О распространении волны звукового удара в турбулентной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 06

№ 3

УДК 534.83.629.735.83

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛНЫ ЗВУКОВОГО УДАРА В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ

С. Л. ЧЕРНЫШЕВ

Рассмотрено современное состояние исследований по проблеме влияния атмосферной турбулентности на звуковой удар. Предложен метод моделирования влияния атмосферного турбулентного пограничного слоя на распространение ударной волны, основанный на уравнениях геометрической акустики и стохастической модели однородной изотропной турбулентности. Возможности метода продемонстрированы на примере решения модельной задачи распространения плоской Ы-образной волны в стохастическом поле пульсаций температуры или скорости.

Звуковой удар — это акустическое явление, возникающее при распространении в атмосфере Земли ударных волн, создаваемых летательным аппаратом при полете со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны распространяются на десятки и даже сотни километров от источника возмущений, претерпевая нелинейные изменения профиля избыточного давления. Асимптотическая картина возмущенного течения в ударной волне была предсказана Л. Д. Ландау [1] и получила название Ы-образной волны. Внезапность нарастания давления и специфический частотный спектр волны звукового удара делают это явление неблагоприятным как для людей, так и для окружающей среды.

При распространении ударной волны в атмосфере происходит их нелинейное взаимодействие, при котором поле давления находится во взаимной связи с флуктуациями завихренности и/или температуры. В общем случае ударная волна может влиять на уровень пульсаций среды и наоборот, неоднородность среды оказывает влияние на распространение ударной волны. Оба эффекта особенно важны, когда ударные волны имеют умеренную интенсивность, а неоднородность среды является достаточно высокой.

Неоднородность атмосферы характеризуется многими параметрами, но по сути может быть описана наложением двух факторов — медленного изменения состояния атмосферы от одного слоя к другому при наличии стратификации по высоте и более быстрого изменения, вызванного случайными пульсациями скорости ветра и температуры воздуха (турбулентностью атмосферы). Поэтому неоднородная турбулентная атмосфера является суперпозицией средних полей скорости ветра, температуры и давления, хорошо описанных в литературе [2], и их турбулентных пульсаций [3, 4].

Созданный за последние годы инструментарий позволяет достаточно надежно предсказывать уровень звукового удара в детерминированных (номинальных) условиях, когда состояние неоднородной атмосферы в масштабах времени распространения звукового удара остается неизменным и в ней отсутствуют турбулентные возмущения. Вопрос о влиянии на звуковой удар атмосферной турбулентности остается менее ясным. Анализ результатов летных исследований приводит к выводу, что интенсивность звукового удара на поверхности земли может быть существенно больше (или, наоборот, меньше), чем номинальное расчетное значение, и это скорее правило, чем исключение.

Влияние турбулентности особо ощутимо в пограничном слое атмосферы, когда среднеквадратичная амплитуда пульсаций превышает некоторое пороговое значение. Для пульсаций ско-

рости воздуха в атмосфере за пороговое значение обычно принимают величины, равные 0.05—0.1 м/с [5].

Основы для теоретического анализа проблемы распространения акустических волн конечной амплитуды в диссипативной турбулентной среде изложены в книгах Д. И. Блохинцева [4] и В. И. Татарского [6].

Проблема взаимодействия ударной волны с турбулентной средой имеет как теоретический интерес, так и большое практическое значение. В последние годы отмечается расширение фронта исследований в этой области [7, 8].

Так, в работе В. Спэрроу [9] исследовалось влияние атмосферной турбулентности на звуковой удар на основе метода Монте-Карло. Этот же подход был применен в работе А. Букингема [10].

Также численным путем было исследовано влияние турбулентности на формирование акустических волн конечной амплитуды в работах А. Пирса [11], О. В. Руденко и В. А. Хохловой [12]. Среди приближенных методов привлекают внимание теория С. Кроу [13] рассеивания звуковых волн и исследования А. Пирса возможных искажений волнового фронта, приводящих к фокусировке и возникновению структуры ударной волны с многократными наложениями [14]. На возможность появления такого рода искажений указал Ф. Фридлендер [15, 16].

