CC BY
39
ными носителями на локально компактных абелевых группах // Изв. РАН. Сер. мат. 2005. Т. 69, вып. 3. С. 193-220.
6. Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты на прямых произведениях циклических групп // Мат. заметки. 2007. Т. 82, вып. 6. С. 934-952.
7. Benedetto J.J., Benedetto R.L. A wavelet theory for
УДК 517.535.4
О РАЗЛОЖЕНИИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НА ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Р.Г. Письменный
Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт,
кафедра математики и методики ее преподавания E-mail: [email protected]
Статья содержит развитие известной теоремы И .Ф. Красичкова-Терновского о расщеплении на случай уточненного порядка. При этом охватывается ситуация с нулевым порядком. Доказательство осуществляется по той же схеме и основано на факториза-ционной теореме Адамара.
Ключевые слова: целая функция, конечный порядок, нулевой порядок, факторизационная теорема.
local fields and related groups // The J. of Geometric Analysis. 2004. V. 14, № 3. P. 423-456.
8. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: ЭЛМ, 1981.
9. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
Factoring of an Entire Function into Two Equivalent Functions R.G. Pismennyi
The article contains the development of the known Krasichkov-Ternovskii’s theorem about fission on event of the proximate order. Herewith event of the zero order is covered. Proof is realized on the same scheme and is founded on Adamara’s theorem.
Key words: entire function, finit order, order zero, factorization theorem.
1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА
Выберем неотрицательную функцию определённую на луче t > 0. Считаем, что она возрастает, дифференцируема в окрестности и
lim ^(t) = +го, lim Д (t)t = р < +го. (1)
t^+ж ln t t^+ж ^(t)
Отметим, что из условий (1) вытекает, что функция p(t) = lni^tt) является уточнённым порядком, то
есть
lim p(t) = р< +го, lim tp'(t) ln t = 0. (2)
t——+^o t——+ ^0
Действительно, Иш 1п д(£) = +го, значит, по известному правилу
t—
иш р(() = иш ^ = Иш ^ = Р
t——t——1п £ t——/^(£)
и при этом
(£)1п £ = ^ ^ ^ 0,
^(£) 1п £
если £ ^ +го. При р > 0 верно и обратное, то есть для любого уточненного порядка р(£) ^ р функция ^(£) = удовлетворяет соотношениям (1). Действительно, при р > 0 имеем
и(£) tЛtt Дг(£)£ //ч! /ч
--- = ------> и —= £р (£) 1п£ + р(£) ^ р при £ ^ +го.
1п £ 1п £ ^(£)
Таким образом, при р > 0 условия (1) и (2) эквивалентны.
© Р.Г. Письменный, 2009
19
Две функции /1, /2 комплексной переменной называются р-эквивалентными (в обозначениях /1 ~ /2), если существует множество кружков Е = и вг нулевой линейной плотности, такое что
1п |/1 (г)| - 1п |/2 (г)| = О (м(|г|)), г г^ивг.
Введенное отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно; оно сохраняется при умножении на эквивалентные функции: если /1 /2,01 ~ д2, то Л д1 ~ /2#2.
Пусть Л = {Лг} — последовательность отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности, п(£) = п(£;Л) — считающая функция, р = [р],
С(г,р;Л) = П^,Р^ — каноническое произведение. Справедлива следующая теорема о расщеплении.
Теорема. Если
Г
[ п(£; Л)
£
< ^(г)д(г), (3)
где ^(£) интегрируема по Риману, равна нулю в некотором полуинтервале [0, ) и подчинена
условию Нш ^(£) < с (0 < с < +го), то последовательность Л можно разбить на две подпо-
t—
следовательности А = {аг} и В = {Ьг} таким образом, что С(г,р; А) ~ С(г,р; В) при р 0 N5 С(г,р;А)в“^ С(г,р; В)в при р е N и некотором а е С.
Для случая ^(£) = £ эта теорема доказана в работе И.Ф. Красичкова-Терновского [1, теорема 4.2]. Из теоремы о расщеплении и факторизационной теоремы Адамара для целых функций конечного порядка легко получить следующее утверждение: если целая функция / удовлетворяет условию
-— 1п1п М/(г)
11ш --------< +ГО,
г—1п ^(г)
а последовательность Л = {Лг} ее нулей удовлетворяет условию (3), то функцию / можно представить в виде произведения двух ^-эквивалентных множителей / = /1/2, где /1 ~ /2. В статье В.С. Азарина [2] это утверждение доказано для случая ^(£) = , р > 0. Доказательство В.С. Азарина является
альтернативным и опирается не на теорему о расщеплении, а на его результат по аппроксимации субгармонических функций модулями целых функций. Этот подход возможен и в общем случае, если опереться на аналогичный результат Р.С. Юлмухаметова из [3]. Приводимое ниже доказательство является более прозрачным и простым, так как является внутренним и не требует обращения к теории субгармонических функций.
2. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Последовательность комплексных чисел Г = {7^} называется й-близкой к последовательности Л = {Лг} , если |7г — Лг| < й|Лг|, г = 1, 2,.... Множество С называется а-удаленным от множества Р, если ^пр |Л, — г| > а |г| для любой точки г е С. Символом О(х) обозначаем произведение функции, модуль которой ограничен сверху положительным числом, на х. Множество кружков Е центрировано множеством Р, если каждая точка Р принадлежит, по крайней мере, одному кружку множества Е и каждый кружок множества Е содержит, по крайней мере, одну точку из Р.
Пусть р = 0. Тогда оказываются справедливыми две следующие теоремы. Для случая 0 < р < аналогичные теоремы доказаны в статье [4, теремы А, В].
Теорема 1. Пусть целая функция / (г) удовлетворяет условию
-— 1п М/(г)
11ш ----/ < с (0 < с < +го), (4)
г—д(г)
д(г) — целая функция с последовательностью корней Г = {7^}, й-близкой к последовательности корней Л = {Лг} функции /(г); — некоторое множество, а-удаленное от Л. Если
—- 1п 1п Мд (г)
11ш —1------т^- < (5)
г—1п ^(г)
и 0 < ї-ї < а — 1, то существует число I < +го, зависящее от /(г) и д(г), такое, что при
|г| > I, г Є
1п |д(г)| - 1п |/(г)| = Д(|г|).
а - 1-ї
Теорема 2. Пусть / (г) — целая функция, удовлетворяющая условию (4), и 0 < а < 1, 0 < в — 1-Тогда любой целой функции д(г), удовлетворяющей условию (5), с последовательностью корней Г = (7і}, й-близкой (0 — й < 2) к последовательности корней Л = {Л^} функции /(г), можно поставить в соответствие множество кружков Ед со свойствами:
1) Ед центрировано множеством Г и Л,
2) линейная плотность Ед не превосходит вйа ,
3) при г Є Ед
1п|д(2)1- 1п|/(г)| = ав^іп па ^(|2|)'
Доказательства теорем 1 и 2 проведем по классической схеме, разработанной в [4].
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Выберем произвольную последовательность Л = {Л^} отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности и будем предполагать, что выбранная последовательность удовлетворяет условию (3). Из этого условия и неравенства
ЄГ
П(,,Л) — / пМ> л
Г
вытекает, что при любом г > 0 выполняется неравенство
п(г; Л) — ^(ег)д(ег).
При достаточно больших г это неравенство можно уточнить. Действительно, при достаточно больших Ь имеем
/МЬЛ' =(^(ь)ь Л Мь) < 0
гл -\ш — V~ <0-
Поэтому разность д(дЬ) — 5^(Ь) = ^и разность 1 — q имеют один и тот же знак, то есть
при достаточно больших Ь и 5 > 1
д(5Ь) < 5^(Ь). (6)
Следовательно, при достаточно больших г и 5 > 1 будут выполняться неравенства:
п(5г;Л) — ^(е5г)д(е5г) — 2ее5^(г).
Другими словами,
п(5г;Л)= О(о5)^(г). (7)
Пусть Г — последовательность, й-близкая к Л (0 < й — 1). Используя неравенство
п(ь;Г) — 1—^;Л
нетрудно показать, что Г удовлетворяет аналогичному (3) условию
Г
[ п(Ь;Г)
t
dt < 0(r)^(r), (8)
^ ( r ) _____
где ß(r) < 1 — d , значит, lim ß(r) < 2c. Из неравенства (6) следует, что при достаточно больших
r и q > 1
n(qr;r) = O(cq)^(r). (9)
Обозначим Да(г) круг {Л : |Л — г| < а |г|} и по последовательностям Л, Г составим произведения:
С(г; Л) = П ( 1 — т)’ С(г; Г) = П ( 1 —
Л: /Дст (г)
Л: / Дст (г)
7г
Нетрудно показать, что каждое из этих произведений сходится при любом значении г и удовлетворяет соотношению типа (4). Убедимся в этом на примере произведения (г;Г|Л). Прежде всего,
1п |Са(г;Г|Л)| 1п (\ + ^ = / 1п + М) йп(£;Г).
