CC BY
22
Дискретные функции
27
В качестве обратной к / по модулю UT32(Z3) возьмём функцию, индуцированную /1 1 0\
полиномом p(x) = 0 1 2 x. Степень p1 равна 2, значит, m = 2 и обратная пере-
V0 0 V
становка к / получается как g(x) = p(x)(x 1/(p(x))) 2:
g : (1, 26, 6)(2,9, 22)(3,16,14)(4, 20,18,13,11, 27)(5,12, 7, 23, 21, 25)(8, 24,10,17,15,19).
Таким образом, при фиксированных нормальном ряде в группе и способе выбора представителей в факторах этого ряда определён класс ВКП-функций над группой. Функции класса задаются набором полиномов и получаются как произведение их координатных функций. Класс ВКП-функций над UTn(Zp) не совпадает с классом полиномиальных функций над UTn(Zp) (теорема 1). К ВКП-функциям применимы критерий биективности и формулы обращения дифференцируемых функций, которые в случае G = UTn(Zp) принимают вид теорем 2 и 3 соответственно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Заец М. В. О классе вариационно-координатно-полиномиальных функций над примарным кольцом вычетов // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С. 12-27.
2. Карпов А. В. Обращение дифференцируемых перестановок над группой // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. C. 30-33.
3. Anashin V. S. Solvable groups with operators and commutative rings having transitive polynomials // Algebra. Logika. 1982. No.21(6). C.627-646.
4. Меньшов А. В. Асимптотические свойства рациональных множеств и систем уравнений в свободных абелевых группах и разрешимость регулярных уравнений в классе нильпо-тентных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Омск, 2014.
УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X79/10
О РАССТОЯНИИ ХЭММИНГА МЕЖДУ ДВУМЯ БЕНТ-ФУНКЦИЯМИ1
Н. А. Коломеец
Рассматривается расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями. С использованием конструкции бент-функций на минимальном расстоянии друг от друга получен ряд возможных значений расстояния. Найдены всевозможные значения расстояния между бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда.
Ключевые слова: булевы функции, бент-функции, расстояние Хэмминга.
Булевой функцией от п переменных называется отображение вида / : К? ^ F2. Расстоянием Хэмминга ^б^/, д) между двумя булевыми функциями / и д от п переменных называется количество значений аргументов, на которых значения функций различаются. Функция вида (а,ж)фс, где а € КПП, с € К2 и (а, ж) = а^фа2ж2ф.. .фагажга, называется аффинной булевой функцией. Бент-функциями называются булевы функции от чётного числа переменных, находящиеся на максимально возможном расстоянии от множества всех аффинных функций. Они предложены О. Ротхаусом [1]. Бент-функции имеют приложения в алгебре, комбинаторике, теории кодирования, криптографии [2]. Обозначим через В2к множество всех бент-функций от 2к переменных.
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-07-01328.
28
Прикладная дискретная математика. Приложение
В данной работе рассматривается расстояние Хэмминга между двумя бент-функ-циями и носитель их суммы. Исследование возможных носителей связано с гипотезой
H. H. Токаревой [3] о том, что любую булеву функцию степени не больше k от 2k переменных можно представить в виде суммы двух бент-функций из B2k. Следующая лемма даёт общий критерий принадлежности функции на расстоянии |D| от бент-функции f к классу бент-функций.
Лемма 1. Пусть f Е B2k. Тогда f ф IndD Е B2k, где D С F^k, тогда и только тогда, когда для всех y Е F2k справедливо
(-l)/(x)®(x,y) Е {0, ±2k}.
x€D
Опишем всевозможные значения расстояния между бент-функциями из класса Мэйорана — МакФарланда M2k [4], который содержит функции вида
f (x,y) = (х,пШ ф Ч>(y),
где x,y Е Fk; п — подстановка на множестве Fk; tp — произвольная булева функция от k переменных.
Утверждение 1. Расстояние Хэмминга между двумя бент-функциями f,g Е M2k имеет вид (n + 2m)2k-1, где 0 ^ n ^ 2k, n =1 и 0 ^ m ^ 2k — n, причём для любой бент-функции из M2k существует бент-функция на данном расстоянии от неё. Носитель f фд представим в виде объединения аффинных подпространств размерностей k — 1 и k.
Особый интерес представляют расстояния в B2k в интервале от минимального возможного до удвоенного минимального, поскольку в [5] получены всевозможные носители суммы с точностью до аффинной эквивалентности. В [6] доказано, что между двумя бент-функциями достижимы расстояния вида 2k+1 — 24, где 1 ^ t ^ k.
С использованием конструкции бент-функций на минимальном возможном расстоянии 2k (см., например, [7]) получены следующие расстояния между двумя бент-функциями.
Теорема 1. Для всех d вида t2k — 24, где 1 ^ t ^ k и 2 ^ t ^ 2k — 2k-i+1 + 2, существуют бент-функции f,g Е B2k, такие, что dist(f,g) = d и dist(f ф 1,g) = 22k — d.
ЛИТЕРАТУРА
I. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser.A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.
2. Tokareva N. N. Bent Functions, Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.
3. Tokareva N. N. On the number of bent functions from iterative constructions: lower bounds and hypothesis // Adv. Math. Commun. 2011. V. 5. No. 4. P. 609-621.
4. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. P. 1-10.
5. Kasami T. and Tokura N. On the weight structure of Reed — Muller codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1970. V. 16. No 6. P. 752-759.
6. Потапов В. Н. Спектр мощностей компонент корреляционно-иммунных функций, бент-функций, совершенных раскрасок и кодов // Проблемы передачи информации. 2012. Т. 48. №1. С. 54-63.
7. КоломеецН.А. Верхняя оценка числа бент-функций на расстоянии 2k от произвольной бент-функции от 2k переменных // Прикладная дискретная математика. 2014. №3. С.28-39.