Подход, называемый иногда методом фазового экрана, был предложен Пирсом [17]. В работе [18] тот же подход был применен для получения приближенной формулы, удобной для анализа связи искажений волнового фронта с малыми неоднородностями атмосферы. Другой вариант метода фазового экрана предложен в [19].

Для объяснения случаев, когда турбулентность усиливает звуковой удар, предложена модель центров повышенной турбулентности — «турбулей», которым приписывают некоторую плотность распределения и специфические рассеивающие характеристики (см., например, [20]).

Результаты многочисленных исследований, полученные за последние десятилетия, создают основу для разработки расчетных моделей и методов, пригодных для решения практических задач.

Такими исследованиями, в частности, являются работы Ф. Бланк-Бено и др. [21, 22]. В них для моделирования турбулентности не привлекается ни статистическая теория, ни недостаточно обоснованные гипотезы. Предполагается, что для описания распространения акустических возмущений справедливо приближение геометрической акустики. Уравнение для возмущенного движения методом медленно изменяющегося профиля сводится к уравнению затухания простых волн. При моделировании атмосферной турбулентности считается, что случайные поля вектора пульсаций скорости и пульсаций температуры можно представить в виде отрезка ряда Фурье, состоящего из n случайных мод. Направление волнового вектора каждой моды случайно и определяется случайными углами. Влияние дифракции учитывается косвенным образом.

Реальную возможность учета эффекта дифракции предоставляет KZK-волновое уравнение, названное так по первым буквам фамилий авторов: Хохлов, Заболотская, Кузнецов [23, 24]. При выводе KZK-уравнения предполагается, что существует определенная связь между пульсациями скоростей и температуры и пульсациями давления.

Рассчитанные по методу Бланк-Бено и др. и на основе KZK-уравнения положения областей понижения и роста избыточного давления, а также его значения достаточно хорошо согласуются между собой. Отметим, что KZK-уравнение широко применяется для решения ряда модельных задач [25].

Иное уравнение для возмущенного давления, а точнее, для возмущенной плотности было получено в работе [26]. Оно названо NPE-уравнением (nonlinear progressive wave equation). Примеры применения NPE-уравнения для расчета избыточного давления приведены в работе [7]. Численное исследование показало, что даже при относительно больших значениях максимума избыточного давления (150 Па) волнистость фронта ударной волны, вызванная турбулентностью атмосферы, может стать причиной возникновения структуры волнового фронта с многократными

наложениями. Автор работы исходит из предположения, что для полного описания турбулентности можно использовать суперпозицию вихревых дорожек, причем каждому вихрю присущи

характерный размер (интегральный масштаб - диаметр вихря ) и характерное значение

тангенциальной составляющей скорости и^ на внешней границе вихря. Исследование динамики

скачка показало, что сильные нелинейные эффекты приводят к снижению амплитуды избыточного давления в скачке. Периодическая форма волнистого искривления фронта при малой и большой его кривизне создает своего рода интерференционную картину (или «рябь») позади фронта скачка.

В работе [27] для анализа взаимодействия поля случайных возмущений со скачком уплотнения предложена модель, основанная на методе малых возмущений для трансзвуковых течений. Применение данной модели показало, что одновременный учет эффектов дифракции, нелинейного роста и фокусировки, а также влияния флуктуаций случайным образом порожденной завихренности позволяет проследить развитие скачка уплотнения в пространстве и во времени и рассчитать поле давления за ним.

Отметим, что применение рассмотренных моделей ограничено на сегодняшний день простейшими случаями распространения ударных волн и для их практического применения потребуется еще много усилий.

В настоящей работе анализ зависимостей между возможными изменениями параметров волны звукового удара и характеристиками турбулентности базируется на классической теории звукового удара Ю. Л. Жилина [28, 29] и стохастической модели Ф. Бланк-Бено и др. [21, 22] распространения акустических волн в случайных скалярных и векторных полях.