При этом |г|
1п ( 1 + — ^ йп(£; Г) = п(£; Г) 1п ^1 +
ы N N
1 1 Г Ып(£;Г) Г п(£;Г)
+ 7------г-гг-й£ < п(|г|;Г)1п2+ -------й£,
о ] (£ + |г|)£ - 4 ; У t ’
1п ( 1 + йп(£; Г) = п(£; Г) 1п ^1 +
|г|
+ , 1г|п(£;Г) Л <
|г| •/ (£ + |г|)£
N
< —п(|г|;Г) +
О (с)
1 — о(1)
МИл1п2,
|г| ^ +го. Действительно, так как
Ш£11^1 + ]£П< 1+М1М ]п 3 = 21п 3
|г| V « / “ |г | £
при £ > |г|, то
|г|
(£) 1п ^1 + й£ =
(£)££ + |г| 1п(^ + |г|^ ИМ£) й£ = О(1^ |г|^(£)
И
М(£) |г |
£ / (£ + |г|)£
|г|
(£ + |г|)£
й£
при |г| ^ +^ и в силу (9)
|2|П(‘;Г) <й < О(с) /+“ -1^Л = О(с)
|г|
(£ + |г|)£
И (£ + |г|)£
М(£) 1п
£ + |г|
|г|
+ J (£) 1п ^1 + — ) й£
|г|
|г|
= О(с)м(|г |) 1п 2 + о(1)
|г|
(£ + |г|)£
й£
при |г| ^ +го. В итоге, при достаточно больших |г| имеем 1п |Са(г;Г|Л)| = О(с)^(|г|). Аналогично убеждаемся в справедливости и трёх других соотношений:
1п |С(г;Л)| = О(с)м(|г|), 1п |С(г;Г)| = О(с)^(|г|), 1п |Са(г;Л)| = О(с)^(|г|).
(10)
Предложение 1. Пусть последовательность Л = {Лг} (Лг =0; г = 1,2,...) удовлетворяет условию (3), Г — й-близкая к Л последовательность. Если
0 < -, й , < а < 1, 1—й
(11)
г
7
£
Р.Г. Письменный. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные множител! то существует число I < го, зависящее только от функций и и д, такое, что при |г| > I
|1п |Са (г ;Г|Л)| - 1п |Са (т;Л)|| =
О(Ы)
■д(|т|)-
1-а
Доказательство. При доказательстве теоремы 1 из [4] показано, что
(12)
|1п |Са(т; Г|Л)| — 1п |Са(т;Л)|| =
О(гі)
1 —
(г),
(1-
где
7 (т) = I]
|Л- |<2|г|, Л-/Дст (г)
г г
Л- — + V Л-
1 — л-
|Л-|>2|г|, Л-/Дст(г)
1 — л-
— її + ^2.
Так как Л^ </ Да(г), то
1 — л-
>
а. Поэтому
Е! <1 V 1 = -п(2|г|;Л). а ^—/ а
|А;1<2|^|
В силу (7) найдется число I < го, зависящее только от функции и, такое, что при |г| > I имеем Е1 = О д (|г|). В то же время для членов ряда, входящих в Е2, справедлива оценка
г Л-
1 г Л-
<
г Л-
—11 1 г| ^ 1
< 2
откуда следует, что
Е2 < 2Иу Мі^ — 2|т|
2|г|
( і
п(С; Л)
+ і л
2|г|
С2
2|г|
В силу (7) при |т| > I имеем
Значит,
при |г| ^ +го, так как
Е2 < 2|г|0(с) / ^Л — , °(С* м(2|г|)
2|г|
С2 1 — о(1)
А — — 40
с2 с
'2|г|
2|г|
2|т|
С2
2|г|
при |г| ^ +го. Следовательно, Е2 = О(с)д (|г|). Отсюда следует, что справедлива формула (12). Предложение доказано.
При помощи предложения 1 можно сравнивать модули произведений С(г;Г) и С(г;Л) на множествах, удаленных от Л. Действительно, пусть последовательность Л удовлетворяет условию (3), Г — последовательность, ¿-близкая к Л, а — множество, а-удаленное от Л. Предположим, что числа й, а связаны условием (11). В силу того что а-удалено от Л, при г е в круге Да(г) не содержится
ни одной точки Лг е Л. Поэтому при г е имеем С(г;Л) = (г;Л), С(г;Г) = (г;Г|Л). Отсюда
на основании предложения 1 получаем следующее утверждение.
а
а —
а
ъ
Предложение 2. Пусть последовательность Л = (Л*} (А* = 0) удовлетворяет условию (3), Г — й-близкая к Л последовательность, а — а-удалено от Л. Если 0 < < о < 1, то
существует число I < +го, зависящее только от функций и и д, такое, что при |х| >1 и х е
1п |С(х; Г)| - 1п |С(х; Л)| = д(|г|). (13)
о - I—3
Из предложения 2 вытекает справедливость теоремы 1. Действительно, пусть / удовлетворяет условию (4). На основании формулы Иенсена нетрудно убедиться, что последовательность Л = (Л*} корней / удовлетворяет условию типа (3), где Нш и(г) < с. Пусть — некоторое множество,
Г—
о-удаленное от Л; д(х) — целая функция, удовлетворяющая условию (5), с последовательностью корней Г = (7*}, й-близкой к последовательности корней функции /, и 0 < 1—3 < о < 1. По предложению 2 существует число I < го, зависящее только от и(£), такое, что при |х| > I имеет место оценка (13). Осталось заметить, что в силу условий (4) и (5) функции / и д являются функциями рода нуль. Кроме того, первое из условий (1) позволяет считать, что /(0) = 1, д(0) = 1. Следовательно, по теореме Адамара, /(х) = С(х;Л), д(х) = С(х;Г).
