CC BY
20
УДК 519.7
А.С. Нагорный1
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТРЕХЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО ПРЕДПОЛНЫМ КЛАССАМ*
Приводится система из 36 "аксиом", связывающих предполные классы трехзначной логики. На основе этих аксиом (и двойственных к ним) строится множество из 406 строк, в котором представлены все возможные варианты распределения трехзначных функций по пред-полным классам.
Ключевые слова: трехзначная логика, предполный класс.
1. Введение. Пусть к — натуральное число, к ^ 2, Е^ = {0,1,..., к — 1}, Р^ — множество всех конечноместных функций на /•.)■. Элементы множества Р^ будем называть функциями fc-значной логики, или fc-значными функциями. Определения используемых ниже операции суперпозиции, замыкания, замкнутого класса, полноты и базиса можно найти в [1].
Замкнутый (относительно суперпозиции) класс H функций fc-значной логики назовем предполным в /'/,- если H ф Pfc, но для любой функции / G Pk\H замыкание множества HU{f } совпадает с РВсе предполные классы в Р2 были найдены Э. Постом в [2, 3], все предполные классы в Р3 были описаны C.B. Яблонским в [4]. Затем C.B. Яблонским и A.B. Кузнецовым было установлено, что для любого к ^ 3 число предполных в Р% классов конечно [5], а И. Розенберг описал предикаты, определяющие все предполные в Р^ классы [6, 7]. Весомый вклад в изучение замкнутых классов в внесли также Д. Лау (D. Lau), Б. Чакань (В. Csâkâny), С. С. Марченков, Я. Деметрович (J. Demetrovics), Л. Ханнак (L. Hannak), И. Стойменович (I. Stojmenovic).
Каждой fc-значной функции / можно поставить в соответствие т. н. строку принадлежности — строку из имен предполных классов, содержащую данное имя класса тогда и только тогда, когда / принадлежит этому классу. Множество всех таких попарно различных строк (построенных для всех функций из Pfc) обозначим через А(к). Нам будет удобно функцию из Р% задавать вектором ее значений (предполагая, что наборы значений ее переменных перечислены в стандартном порядке).
2. Некоторые свойства предполных классов двузначной логики. В Р2 имеется ровно 5 предполных классов. Это Л/. 7"(J. 1\. S и L (см. [1]). Ограничения на распределения булевых функций по предполным классам полностью описываются следующим утверждением (это легко получить из результатов, изложенных в [2, 3]).
Утверждение. В Р2 справедливы следующие вложения:
Ti n S с То, То n S с Ti, То n Ti П L С S, LÇToUTiUS, MÇTqUTI, MÇ(T0nTi)UL,
1 Факультет BMK МГУ, мл. науч. сотр., e-mail: anagornyQlist.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00701.
причем строка принадлежности содержится в множестве А(2) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет перечисленным выше свойствам.
Так как имя каждого предполного в Р2 класса может как входить, так и не входить в строку принадлежности, всего имеем 25 = 32 различных строки. Из них легко отобрать те строки, которые удовлетворяют всем перечисленным выше условиям утверждения. Таких строк ровно 15: пустая строка 0 (1110), Т0 (0010), Ti (1101), S (1110 1000), SL (10), TQTt (0010 0001), T0L (ОНО), TXL (1001), MTqTi (0001), MTqL (0), MTXI. (1), T0TiS (0100 1101), MTqTxS (0001 0111), TqTiSL (0110 1001), MTqTiSL (01). Здесь в скобках указан вектор булевой функции, имеющей соответствующую строку принадлежности.
3. Некоторые свойства предполных классов трехзначной логики. Как известно [4], в Р3 имеется ровно 18 предполных классов. Это классы монотонных функций (М0, Мь М2), классы функций, сохраняющих нетривиальные разбиения (Uq, U\, U2), классы функций, сохраняющих 2-местные центральные предикаты (Со, С1, С2), классы функций, сохраняющих нетривиальные подмножества (Т0, '/"i. "f-j и Т12, Т02, Tqi), класс Слупецкого (В), класс самодвойственных функций (S) и класс линейных функций (L). Отметим, что в Р3 имеются тройки попарно двойственных классов (это классы Л /,. IС,. '/", и Tij). Нам будет удобно обозначать через К дополнение множества функций К трехзначной логики до всего Р3, т.е. К = Р3 \ К. Обозначим также через E(f) множество значений функции /. Всюду в этой статье сложение и умножение будем вычислять по модулю 3.