Постановка задачи. Траектории характеристических лучей акустической волны, распространяющейся в турбулентной среде, определяются в приближении геометрической акустики. Как известно, характеристические лучи представляют собой линии, касательной к которым является групповая скорость сё = а • V + V. Здесь а — локальная скорость звука;

V = Р/Р — единичный вектор вдоль направления распространения волнового фронта; V —

N

вектор скорости среды; Р — безразмерный волновой вектор, Р = -----------; N = а0/ а — индекс

(1 + М •V)

рефракции; М = V/ а — число Маха; а0 — скорость звука в невозмущенной среде.

В общем случае траектории характеристических лучей в стохастическом поле определяются в соответствии с принципами, изложенными в работах [4, 30], из решения системы 18 обыкновенных дифференциальных уравнений для координат х1 радиус-вектора г точки на луче, компонент Р волнового вектора Р и компонент геодезических элементов

я0

кбх2

я

в _

дх0

; 0“ =

Чбх2 )

; 0в =

дхз0

Координаты хі и компоненты Рі удовлетворяют уравнениям

Жхі а0 Ж ~ N

ЖРі а0 Ж ~ N

(1)

где М 7 — компоненты вектора М.

В системе координат, в которой направление оси хі совпадает с первоначальным направлением распространения волнового фронта, уравнения для компонент геодезических элементов Яа, Яв, 0а и 0е запишутся в виде

dRa _ " І

dt N _ p

dR _ ^0 " І /

dt N p

2T-vi vQ

2P-vi vQ

_-(vi +Mi )R“ — + R“ dMi; NK i ’ J dx} J dx}

_ — •(vi +Mi ^R,p — + RP N K i ’ J J

dMi

5x,-

dQT _ a>IRa d2N -Rap d2Mk - Qa dM} -^Ra SN dt N | J dxidxJ- J k 5xi5x}- J 5xi N J 5x}-

dN - p dM

6x,-

dx

dQf

dt

Re d2N _Rep d^M*.-Qp -^Rp SN

N I J dxi dxj J k dxi dxj J 5xi N J dx,

dN _ p d

dxi k

dxi

где vi, Vу — компоненты вектора V.

В уравнениях (1), (2) индексы і, у, к принимают значения 1, 2, 3, по повторяющимся индексам выполняется суммирование.

Площадь поперечного сечения элементарной лучевой трубки вычисляется по формуле

A _

R ax Re

cos X, где X — угол между направлениями фазовой и групповой скоростей.

Для получения оценок параметров волны звукового удара у поверхности земли при ее прохождении через атмосферный турбулентный пограничный слой наиболее разумным представляется предположение об изотропном характере атмосферной турбулентности.

Предполагается, что турбулентность атмосферы «заморожена», т. е. время прохождения акустической волны через турбулентную среду намного меньше времени эволюции турбулентных структур атмосферы. В соответствии с подходом работы [31] поле турбулентности моделируется как последовательность независимых, не связанных между собой реализаций случайных скалярных и векторных полей.

Высота крейсерского полета сверхзвукового пассажирского самолета составляет 18—20 км. Таким образом, при распространении волн возмущений от самолета в приземном слое их фронт можно считать плоским, и в данной работе мы ограничимся рассмотрением модельной задачи прохождения плоской акустической волны через двумерное стохастическое поле.

В этом случае система уравнений (1), (2) сводится к системе восьми обыкновенных

дифференциальных уравнений для определения неизвестных г, Р, Яа и Qa с начальными условиями

rt_0 _

V x2 У

P

t _0

(І + Mv )

V 0 У

Ra

t _0

Q

a t _0

V 0 У

dx0

Вектор скорости V стохастического двумерного изотропного векторного поля в данной точке пространства имеет пульсационную составляющую, которую можно представить в виде суммы п случайных Фурье-мод:

v'(r )_Z ui (Ki)cos (Kir+ф ); ui (Ki )• Ki _0.

i _І

Направление волнового вектора Кг- каждой моды случайно и определяется случайным углом 9г-. Однородность поля турбулентности гарантируется случайностью сдвига по фазе фг-. Независимые случайные переменные 9г- и фг- имеют равномерное распределение. Амплитуда вектора пульсаций скорости и (Кг-) — детерминированная переменная и определяется

ІЗ

энергетическим спектром пульсаций E (K): |u;- (Kt)| = (K)AK, где K = |K11, AK —

приращение K.

