drds = 0 0 0 t t t_s

= J X(s)V(t - s)g(»)ds + J X(s) j V(t - s - r)g(r)drds = 0 0 0 t t_s

= У X(s) J V(t - s - r)g(r)drds. 00

Докажем при n < r равенство

n_1 1

[%](n)(t) = X(k)(t)An_1_kv0 + X(s)V(t - s)Anv0ds+ k=0 0

t t_s

+ J X(s) j V(t - s - r)g(n)(r)drds + f (n)(t). (8)

00

Продифференцируем при n < r - 1 правую часть этого равенства и получим

n— 1 1

J]X(fc+1)(t)An_1_fcv0 + X(t)Anv0 + X(s)V(t - s)An+4ds+

k=0

4 4-«

+ ад / V(* - в - т)д(га+1)(т)^в + /(га+1)(*)

= ^ К(к)(*)Ап-кvо + (* - в)Ага+Ч^+

к=° °

+1 аду V (* - в - т )д(га+1)(т + / (п+1)(*). ° °

Тем самым, формула (8) доказана. В случае п = г в правой части формулы (8) добавится еще выражение / (* - з)д(0-1)(0)а!з. Следовательно,

||фд|0 < (гК0-1(Т) + ТО(Т)К°(Т)) £ ||Ак+ Т(1 + Т/2)О(Т)К°(Т)11д10 +

к=°

Поэтому имеет место действие оператора Ф : О° ([0, Т]; X) ^ О° ([0, Т]; X) в силу условий теоремы на К и /,

Для произвольных функций д1,д2 € О0([0,Т]; X)

||Фд1 - Фд2|к < Т(1 + Т/2)О(Т)К°(Т)||д1 - д2|0 = Р(Т)||д1 - д2|0,

где Р (Т) < 1 при выбран ном Т > 0. Таким образом, на полном метрическом пространстве О0([0,Т]; X) оператор Ф является сжимающим. По теореме о сжимающем отображении найдется единственный элемент д1 € О0([0,Т]; X), такой, что д1 = Фд1. В этом случае функция

v(t) = V(ф° + У V(* - 5)д1(в)^5

о

из класса О0([0, Т]; X) П О0-1([0, Т]; ДА) является одновременно решением задач (3), (4) и (4), (5), так как ¿(¿) - Аv(t) = д1(*) = [Фд1](*).

Если v1, v2 — два решения задачи (3), (4) на некотором отрезке [0,Т], Т < Т°, то функции

&(*) = I - в)^ + /(*), г =1, 2,

о

являются неподвижными точками оператора Ф, лежащим и в О0 ([0, Т ]; X). Поэтому д1 = д2 и при каждом * € [0,Т]

ги(*) - Аш(г) = 0, * € [0,Т], ш(0) = 0,

где и>(з) = v1(s) - v2(в), Отсюда следует совпадение v1 и v2 на [0,Т] и единственность решения задачи (3), (4). ■

В случае r =1 можно доказать однозначную разрешимость задачи (3), (4) на всей полуоси [0,

Теорема 2. Пусть оператор А порождает (C0)-непрерывную полугруппу операторов, v0 G DA, K G C([0, L(X)), f G C:([0, X). Тогда существует единственное решение v G C:([0, X) П C([0, DA) задачи (3), (4).

□ При r = 1 го прежней теоремы получаем решение v G C 1([0,T]; X) П C([0,T]; Da) задачи (3), (4). Нетрудно заметить, что в проведенном доказательстве теоремы 1 ограничения на T0 определяются только oneратором А и оператор-функдней K и не зависят от v0 G Da- Рассмотрим уравнение

т+t

v(T + t) = Av(T + t)^^ K(s)v(T + t - s)ds + f (T + t),

0

при фиксированном ранее T G (0, T0) и t > 0, Сделаем замену v1(t) = v(T +1) и получим задачу Коши

t

vi(t) = Avi(t) + J K(s)vi(t - s)ds + fi(t), vi(0) = v(T), (9)

0

где функция

T+t

fi(t) = f (T + t)+ J K(s)v(T + t - s)ds, t

как нетрудно заметить, уже определена и принадлежит пространству Ci([0,T]; X). Повторив рассуждения, докажем существование единственного решения задачи (9) па отрезке [0,T], а значит, и решения исходной задачи на отрезке [0, 2T], Повторяя процесс, получим решение этой задачи в любой момент времени t > 0 ■ Докажем в некотором смысле смежное к теореме 2 утверждение. Теорема 3. Пусть оператор А порождает (C0)-непрерывную полугруппу операторов, vo G Da im K(s) С Da при s > 0 K G C([0, L(X; Da)) f G C([0, Da).

