О различных схемах декомпозиции двумерного ДПФ с представлением данных в алгебре квартернионов Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.В. Першина, МЛ. Чичева

О РАЗЛИЧНЫХ СХЕМАХ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДВУМЕРНОГО ДПФ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ДАННЫХ В АЛГЕБРЕ КВАТЕРНИОНОВ

ВВЕДЕНИЕ

В теории быстрых спектральных преобразований хорошо известны способы использования вещественности входного сигнала: совмещение и уменьшение размера фундаментальной области (1,2]. Такие возможности обеспечиваются избыточностью комплексных базисных функций по отношению к вещественному входному сигналу, а точнее, наличием в поле комплексных чисел С нетривиального автоморфизма

(комплексного сопряжения).

В двумерном случае использование таких приемов осложняется тем, что поле С

имеет слишком мало автоморфизмов, необходимых для разделения частичных спектров (1] или уменьшения длины преобразования [2]. Поэтому возникает необходимость использования других алгебраических структур, обладающих большим числом автоморфизмов над К, реализация которых не требует выполнения нетривиальных

операций умножения.

В данной работе рассматриваются быстрые алгоритмы двумерного ДПФ вещественной последовательности с представлением данных в алгебре кватернионов. Разработаны алгоритмы, учитывающие вещественность входного сигнала двумя указанными способами: совмещением и уменьшением размера фундаментальной области. Приведены различные схемы декомпозиции преобразования, получены оценки мультипликативной сложности.

Под телом Н гамильтоновых кватернионов [3] понимается четырехмерная ассоциативная алгебра над К:

Н = { я = а + Ы + с] + ёк; а, Ь, с, 6 е К } с определяющими соотношениями для умножений базисных элементов {1, ], к }:

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ КВАТЕРНИОНОВ

(1)

Поле комплексных чисел С канонически вкладывается в Н:

а + Ы ->а + Ы + 0^ + 0-к,

Кроме того, справедливо соотношение

я = а + Ы + С) + ак = (а + Ы) + (с +

(3)

Операция сложения кватернионов осуществляется покомпонентно, а умножения - с учетом правил (1) и с приведением подобных членов. Далее, отображения

ГЧр, Б^я^Г'ф, в^я^к^к,

являются автоморфизмами Н над К, причем

ео (я) = а + Ы + с] + с1к, а+ Ы-ся-ёк, е.(я) = а-Ы + с)-с1к, Ек(я) = а-Ы-с] + <1к.

(4)

(5)

Система уравнений (5), рассматриваемая относительно а, Ь, с, <1, разрешима при любых значениях левых частей и требует для решения не более четырех вещественных умножений:

4а = б0(я) + Б1(я) + е^я) + ек(я)> 4Ы = ео(я) + е1(я)-е)(я)-ек(я), 4д = ео(я)-Е.(я) + е.(я)-Ек(я), 4ак = Ео(я)-е1(я)-б](я) + ек(я).

(6)

Считая умножения на степени двойки более элементарной операцией по сравнению с вещественным умножением |2,4), мы не будем учитывать их при анализе вычислительной сложности рассматриваемых алгоритмов.

Определим число вещественных умножений, необходимых для перемножения двух кватернионов. Умножение комплексных чисел может быть реализовано по схеме "три умножения, три сложения" [4], тогда, в соответствии с представлением (3), умножение двух кватернионов общего вида может быть реализовано с помощью девяти вещественных умножений. Пусть далее 8 = а + р1 - ¡-кватернион; 1 = у + 5] - .¡-кватернион. Тогда для

вычисления произведений бя и я! необходимо по шесть вещественных умножений, а для одновременного вычисления произведения - девять вещественных умножений:

8я = ((а - р ) Ь + а(а - Ь)) + ((а - р) Ь + р(а + Ь)) + +{(а-р)а + а(с-а)^ + ((а-р)а + а(с + с1))к;

(7)

8Я1 = ([(а-р)(Ь-с1) + а(а-Ь-с + с1)]5 + [(а-р)Ь + а(а-Ь)](у-8)) + +[[(а-р)(Ь-с1) + р(а+Ь-с-<!)]8 + [(а-р)Ь + р(а + Ь)](7-б))1 + +([(а-р)(Ь-а) + о(а-Ь-с + а)]8 + [(а-р)а + а(с-<|)](у-5))] + +[[(а-р)(Ь-с1) + р(а + Ь-с-<1)]5 + [(а-р)а + р(с + (1)](у-5))к.

(8)

При этом считаем, что произведения и суммы констант а, р, у, 5 выполнены заранее.