( 2 \ r

Здесь мы рассматриваем поля с Гауссовой корреляционной функцией f (r) = exp —- .

V L J

vn

Линейный масштаб L связан с интегральным масштабом турбулентности Lf =—^~L,

r — расстояние между двумя произвольно выбранными точками, между которыми вычисляется корреляция пульсаций вектора скорости.

Для двумерных гауссовых полей флуктуаций скорости энергетический спектр определяется по формуле

E ( K )_ — K3 L4 exp

/2

f K 2 L2 Л

где v'2 _ v12 _ v22 — среднее значение квадрата пульсаций скорости.

Отметим, что изменение вида энергетического спектра не вызывает каких-либо затруднений. Принимается, что Kmil1 _ 0.1 L, а Kmax _ 10L. При моделировании турбулентности в данной работе мы ограничились 50 случайными Фурье-модами. Осреднение проводилось по ансамблям, насчитывающим не менее 100 реализаций стохастического поля.

Двумерное поле пульсаций температуры T' задается таким же образом, как и случайное поле пульсаций скоростей:

T'( r )_! ©j ( K у ) cos ( K у ‘r + У).

j_i

Как и ранее, направление вектора Kу и сдвиг по фазе у — независимые случайные

переменные с равномерными распределениями, а © у (K у) определяется энергетическим спектром пульсаций температуры:

2

f K 2 L2 Л

О (К) = — К1} ехр

V У

где 1 — среднее значение квадрата пульсации температуры.

Рассмотрим два предельных случая:

1) турбулентность обусловлена только пульсациями температуры, т. е. число Маха М = 0,

Т'

а индекс рефракции N = 1---------, где Т0 — температура невозмущенной среды. С хорошей

2Т0

f Т1' Л

что позволяет

T' "2T0

степенью точности индекс рефракции можно представить в виде N = exp

''0 j

упростить процесс вычисления производных N по пространственным координатам;

2) турбулентность обусловлена только пульсациями скорости, при этом индекс рефракции N = 1.

Для определения акустического давления p слабой ударной волны вдоль каждого луча используется нелинейное уравнение переноса, полученное Робинсоном при следующих

предположениях [32]: параметры общей неоднородности среды меняются незначительно на масштабах времени, соответствующих прохождению возмущения; движение среды изоэнтропическое; справедливы законы геометрической акустики; члены второго порядка отбрасываются при расчете траекторий характеристических лучей, в то же время они сохраняются в уравнении переноса акустического давления р; потерями энергии за время прохождения волнового фронта можно пренебречь.

Это уравнение имеет вид

д

ds

-—Чу + Ml (1 + M • v ) p 2

Рос

.MA p2 sp=о

2 4 v a*' ’

p0C0

dt'

(3)

где s — длина дуги вдоль траектории отдельного характеристического луча; t' —

сопровождающая координата; у — коэффициент нелинейности (зависит от индекса рефракции, у =1.2 при N = 1); Ро — плотность невозмущенной среды.

Для плоской волны площадь поперечного сечения элементарной лучевой трубки |л| = R - jR“ cos А, где i и j единичные векторы вдоль осей Xi, Х2.

Решение уравнения (3) осуществляется, в отличие от подхода работ [22, 32], полностью во временной области (т. е. в координатах s и t'). Если характеристические лучи проходят через каустику, то в окрестности этой точки |Л| ^ 0 и уравнение (3) имеет особенность. Чтобы

избежать осложнений при численном решении, применялся прием регуляризации, известный под названием метода искусственной вязкости [33]. Уравнение (3) решалось с помощью алгоритма, описанного в работе [34].

Результаты расчетов. Вышеизложенная методика оценки влияния турбулентного пограничного слоя атмосферы на параметры волны звукового удара была применена к решению модельной задачи — распространения плоской N-образной волны через стохастическое поле пульсаций температуры или скорости. Были выбраны следующие параметры падающей N-волны [36]: максимальное избыточное давление Лро = 500 Па, длительность импульса — 15 мкс, время нарастания импульса (длительность возрастания давления от 10 до 90% его максимального значения) Т0 = 1 мкс. При моделировании поля турбулентности значение линейного масштаба L принималось равным 0.1 м [21].