Тогда существует единственное решение задачи (3), (4) на полуоси [0,

□

sup ||K(s)|U(X;DA) = sup (|K(s)|l(X) + ||AK(s)||l(x)) = Ka(T),

se[0,T] se[0,T]

Fa(T) = C(T)Ka(T)T2/2. Как и при доказательстве теоремы 1, определим T0 = F-i(1), тогда F(T) < 1 при T G (0,T0).

Зафиксируем T G (0,T0). Дияд G C([0,T]; DA), решенне v G Ci([0,T]; X)nC([0,T]; DA)

задачи (4), (5) существует, единственно и имеет вид (6). Зададим на C([0,T]; Da) оператор (7). Тогда

t t t-s

[A$g](t) = j AK(s)V(t - s)v0ds + j AK(s) J V(t - s - T)g(r)drds + Af (t), 0 0 0

\\Ысф,ППл) < ТС{Т)КА{Т)\Ы\Х + у С{Т)КА{Т)\\д\\0 + ||/||с([одеА),

поэтому Ф : C([0, T]; Da) — C([0,T]; Da). Для £ C([0,T]; Da) имеем

T 2

||ф01 - ^92\\c([0,T];DA) < — C(T)KA(T)\\gi - g2\\c([0,T];DA) = FA(T)\\gi - g2\\c([o,T];DA)-

Поскольку FA(T) < 1 при выбран ном T, то на полном метрическом пространстве C([0,T]; Da) оператор Ф является сжимающим. По теореме о сжимающем отображении существует единственная неподвижная точка g1 £ C([0,T]; Da) оператора Ф, Следовательно, функция

t

v(t) = V(t)vo + J V(t - s)gi(s)ds

0

является решением задач (3), (4) и (4), (5). Единственность решения и его продолжимость на всю полуось [0, доказываются так же, как в теоремах 1 и 2 соответственно. ■

3. Условия на операторы в вырожденном уравнении. Сформулируем условия на операторы, которые будут использованы в дальнейшем, и соответствующие им утверждения, которые доказаны ранее в |1,2|.

Пусть U и V — банаховы пространства, оператор L : U — V линеен и непрерывен (для краткости обозначим L £ L(U; V)), а оператор M : DM — V линеен, замкнут и плотно определен в U (коротко, M £ C/(U; V)). Введем обозначения

No = {0} U N, pL(M) = (p £ C : (pL - M)-1 £ L(V;U)},

aL(M) = C \ pL(M), R^(M) = (pL - M)-1L, L^ = L(pL - M)-1.

Пусть p £ N0, Оператop M называется сильно (L,p)-радиальным, если

(i) За £ R (а, С pL(M);

(ii) ЗК £ R+ Vp £ (а, Vn £ N

К

max{||(^(M)r^||£(u), |<

(p - a)n(P+1) '

О

(iii) существует плотный в V линеал V? такой, что при любом p £ (а,

||M(pL - Mr'il^iM^fU < СУ])р+2 V/ ш ;

К

MRiMY+^L - < _ .

Здесь с(/) - константа, зависящая от выбор а элемента /,

Замечание 2. Эквивалентность условий данного определения аналогичным более сложным условиям, использованным в |1,2|, доказана в |20|.

Положим Я0 = кег(Я^(М))р+1, V0 = кег(Ь^(М))р+1; Я1 - замыкание образа оператора (М))р+1 в пространстве Я, V1 - замыкание в пространстве V. Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на Як (ДМк = Дм ПЯк), к = 0,1.