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
Прежде всего, предложение 2, хотя и в ослабленной форме, распространим на более широкий класс множеств.
Лемма 1. Пусть последовательность точек Л = (Л*} (|А*| >1) удовлетворяет условию
Г
1 [ п(і; Л) ,
БИр / ------= Б < +ГО.
г^г Мг) У і
0
Тогда для любых чисел N а, где N > 0, 0 < а < 1, существует множество кружков Е со свойствами:
1) каждый кружок Е содержит, по крайней мере, одну точку А*;
2) переменная линейная плотность Е при любом значении г > 0 не превосходит величины
2а Б /
і------лт 1 + йиР
1 — а N \ і
Д(і)
д(2ві)
йиР—Т7Г: О І М(і)
3) па(х, Л) < Жд(|х|) при х е Е.
Здесь па (х, Л) — число точек последовательности Л в круге Да (х).
Доказательство. Следуя работе [4, лемма 3], построим последовательность точек Н = (Лк} (к = 0,1,...) и убывающую цепочку последовательностей Л = Л(0) Э Л(1) Э ..., обладающих следующим свойством: если круг Да(х) не пересекается ни с каким кругом Да(Л&) (к = 0,1,...), то па(х,Л) < Жд(|х|). Положим 6 = 1—3. Нетрудно показать, что если точка х лежит вне круга Д^(Л), то круги Да(Л) и Да(х) не пересекаются. Отсюда следует, что для любой точки х, лежащей вне
системы кругов Д^(Лк), к = 0,1,..., круг Да(х) не пересекается ни с каким кругом Да(Лк) и, сле-
довательно, в круге Да(х) содержится менее Жд(|х|) точек Л*. Положим Е = икке н Д^(Лк). Из вышеизложенного следует, что па (х, Л) < Жд(|х|) при х / Е. Оценим переменную плотность ре (г). Имеем грЕ(г) = 6 ^ |Лк |, и задача свелась к оценке суммы ^ |Лк |. Пусть т(£) — число точек
|^ |<Г |Л*. |<г
|Лк | в интервале (0, £]. Так как |Л0| > 1+3 > 2, то т(£) = 0 при 0 < £ < |. Поэтому
|Лк| = £йт(£)= / £йт(£). (14)
N |<г 0 I
2
Оценим последний интеграл. С этой целью, учитывая, что в каждом круге Да(Л&) содержится не менее Жд(|Лк |) точек из Л(к) и при этом разные круги содержат только разные точки, напишем цепочку неравенств:
2er
N Е Д (|hk|) < Е na(hk, Л(к)) < n(r(1 + а), Л) < n(2r, Л) < ^ n(t Л) dt < D^(2er).
|hfc |<r |hfc |<r
Из этих неравенств вытекает оценка
2r
D
Ф(г) = I M(t)dm(t) = ^ М (|hk|) < N^(2er)
Используя эту оценку имеем
tdm(t) =
M(t)
^(t)dm(t) =
|hfc |<r
-^Фт = ф(£)
M(t) () M(t) ()
-/ .(.) .,s
<
Ф(г) + sup
д(г) t>1
1 -
^'(t)t
M(t)
1-
д' (t)t
M(t)
u(2et)
sup-------T—
t> 1 M(t)
Из этой оценки и формулы (14) вытекает неравенство для переменной линейной плотности ре (г). Лемма доказана.
Опираясь на лемму 1, буквальным повторением доказательств лемм 4 и 5 из [4] доказываем следующие леммы.
Лемма 2. Пусть последовательность Л = (Л*} удовлетворяет условию
1
lim
r^ro д(г)
n(t; Л)
dt < c (0 < c < +ro)
(15)
и 0 < a < 1, 0 <в < 1- Тогда каждому числу s (0 < s < 1) можно поставить в соответствие множество кружков Es таким образом, что выполняются условия:
1) Es центрировано Л,
2) Es/ D Es// при s' > s'',
3) линейная плотность Es не превосходит fisa,
4) sup п^1(!;0Л) = °(ов) M|z|) при z ^ Es.
0<t<s V Р/
Лемма 3. Пусть последовательность Л удовлетворяет условию (15) и 0 < а < 1, 0 < в < 1, тогда каждой последовательности Г, d-близкой к Л (0 < d < 2>), можно поставить в соответствие множество кружков Ег со свойствами:
1) Ег центрировано Г (J Л,
2) линейная плотность Ег не превосходит ^d“ ,
3) I 12;Г(1~+П)12;Л) dt = O(c) а/ЙГпа M|z|) при Z 0 ЕГ.
0
Теперь все готово для доказательства следующего предложения.
