CC BY
15
УДК 519.716
DOI 10.21685/2072-3040-2017-1-3
С. С. Марченков
О РАСШИРЕНИЯХ ОПЕРАТОРА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ЗАМЫКАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК1
Аннотация.
Актуальность и цели. Операторы замыкания - один из основных инструментов классификации функций многозначной логики. Помимо широко известного оператора суперпозиции, имеется еще целый ряд так называемых сильных операторов замыкания - операторов, порождающих при любом к > 2 конечные либо счетные классификации множества функций k -значной логики. Первым из таких операторов стал оператор параметрического замыкания, предложенный А. В. Кузнецовым в середине 1970-х гг. На основе идеи А. В. Кузнецова были введены и исследованы еще два сильных оператора замыкания: оператор позитивного замыкания и оператор с полной системой логических связок. Эту идею можно распространить на любые системы логических связок, прежде всего на наиболее употребительные связки: импликацию, разделительную дизъюнкцию и т.д. Цель работы состоит в исследовании операторов замыкания, которые возникают на этом пути.
Материалы и методы. В построениях и доказательствах используются логико-функциональные методы.
Результаты и выводы. Рассматриваются операторы замыкания, которые получаются из оператора параметрического замыкания добавлением одной из следующих логических связок: отрицания, дизъюнкции, импликации, эквивалентности, разделительной дизъюнкции и тернарной связки ф, соответствующей булевой функции x © y © z. Первые два оператора (оператор с полной системой логических связок и оператор позитивного замыкания) хорошо изучены. В работе доказано, что оператор замыкания, отвечающий разделительной дизъюнкции, совпадает с оператором, имеющим полную систему логических связок. Остальные три оператора являются расширениями оператора позитивного замыкания, но отличны от оператора замыкания с полной системой логических связок. Кроме того, операторы, базирующиеся на связках импликация и эквивалентность, совпадают, однако на множестве булевых функций порождают ту же классификацию, что и оператор позитивного замыкания. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях сильных операторов замыкания, являющихся расширениями оператора параметрического замыкания.
Ключевые слова: оператор параметрического замыкания, сильный оператор замыкания.
S. S. Marchenkov
ON PARAMETRIC CLOSURE OPERATOR EXTENSIONS BY MEANS OF LOGICAL CONNECTIVES
Abstract.
Background. Closure operators are one of functional classification tools of multivalued logic. Besides a well-recognized superposition operator, there is a number
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 16-01-00593.
of so-called strong closure operators - operators that generate finite or calculating classifications of a set of functions of k-valued logic at any k > 2. The first of such operators was a parametric closure operator introduced by A.V. Kuznetsov in the middle of 1970s. On the basis of his idea there were introduced and examined two more strong closure operators: a positive closure operator and an operator with a full system of logic connectives. This idea may be implemented in any system of logic connectives, first of all, for the most commonly used coonectives: implication, exclusive disjunction etc. The aim of the work is to research closure operators that occur on the way.
Materials and methods. In constructions and proving the author used logical and functional methods.
Results and conclusions. The article considers closure operators that appear from a parametric closure operator by adding one of the following logic connectives: denial, disjunction, implication, equivalence, exclusive disjunction and ternary connective ф that corresponds to Boolean function x © y © z. The first two operators (an operator with a full system of logic connectives and a posivite closure operator) are well-studied. The work shows that that closure operator that meets exclusive disjunction coincides with the operator with a full system of logic connectives. The other three operators are extensions of the positive closure operators, but differ from the operator with a full system of logic connectives. Besides, the operators, based on connectives of implication and equivalence, coincide. However, on a set of Boolean functions they generate the same classification as the positive closure operator. The results obtained may be used in further research of strong closure operators that appear to be extensions of the parametric closure operator.
Key words: parametric closure operator, strong closure operator.
Введение
Один из способов классификации множества Pk функций k -значной логики состоит в задании на множестве Pk оператора замыкания и образовании на его основе замкнутых классов. Хорошо известно, что по отношению к оператору суперпозиции множество P2 булевых функций разбивается на счетно-бесконечную совокупность замкнутых классов [1, 2], а множество Pk при любом k > 3 - на континуальную совокупность классов [3]. В связи с этим начиная с 1970-х гг. стали предприниматься попытки определить такие операторы замыкания, которые при любом k > 3 дают конечную либо счетную классификацию множества Pk . Впоследствии такие операторы получили название сильных операторов замыкания.