2. АЛГОРИТМ ДВУМЕРНОГО ДПФ С СОВМЕЩЕНИЕМ

Пусть х(п1,п2) вещественная N-периодическая по каждому аргументу функция; N - четное. Ее спектр Фурье:

«(»,.«,)- 2 1>(пгП2К'Ш,'П1т! = (9)

1^-0 п2-0 а.Ь-0

где

8аь(т1' т2) = £ х(2п1+а, 2п2+ь)(а>2)т1П,+т2\ (10)

Используя для представления входных данных функцию я(п1,п2) со значениями в теле кватернионов Н:

= х(2пг, 2п2) + х(2п1, 2п2+ ф + х(2п1+ 1,2п2)з + х(2п,+ 1, 2п2+ 1)к, (11)

вычисление спектра исходной последовательности можно свести к вычислению спектра новой последовательности иной внутренней структуры, но меньшего объема, что и делает алгоритм более быстрым.

"Кватернионный спектр" (^(я^, Я12) такой последовательности определяется

равенством [5]:

Выделить "частичные спектры" в^л^, ш2) из массива кватернионов, являющегося

результатом ДПФ в алгебре кватернионов, можно решением следующей системы

уравнений вида (6):

4S(ю(ml'm2) = ^(ml'm2)+si(Q(ml'm2))+^(Q(-ml>-m2))+ek(^(-mг-m2))•

. 4*01 (т1'т2) = Р(т1,1П2) + Е1(д(т1,ш2))-8.(о(-т15 - т1))-ек(д(-т1, - т,)),

4ЮП (т^т,) = д(т1}т2) - .^(т^т,))-е.^-п^, - т2)) + «^(-т,, - т,)).

Для решения данной системы требуется не более 4 вещественных умножений на степени двойки.

Комплексные значения отсчетов спектра двумерного ДПФ в области находятся непосредственным применением формулы (9), для чего

требуется -1) умножений на степени базисной функции со.

N-1 N-1 1^-0 п2-0

Вычисление спектра для остальных значений пар (ш,, ш2) производится без дополнительных умножений и может быть представлено в матричной форме следующим образом:

Х(т1' "ч)

Х(т1+%т2) Х(т1,т2+^)

х(т1+%т2+%)_

1111 1-1 1-1 1 1-1-1 1.1 -1 -1 1.

8оо(т1' тг) шт>8ш(трт2)

сога^01(т1, ш2)

"'^„к.т,)]

(13)

Таким образом, мультипликативная сложность рассматриваемого алгоритма определяется, в основном, мультипликативной сложностью вычисления кватернионного аналога спектра двумерного ДПФ. Рекуррентное соотношение для оценки мультипликативной сложности алгоритма имеет при этом вид:

>2

(14)

где М* - оценка мультипликативной сложности вычисления кватернионного аналога спектра.

При использовании построчно-столбцового алгоритма в качестве способа декомпозиции двумерного ДПФ и кватернионного аналога алгоритма Кули-Тыоки с прореживанием по времени для вычисления одномерного ДПФ, а также с учетом того, что для умножения кватерниона общего вида на комплексное число требуется 6 вещественных умножений, получаем следующее значение этой оценки:

.[ N N^1 ЗК

~2~ * ~2~

(1оЙ2 N - 1

Откуда

М(МхЮ =

ЗТ*'

(15)

(16)

3. АЛГОРИТМЫ ДВУМЕРНОГО ДПФ С УМЕНЬШЕНИЕМ РАЗМЕРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Пусть х(п ,п2] - входной вещественный массив размера Их>1, где N = 2"; его спектр Фурье

х(шрш2)=Х £х(прп2)<оп'т'+п>т>;

л, =0 п2«=0

0< т],ш2 <N-1, со = ехр{2%). Следуя [5], определим кватернионный спектр соотношением:

(17)

N-1 N-1

х(трт2)=Х £<0Г'П|х(п1'п2)й)!Г2П2>

п.-О п,=0

где ©1 =ехр{27^}, <о2=ехр|2%}, О 5 т1,т2 £ N - 1.

Поскольку кватернион я = а + Ы + ^ + (1к определяется набором четырех вещественных чисел (а, Ь, с, ё), то комплексный спектр (17) может быть получен из

кватернионного спектра (18) следующим образом:

х(ш1,т2) = х(т1,ш2)ы, (19)

где Х(ш1,т2) = (х0(т1,т2),х1(т1,т2),х2(т1,т2),х3(ш1,т2))

компоненты

кватернионного спектра,

Ь =

' 1 О4

О 1

О 1

-1 о;

, 1.(1 1).