Предложение 3. Пусть последовательность Л = (А*} (А* = 0) удовлетворяет условию (6) и 0 < a < 1, 0 <в < 1- Тогда любой последовательности Г, d-близкой к Л (0 < d < 1), можно поставить в соответствие множество кружков Ег со свойствами:
1) Ег центрировано Г (J Л,
2) линейная плотность множества Ег не превосходит eda ,
3) при z 0 Ег
ln |G(z; Г)| — ln |G(z; Л)| = O(c)
d
1—a
ав sin na
M|z|)-
(16)
Доказательство получаем путем адаптирования к случаю р = 0 доказательства теоремы 4 из [4]. Для последовательностей Л = (Л*}, Г = (7*} (Л*, 7* = 0) составим суммы:
(z; Л) =
Е
А; е Дст (z)
ln
1—
Aj
(z; Г|Л) =
E
А; е Дст (z)
ln
1—
r
2
r
r
r
r
t
2
2
2
2
r
2
r
t
z
z
Y
Ь,(х;Л) = £ 1п |х|+|ЛЛ;- х|, Ь,(х; Г|Л) = £ 1п .
л, ¿£(*) |Л‘| А, ^(г) №|
Обозначим через п^,,(х;Г|Л) число точек 7*, принадлежащих кругу Д^(х), с индексами, удовлетворяющими условию Л* е Д,(х). В работе [4, лемма 6] доказано, что при любом о > 0 выполняются следующие соотношения:
,
А,(х;Л) - Ь,(х;Л) = п,(х;Л) 1п 1+^ - ^ ¿(1 + ^) й* (17)
0
А,(х;Г|Л) - Ь,(х;Г|Л) = п,,,„(г;Г|А)1пг+^П#+Г:р®! °8)
0
где 5 = й + о + ой.
Пусть последовательность Л = (Л*} (Л* = 0, % = 1, 2,...) удовлетворяет условию (6), последовательность Г является й-близкой к Л и 0 < й < 1, 0 <о < 1. Как показано в [4, лемма 7], существует
число I < го, зависящее только от и(£), такое, что при |х| > I
Ь,(х; Л) = 0(с)д (|х|), Ь,(х; Г|Л) - Ь,(х; Л) = 0(сй)д (|х|). (19)
Воспользуемся представлениями:
1п |£(х; Л)| = (А, (х; Л) - Ь, (х; Л)) + Ь, (х; Л) + 1п |£,(х; Л)|, (20)
1п |С(х; Г)| = (А, (х; Г|Л) - Ь, (х; Г|Л)) + Ь, (х; Г|Л) + 1п |£,(х; Г|Л)| . (21)
Положим в (20) о = 1 и применим к соответствующим компонентам полученного представления соотношения (17), (19) и (10). Получим оценку
I
1п |С(х;Л)| = - /1!+)Л + 0(Ф(И). (22)
0
Аналогичная оценка в силу условия (8) будет справедлива и для любой последовательности Г, й-близкой к Л (0 < й < 2).
Используя (20) и (21), напишем представление для разности
1п |£(х; Г)| - 1п |£(х; Л)| = (А, (х; Г|Л) - Ь, (х; Г|Л)) - (А, (х; Л) - Ь, (х; Л)) +
+ (Ь, (х; Г|Л) - Ь, (х; Л)) + (1п |£,(х; Г|Л)| - 1п |£,(х; Л)|). (23)
Положим в (23) о = 1 и применим к соответствующим компонентам полученного представления
оценки (17), (18), (19) и предложение 1. Получим такую оценку
1+23
1п |С(х;Г)|- 1п |С(х;Л)| = п 1+23,I(х;Г|Л) 1п 1++2й - / П^£1(1х+Г£)Л)й* - п1(х;Л)1п1 +
0
/ £(1 + £) й£ + 0(сй)д(|х |) + 0(сй) ^ + 1 3 -
0
(|х| >1; 0 < й < 2). Замечаем, что п1+23,1 (х;Г|Л) = п1 (х; Л) и что 1 + 1 1 л < 3 при 0 < й < 4.
1 —
Поэтому
I 1+23
1п |С(2;Г)|- 1п |0(г; Л)| = / ,+‘*1)(х; Г|Л)й - | nІtIT+Г)А■* + 0(сй)д(|х|) =
01
1
= - У n,’l(z ^(f+'t)1'1 <Z;A> dt + 0(cd)M(|z|) (|z| > l; 0 <d < 4). (24)
0
При 0 <t < 1 — 2d в силу i—d-близости последовательности Л к последовательности Г из y¿ е At(z) следует Aj е A1(z). Поэтому при таких значениях t имеем
ni,i(z; Г|Л) = it(z; Г).