Первым из сильных операторов замыкания стал предложенный А. В. Кузнецовым [4] оператор параметрического замыкания (несколько ранее идеи А. В. Кузнецова излагались в работе [5]). Идея А. В. Кузнецова состоит в том, чтобы отношение выразимости одной функции через другие функции определить логическими средствами с использованием графиков рассматриваемых функций. В случае параметрической выразимости из логических средств используются связка конъюнкция и квантор существования (мы несколько отступаем от оригинальных формулировок А. В. Кузнецова и ориентируемся на эквивалентные формулировки из работ [6, 7]). Оператор параметрического замыкания является расширением оператора суперпозиции. При любом k > 2 он дает конечную классификацию множества Pk :
25 замкнутых классов при k = 2 [4], 2986 замкнутых классов при k = 3 [8, 9], при k > 3 имеется лишь верхняя оценка числа замкнутых классов [10].
Идею А. В. Кузнецова можно очевидным образом обобщать на любые наборы логических связок, содержащие связку конъюнкцию (она необходима, чтобы иметь возможность «погружать» в исследуемый оператор замыкания оператор суперпозиции, это считается практически обязательным требованием). Если рассматривать «максимально возможное» обобщение - полную систему логических связок и квантор существования, то здесь при любом k > 2 образуется конечная система замкнутых классов в Pk , каждый из которых взаимно однозначно определяется подгруппой группы всех перестановок на k -элементном множестве [6].
Другое хорошо изученное обобщение получается, если к связке конъюнкции добавить связку дизъюнкцию - это оператор позитивного замыкания [6, 11, 12] (на возможность такого обобщения указано в [4]). Оператор позитивного замыкания при любом k > 2 также порождает на множестве Pk конечное число замкнутых классов [6] (при k = 2 их имеется ровно 6 [6] при k = 3 - 194 [12]).
Вместе с тем имеется еще ряд известных логических связок (импликация, например), для которых представляет интерес изучение операторов замыкания, построенных на основе связки конъюнкции, квантора существования и дополнительных связок. В настоящей работе мы выбрали только четыре логических связки: импликацию, эквивалентность, разделительную дизъюнкцию и тернарную связку ф, которая «отвечает» булевой функции х © у © г . Установлено, что оператор замыкания, построенный с использованием разделительной дизъюнкции (в работе Ь© -оператор), совпадает с оператором, использующим полную систему связок. В остальных трех случаях получаются операторы, отличные как от оператора позитивного замыкания, так и от оператора с полной системой связок. При этом операторы, соответствующие связкам импликация и эквивалентность, совпадают.
1. Основные понятия
Пусть k > 2, Ek = {0,1,...,k -1}, Pk - множество всех функций на Ek (множество функций k -значной логики). Функции из множества Р2 называем булевыми функциями. На множестве Pk считаем заданной операцию (оператор) суперпозиции. Напомним определения некоторых классов булевых функций, замкнутых относительно операции суперпозиции [7].
70 есть класс всех функций, сохраняющих 0, 7 - класс всех функций, сохраняющих 1, S - класс всех самодвойственных функций, Т01 = 70 п 7|, % = $ п 70 = S п 7д1. При любом а е Ek посредством Та обозначаем также класс всех функций из Pk , сохраняющих а .
Булевы функции конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность и сумму по модулю 2 обозначаем соответственно
х-у, х V у, х ^ у, х ~ у, х © у .
Пусть f (xi,...,xn)е Pk, л - перестановка на множестве Ek и л-1 - перестановка, обратная к л . Функция
fл (xb xn) = л-1 (f (л( x1),л( xn)))
называется сопряженной с функцией f относительно перестановки л. Функция f называется самосопряженной относительно перестановки л , если fл = f. Множество всех функций, самосопряженных относительно перестановки л, обозначим через . Хорошо известно, что множество Sл замкнуто относительно операции суперпозиции. Функция f называется однородной, если она является самосопряженной относительно любой перестановки л, т.е. входит в любое множество Sл .