Пусть /, g € Р3■ Будем говорить, что функция g является подфункцией функции /, если g можно получить подстановкой в функцию / вместо некоторых ее переменных констант из . Сформулируем сначала два простых факта, которыми мы будем часто пользоваться.
Факт 1. Пусть К € {М0, Mi, М2, Uq,, U\, U2, Со, С\, С2, В, L}, f — произвольная функция из К. Тогда любая подфункция функции / принадлежит классу К.
Факт 2 (см. [5]). Пусть К G {М0, Mi, М2, i/o, £7i, t/2}, / — произвольная функция из Р3. Тогда из принадлежности классу К всех одноместных подфункций функции / следует принадлежность классу К и самой функции /.
В табл. 1 (также см. [5]) указаны строки принадлежности всех трехзначных функций одной переменной (здесь принадлежность функции классу обозначена символом "+", а непринадлежность — символом "—").
В следующих двух леммах доказываются некоторые соотношения включения между предполными классами трехзначной логики.
Лемма 1. В Р3 справедливы следующие включения-.
Ml DL С М0ПМ2, (1) M0 П S С Mi П M2, (15)
м2пи1пс1с М0, (2) 1 0 n 5 С l\n I 2 n T12, (16)
Mi ПМ2 С Uq, (3) CQ П S С Ci n c2, (17)
С! П С2 С Uo, (4) To П 5 С Ti П T2, (18)
UQ n Ui n U2 с M0 n Ml n M2 n L, (5) T12ns CTQ2nTQ1, (19)
¿Ti ГШ2 С C0, (6) В n S С L, (20)
Mi П M2 С C0, (7) Tq2 П TQI С T0, (21)
Mi n Ut С c0 n C2, (8) C\ П T0 С Tqi, (22)
Ux n T01 n В С Co, (9) М1ПТ1 СТ12ПТ01, (23)
Т0ПБ С Co, (10) М1ПС1ПТ02 С UqDU2, (24)
T12 П L С Uq, (11) Uq DTi С Ti2, (25)
Uq n L С Co n B, (12) uQnu2n T02 С Mi, (26)
CqDLC Uq, (13) Mi П T02 П В С Co n c2. (27)
T0 П Ti П L С S, (14)
Доказательство. Докажем (1). Рассмотрим функцию /(хп) € П Ь. Из факта 1 следует, что у функции /(хп) все одноместные подфункции ф(х) тоже принадлежат классу П Ь. Из табл. 1 имеем -ф(х) € {(000), (012), (111), (222)} С М0 П М2. Тогда, в соответствии с фактом 2, получим ¡(хп) € М0 П М2.
Включения (2)-(4) и (13) проверяются аналогично (используются одноместные подфункции). Для обоснования пункта (5) докажем более сильное (с точностью до несущественных переменных)
Табл и ца 1
Распределение одноместных функций из Рз по предполным классам
f Mo Mi м2 Uo Ui u2 Co С1 c2 To Ti T2 T12 To 2 T01 В s L
(000) + + + + + + + + + + - - - + + + - +
(001) - + - - - + + + - + - - - - + + - -
(002) + + - - + + + - + + - + - + + + - -
(010) + - + - + + + + - + + - - + + + - -
(011) - + + + - + + + - + + - + - + + - -
(012) + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(020) - - + - + - + - + + - - - + - + - -
(021) - - - + - - + - - + - - + - - + - +
(022) - + + + + - + - + + - + + + - + - -
(100) - - - + - + + + + + - -
(101) - - - - + + + + + + - -
(102) - - - - - + - - + - - + - - + + - +
(110) + - - - - + + + - - + - - - + + - -
(111) + + + + + + + + + - + - + - + + - +
(112) + + - + - + - + + - + + + - + + - -
(120) + + +
(121) - - - + + - - + + - - - + - - + - -
(122) - + - + - - - + + - - + + - - + - -
(200) - - - + + - + - + - - - - + - + - -
(201) + + +
(202) + - - - + - + - + - - + - + - + - -
(210) - - - - + - - + - - + - - + - + - +
(211) - - + + - - - + + - + - + - - + - -
(212) + - + + + - - + + - + + + + - + - -
(220) - - - - + + + - + - - - - + - + - -
(221) - - - + - + - + + - - - + - - + - -
(222) + + + + + + + + + - - + + + - + - +
утверждение: Uq П Ui П = {0,1, 2, ж}. Очевидно вложение правой части в левую. Фиксируем любую функцию f(xn) € UqDUiDU2- Согласно факту 1 любая одноместная подфункция ф функции / также лежит в Uq П Ui П Значит, ф G {(ООО), (012), (111), (222)}. Пусть / ф const. Тогда у / найдется хотя бы одна существенная переменная. Будем считать, что это хп. Легко видеть, что существует набор ¿«-1 е такой, что /(ап_1,ж) = х.