Отсюда
1 1—2d 1 1—2d
N1 (г;Г'Л) dt = / П1-1(г;Г'Л) dt + / K1'1 (г;Г'Л) dt = / dt + O(cd)MW) =
J t(1+ t) J t(1+ t) J t(1+ t) J t(1+ t) V 17
0 0 1—2d 0
11 1
= / Ib+t)dt — / dt + O(cd)M|z|) = / lY^+^t)dt + O(cdM|z|) (|z| >г)-
0 1—2d 0
Подставляя в (24), получим оценку
1
ln |G(z; r)| — ln |G(z; Л)| = — J nt(z’ Г()1 +7)^’ Л) dt + O(cd)M|z|). (25)
0
Эта оценка выведена в предположении, что 0 < d < 1. Однако в силу оценки (22) и аналогичной оценки для Г оценка вида (25) будет справедлива для всех значений d из интервала 0 < d < 2. Осталось к интегралу в (25) применить лемму 3. Предложение доказано.
Теперь все готово для доказательства теоремы 2. Пусть f (z) удовлетворяет условию (4). На
основании формулы Иенсена нетрудно убедиться, что последовательность Л = (Aj} корней f(z)
удовлетворяет условию типа (3), где lim w(t) < с. Пусть g(z) — целая функция, удовлетворяющая условию (5), с последовательностью корней Г = (y¿ }, d-близкой к последовательности корней функции f (z), и 0 < у—d < а < 1. По предложению 3 последовательности Г можно поставить в соответствие центрированное ГиЛ множество кружков Ег с линейной плотностью, не превосходящей eda , такое, что при z е Er справедлива оценка (16). По теореме Адамара, f(z) = azaG(z^), g(z) = bzeG(z;T). При этом в силу (1)
ln |az“| — ln |bze| = o (^(|z|)), z ^ ro. (26)
Значит, существует такое число l < +ro, что
d1-ав sin па'
ln |g(z)| — ln |f (z)| = (c) „,д„;______________M|z|)
при |х| > /, х ^ Ег. Если I — достаточно большое число, то круг (х : |х| < 1} будет содержать точки Г^ и, следовательно, множество кружков Ед = (х : |х| < 1}иЕг будет центрировано ГиЛ. Линейная плотность множества Ед равна линейной плотности множества Ег и не превосходит вйа .
5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О РАСЩЕПЛЕНИИ
Далее р е [0, +го) и р = [р]. Последовательность Г = (7*} называется эквивалентной последовательности Л = (Л*} (в обозначениях Г ~ Л), если для любого е > 0 найдется номер %(е) такой, что |7г - Л*| < е |Л*|, при % > %(е). Это отношение является рефлексивным, симметричным, транзитивным. Если Г1 ~ Л1, Г2 ~ Л2, то при соответствующием упорядочении объединенных последовательностей Г = Г1 и Г2, Л = Л1 и Л2 будем иметь Г ~ Л. Таким образом, отношение эквивалентности сохраняется при объединении эквивалентных последовательностей.
Лемма 4. Пусть эквивалентные последовательности Г и Л удовлетворяют условиям (3) и (8) соответственно. Тогда
С(х,р;Г) ~ С(х,р;Л) при р0 N, С* (х,р;Г|Л) ~ С* (х,р;Л) при ре N
где
С*(х,р;Л) = П С ( X",р - Ч П с(т,р),
|л,|<|^| У * 7 |л,|>|^|
С(г,р;Г|Л) = ]^[ С ,р - 1 П С 7,Р
|Л,|<|^| у ,г у |л,|>и у ,г ■
Доказательство. Пусть йп ^ 0 (0 < йп < 2) при п ^ го. Для любого номера п найдется номер кп такой, что урезанная последовательность Гкп = (7*} (% > кп) является йп-близкой к урезанной последовательности Лкп = (Л*} (% > кп). Таким образом, согласно теореме 2 и теореме В из [4] существует множество кружков Е(п) = у Е*(п) линейной плотности не превосходящей = вйа , такое, что при х / Е*(п) :
|1п|С(х,р;Гк„)|- 1п|С(х,р;Лк„)|| < епМ|х|) ре N, (27)
|1п |С* (х,р; Г кп |Лкп )|- 1п |С* (х,р;Лк„ )|| < епд(|х|), ре N. (28)
(¿1 — а
Здесь еп = (с) ав¡1ппа ^ 0 при п ^ го. Если гп достаточно велико, то в силу (1) при |х| > Гп
|1п|С(х,р;Г)| - 1п|С(х,р;Гк„)|| < (29)
|1п |С(х,р;Лк„)| - 1п |С(х,p;Л)|| < епМ|х^
если ре N, и
|1п |С*(х,р;Л)| - 1п|С*(х,р;Лк„)|| < епМ|х|) (30)
|1п |С* (х,р; Г|Л)| - 1п |С* (х,р;Гк„ |Л*п )|| < епд(|х|),
если ре N. Пусть Еп = ие(п) — множество кружков, полученное добавлением к Е(п) круга |х| < гп.