Теорема 4 [1,2]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(0 Я = Я0 0 Я1, V = V0 0 V1;

(н) Ьк е £(Як; Vй), Мк е С1(Як; Vй), к = 0,1;

(111) существуют операторы М0-1 е Я0) н Ь-1 е Я1);

(пт) оператор Н = М-1Ь0 нильпотентен степени не больше р;

(у) существует сильно непрерывная полугруппа {и(Ь) е £(Я) : Ь > 0}, разрешающая уравнение Ьи(Ь) = Ми(Ь);

(\ч) оператор Ь-1М1 порождает (С0)-непрерывную полугруппу операторов {и1(Ь) = и(Ь)|Я1 е ¿(Я1) : Ь > 0}.

Замечание 3. В случае кег Ь = {0} единицей и(0) разрешающей полугруппы уравнения Ьйй(Ь) = Ми(Ь) является нетривиальный проектор, при этом кег Ь С кег и(0) = Я0, 1ш и(0) = Я1.

Обозначим Р = и(0) Я - проектор на подпространство V1 вдоль подпространства V0, Р0 = I - Р,Я0 = I - Я

Замечание 4. При доказательство утверждения (и) теоремы 4 существенную роль играют равенства МРи = ЯМи, и е Дм, и ЬР = ЯЬ. Они в дальнейшем также потребуются в явном виде.

4. Вырожденное эволюционное уравнение с памятью. Рассмотрим начальные задачи Коши

и(0) - и0 = 0 (10)

и Шоуолтера

Р(и(0) - и0) = 0 (11)

дня вырожденного эволюционного уравнения с памятью

Ьи(Ь) = Ми(Ь) + %(в)и(Ь - s)ds + /(Ь), (12)

где {К(Ь) е £(Я; V) : Ь > 0} — заданное семейство оператор-функций.

Решением задачи (10), (12) (задачи (11), (12)) на отрезке [0,Т], Т > 0, называется функция и е С1([0,Т]; Я) ПС([0,Т]; Дм), удовлетворяющая условию (10) (условию (11)) и уравнению (12) на [0,Т], Аналогично определяется решение на полуоси.

Здесь подразумевается, что область определения Дм снабжена нормой графика II ' Н^м = || ■ Ня + IIМ ■ замкнутого оператора М и поэтому является банаховым пространством.

0

Пусть кег Ь = {0}, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Подействуем на обе части уравнения (12) непрерывным опера тором Ь-1^ и получим в силу теоремы 4 и замечания 4 уравнение

г г

г(г) = ь-1м^(г) + у ь-1я%(в)у(г - s)ds + уЬ-1(К^)ш(г - s)ds + Ь-1(/(г), (13) 0 0

где Ри(г) = ь(г), Р0и(г) = ш(г), и(г) = г (г) + ш(г). Если же та уравнение (12) подействовать непрерывным оператором М0"1^0, то получим

г г

Нш(г) = М^^К^)'^ - s)ds ^ М—1((0К(,з)у(г - s)ds + М,-1^/(г). (14)

00

Таким образом, уравнение (12) сводится к системе уравнений (13) и (14).

Рассмотрим случаи, когда второе слагаемое в правой части равенства (14) тождественно равно нулю. Например, используя условие т К(г) С V1 при г > 0, нетрудно получить следующий результат.

Теорема 5. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален; 1ш К(г) С V1 для всех г > 0, К е С([0, £(Д; V)) / Е С 1([0, V) (0/ Е Ср+1([0, V) и0 € Вм- Тогда решение задачи (11), (12) существует и единственно на всей полуоси [0, Если к

тому же выполняется условие

р

Р0Щ = -5] НкМ-\Я0/)(к)(0), (15)

к=0

то существует единственное на полуоси [0, решение задачи (10), (12).

□ Если 1 т К (г) С V1, то (0К(г) = 0. В этом случае уравнение (14) принимает вид

НгЪ(Ь) = ш(г) + М—1 (0/(г) и, следовательно, имеет единственное решение

р

' = ^ нкМ—1(Я0/)(к) Е С 1([0, и) П С([0, Вм) к=0

в силу нильпотентности оператора Н. При этом задача ш(0) = Р0и0 для уравнения (14), а значит, и задача (10) дня уравнения (12), имеет решение только в случае выполнения условия (15).

