CC BY
34
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1 977
№ /
УДК 533.6.011.55:532.582.33
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ВДОЛЬ ТОНКИХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
О. В. Денисенко
Рассматривается задача о распространении возмущений вверх по потоку при обтекании тонких осесимметричных тел гиперзвуко-вым потоком на режиме сильного вязкого взаимодействия Приведенные оценки дают физическую картину распространения возмущений при наличии большой поперечной кривизны пограничного слоя и характер затухания возмущений. Данные численного расчета позволяют определить величину изменений локальных коэффициентов трения и теплопередачи из-за распространения возмущений вверх по потоку.
Рассмотрим обтекание тонкого осесимметричного тела гипер-звуковым потоком термодинамически совершенного газа на режиме сильного вязкого взаимодействия.
Пусть X, г, т — цилиндрические координаты; Ь — характерная длина, к которой отнесены все линейные размеры; ^/.—характерный поперечный размер тела при данном значении X; 8/. — толщина вытеснения пограничного слоя; ъЬ — характерный поперечный размер зоны течения типа Куэтта; Рсо — соответственно скорость и плотность невозмущенного потока; ии^, vuoa, — соответственно осевая, радиальная (вдоль г) и окружная составляющая скорости; рроэ, /7рооМ^, /гм^/2 — плотность, давление и энтальпия соответственно; — коэффициент динамической вязкости при /г = 1; —-динамический коэффициент вязкости; Рг — число Прандтля;
7 — показатель адиабаты; Ие0 == —Рс° 00-------— число Рейнольдса;
1*0
да . , дк ,
Ср — (X — коэффициент сопротивления трения; Сн = }* — коэф-
фициент теплопередачи; А — Х3*2/(УЯе0г1).
Предположим, что Л^> 1, Ке0^>1, число М на внешней границе пограничного слоя стремится к бесконечности, коэффициент
вязкости зависит от температуры по степенному закону (а = Л*, а давление на внешней границе пограничного слоя определяется по модифицированной формуле Ньютона:
где N=0,9116 при 7=1,4; N = 0,9455 при 7 = 1,67.
Значения N берутся из результатов расчета обтекания степенного тела ге — ж3/4 потоком невязкого газа при Моо = со[4].
При сделанных выше предположениях обтекание тонкого тела гиперзвуковым потоком при большой поперечной кривизне пограничного слоя на режиме сильного вязкого взаимодействия, но без учета распространения возмущений вверх по потоку, рассматривалось в работах [1 — 7]. В соответствии с полученными результатами течение около тела при (ге/8)0 или Л оо можно разделить на две области (фиг. 1): внешнюю (8/ге^> 1, 8/е^>1), в которой скорость и близка к единице и течение является осесимметричным, и внутреннюю (е/ге^> 1), в которой значение скорости меняется
на свой порядок и с относительной ошибкой (в2/82) можно пренебречь силами инерции и давления.
Выпишем некоторые результаты работы [6], которые будут использованы ниже:
е/ге — Л", где 0 < п < 1 /2.
Во внутренней области для осесимметричного случая уравнения движения имеют следующий вид:
(1)
! ! I—
11
I 1
Фиг. 1
8-г, с, (Л*/))»/«;
(2)
"ПГГ’ где 50 = соп51;
ц = о (А)/ге; А = Рг (1 - и) (/гш/Рг + и);
(3)
здесь Л (Л) —малый параметр, причем £(Л)->0 при Л-*-оо. Численные значения параметра Ь от Л при некоторых значениях &, ; и Рг имеются в работе [7]. Заметим, что соотношения (2) и (3) выписаны в первом приближении.
Поскольку около стенки сила трения не меняется по порядку величины, то при г<^ге с точностью до постоянных из уравнений (3) получим следующую оценку:
°~г+ —Л*+1], Дг = г ге. (4)
Будем предполагать, что по порядку величины вблизи стенки и<С Л®- Тогда при*Дг<С^
и----Р — Р/К’ (5)
"Ш е
Пусть в окрестности точки х = 1 давление изменилось на величину порядка Д/?* <Ср. Естественно, что наибольшие изменения параметров потока произойдут в некоторой малой области около тела, где скорость мала. .
Предположим, что характерный поперечный размер этой области АПусть возмущения распространяются на длину порядка Ал:*. Ниже эту область с характерными размерами А г* и будем называть внутренней и все величины, относящиеся к ней, будем помечать индексом „* “.