Линейная плотность при этом не меняется и, значит, по-прежнему не превосходит . Из неравенств
(27), (28), (29) и (30) следует, что
|1п |С(х,р; Г)| - 1п |С(х,р;Л)||< 3епд(|х|), х / е(п), ре N (31)
|1п |С* (х, р; Г|Л)| - 1п |С*(х,р;Л)|| < 3епд(|х|), х / е(п), р£ N. (32)
Теперь задача заключается в следующем: из «частей» множеств кружков Еп составить новое множество кружков Е = и е* нулевой линейной плотности, такое, что при х ^ го, х / е*,
|1п|С(х,р;Г)|- 1п|С(х,р;Л)||< о(д(|х|)), ре N, (33)
|1п |С* (х,р; Г|Л)| - 1п |С* (х,р;Л)|| < о (д(|х|)), р^ N. (34)
Для этой цели воспользуемся процедурой из работы [1, доказательство леммы]. Пусть Д1 столь
велико, что РЕ1 (г) + РЕ2 (г) < 2((51 + ¿2) при г > Р и, кроме того, окружность |х| = Р не пересекает
кружки из Е1 и Е2. Такое г1 всегда можно подобрать, если <5ь ¿2 достаточно малы. Обозначим через ^1 множество кружков из Е1, принадлежащих кругу |х| < Р1. Выбираем теперь Р2 так, что Рд1 (г)+ РЕ2 (г) + РЕз (г) < 2(52 + ¿3) при г > Р2, и окружность |х| = Р2 не пересекает кружки из Е2 и Е3. Пусть ^2 — множество кружков из Е2, принадлежащих кольцу Р1 < | х| < Р2. Подбираем Р3 так, что Рд1 (г) + Рд2 (г) + РЕз (г) + РЕ4 (г) < 2(53 + ) при г > Р3, и окружность |х| = Р3 не пересекает
кружки из Е3 и Е4. Пусть ^3 — множество кружков из Е3, принадлежащих кольцу Р2 < |х| < Р3, и т.д. Рассмотрим объединение Е = и°=1 . Линейная плотность этого множества кружков равна
нулю. Действительно, при Р* < г < Р*+1 имеем
ре(г) < Рд1(г) +-+ Рд,+1(г) < Р31(г) +-+ рд,—1(г) + ре(г) + ре,+1 (г) < 2№ + ¿*+1).
Значит, Ре(г) ^ 0 при г ^ го. Проверим оценки (33), (34). Пусть х е Е и Рп-1 < |х| < Рп. Тогда х е Еп, и, значит, при этих х имеют место оценки (31), (32). Так как это имеет место при всех п, то отсюда и следуют оценки (33), (34). Лемма доказана.
Приступим к доказательству теоремы о расщеплении. Суть дальнейших построений сводится к следующему: комплексная плоскость специальным образом разбивается на «малые» ячейки; каждая группа точек Лг, попадающих в отдельную ячейку, разбивается на две части, различающиеся по числу содержащихся в них членов, самое большее на единицу: одна из этих частей относится к А, другая к В; последовательности А и В, составленные таким образом, будут искомыми.
Начнем реализацию намеченного плана. Подбираем убывающую последовательность ап, 1 > ап >
ГО
> 0, такую, чтобы ^ ^п^п+і < го. При натуральном р предполагаем дополнительно, что
п=1
ГО
п=1 г = 1
П(1+*)-2 <
го.
(35)
Можно, например, положить ап = п 9 (| < д < 1). Действительно,
п ( п ^ ( п
П (1 + агГ Р = ехР < - Р ^ ІП (1 + Г9Н < ех^ - Р ^ г=1 I г=1 і I г = 1
п9 ехр
п=1
п=1
4£ '■
г=1
< п9 ехр{ — Р п1 9
п=1
4
Пусть го = 0, г1 = *(1 + о1),..., гп = *(1 + о1) ■ ■ ■ (1 + оп),.... Параметр * > 0 подбирается так, чтобы окружности |х| = гп не пересекали точек Л*. Эти окружности разбивают комплексную плоскость на кольца Рп = (х : гп < |х| < гп+1} , % = 0,1,.... Отрезками лучей, исходящими из начала, разбивается каждое кольцо Рп на [о-1] одинаковых кольцевых секторов, причем так, чтобы стороны этих секторов не пересекали точек Л*. Эти кольцевые секторы будем называть ячейками. Перенумеруем ячейки внутри колец и обозначим через Д.,д д-ю ячейку 5-го кольца. Исследуем свойства такого разбиения.
а) Пусть й. — диаметр ячеек 5-го кольца. Расстояние между окружностями 5-го кольца равно г.+1 - г. = г.(1 + о.+1) - г. = о.+1г. < о.г.; большая дуга сектора Дв>9 равна 2,7ГГ—= 0(овгв). Таким образом, для диаметра й. имеем оценку й. = 0(о.г.) (з ^ го).