Таким образом, задача (10), (12) (или (11), (12)) сведена к задаче Коши для уравнения

г

г(г) = Ь——1М1г(г) + у Ь-1(К^)г(1 - s)ds + к(Ь), 0

г

где к(г) = / Ь-^К^)'^ - s)ds + Ь-1^/(г) принадлежит пространству С 1([0, И1), 0

Используя теорему 4, нетрудно убедится, что выполняются все условия теоремы 2 о разрешимости такой задачи. ■

Замечание 5. Таким образом, задача Коши дня вырожденного эволюционного уравнения (12) является переопределенной в том смысле, что дня ее разрешимости требуется выполнение условия (15) согласования данных задачи.

Аналогичный результат нетрудно получить с использованием теоремы 3 вместо теоремы 2 на последнем этане доказательства.

Теорема 6. Пусть оператор M сильно (L, р)-радиален, для тех t > 0 im K(t) С DMiL-b K G C([0, +œ); LU; DMiiri)), Qf G C([0, +œ); Dmil-i), Qof G Cp+1([0, +œ); V) uo G Dm- Тогда решение задачи (11), (12) существует и единственно на всей полуоси [0, +œ). Если к тому же выполняется условие (15), то существует единственное на полуоси [0, +œ) решение задачи (10), (12).

Рассмотрим теперь случай U0 С ter K(t) при t > 0.

Теорема 7, Пусть оператор M сильно (L, 0)-радиален, U0 С ker K(t) для всех t > 0, K G C([0, +œ); L(U; V)) f G C 1([0, +œ); V), u0 G DM. Тогда решение задачи (11), (12) существует и единственно на всей полуоси [0, +œ). Если к тому же выполняется условие

Pouo = -Mo-1Qof (0), (16)

то существует единственное на полуоси [0, +œ) решение задачи (10), (12).

□ В случае, когда Uo С ter K(t), система (13), (14) принимает вид

t

v(t) = L-1Miv(t) + /L-1QK(s)v(t - s)ds + L-1Qf (t), (17)

Нги(*) = Ц*) + у Мо"^К^М* - з)^ + М0"^о/(*). (18)

о

Однозначная разрешимость задачи Коши у(0) = Рио для уравнения (17) следует из теорем 2 и 4. Подставим найденную функцию V в уравнение (18). При р = 0 оператор Н = 0 по теореме 4 (пт), поэтому функция

г

Ц*) = - У М-^К^М* - в)^ - Мо-1^о/(*) 0

является решением уравнения (18). Условие (16), тогда является необходимым дня разрешимости задачи Коши и>(0) = Роио для уравнения (18). ■

С помощью теоремы 3 аналогичным образом получим утверждение. Теорема 8. Пусть оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, Яо С кег К(*) для всех * > 0 К С С([0, £(Я; V)), фК € С([0, £ (Я; фо/ € С 1([0, V),

ф/ € С([0, DMl¿-l), ио € DM. Тогда решение задачи (11), (12) существует и единственно на всей полуоси [0, Если к тому же выполняется условие (16), то

существует единственное на полуоси [0, решение задачи (10), (12).

При произвольном р е N используя теорему 1, докажем лишь локальную разрешимость рассматриваемых задач.

Теорема 9. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален; И0 С кег К(г) для всех г е ^0,71], К е С([0,Т1]; £(И; V)) (К е СР([0,Т1]; £(Я; V)) / е С 1([0,Т1]; V) С/ е Ср+1([0,Т1]; V) и0 е Вм Ри0 е В(Ь-1М1)Р+1. Тогда при некотором Т е (0,Т1] решение задачи (11), (12) существует и единственно на отрезке [0,Т]. Если к тому же выполняется условие (15), то существует единственное на полуоси [0, решение задачи (10), (12)/

□ По теореме 1 получим существование единственного решения г е Ср+1([0,Т]; И1) П

Ср([0,Т]; ВМ1) задачи Коши г(0) = Ри0 для уравнения (17). Подставив его в уравнение

р

(18), найдем решение ш(г) = - ^ НкЛ(к)(г) класса С1([0,Т];И0), где функция Л(г) =

к=0

г

/ М0-1(0К^)г(г - s)ds + М0-1 (0/(г) имеет необходимую гладкость. ■ 0

5. Линеаризованная интегро-дифференциальная модель Осколкова. Рассмотрим начально-красную задачу дня ингегро-дифференциальной системы уравнений Осколкова

(1 - хА)гг(х,г) = иАь(х,г) - (г ■ V)v(x,t) - (г ■ V)v(x,t) - т(х,г) +

г

^У К(s)Aг(x,í - s)ds + Л(х,г), (х,г) е П х [0, (19)