При любом k > 2 обозначим через p функцию на Ek , которая определяется соотношениями
Г z, если x = y, p (x, y, z) = \
у x в противном случае.
Нетрудно убедиться в том, что функция p однородна.
При определении операторов замыкания мы используем технические и логические средства из [6, 7]. Перейдем к определению оператора параметрического замыкания. Зафиксируем число k > 2 и для класса Pk введем язык параметрического замыкания Par. Исходными символами языка Par являются предметные переменные x1,x2,... (с областью значений Ek), символы f(n>)
kn
для обозначения n -местных функций из Pk (1 ^ i ^ k , n = 1,2,...), знак равенства =, знаки & и 3, левая и правая скобки и запятая.
Обычным образом вводится понятие терма языка Par. Любая предметная переменная есть терм; если ..., tm - термы (в частности, любые предметные
переменные), а f*~m) - символ m -местной функции, то f*~m)(t1,...,tm) есть терм.
Всякий терм t языка Par очевидным образом определяет некоторую функцию g из Pk (переменная определяет тождественную функцию). Если f\,..., fr - все символы функций, входящие в терм t, то говорим, что терм t выражает функцию g через функции fj,..., fr . Если t2 - термы языка Par, то выражение (t1 = t2) называем элементарной формулой языка Par. Из элементарных формул по обычным правилам определяем остальные формулы языка Par. Если Ф1, Ф2 - формулы языка Par, а xу - предметная переменная, то (Ф1 & Ф2), (3xy )Ф1 - также формулы языка Par.
Всякая формула языка Par с m свободными переменными определяет некоторое m -местное отношение на Ek . Пусть Q с Pk, Ф(x1,., xm) - формула языка Par со свободными переменными x1,..., xm , все функциональные
символы которой суть обозначения функций из Q , и формула Ф(x^,...,xm) определяет отношение р(xj,..., xm) на Ek . В этом случае говорим, что формула Ф(xj,...,xm) параметрически выражает отношение р(x^,...,xm) через функции множества Q . Отношение р называем параметрически выразимым через функции множества Q, если существует формула языка Par, которая параметрически выражает отношение р через функции множества Q . В дальнейшем для выделения некоторых символов предметных переменных будем использовать символы x, y, z, w , возможно, с индексами.
Понятие параметрической выразимости перенесем с отношений на функции. Если g(xj,...,xm) - функция из Pk , а формула Ф(xj, ...,xm,y) языка Par параметрически выражает отношение g(x^,...,xm) = y (график функции g ) через функции множества Q , то говорим, что формула Ф параметрически выражает функцию g через функции множества Q . Совокупность всех функций, параметрически выразимых через функции множества Q , называем параметрическим замыканием множества Q . Параметрические замыкания множеств функций называем параметрически замкнутыми классами.
При определении других операторов замыкания добавляем к языку Par необходимую логическую связку и вносим соответствующие изменения в определение формулы рассматриваемого языка. Так, язык Pos позитивного замыкания получается из языка Par добавлением знака v . При определении формул языка Pos появляется новый пункт: если Ф^, Ф2 - формулы языка Pos, то (Ф^ v Ф2) - также формула языка Pos.
Мы рассмотрим еще пять операторов замыкания, которые получаются из оператора параметрического замыкания внесением в язык дополнительной логической связки: отрицания (используем обозначение —i), импликации (используем обозначение ^), эквивалентности (используем знак ~), разделительной дизъюнкции (знак ©) и тернарной связки ф. Последнюю связку можно выразить как через эквивалентность, так и через разделительную дизъюнкцию:
ф(x, y, z) = (x ~ y) ~ z = (x © y) © z.
Соответствующие языки обозначаем через L—, L^, L~, L©, Lф . Отметим, что язык L— является языком с полной системой логических связок. Об операторе замыкания, отвечающем языку L— , говорим как об операторе L— -замыкания или как операторе замыкания с полной системой логических связок. Аналогично оператор замыкания, отвечающий языку , называем оператором -замыкания и т.д.