Рассмотрим любой набор /Зп_1, соседний с набором ап~1. Пусть эти наборы различаются в позиции г, г G {0,1,..., п — 1}, т. е. щ ф Докажем, что /(/3n_1, х) = х. Предположим, это не так. Тогда существует такое число a G что /(/Зп_1,ж) = а при всех х G Е3. Обозначим через г тот единственный элемент, который содержится в множестве Е3 \ Воспользуемся тем, что f(xn) € UT. Так как
/(ап_1,т) = г и /((б™-1,^) = а, то а = т. С другой стороны, /(ап_1,т + 1) = г + 1 и /(/3n_1, г +1) = ст. Поэтому афт. Получаем противоречие. Поскольку в кубе Е'% _1 для любых двух различных наборов существует цепь, их соединяющая, то мы получили, что /(/Зп_1,ж) = х при всех х G Е3 и при всех /3n_1 G -Е'з"1- Другими словами, /(¡п , Ж2, ■ ■ ■ , 1, Жи ) = жп. Вложение (5) установлено.
Докажем теперь (6)-(9). Фиксируем произвольную трехзначную функцию f(xn) из любого замкнутого класса К G {£/i П £/2, Mi П М2, Mi П Ui, Ui П T0i П Б}. Предположим, что f(xn) ^ С0. Это означает, что найдутся наборы ап и /Зп из такие, что f(ocn) = 1 и /(/Зп) = 2, причем для каждого г = 1,2,. ,.,п выполняется хотя бы одно из трех условий: щ = ft; щ = 0; /3* = 0. Рассмотрим произвольное г G {1,2,..., те}, для которого а* ф Pi- Значит, (с^, ft) G {(0,1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)}.
1. Пусть К = UiDU2■ Если («¿,/3^) G {(0,2), (2,0)}, заменим щ на Д. Так как f(xn) € Ui, значение функции / на новом наборе осп не изменится. Если же G {(0,1), (1, 0)}, наоборот, заменим Д на щ. Поскольку f(xn) G С/2, значение функции / на новом наборе /Зп также не изменится.
2. Пусть К = Mi П М2. Если («¿,/3¿) G {(0,1), (0,2)}, заменим ^ = 0 на ft. Так как /(жп) G М2 и значение 0 является максимальным, а значение 1 — минимальным для порядка 1 < 2 < 0, то значение функции / на новом наборе осп останется равным 1. Если («¿,/3j) G {(1,0), (2,0)}, наоборот,
заменим /3¿ = 0 на a¡¿. В силу f(xn) € Мi значение функции / на новом наборе /Зп останется равным 2 по аналогичным причинам.
3. Пусть К = Mi П Ut. Если (a¿,/3¿) € {(0,1), (0, 2)}, заменим щ = 0 на 2. Так как f(xn) G *7b значение функции / на новом наборе ап не изменится. В случае (a¿,/3¿) = (1,0) заменим /3¿ = 0 на 1. Поскольку f(xn) € Мi, значение функции / на новом наборе /Зп останется равным 2. Наконец, в случае (a¡¿,/3¿) = (2,0) заменим a¡ = 2 на 0. Так как f(xn) € É7i, то значение функции / на новом наборе ап также не изменится.