Ясно, что все изменения параметров потока во внутренней области вызываются добавочным градиентом давления (Ар^/Ах^). Поэтому уравнение импульса, описывающее течение в этой области, будет содержать, кроме главного вязкого члена, также инерционные члены и градиент давления:
Ди* Д/>* Аи* /сч
Р а-г^—-------------5-. (6)
г Ал:*. Дх* Ие0Дг2 V /
Из соотношений (6) с учетом (5) получим
д„ - . у* г*^+1 ■ д* _ , °2/2_., ^)3 (7)
Р ддг, • *х* \ ге I ■ V*
Толщина пристеночных трубок тока меняется на величину порядка Дг в основном за счет изменения скорости
Дг ~ ДГ* ~ Дг ^ ~ ---.
‘ V и Р / * и Р е
Изменение же толщины внешнего потока Д0 происходит за счет изменения плотности и по порядку величины равно:
Д0~ ±Р*Ъ~^Р*геА-тОт.
Р Р
Заметим, что если толщина пограничного слоя меняется на величину Д<[3, то это, согласно формуле (1), вызывает изменение давления Ар = йЬ^Х Vр. Если теперь допустить, что изменение толщины пограничного слоя происходит только за счет изменения толщины пристеночных трубок тока, т. е. Дг>Д0, то
л а* + 1/2д1/8 л* + 1/2
Дг* Л Д/ Пт г.
г<? £,15,16 - Д() д5/8д21П6
при Л —оо и любом
Последнее противоречит сделанному выше предположению. Следовательно,
и2к+1
+ 2
Дх«
Лг*
гё Л1'2 D9/4 ’ да1'2 °5/'
(8)
Если перепад давления настолько велик, что возникает отрыв
д . Л2й+1
потока, то Ди*—и и шах I—^j--------—>-0 при Л->оо, шах (Д/?*)—
~^+1£Г2- Р Л°
Полученный перепад давления вызывается суммарным изменением толщины пограничного слоя на величину А, равную
гР h
- Г-
6^+3
w
Vp * Л3 D
3 г>15/2
Далее
д д + ^
—-----д- ~ Дх# — а5,2Ид21;4 ~>~ Q ПРИ и любом Ад, = const.
Учитывая полученные результаты, имеем следующую картину течения: в узкой пристеночной области (для которой куэттовская область является внешней) за счет распространения возмущений происходит сильное расширение (сжатие) потока, которое компенсируется сжатием (расширением) внешней области, где скорость порядка единицы. При этом суммарным изменением толщины пограничного слоя можно пренебречь по сравнению с изменением толщин внутренней и внешней областей (Д/Дг—Д/Д0 1). Возмущения распространяются на относительно малые расстояния Ax#<C^l-Порядок давления, при котором может возникнуть отрыв потока, также относительно мал (шах {Apjp) <CI 1)- Подобное явление (работа [8]) имеет место и в случае гиперзвукового обтекания пластины при резком изменении граничного условия с характерной длиной ICL.
Заметим, что описание течения в рамках уравнений пограничного слоя на длинах порядка Дх* возможно, если Дх*>-0(8). Это дает следующее ограничение на форму тела:
Л«+2
ПРИ A"°°-
Отметим, что полученные выше оценки были выведены в предположении, что Покажем, что это предположение всегда
выполняется:
II _____Е_____ h
* hkw Ге Al/2D5/4 «
или (9)
£js|s4-ci; а.<о(1).
Неравенство (9) справедливо при любом при Л -» со, а это означает, что соотношения (8) остаются верными и при Л„, ->• 0 по любому закону.
Выпишем уравнения движения во внутренней области. В соответствии с полученными оценками (8) вводим следующие масштабы для переменных:
Дї>*
Дх*
9ІУ-у (і -8 с.
Дг. = г1
Сз
.4А + 2 'тю
5,2021,4 >
ь2Л + 1
1/2 д9/4 >
2А + 1
Дм*
Ах*
Дг3
Ди*
с3 Л1'2 £>5'4 '
(10)
Асимптотические разложения для переменных представим в виде:
Х=\+Ах^х\ г = ге + Дг*Я; и= Ди* £/(х, /?); 'ц==Дг;*1/(А?, л); 1 А -= А^, + Ди* (Рг — Ада) Л, (х, /?); р = р-\г ДР*Р{х)\ у. = + О (Ди*). | ^
Подставим соотношения (11) в уравнения Навье — Стокса и отбросим члены более высокого порядка. Тогда, сделав замену
№ п,,
дх
— — 21/,
дЯ
г = іи, получим
и
ди
дР
(12)
_ _и_ди_ш , дЬ_____1_ А дн*
дх Л* £ д£ £ ’ дх Рг £ д£ '
Во внешней и куэттовской области течения (по сравнению с внутренней областью) относительно малые изменения давления вызывают относительно малые изменения параметров потока. Поскольку характерные поперечные размеры этих областей не изменились, то на длинах порядка Дх* из-за больших продольных градиентов течение описывается уравнениями локально невязкого течения
ди . ди
ри^ + рх;
др ги
+
дг
др п
др_
дх
др А дН дН п
= ри-7Г- = р*>-^-=0;
0; /> =
дг
7 —
дх
-рА, Н = А
дг
дх 1 дг ~ 2-у
Уравнения (13) имеют следующие интегралы: А -+и2 = £ (<|0, -£- = Л(ф);
рт
(13)
(14)
здесь В(Ф) и А (ф) — постоянные, зависящие от функции тока <{*• Преобразуем соотношения (14). Пусть и0, р0, р0, А0 — величины потока при хоо, а — Ди0 = и —и0, ДА0 = А — Л0, Др0 = р — р0. Учитывая, что Ди0<и0, ДА0<А0, Др0<р0, из (14) получим
Д и0 =
Др* Р (х)
ДА0=^р*^х) , Дрй= (15)
ро “о ро т
Проведем сращивание решений в различных областях течения.