2. Соотношения между операторами замыкания
Каждый из определенных выше операторов замыкания является расширением оператора параметрического замыкания. Отсюда следует, что для каждого из этих операторов замыкания все замкнутые классы являются также
параметрически замкнутыми. В частности, при любом к > 2 число подобных замкнутых классов в Рк конечно и не превосходит числа параметрически замкнутых классов в Рк .
Покажем, что операторы -, Ь~ -, Ь© -замыкания являются расширениями оператора Ьф -замыкания. Как установлено выше, связка ф выражается через каждую из связок ~ и ©. Кроме того, связка ~ выразима через связки & и ^:
X ~ у = (х ^ у) & (у ^ х).
Последнее равенство и соотношение
X ^ у = (X & у) ~ X
показывают, что операторы - и Ь~ -замыкания совпадают.
Утверждение 1. Каждый из операторов -, Ь© -, Ьф -замыкания является расширением оператора позитивного замыкания.
Доказательство следует из равенства х V у = ф(х & у, х, у) и установленного выше факта, что операторы -, Ь© -замыкания являются расширениями оператора Ьф -замыкания.
Теорема 1. Любой из Ь^ -, Ь© -, Ьф -замкнутых классов содержит однородную функцию р.
Доказательство. Мы установим, что функцию р можно получить Ьф -замыканием пустого множества функций. С помощью логических связок & и ф определим 5-местную логическую связку ^ , для которой отношение
х = у, х = г, у = г, w = х, w = г)
совпадает с графиком w = р (х, у, г) функции р . Для этого покажем, что истинностное значение И связка ^ должна принимать только на следующих пяти наборах (порядок истинностных значений И, Л в приводимых наборах соответствует порядку в наборе (х = у, х = г, у = г, w = х, w = г):
И И И И И И Л Л Л И
ЛИЛИИ (1)
Л Л И И Л Л Л Л И Л
В самом деле, если х = у и х = г , то, конечно, у = г . Тогда в соответствии с определением функции р должно быть w = г, а равенство w = х следует из равенства х = г . Это отвечает первой строке матрицы (1). Если х = у и х Ф г , то также у Ф г. Согласно определению функции р будем иметь равенство w = г, а неравенство w Ф х следует из неравенства х Ф г . Это будет соответствовать второй строке матрицы (1).
Пусть теперь х Ф у . Если х = г , то, конечно, у Ф г . Согласно определению функции р получаем w = х (равенство w = г следует из равенства х = г ) и приходим к третьей строке матрицы (1). Если х Ф г , то возможны два случая: у = г и у Ф г. Рассмотрим первый случай. Здесь по определению функции р должно быть w = х , а неравенство w Ф г следует из неравенства х Ф г . Получили четвертую строку матрицы (1). Аналогично рассматривается случай, когда все величины х, у, г попарно различны.
Остается доказать, что связку ^ можно выразить через связки & и ф . Приведем соответствующее выражение, в котором для упрощения записи связку конъюнкцию опустим:
х^2 хз х4 х5 © х^2 хз х5 © хх х4 х5 © х^з х4 х5 © х2 хз х4 х5 © х^2 х4 © х^2 х5 © х^з х5 © хх © х^5 © х2 х4 © х4 х5 © х4.
Теорема доказана.
При любом к > 2 число замкнутых (относительно операции суперпозиции) классов в Рк, содержащих функцию р, конечно (это следует, например, из результатов работы [1з]). При этом в случае к = 2 число таких классов равно 6 (это в точности все замкнутые классы булевых функций, целиком включающие класс <$01), а случае к = з - равно 144 [14]. Вместе с тем число позитивно замкнутых классов в Рз равно 194 [12]. Поэтому, в частности, каждый из операторов -, Ь© -, Ьф -замыкания отличен от оператора позитивного замыкания.
Теорема 2. Оператор Ь© -замыкания совпадает с оператором замыкания, имеющим полную систему связок.
Доказательство. Прежде всего заметим, что для любых термов ¿2 отношение ¿1 Ф ¿2 можно выразить формулой
(Зг)((г = ¿1) © (г = ¿2))
языка Ь© , где переменная г не входит в термы ¿1, ¿2 .