4. Пусть К = Ui П Т01 П В. Если /3¿ = 2, заменим его на 0, а щ оставим без изменений. Из табл. 1 видно, что в классе U\ flT0i DBDCq нет функций одной переменной. Значит, каждая функция из этого класса принимает только значения 1 и 2. Поскольку f(xn) € U\, значение функции / на новом наборе /Зп останется равным 2. Проделав эту операцию для всех i € {1, 2,..., п}, таких, что a¡¿ ф /3получим в итоге два новых набора а' и /3'.
В случаях 1 и 2 мы получим а' = /3', но /(а') = 1^2 = /(/?')■ Приходим к противоречию. В случае 3 будет выполняться (относительно обычного порядка 0 < 1 < 2) следующее: а\ j3¡ при всех i = 1,2,. ,.,п, но /(а') = 1 < 2 = /(/3'), что противоречит условию f(xn) € М\. Значит, Mi П Ui С Со. В силу двойственности классов имеем также Mi П U\ С Со П С2. В случае 4 набор /3', очевидно, состоит только из 0 и 1, в то время как /(/?') = 2, что противоречит тому, что f(xn) € TQÍ.
Докажем (10) от противного. Пусть найдется функция / € Со П Т0 П В. Очевидно, / принимает значения 1 и 2 (так как / € Со) и значение 0 (на наборе 0П). Из условия f € В заключаем, что / имеет не более одной существенной переменной. Но в таких функций нет (см. табл. 1). Имеем противоречие.
Пусть / € Ti2 П L. Предположим, / имеет две (или больше) существенные переменные. Не умаляя общности, можно считать, что это х\ и х,2- Тогда, подставив в функцию / вместо остальных переменных значения 1 и 2, мы получим некую функцию д(хi,x2) = cq + с\Х\ + с2х2 G Ti2, причем С\, с2 ф 0. Теперь нетрудно проверить, что если с\ = с2, то 0 е {^(1,1),5(1, 2),^(2, 2)}, а если Ci ф с2, то 0 G {5(1,1), д(1, 2), д(2,1)}, что противоречит тому, что д(хьж2) G Т12. Итак, Т12 DL С Р31, и из табл. 1 вытекает истинность (11).
Пусть f £ Uq П L. Если среди переменных функции / найдутся две существенные (например, х\ и х2), то, подставляя 0 вместо всех остальных переменных, получим функцию д(хi,x2) = cq + с\Х\ + + с2х2 € Uq, причем ci,c2 ф 0. Легко видеть, что если с\ = с2, то {5(1,1), ^(1, 2), д(2, 2)} = а если ci ф с2, то {д( 1,1), ^(l, 2), 5(2,1)} = Е'з, что противоречит тому, что д(х\,х2) G í/o- Итак, UqDL С Pg1, и, анализируя табл. 1, убеждаемся в справедливости (12).
Докажем (14). Пусть / G Т0 П Ti П L. Тогда /(жi , Ж2, ■ ■ ■, жп) — С1Ж1 + с2х2 + ... + спхп, причем ci + с2 + ... + cn = 1. Имеем
/(ж 1 + I • -г-, + I....../•„ + I) Ci{xi + 1) + с2(х2 + 1) + ... + сп(хп + 1) = f(Xí,X2, ... ,хп) + 1,
что означает f € S.
Справедливость вложений (15) и (17)—(19) вытекает из двойственности классов. Для доказательства (16) вспомним, что UqDUiDU2 = {0,1, 2, х} (см. доказательство свойства (5)) и также воспользуемся двойственностью классов Uq, U\ и U2: UqDS = UqDUiDU^S = {0,1, 2, ж}П5 = {ж} С UiDU2DTi2.
Докажем (20). Пусть / G В П S. Функция / самодвойственна, поэтому она принимает все 3 значения. Учитывая / G В, получим, что / имеет не более одной существенной переменной. Из табл. 1 следует / G {ж, х + 1,ж_+ 2} С L. Свойство (21) очевидно. Для обоснования вложения (22) достаточно доказать, что С1ПТ0ПТ01 = 0. Предположим, это не так. Пусть /(xn) G С1ПТ0ПТ01. Тогда /(0П) = 0 и найдется набор án G {0,1}п, такой, что f(án) = 2. Это противоречит условию /(xn) G С\.