б) Обозначим через N число точек Л*, содержащихся в к-м кольце. Утверждаем, что при нату-
ГО
ральном р выполняется неравенство ^ ,кРк < +го. Пусть п(£) обозначает число точек Л* в круге
к=1 Гк
|х| < *. Используя преобразование Абеля, имеем
ГО
£
к=1
ГО
5 = —п(г1) ^ п(гк)
к Г1 к=2
ак-1
ак
Р к-1
ГО
= —п(г1) Г1 + Е 1 к=2
п(Гк )
СТк-1 (а* + 1)р ак
= —п(г1) +
ГО
£
к=2
п(Г>к) ^ ^^-1 ^ ) ак + СТк-1 — а* | <
¿=1
г
< —п(Г1)а1 +
ГО
^ р ) ((2Р — 1)ак-1ак + ак-1 — ак). к
1 к=2
Последний ряд сходится, ибо ряды ^2 о к-1 о к и ^ (о к-1 - о к) сходятся и отношение ) огра-
к
ничено.
в) Выберем в каждой ячейке Д.,д по одной точке х.,д = 0. Утверждаем, что при натуральном р ряд £ |х.,д| 2 сходится. В самом деле, в 5-м кольце содержится [о-1 ] ячеек; поэтому, принимая во
внимание неравенства |х.,д | > г. и условие (35), имеем
Е |х*>9 |-1 < Е[о-1]г-Р < 1 Е о"1 (1 + о1)-2 ■" (1 + о.)-2 < +го. в в
Разбиваем последовательность Л на группы Л.,д точек Л*, принадлежащих ячейкам Д.,д. Каждую группу Л.,д разбиваем на части Л.^, Л./,?, Л./^, требуется при этом, чтобы выполнялись условия:
;-9
ГО
п
ГО
ГО
р
р
р
г
г
г
к
к
к
1
если группа Л.д содержит четное число, скажем 2к, точек, то группы Л. , Л.'д содержат каждая по к точек, а группа Л.'^ — пустая; если группа Л. , д содержит нечетное число 2к + 1 точек, то группы Л. , Л.' содержат каждая по к точек, а группа Л./^ содержит одну точку. Из групп Л. , Л. , Л./д составим три последовательности Л' = иЛ.^, Л" = иЛ^, Л''' = иЛ./д. Так как каждая ячейка содержит одинаковое число точек как из Л так и из Л , то эти две последовательности можно занумеровать таким образом, чтобы точки Л*, Л*' из этих последовательностей с одинаковыми индексами принадлежали одной и той же ячейке. Так как в силу свойства а) разбиения, диаметр ячейки Д .л равен О^.г.) и о. ^ 0 при 5 ^ го, то последовательности Л' и Л" эквивалентны. Поэтому по лемме 4 ^(х^Л') ~ ^(х^Л'') при р 0 N и С* (х, р;Л' |Л") ~ С* (х, р;Л") при ре N.
Рассмотрим отношение ') ПРИ Р
Є N. Имеем
ln
G(z, р; А')
G(z,p; Л'')
= Re <
Е
1
1
Р , V V(A')р (А'')р
|Л" |<|z| ' '
> + {ln |G* (г,р;Л'|Л'')| — ln |G*(z, р; Л'')|} .
По доказанному второй член вне некоторого множества кружков нулевой линейной плотности равен о(д(|г|)). Ряд в первом члене абсолютно сходится. В самом деле, учитывая, что Л', Л'' принадлежат одной и той же ячейке, имеем
Е
(А')" (А'')р
= Е|А''— Ai|
р-1
Е(А'' )j (А' )p-j-1 j=0
(А' А'' )р
р
z
1
1
Е |А'' — А'1
р-1
Е(А'' )^Р(А')
\-j-1
j=0
<
Р
Nk dk
,P+1
силу свойства б) разбиения последний ряд сходится. Итак, заключаем, что ^^’р’Л' о ~ е“^, где
а =
1 ^ І (лі Г (Лі'У
При Р N, При Р N.
Рассмотрим теперь каноническое произведение С (х^Л"'). Каждая ячейка Д.,д содержит не
__ _____р
более одной точки из Л ' ''. Поэтому при ре N, как следует из свойства в) разбиения, ряд ^ ¡Л*' '| 2 сходится. Привлекая известный факт из теории целых функций конечного порядка, заключаем, что С (х,р; Л'") ~ е6^, где
b =
при р Є N при р Є N.
, е(а+ь)^. Таким образом, если обозначить через А объединение А' и Л ''а через В — последовательность Л" и положить а = — а+ь, то будем иметь С (г; А) е“*Р ~ С (г; В) е-“^. Теорема доказана.
Автор благодарит А.Б.Шишкина за внимание к работе и обсуждение результатов.
0
. 1 V______1__
I Р2-' (Л'")р
С(г;Л' )с(г;Л''')
Из вышеизложенного следует, что v ^¿л)—
Библиографический список
1. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459-489.
2. Азарин В.С. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост // Мат. сб. 1973. Т. 90, № 2. С. 229-230.
3. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. Т. 11, № 3. С. 257-520.
4. Красичков И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней // Мат. сб. 1966. Т. 70 (112), № 2. С. 198-230.
В
0