На рис. 1, а приведены результаты расчета траектории характеристических лучей N-волны, распространяющейся в стохастическом температурном поле при одной из его реализаций. Оттенками разной плотности показано распределение индекса N рефракции в расчетной области.

Рис. 1. Характеристические лучи в стохастическом температурном поле: а — ат'/Т0 = 1.172-10-2; б — ат'/Т0 = 2.344-10-3

x-.IL, 5

-1

-2

Т| акус >аекторн тически луче И XV р и4

V. ^ \Ч

■V X Ч Ч Ч N Ч Ч . * •V. Ч 1 *4

ч. *4.

Рисунок демонстрирует явления фокусировки и дефокусировки волны на локальных

неоднородностях и влияние на этот процесс параметров стохастического температурного поля.

10

20

30

40 .гД

Рис.

2.

Фокусировка поле и

лучевой трубки S

стохастическом

При оТ, Т'2 = 1.172-10-2 • Т0 первые каустики появляются в области 15 < х^ < 30. Об этом свидетельствует сгущение и пересечение траекторий характеристических лучей. Рис. 1, б демонстрирует снижение влияния поля температурной турбулентности на акустическую волну по мере уменьшения параметра <5т- /Т .

На рис. 2 показаны траектории трех характеристических лучей в стохастическом температурном

температурном поле и изменение параметра поле и распределение вдоль них параметра элементарной

S =

(яа) +(яд) при о,

(к)2 +(я?)2 при яд<о,

характеризующего площадь поперечного сечения элементарной лучевой трубки. Видно, что при пересечении лучей S ^ 0 .

На рис. 3 приведены траектории

характеристических лучей ударной волны, распространяющейся в стохастическом поле пульсаций скорости при нулевой средней

составляющей (при отсутствии ветра), ау: =^72. Стрелками показано поле вектора М т = V '/а.

Влияние ветра на траектории

характеристических лучей ударной волны в Рис. 3. Характеристические лучи в стохастическом ,1 тт

г г ^ стохастическом поле иллюстрирует рис. 4. Для этой

поле пульсаций скор°сги при аУ7ао = 0.586 • I0 задачи был выбран «неклассический» профиль

(стрелкамИ П°казано Поле вектора ПульсаПИИ Мт ) однокомпонентного бокового ветра в приземном слое

атмосферы (рис. 4, а) с распределением М2н/М7нтяу по хх/Ь , приведенным в работе [3]. Здесь М2в = У2в/а, М2втях = ^2Втях/а, У2в — компонента скорости ветра в направлении х2, ^2втях — ее максимальное значение.

Значения °т'/Т0 и °у'/а0

задавались

та-

ким образом, чтобы пульсационная составляющая ц =----------т----— индекса рефракции п = 1 + ц

2т0 а0

была одинаковой и для поля пульсаций температуры, и для поля пульсаций скорости.

____І____.___І________І___.___І________1_ _____________І___.____І____.___І________І________І___

0.02 0.03 0.04 0.05 мс 0.02 0.03 0.04 0.05 ґ, мс

Рис. 5. Изменение профиля ударной волны при распространении акустической волны в

стохастических полях (р' — избыточное давление, р'0 — его максимальное значение в

падающей

волне):

1 — начальная эпюра; при х = 50Ь; 2 — Стт'/Тэ = 1.172-10 2, <зу'/ао = 0, М2втах = 0;

3 — Стт'/Т) = 0, ^у'/а0 = 0.586-10 2, ^2втзх = 0; 4 — Стт'/Т) = 0, а„'/а0 = 0.586-10 2,

М2втах = 0.0302;5 — °т'/т0 = 0, °у'/а0 = 0.586-1°2, М2втах = 0.0201

Рис. 4. Влияние ветра в стохастическом поле пульсаций скорости (реализация поля вектора М т

совпадает с приведенной на рис. 3): а — распределение относительной скорости ветра; б — траектории характеристических лучей

На рис. 5 приведены эпюры избыточного давления К-волны, распространяющейся в стохастических полях пульсаций температуры и скорости (без и при наличии ветра) при х1 = 50Ь.