Таким образом, мультипликативная сложность вычисления х|ш15ш2) совпадает со

сложностью вычисления кватернионного спектра, т.к. умножения на матрицы Ь, I не требуют выполнения нетривиальных операций вещественного умножения.

Рассмотрим далее 3 способа декомпозиции кватернионного ДПФ, являющиеся аналогами различных схем двумерного комплексного БПФ, и приведем оценки мультипликативной сложности.

3.1. Алгоритм двумерного ДПФ с декомпозицией по основанию 2

Представим (18) в виде четырех сумм, разделяя входную последовательность по четным и нечетным значениям каждого индекса п1,п2:

N-1

хК,т2)= 1П,Х(П1'П2К2П2 =

п,,п2-0

2 _

а,Ь«0 п(1п2-0 1

= 2>Г'ХаЬ К^К"'»

а,Ь=0

(20)

где

х.ь(п1'п2) = х(2п1+а' 2п2+Ь)'

у2-1 т п

хаь(т1'т2)= £ (<РЛ1*Лл1-лг)(<)ЯгЯ*>

п,.«»а-0

Вычисление спектра для остальных значений пар (т,,ш2) производится без дополнительных умножений и может быть записано в матричной форме:

Х(т1,т2) Х(т1+%т2) х(т1,т2+%)

Кроме того покажем, что умножения на фазовые множители достаточно выполнять только для фундаментальной области

остальные значения определяются с использованием автоморфизмов поля кватернионов (5) без дополнительных умножений. Действительно, пусть вычислены значения

йГ'Хаь(т.'т2Кт2 Для(трт2)еП0, и и,=

тогда

-Г,Х»ь(т,,и2)со^ =Е1(шрХ,ь(т,,тг)иГ!)(-')Ь. «2)

Учитывая количество вещественных умножений для перемножения кватернионов (7), (8), получим рекуррентное соотношение для определения оценки мультиплика-тивной сложности изложенного алгоритма с разбиением по основанию 2:

м(1ч х м) = 4м(у 4)+6¥2 + 9¥' (23)

Отсюда, как обычно [4), следует

М(К х 14) = у^2 1оёз N + о(№). (24)

Переход от х[ш1,т2) к х(т ,т2) осуществляется без умножений (19), значит оценка (24) с константой 21/16 справедлива и для вычисления комплексного спектра х(ш1,ш2).

1 1

1 -1 1

1 -1

1 1

1 -1

1 -1 -1

1 1

Х00(ш1,т2)

а>Г'Хю(т1'т2)

Х01(т1,т2)ш т|У I \ 1

'Х1|1т1»т2К

(21)

3.2. Алгоритм двумерного ДПФ с декомпозицией по основанию 4

Разобьем теперь входную последовательность на 16 подпоследовательностей и запишем (2) в виде:

з

Х(т,.т2)= ЕОХ^Ц.т^™', (25)

а.Ь-0

хаь1п1'п2) = х(4п, + а'4п:+ь),

ХаЬ(т1>т2)= 2Мт|П1Хаь(П1'П2)(т2)т2П2'

п,,п -О

При этом значения спектра для остальных значений аргументов вычисляются без дополнительных умножений, а именно:

х(т1+г-^,1п2+р^}= 2»аГй>Г,Хаь(т1>т2)СЙГ^ЬР» г,р = 0,1,2,3. (26)

а,Ь=0

Умножения на степени базовых элементов 1 и } тривиальны, они сводятся к перестановкам элементов кода и/или смене знака компонент.

Кроме того, умножения на фазовые множители ш*™1, ы™2 достаточно

производить только в фундаментальной области

Остальные значения находятся без дополнительных умножений с использованием автоморфизмов (6). Пусть в области {1 найдены значения

^Г^аьК'^К"12' И ^1 = 1%-т1' »2 = У4-т2>

тогда:

= ¡■Е.(шрХаЬ(трт2)шГг).

»Г'Х.ьК.ц^ ^.(оГ'Х^т^ш^^, (27)

Такой алгоритм приводит к следующему рекуррентному соотношению для оценки мультипликативной сложности:

— X —1+6-6 + 9-9 , (28)

4 4/ 64 64

откуда следует

М(Ы ж КГ) = ^ 1об2 N + 0(И2). (29)

3.3. Алгоритм с расщеплением основания

Рассмотрим еще одну схему декомпозиции кватернионного спектра (18), в которой ДПФ объема N х N сводится к ДПФ % х % элементов входной последовательности с

четными индексами и двенадцати ДПФ объемом % х % с элементами, имеющими хотя бы один нечетный индекс. Пусть

А = {(0,1),(0,3),(1,0),(1,1),(и),(и),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(33)},