Докажем (23). Фиксируем произвольную функцию /(xn) € Мi Г\Т\. Имеем /(ln) = 1 и / G М\. Значит, если án € {0,1}п, то f(án) ^ 1. Другими словами, / G T0i. Аналогично доказывается, что
/ е т12.
Убедимся в справедливости вложения (24). Для этого докажем, что Mi П С\ П Т02 С Uq (тогда будет справедливо и двойственное включение Mi П Ci П Т02 С U2). Предположим противное. Пусть /(xn) € Mi П С\ ПТ02 DUq. Тогда в соответствии с фактами 1 и 2 у функции / найдется одноместная подфункция ф = (001) (см. табл. 1). Без ограничения общности можно считать, что при получении подфункции (001) у функции / фиксировались все переменные, кроме последней. Значит, существует набор án~l (n > 1, так как / G TQ2), такой, что /(an_1,1) = 0, /(an_1, 2) = 1. Заменим в наборе án~l
все "единицы" на "двойки". Полученный набор обозначим через /Зп_1. Из монотонности (/ € М\) имеем /(/Зп_1,2) € {1,2}. С другой стороны, /(/Зп_1,2) = 1 противоречит включению / € Т02, а если /(/Зп_1, 2) = 2, то получим противоречие с / € С\.
Проверим свойство (25). Пусть / € Щ П Т\. Тогда /(1) = 1, поэтому из / € 11$ следует, что если ап € {1,2}п, то /(ап) € {1,2}. Другими словами, / € Т12. Свойство (26) докажем от противного. Пусть существует функция /(жп), принадлежащая классу и$С\и2С\Т$2С\М 1. В соответствии с фактом 2 найдутся два набора, соседние по г-ш координате, осп = («!,...,«„) и /Зп = (/З1,...,/Зп), такие, что ап /Зп, но /(ап) > /фп) (все отношения вычисляются относительно обычного порядка 0 < 1 < 2). Рассмотрим три случая.
1. /(«») = 2 и ¡фп) = 0. Так как а* < то б {(0,1), (0,2), (1,2)}. Заменим
на («¿',/3/) = (1,1). Легко видеть, что для новых наборов а' и /3' справедливо а' = /3', но в силу / € £72 П Щ имеем /(а') = 2^0 = /(/3'). Получили противоречие.
2. /(ап) = 1 и /(/Зп) = 0. Заменим в наборах ап и /Зп все "единицы" на "двойки". Для новых наборов а' и /3' (соответственно) также справедливо отношение а' /3'. С другой стороны, из / € £7о ПТ02 следует, что /(а') = 2, /(/3') = 0, причем наборы а' и /3' также являются соседними по г-ш координате. Мы пришли к случаю 1.
3. /(ап) = 2 и /(/Зп) = 1. Аналогично предыдущему случаю заменим в наборах ап и /Зп все "единицы" на "нули". Тогда для полученных наборов а' и /3' имеем а' $'. С другой стороны, из / € 112 ПТ02 следует, что /(а') = 2, /(/3') = 0, причем наборы а' и /3' также являются соседними по г-ш координате. Мы опять вернулись к случаю 1, в котором противоречие уже получено.
Других вариантов нет. Свойство (26) доказано. Наконец, убедимся в том, что выполнено вложение (27). Рассмотрим произвольную функцию / из класса М\ П Т02 П Р. Из табл. 1 видно, что все функции одной переменной, принадлежащие этому классу, принадлежат и классу Со П С2-
Пусть теперь / существенно зависит от двух или более переменных. По определению класса В функция / принимает не более двух значений. Если Е(/) С {0,1}, то из / € Т02 имеем /(2) = 0, а далее из монотонности получим / = 0, что противоречит наличию у / двух существенных переменных. Аналогично если Е(/) С {1,2}, то /(0) = 2 и / = 2, что также противоречит существенности функции /. Значит, Е(/) С {0,2}, поэтому / € Со П Сг, что и требовалось. Доказательство леммы 1 завершено.
Привлекая вычислительные ресурсы компьютера, с помощью свойств, доказанных в лемме 1 (и двойственных к ним), автору удалось построить все попарно различные пересечения предполных классов в Р3 (их ровно 1504, причем из них ровно 311 попарно недвойственных). Эти пересечения образуют нижнюю полурешетку по вложению. Однако для того чтобы полностью построить множество .А(З), свойств (1)-(27) и двойственных к ним недостаточно. Следующая лемма восполняет этот пробел.