В качестве оператора замыкания с полной системой связок рассмотрим оператор Ь— -замыкания со связками & и —1. Покажем, как средствами языка Ь© можно элиминировать применение связки —.
Во-первых, для любых формул Ф1, Ф 2 справедливы хорошо известные эквивалентности
—(Ф1 & Ф2) = (_Ф1 V —Ф 2), —(Зг)Ф1 = (Уг )—Ф1.
Формула (Уг )Ф (г) эквивалентна формуле
(( Л ( \Л
(3z1)...(3zk)
& (Zi * Zj)
{{1<i<j <k
&
& Ф(Zl)
V 1<l <k
где переменные Z1,..., Zk не входят в формулу Ф(z). Используя приведенные эквивалентности, произвольную формулу со связками & и —i можно привести к эквивалентному виду, где встречаются лишь связки &, ©, — (и квантор существования), причем отрицание действует только на формулы вида t1 = Î2, где ¿1,¿2 - термы. Поскольку отношения ¿1 Ф ^ выразимы формулами языка L© , связку — из формул можно полностью исключить. Теорема доказана.
Утверждение 2. Для любых к > 2 и a е Ek и любой перестановки л на Ek множества Ta и Sл являются -замкнутыми классами в Pk .
Доказательство. Рассмотрим множества Ta. Пусть формула Ф(Х1,..., xn,y) языка определяет отношение y = f (Х1,...,xn) и содержит только символы функций множества Ta. Предположим, что Z1,..., zm - все связанные переменные формулы Ф. Придадим всем переменным Х1,..., xn, y, Z1,..., zm значение a . Тогда все элементарные подформулы
¿1( x1,., xn, y, zm ) = ¿2( x1,., xn, y, z1,., zm )
формулы Ф примут значение И (напомним, что термы ¿1, ¿2 содержат только символы функций из Ta , а множество Ta замкнуто относительно операции суперпозиции). Следовательно, если при вычислении истинностного значения формулы Ф на наборе (a,..., a, a) всем связанным переменным Z1,..., zm также придать значение a , то дальнейшее применение связок & и ^ к истинностным значениям И элементарных подформул формулы Ф также даст значение И. Таким образом, отношение a = f (a,., a) истинно и, значит,
функция f принадлежит множеству Ta .
Что касается множеств вида Sл, то согласно результатам работы [6] все они являются L— -замкнутыми (замкнутыми относительно оператора замыкания с полной системой логических связок). Поэтому они будут также и -замкнутыми. Утверждение доказано. Из доказанного утверждения вытекает важное следствие, относящееся к строению решеток - и Lф -замкнутых классов булевых функций. Как
установлено в теореме 1, для данных операторов замыкания наименьшим замкнутым классом является класс, порожденный (булевой) функцией p(x, y, z) . В булевом случае эта функция представима в виде xy v xz v yz .
Данная функция образует базис (по суперпозиции) класса S01 [7]. Таким образом, каждый из - и Lф -замкнутых классов булевых функций целиком
включает класс S01 . Вместе с тем известно [7], что по отношению к оператору суперпозиции имеется ровно 6 таких замкнутых классов булевых функций: P2,7), 7, S, T01, S01. Все они, за исключением класса P2 , являются пересечениями (в том числе несобственными) классов 7,7, S . Как установлено, последние классы и Lф замкнуты. Значит, перечисленными шестью классами исчерпываются все - и Lф -замкнутые классы булевых функций.
В связи с этим стоит отметить, что именно эти замкнутые классы образуют
полный перечень позитивно замкнутых классов булевых функций [6].
Вопрос о совпадении/несовпадении операторов L ^ - и Lф -замыкания
остается открытым.
Библиографический список
1. Post, E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions / E. L. Post // Amer. J. Math. - 1921. - Vol. 43, № 4. - P. 163-185.
2. Post, E. L. Two-valued iterative systems of mathematical logic / E. L. Post // Annals Math. Studies. - 1941. - Vol. 5. - P. 1-122.
3. Янов, Ю. И. О существовании k -значных замкнутых классов, не имеющих базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник // ДАН СССР. - 1959. - Т. 127, № 1. - С. 44-46.