Сращивание куэттовской и внешней областей непосредственно следует из сращивания решений при х -» — оо. Для сращивания куэттовской и внутренней зон двухчленное разложение для и и И в куэттовской области перепишем во внутренних переменных л и Е и, оставив однозначное разложение, получим граничные условия на внешней границе для системы уравнений (12)
и — $ -* оо, /г, -»Е при ?-* оо. (16)
Сращивание разложений (11) при х -* — оо с уравнениями (3) при X -> 1 дает начальные условия для системы (12)
и -> Е; А, -»Е; Р(х)->■ 0 при х— оо. (17)
Кроме того, при Е = 0
и = 0; Л, = 0. (18)
Далее, найдем связь давления Р{х) с параметрами потока.
Пусть ф —функция тока (д$/дх = — рп>, д]>/дг = рги). Изменение
толщины трубок тока Д; во внутренней области равно
д4 —Т^—-----------Ч = гЛ —Л.
‘ Ро ге 3 { а и0] Ро ге 0 ““о т £ и
Во внешней области изменение толщины трубок тока Д0 выражается формулой
Л '
Ро «о
о
й?ф.
Преобразуем это соотношение, отбрасывая члены более высокого порядка:
00 . . , , СО
=_________!_ Г род“о + цоаро ^ =_____________________!_ г дро (1 Ды° р° Уф =
8 3 Ро “о Р“ Г 8 ) Ро Р“ \ и0 Др0 / ?
_________>7 АРо = _ др* р (х) °с _ ар* р (х) ь
5 Л Ро ри ^ ТРо Ь 3 Ро «о 2хр0 ■
Поскольку в главном приближении суммарным изменением толщины пограничного слоя можно пренебречь, то Д0=Д,- и
о°
р(х) = -1 (1-4К (19>
о ' '
При выводе соотношения (19) не учитывалось изменение толщины Дк куэттовской области течения. Покажем, что Дк<Сдо —д,-Имеем
00 , , 00
— С (-----------------—) ФЬ =-------------?..Д«о 1 м0Д?„ а. ,
Е V Ри ро «о / ‘ £ У Р“Ро “о т
(Мр-1) Ц
М* Р и
(20)
В соотношении (20) М0 = иоРо/(7А>) — местное число М в набегающем потоке. Так как при ф->■ 0 (М0-> 0) интеграл сходится, то
Покажем, что у системы уравнений (12) при начальных и граничных условиях (16), (17) и (18), кроме очевидного решения Р(х) = 0, и = \, = имеется однопараметрическое семейство решений. Для
доказательства рассмотрим первое уравнение системы (12), сделав предварительно замену 1 = еХх, где 1—некоторое действительное число:
В окрестности точки / = 0 решение ищем в виде ряда по целым степеням Р.
Подставив (22) в уравнения (21) и отбросив члены порядка О (£2), получим
Первое из уравнений (23) есть уравнение Бесселя мнимого аргумента, которое имеет следующее решение, удовлетворяющее граничным условиям (24):
здесь г = (4Х/9)1/3Е2/3; Г (х) — гамма-функция, К(г) — функция Макдональда, 1(г)—функция Бесселя мнимого аргумента.
Подставив выражение для и1(г) во второе уравнение системы (23) и проинтегрировав, получим численное значение собственного числа X:
Итак, система уравнений (12) имеет однопараметрическое семейство решений. В точке л: = 0 всякому возмущению давления (*=1) соответствует некоторое решение из однопараметрического семейства, причем значение Р* > 0 соответствует торможению потока, а Р* <0 — разгону. Заметим, что уравнения (21) и условия
Р
д У дЦ д$ £ дЬ ’
(21)
(22)
Е2 £/,« + Ши - (Е3 X + 1) и, = Х5* Р*;
СО
(23)
Граничные условия принимают следующий вид:
£Л(0) = 0,
их (?)-> — при £ -> оо.