0

V- г(х,г) = 0, (х,г) е П х [0, (20)

г(х,г) = 0, (х,г) е дП х [0, (21)

г(х, 0) = г0(х), х е П. (22)

Здесь П С Мп — ограниченная область с границей дП класса СТ > 0, Параметр х > 0 характеризует упругие свойства жидкости, а параметр V > 0 — её вязкие свойства. Вектор-функции г = (г1,г2,..., гп) (вектор скорости жидкости) и т = (т1,т2,..., тп) (градиент давления) неизвестны. Вектор-функция г = ( 52,..., 5п), 5к = 5к(х), к = 1, 2,... ,п, задана и означает стационарное решение исходной системы. Также заданы функции N : [0, — М, Л : П х [0, — М,

Эта система моделирует в линейном приближении динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости [5] в окрестности стационарного решения г.

Редуцируем задачу (19)—(22) к задаче Шоуолтера (11) дня уравнения (12). Дня этого введем обозначения Ь2 = (Ь2(П))п, Н1 = (Ж2(П))п, Н2 = (Ж22(П))п, Замыкание множества £ = {г е (С0°°(П))п : V ■ г = 0} по норме Ь2 обозначим через Н2, а по норме Н1 -через Н^. Будем использовать также об означение Н2 = Н^ П Н2, Обозначим ч ерез Нп ортогональное дополнение к Н2 в Ь2, через Е : Ь2 — Н2, П = I - Е — соответствующие ортопроекторы.

В пространстве £ рассмотрим оператор А = ЕД, который, будучи продолженным до замкнутого оператора в пространстве Н2 с областью определения Н2, имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечиократный спектр, сгущающийся только на -то [21], Обозначим через {Ак} его собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а через } — ортонормированную систему соответствующих собственных функций, образующую базис в Н2,

Пусть V € Н1, Тогда формулой Dw = т/Дад - (V ■ У)ад - (ад ■ У)5 зададим оператор D € £(Н2;Ь2).

Учитывая уравнение несжимаемости (20), положим

Я = Н2 х Нп, V = Ь2 = Н2 х Нп. (23)

Таким образом, элемент и € Я имеет в ид и = (V, г), а элеме нт ад € V — вид ад = (у, г), где у = Еад, г = Пад, Формулой

Ь = ( --ПД 0 ) (24)

определяется оператор Ь € £(Я; V) Учитывая отрицательность спектра а(А), имеем Х-1 / ^(А), поэтому кег Ь = {0} х Нп, При задан ном V € Н1 формулой

М = ( ЕD -0 ) (25)

определяется оператор М € £(Я; V).

Теорема 10 [22]. Пусть пространства Я и V определены равенствами (23), а операторы Ь и М — равенствами (24) и (25) соответственно, х = 0 Х-1 € а(А). Тогда М (Ь, 0)

1 0>| О = ( 1

ХПД(/ - ХА)-^ + ПD О ] ' О I -ХПД(/ - ХА)-

Из теоремы 10 следует, что Яо = кег Р = {0} х Нп, При 8 > 0 определим операторы К(з) : Н^ х Нп — Ь2, К(з)^,г) = N(в)Д^ Очевидно, что Яо С К(з) при всех 8 > 0, поэтому с помощью теорем 10 и 7 получим следующее утверждение.

Теорема 11. Пусть N € С([0, М), к € С 1([0, Ь2), v0 € Н^. Тогда решение задачи (19)—(22) существует и единственно.

□ Из условий на функцию N и построения операторов К(з) следует, что К € С([0, £(Я; V)). Из вида полученного в теореме 10 проектора Р следует, что условие (22) эквивалентно условию Шоуолтера (11). Ш

6. Заключение. В работе получены теоремы существования и единственности решения начальных задач дня некоторых классов линейных эволюционных уравнений с эффектами памяти. Дня невырожденных уравнений такого рода получены условия глобальной однозначной разрешимости задачи Коши в смысле классических решений и

локальной ее разрешимости в классах решений повышенной гладкости. Для эволюционных уравнений с вырожденным оператором при производной исследована однозначная разрешимость начальных задач Коши и Шоуолтера, Полученные абстрактные результаты использованы дня исследования глобальной но времени разрешимости начально-краевой задачи дня системы уравнений Осколкова, описывающей динамику вязкоуиру-гой жидкости. Аналогичным образом можно использовать полученные результаты при рассмотрении других иачалыю-краевых задач дня интегро-дифференциальных систем уравнений в частных производных

Литература

1. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /7 Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173-200.

2. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Линейные уравнения еоболевекого типа / Челябинск: Че-ляб. гос. ун-т, 2003. 179 с.

3. Coleman B.D., Gurtin М. Е., Angew Z. Equipresenee and eostitutive equations for rigid heat conductors /7 Math. Phvs. 1967. Vol. 18. P. 199-208.

4. Gurtin M.E., Pipkin A.C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Meeh. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113-126.

5. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта /7 Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С. 126-164.

6. Giorgi С., Marzoeehi A. Asymptotic behavior of a semilinear problem in heat conduction with memory /7 Nonlinear Differ. Equ. Appl. 1998. Vol. 5. P. 333 354.

7. Grasselli M., Pata V. Uniform attractors of nonautonomous dynamical systems with memory. In the book: Progress in nonlinear differential equations and their applications / Basel: Birkhauser Verlag, 2002. Vol. 50. P. 155-178.

8. Gatti S., Grasselli M., Pata V., Squassina M. Robust exponential attractors for a family of nonconserved phase-field systems with memory // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2005. 12, №5. P. 1019-1029.

9. Grasselli M., Squassina M. Exponential stability and singular limit for a linear thermoelastic plate with memory effects // Advances in Mathematical Sciences and Applications. 2006. 16, №1. P. 15-31'.

10. Федоров B.E., Стахеева О.А. О локальной разрешимости линейных эволюционных уравнений с памятью /7 Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2008. 27 (127); 2. С. 104-109.

11. Стахеева О.А. Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памятью // Вестник Челябинского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009.' ' 20 (158); 11. С. 70-76.

12. Федоров В.Е., Стахеева А.В. О разрешимости линейных уравнений еоболевекого типа с эффектом памяти /7 Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2010. С.245-261.

13. Орлов С.С. Вырожденное интегро-дифференциальное уравнение в банаховых пространствах и его приложения // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. 3, №.1. С. 54-60.

14. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения /7 Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2011. 4 (211); 7. С. 100-110.

15. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости /7 Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. 4, №1. С. 118-134.

16. Фа.лалеев М.В., Орлов С.С. Вырожденные интсгро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения /7 Изв. вузов. 2011. №10. С. 68-79.

17. Фалалеев М. В. Интсгро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения /7 Изв. Иркутских) гос. ун-та. Сер. Математика. 2012. 5, №1. С. 90-102.

18. Звягин В.Г., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта /7 Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. 31. С. 3-144.

19. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы / М.: Иностр. лит., 1962. 830 с.

20. Федоров В.Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов /7 Вестник. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. 20 (158); 11. С. 12-19.

21. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / М.: Физматлит, 1961. 204 с.

22. Иванова И.Д., Федоров В.Е., Комарова К.М. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения /7 Вестник Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. 26 (280); 15. С.49-70.

ON SOLVABILITY OF EVOLUTION EQUATIONS WITH MEMORY

V.E. Fedorov, O.A. Stakheeva

Chelyabinsk State University, Kashirin Brothers St., 129, Chelyabinsk, 454001, Russia, e-mail: [email protected], [email protected].

Abstract. Conditions of unique solvability of the Cauehy problem to a linear intcgro-diffcrcntial equation with memory in a Banach space are found by methods of the operator semigroup theory. Solutions are supposed in the classical sense. They are defined on the temporal semiaxis and in the sense of smoother solutions on a segment. These results are used at the proof of unique solution existence both the Cauchv problem on semiaxis and the Showalter problem to a degenerate linear evolution equation with memory in a Banach space. General results are applied to research of unique solvability of an initial-boundary value problem in an cylinder unbounded with respect to time for the linearized intcgro-diffcrcntial Oskolkov system of equations describing dynamics of viscoelastic fluid.

Ключевые слова: evolution equation, operator semigroup, equation with memory, intcgro-diffcrcntial equation, initial boundary value problem, Oskolkov's equations system.