4. Кузнецов, А. В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости / А. В. Кузнецов // Логический вывод. - М. : Наука, 1979. - С. 5-33.
5. Данильченко, А. Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики / А. Ф. Данильченко // Алгебра и логика. - 1977. - Т. 16, № 4. - С. 397-416.
6. Марченков, С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках / С. С. Марченков // Дискретная математика. -1999. - Т. 11, № 4. - С. 110-126.
7. Марченков, С. С. Основы теории булевых функций / С. С. Марченков. - М. : Физматлит, 2014. - 135 с.
8. Данильченко, А. Ф. Параметрически замкнутые классы функций трехзначной логики / А. Ф. Данильченко // Известия АН МССР. - 1978. - Т. 2. - С. 13-20.
9. Danil' с enko A. F. On parametrical expressibility of the functions of k -valued logic / A. F. Danil' с enko // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. - 1981. - V. 28. - P. 147-159.
10. Barris, S. Finitely many primitive positive clones / S. Barris, R. Willard // Proc. Amer. Math. Soc. - 1987. - Vol. 101, № 3. - P. 427-430.
11. Марченков, С. С. Задание позитивно замкнутых классов посредством полугрупп эндоморфизмов / С. С. Марченков // Дискретная математика. - 2012. -Т. 24, № 4. - С. 19-26.
12. Марченков, С. С. Позитивно замкнутые классы трехзначной логики / С. С. Марченков // Дискретный анализ и исследование операций. - 2014. - Т. 21, № 1. - С. 67-83.
13. Baker, A. Polynomial interpolation and the Chinese Remainder Theorem for algebraic systems / A. Baker, A. F. Pixley // Math. Zeitschrift. - 1975. - Bd. 143. - S. 165174.
14. Марченков, С. С. Дискриминаторные классы трехзначной логики / С. С. Марченков // Математические вопросы кибернетики. - 2003. - Вып. 12. -С. 15-26.
References
1. Post E. L. Amer. J. Math. 1921, vol. 43, no. 4, pp. 163-185.
2. Post E. L. Annals Math. Studies. 1941, vol. 5, pp. 1-122.
3. Yanov Yu. I., Muchnik A. A. DANSSSR. [Proceedings of AS USSR]. 1959, vol. 127, no. 1, pp. 44-46.
4. Kuznetsov A. V. Logicheskiy vyvod [Logical conclusion]. Moscow: Nauka, 1979, pp. 5-33.
5. Danil'chenko A. F. Algebra i logika [Algebra and logic]. 1977, vol. 16, no. 4, pp. 397416.
6. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1999, vol. 11, no. 4, pp. 110-126.
7. Marchenkov S. S. Osnovy teorii bulevykh funktsiy [Foundations of the Boolean functions theory]. Moscow: Fizmatlit, 2014, 135 p.
8. Danil'chenko A. F. Izvestiya AN MSSR [Proceedings of AS MSSR]. 1978, vol. 2, pp. 13-20.
9. Danil' enko A. F. Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1981, vol. 28, pp. 147-159.
10. Barris S., Willard R. Proc. Amer. Math. Soc. 1987, vol. 101, no. 3, pp. 427-430.
11. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2012, vol. 24, no. 4, pp. 19-26.
12. Marchenkov S. S. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy [Discrete analysis and research of operations]. 2014, vol. 21, no. 1, pp. 67-83.
13. Baker A., Pixley A. F. Math. Zeitschrift. [Mathematical journal]. 1975, vol. 143, pp. 165-174.
14. Marchenkov S. S. Matematicheskie voprosy kibernetiki [Mathematical problems of cybernetics]. 2003, iss. 12, pp. 15-26.
Марченков Сергей Серафимович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математической кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)
E-mail: [email protected]
Marchenkov Sergey Serafimovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematical cybernetics, Lomonosov Moscow State University (1 Leninskie gory street, Moscow, Russia)
УДК 519.716 Марченков, С. С.
О расширениях оператора параметрического замыкания с помощью логических связок / С. С. Марченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. -№ 1 (41). - С. 22-31. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-1-3