(24)
и, (г) = Р* (-^)1/3[-- г113121зК113 - гч»Кф1-ц2 +
(25)
F.
Г
(16), (17) и (18) не меняются при афинном преобразовании t = t/A (А — const > 0). Следовательно, если имеется решение системы (21) с давлением Р*t на задней кромке, то растяжением или сжатием координаты t на задней кромке при помощи этого решения можно получить различные значения возмущений меньших,_ чем В координатах х это преобразование эквивалентно замене х = х + А.
Полученный результат можно рассматривать как некоторый закон подобия для рассматриваемых течений.
Итак, соотношения (22) показывают, что при х ^ ~ оо возмущения затухают по экспоненциальному закону Р* Зависи-
мость решения от температурного фактора А, и | определяется соотношениями (10). Видно, что при уменьшении Иуд продольный и поперечный размеры внутренней зоны, а также порядок давления, при котором возникает отрыв потока, уменьшаются.
Результаты численного расчета системы уравнений (12) приведены на фиг. 2—4. На фиг. 2, а показана зависимость отношения коэффициента трения сР к коэффициенту трения для невозмущенного течения Сро в случае падения давления вниз по потоку (разгон). Видно, что при уменьшении давления коэффициент трения
существенно возрастает в окрестности задней кромки. На фиг. 2, б кривая зависимости ср/с^о от х соответствует отрыву потока на задней кромке, полученного с точностью до 1%. На фиг. 3, а, б приведена зависимость возмущенного давления соответственно при разгоне и торможении потока. Сравнение кривых на фиг. 2 — 4 (а) и фиг. 2—4 (б) показывает, что при торможении потока возмущения распространяются приблизительно на длины в пять раз большие, чем при разгоне потока. Из фиг. 4, б видно, что в точке отрыва локальный коэффициент теплопередачи Сн уменьшается по сравнению с теплопередачей в невозмущенном пограничном
0,5
Фиг. 4
слое Сн0 на 45%. Как показывают расчеты, явление распространения возмущений вверх по потоку оказывает сильное влияние на локальные характеристики с/г и Сц, хотя при этом интегральные характеристики меняются несущественно [на величину порядка 0(Д**)]. Заметим, что в теплоизолированном случае — Рг) асимптотическое разложение (11) для Л изменится и будет иметь вид Л = /гшг-^-0(Д«2). При этом в системе (12) изменятся уравнение теплопроводности, а также характер зависимости кривых на фиг. 4 а, б. Но поскольку в этом случае добавок к коэффициенту теплопередачи будет трансцедентально мал по сравнению с любым приближением разложения равновесной температуры по параметру й [7], то уравнение теплопроводности для этого случая рассматриваться не будет.
Естественно, что ограничения, наложенные в работах [6, 7] на решения в невозмущенном потоке и связанные с использованием условий прилипания и пренебрежением толщиной вязкого переходного слоя, остаются в силе, т. е.
1 -к
/ А 1п Л\1/2 ^ , (1п А) 4
. \KReo/ ^ ~ ' ^
Re0
4
В заключение автор благодарит В. П. Провоторова и В. В. Михайлова за внимание к работе и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
l.Stewartson K. Viscous hypersonic flow past a slender cone. Phys. Fluids, vol. 7, N 5, 1964.
2. Stewartson K. Erratum: Viscous hypersonic flow past a slender cone. Phys. Fluids, vol. 7, N 12, 1964.
3. Ellinwood I. W,, Mire Is H. Axisymmetrie hypersonic flow with strong viscous interaction. J. Fluid Mech., vol. 34, pt. 4, 1968.
4. Ellinwood I. W,, Mire Is H. Hypersonic viscous interaction theory for slender axisymmetrie bodies. AIAA Paper, N 1, 1968.
5. Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на тонких пространственных телах. ,Изв. АН СССР. МЖГ*, 1969, №5.
6. Михайлов В. В. Второе приближение в задаче о сильном вязком взаимодействии на тонких пространственных телах. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1970, № 5.
7. Денисенко О. В. О вязком взаимодействии на тонких пространственных телах. Труды ЦАГИ, вып. 1479, 1973.
8. Коваленко А. А., Нейланд В. Я. Сильное взаимодействие пограничного слоя с гиперзвуковым потоком при локальных возмущениях граничных условий. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 6, №2, 1975.
Рукопись поступила 291X11 1975