Полученный на данном расстоянии профиль волны существенным образом зависит от конкретной реализации поля. В данном случае наличие ветра (кривые 4 и 5) ослабляет влияние пульсаций скорости, хотя при другой реализации эффект может измениться на

противоположный. Чтобы получить информацию о влиянии турбулентности на ту или иную характеристику волны звукового удара, необходимо осреднение по ансамблю большого числа реализаций стохастического поля.

На рис. 6 представлены результаты расчетов вероятности превышения / отношения Ар/ Ар0) в ударной волне, распространяющейся в стохастических полях пульсаций температуры и

скорости при Х1 = 25Ь и Х1 = 50Ь (Ар — максимальное избыточное давление, Ар0) — его

расчетное значение в отсутствие турбулентности). Результаты обобщены по 50

характеристическим лучам и 100 различным реализациям для каждой кривой. Видно, что наличие бокового ветра практически не влияет на интегральную вероятность (см. рис. 6, б), несмотря на то что его влияние для отдельного характеристического луча при отдельной реализации стохастического поля весьма заметно (см. рис. 5). Из данных рис. 6 также можно

сделать заключение, что поле пульсаций скорости оказывает несколько большее влияние на распространяющуюся волну, чем поле пульсаций температуры.

В заключение отметим, что в целом предложенная методика качественно отражает наблюдаемые в экспериментах тенденции по влиянию атмосферной турбулентности на звуковой удар. Следующим шагом может быть использование предложенной в настоящей работе расчетной модели в существующих методах расчета звукового удара.

«>.9

Рис. 6. Вероятности превышения f отношения Ар/Ар0 в волне звукового удара в скалярном и векторных

стохастических полях:

а — x = 25L: 1 — ат'/Т) = 0, av'/ao = 0.586-10 2; 2 — ат'/Т) = 1.172-10 2, av'/ao = 0; xj = 50L: 3 — ат'/Т) = 0, <jv'/ao = 0.586-10 2; 4 — ат'/То = 1.172-10 2, av'/ao = 0; б — Х1 = 50L: ат'/Т) = 0, av'/ao = 0.586-10 2; 1 — M2Emax = 0;

2 М2втах = 0.0302; 3 м2втах = 0.0201

Автор выражает признательность П. П. Воротникову и А. Ф. Киселеву за конструктивное обсуждение и помощь при численной реализации метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д. Об ударных волнах на далеких расстояниях от места их возникновения // ПММ. — 1945. Т. 9, вып. 4.

2. Атмосфера. Глава 9. Пограничный слой атмосферы. Справочник (справочные данные, модели). — Л.: Гидрометеоцентр. — 1991.

3. Титовский И. Н., Огородникова З. С. Характеристики ветровых возмущений в нижних слоях атмосферы // Обзор ОНТИ ЦАГИ. — 1979, № 545.

4. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. — М.: Наука. —

1981.

5. Атмосфера. Глава 10. Турбулентность в атмосфере. Справочник (справочные данные, модели). — Л.: Гидрометеоцентр. — 1991.

6. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. — М.:

Наука. — 1967.

7. P i a c s e k A. A. Atmospheric turbulence conditions leading to focused and folded sonic boom fronts. — J. Acoust. Soc. Am. — 2002. V. 111. N. 1. Pt. 2.

8. Innovations in nonlinear acoustics / 17-th International Symposium on Nonlinear Acoustics. Ed. by Atchley A. A., Sparrow V. W., Keolian R. M. American Institute of Physics Conference — Proceedings. — Melville, New-York. — 2005. V. 838.

9. Sparrow V. W., Pierce A. D. Simulation of sonic boom ray tube area fluctuations for propagation through atmospheric turbulence including caustics via a Monte Carlo method / High Speed Research, Sonic boom., NASA Conference. — 1992. V. 1.