Лемма 2. В Р3 справедливы следующие включения-.
иаПСг С С2иТ01, (33)
С1 П С2 С Т0 и В, (34)
С1ПР С С0иС2иТ02, (35)
В С С0 и С1 и Ь. (36)
Доказательство. Докажем (28). Обозначим К = Ь П Т0 Г\Т\ ПТ2. Рассмотрим произвольную функцию /(хп) € К. Пусть <р(х) = /(ж, ж,..., ж). Очевидно, <р(х) € К. Из табл. 1 видно, что (р(ж) € {(120), (201)}. В обоих случаях из справедливости представления /(жп) = со + с\Х\ + с2ж2 + ... ... +спхп и из / € К следует с1+с2+.. .+сп = 1, откуда вытекает тождество /(ж1 + 1, ж2+1,..., жп+1) = = /(®1
,ж2, • • •, хп ) + 1, т.е. /6 5, что и требовалось доказать.
Докажем (29). Пусть / — произвольная функция из Со- Очевидно, /(0) € {0,1,2}. Рассмотрим три случая. Если /(0) = 0, то / € Т0. Если /(0) = 1, то, учитывая / € Со, получаем, что 2 ^ #(/), откуда / € Т01. Наконец, если /(0) = 2, то, опять же, из / € Со следует, что 1 ^ #(/), откуда / € 11\. Свойство (29) доказано. _
Вложение (30) справедливо, так как из условия / € М1 П Т0 следует, что 0 ^ Ж/), поэтому / € ?7о ПС1 ПР. Для доказательства свойства (31) достаточно заметить, что из / € М\ ПТ01 вытекает /(1) = 2, откуда по монотонности имеем / € Т12.
/. С 70 и Т, и'/', и Со С ^иТоиТоь М1 С Т0 и (¿То П С1 П Р),
ст12ит01,
М1ПС0ПТ12 СТ1УБ,
28
29
30
31
32
Таблица 2
Попарно недвойственные строки множества А(3) с примерами функций
Строка Функция / Строка Функция /
0 (120 200 000) и0 (121 200 100)
То (021 201 110) Т\ 2 (101 021 111)
5 (110 122 020) и0Т0 (021 200 100)
(100 021 011) иоТо2 (212 100 200)
СоТо (020 200 001) Т0Тх (021 210 100)
ТоТ\2 (001 022 121) То То 2 (020 201 010)
Т0Ь (012 120 201) БЬ (102 021 210)
ЩСоТо (000 200 100) [/0ТоТх2 (011 121 111)
ЩТ0Т02 (012 200 200) [/оТхТхз (200 011 011)
С0Т0Т12 (001 021 111) С0Т0Т02 (ООО 021 010)
Т0Т1Т2 (000 210 102) Т0Т1Т12 (020 212 021)
Т0Т1Т01 (001 012 120) ТоТогТэх (002 001 210)
ВБЬ (120) М0Т1Т2Т02 (212 110 202)
ЩСоТоТ\2 (000 021 011) иоСоТоТо2 Л
иоТоТ\Т\2 (021 211 111) УоТоТогТох (012 100 200)
ЩТ1Т2Т12 (100 211 112) УоТхТхгТн (100 012 021)
С0Т0Т1Т01 (000 012 100) С0Т0Т02Т01 (ООО 100 020)
Т0Т1Т2Т12 (001 211 012) Т0ТхТ25 (001 211 202)
ТоТ\Т\2То\ (001 012 121) МоС/хТхТзТоз (202 010 202)
М0Т1Т2Т12Т02 /2 Со То То 2 То X (ООО 100 200)
ЩС1С2Т12В (111 122 121) иоС\Т\Т\2То\ (100 111 121)
1/0Т0Т1Т2Т12 (021 211 112) ЦэТоТхТхгТэх (ООО 112 111)
иоТ\Т2Т\2То2 (200 011 012) СоТоТхТхгТэх (ООО 111 021)
Сотьтхтогтох (000 110 020) ГТ"Т ГТ"Т ГТ"Т ГТ"Т ГТ"1 -¿0-¿1 -¿2-¿12 -¿02 (002 211 012)
ТиТ,Т;.Ч1. (021 210 102) -Мо ?7х Тх Т2 Тх 2 То 2 /з
М0С1Т1Т2Т12Т01 (110 111 212) -Мо То Тх Т2 Т02 То х (012 110 202)
ЩихСоСъТоъВ (200) [/о Ух С2 Т2 Тх 2 То 2 (200 121 222)
иоСоТоТ\Т\2То\ (000 012 021) и0СоТоТ12ВЬ (021)
ЩС1С2Т1Т12В (121 211 111) иоС\ТоТ\Т\2То\ (011 112 121)
ЩСг Т\ Т2Т12 Тог (100 111 122) [/0Т0Т1Т2Т12Т02 /4
С0Т0Т1Т2Т02Т01 (000 110 022) ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ±0-1-1 ±2-1-12-¡-02-1-01 (ООО 011 212)
М0и1СоС2Т2То2В (202) -Мо?7х С2Т1Т2Т12Т02 (202 012 222)
Мо и\ То Т\ Т2 То 2 То 1 (002 111 002) -Мо Со То Тх Т2 То 2 То х (ООО 110 202)
Мо То Тх Т2 Тх 2 То 2 То 1 /5 и0и1С0С2Т0Т02В (022 200 200)
[/о [Д С2 То Т2 Тх 2 То 2 (012 121 212) ?7оСх С2Т1Т2Т12 В (121 211 112)
[/о Тх Тх 2 То 1 В (111 112 121) [/оСхТэТхТгТхгТох (011 111 212)
[/0Т0Тх Т2 Тх 2 То 2 То X (000 112 212) х"* ЛТ1 ЛТ1 ЛТ1 ЛТ1 ЛТ1 ЛТ1 ^0±0±1±2±12±02±01 /б
ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 ГТ"1 С ±0±1±2±12±02±01О (002 011 212) Мо 111 Со То Тх Т2 Т02 То х (002 010 202)
Мо VI То Тх Т2 Тх 2 Т02 То X /7 -Мо Сх То Тх Т2 Тх 2 То 2 То х /8
и0и1С0С2Т2Т12Т02В (200 022 022) [/о Ух С2 То Тх Т2 Тх 2 То 2 /9
ЩС0Т0Т1Т2Т12Т02Т01 /ю [/оСхСгТхТгТхгТог-В (212 211 222)
ЩС1Т0Т1Т2Т12Т02Т01 /и МоС/оСхСзТхТзТхзТоз-В (212 112 222)
Мо [/хг/зСоТоТхТзТозТох (000 010 002) МоС/хСоСзТоТзТозТохВ (002 ООО 202)
-Мо С/1 Сг То Тх Т2 Тх 2 То 2 То X (002 111 222) [/0У1С0С2Т0Т2Т12Т02-В /12
[/оСхСзТоТхТгТхзТозТох /13 -Мо -Мх [/2 С2 То Тх Т2 Тх 2 То 2 То х (002 112 222)
-Мо [/о Сх С2 То Тх Т2 Тх 2 То 2 То X (012 111 222) -Мо-Мх [/о ^2 Сх С2 То Тх Т2 Тх 2 То 2 То X (012 112 222)
-Мо ?7х [/2 Со То Тх Т2 Тх 2 То 2 То х /14 МоМхМзгУо^гУгСоСхСзТоТозТох-М (ООО)
Мо Мх [/о [/2 Сх С2 Тх Т2 Тх 2 То х В (112) МоМхМзг/о^г/гСоСхСзТоТхТзТхзТозТохВЯЬ (012)
Докажем (32). Фиксируем произвольную функцию /(хп) из П Со ПТх ПТ^. Легко видеть, что /(1П) = 2. Более того, поскольку / € Мь для любого набора ап € {1,2}п справедливо /(осп) = 2. Предположим, что найдется набор /3, такой, что /(/3) = 1. Набор /3' получим из набора /3 заменой всех "нулей" на "единицы". Так как в /3' нет "нулей", то по ранее доказанному /(/?') = 2, но это противоречит тому, что / € Со- Значит, 1 ^ #(/), поэтому / € В, и вложение (34) доказано.