10. Bucking am A. C. Interactive shock structure response to passage through turbulence. AIAA Paper 90-1642. — 1990.

11. Pierce A. D. Propagation of acoustic waves and sonic booms through small-scale atmospheric turbulence / 16th Aeroacoustics conference. — 1995.

12. Rudenko O. V., Khokhlova V. A. Statistics of acoustics waves with random spatial modulation // Acoust. Phys. — 1994. V. 40.

13. Crow S. C. Distortion of sonic bangs by atmospheric turbulence // J. Fluid Mech. —

1969. V. 37.

14. Pierce A. D., M a g l i e r i D. J. Effects of atmospheric irregularities on sonic-boom propagation // J. Acoust. Soc. Am. — 1972. V. 51.

15. Friedlander F. C. Simple progressive solutions of the wave equation // Proc. Camb.

Phil. Soc. — 1946.

16. Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. — М.: Изд. иностр. лит. — 1962.

17. Pierce A. D. Spices on sonic boom pressure waveforms // J. Acoust. Soc. Am. — 1968. V. 44. N 4.

18. Миронов М. А. Искажения профиля волны давления, вызванные малыми неоднородностями атмосферы // Труды ЦАГИ. — 1973. Вып. 1489.

19. Martin J. M., Flatte S. M. Intensity images and statistics from numerical simulation of wave propagation in 3-D random media // Appl. Optics. — 1988. 27 (11).

20. Bulanger P., Raspet R. A., Bass H. E. Sonic boom propagation through a realistic turbulent atmosphere // J. Acoust. Soc. Am. — 1995. V. 98. N 4.

21. Blanc-Benon Ph., Juve D., Comte-Bellot G. Occurrence of caustics for high-frequency acoustic waves propagating through turbulent fields. Theor. Comput. Fluid Dynamics. — 1991. V. 2.

22. Blanc-Benon Ph., Lipkens B., Dallois L., Hamilton M. F., Black-stock D. T. Propagation of finite amplitude sound through turbulence: Modeling with geometrical acoustics and the parabolic approximation // J. Acoust. Soc. Am. — 2002. V. 111. N 1. Pt 2.

23. Заболотская Е. А., Хохлов Р. В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акустический журнал. — 1969. Т. 15, № 1.

24. Кузнецов В. П. Уравнения нелинейной акустики // Акустический журнал. —

1970. Т. 16, № 4.

25. Lee Y.-S., Hamilton M. F. Time-domain modeling of pulsed finite-amplitude sound beams // J. Acoust. Soc. Am. — 1995. V. 97. N 2.

26. McDonald B. E., Kuperman W. A. Time domain formulation for puls propagation including nonlinear behavior at a caustic // J. Acoust. Soc. Am. — 1987. V. 81.

27. R u s a k Z., Cole J. D. Interaction of the sonic boom with atmospheric turbulence // AIAA Paper 93-2943. — 1993.

28. Жилин Ю. Л. Теория затухания стационарных и нестационарных ударных волн в неоднородных средах // Труды ЦАГИ. — 1967. Вып. 1094.

29. Жилин Ю. Л. Звуковой удар от самолета при полете вдоль произвольной траектории в слоистой атмосфере с трехкомпонентным ветром // Аэромеханика. — М.: Наука. — 1976.

30. Candel S. M. Numerical solution of conservation equations arising in linear wave theory: application to aeroacoustics // J. Fluid Mech. — 1977. V. 83.

31. Kraichnan R. H. Diffusion by a random velocity field // Phys. Fluids. — 1970. V. 13. N 1.

32. Robinson L. D. Sonic boom propagation through an inhomogeneous, windy atmosphere // Ph. D. dissertation, University of Texas. — 1991.

33. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. — М.: Наука. — 1984.

34. Денисенко О. В., Провоторов В. П. Исследование течений вязкого газа при умеренных числах Рейнольдса // Труды ЦАГИ. — 1985. Вып. 2269.

35. Lipkens B., Blackstock D. T. Model experiment to study sonic boom propagation through turbulence // J. Acoust. Soc. Am. — 1998. V. 103. N 1.

Рукопись поступила 28/IV 2006 г.