Похожие рассуждения приводят к обоснованию свойства (33). Пусть / — произвольная функция из ?7о П С1 ПТ01. Предположим, найдется набор а, такой, что /(а) = 0. Набор а' получим из набора
а заменой всех "двоек" на "единицы". Поскольку / € Щ, получим /(а') = 0, но тогда из / € С\ следует, что функция / не может принимать значение 2 ни на каком наборе из "нулей" и "единиц", что противоречит условию / € Т01- В итоге 0 ^ #(/), поэтому / € С2, и (33) доказано.
Докажем (34). Фиксируем произвольную функцию / из С\ П С2 ПТ0. Из свойства (4) следует, что / € С/о- Предположим, найдется набор а, такой, что /(а) = 0. Набор а' получим из набора а заменой всех "двоек" на "единицы". Так как / € £7о, то /(а') = 0, поэтому из / € С1 вытекает /(0) Аналогично, из / € £7о П Сг имеем /(0) ф 1. Поэтому /(0) = 0, что противоречит условию / е Т0. Из полученного противоречия следует, что 0 ^ #(/), значит, /еВ,и (34) доказано.
Докажем (35). Для этого убедимся в том, что множ^тво^оПС^ПСгПРПТог пусто. Действительно, каждая функция / из этого множества принадлежит С о П С2, а значит, принимает все три значения. Далее, поскольку / € В, то / имеет не более одной существенной переменной. Но в таких функций нет (см. табл. 1). Получаем противоречие.
Осталось доказать (36). Рассмотрим произвольную функцию / € Со П С\ П В. Так же как и в предыдущем случае, из / € Со П С\ следует, что / принимает все три значения. Но / € В, поэтому / имеет не более одной существенной переменной. Из табл. 1 имеем / € {(102), (120), (201)} С Ь. Лемма 2 доказана.
4. Распределение трехзначных функций по предполным классам.
Теорема. Множество А(3) состоит из 406 строк, из них попарно недвойственными являются ровно 96 строк, перечисленные в табл. 2.
Доказательство. В результате вычислений из всех 218 = 262144 возможных строк были отобраны те, которые удовлетворяют всем аксиомам (1)—(36) и двойственным к ним. Таких строк оказалось ровно 406. Это 96 строк, перечисленные в табл. 2, а также все двойственные к ним. Примеры функций /, имеющих такие строки принадлежности, указаны в соответствующем столбце табл. 2. Трехзначные функции от трех переменных для удобства вынесены в отдельную таблицу (табл. 3). Теорема доказана.
Табл и ца 3 Примеры функций /(жъж2,жз)
г Л
1 (000 021 022 000 000 000 000 000 000)
2 (222 222 222 110 111 222 222 222 222)
3 (202 202 222 012 111 012 222 222 222)
4 (022 021 022 222 212 222 222 222 222)
5 (002 111 222 111 111 012 222 222 222)
6 (000 001 010 111 111 111 000 021 012)
7 (012 012 212 012 111 012 012 012 212)
8 (010 110 010 111 111 111 012 112 212)
9 (012 121 212 121 212 121 212 121 212)
10 (000 000 000 000 011 021 000 011 012)
11 (000 111 212 011 111 211 012 111 222)
12 (022 200 200 222 222 222 222 222 222)
13 (012 111 212 111 112 121 222 222 222)
14 (000 010 002 010 111 012 002 012 222)
Замечание 1. Анализируя множество А(3), можно получить ранее известный результат, показывающий, что максимальная мощность базиса в Р3 равна 6, а также подсчитать число типов базисов из 1, 2, 3, 4, 5 и 6 функций.
Замечание 2. Легко проверить, что множество аксиом (1)—(36) является не только полным, но и неприводимым (т.е. для каждой аксиомы существует строка из 18 "плюсов" и "минусов", противоречащая только этой аксиоме или двойственной к ней). Более того, для каждой строки табл. 2 функция, приведенная в качестве примера, имеет наименьшее число существенных переменных (среди всех функций, которые могут служить примером). То же самое можно сказать о том множестве аксиом в Р2, которое представлено в формулировке утверждения и соответствующих примерах булевых функций.
Автор выражает благодарность А. А. Вороненко за постановку задачи и С. С. Марченкову за ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
3. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43. N 4. P. 163-185.
3. Post E.L. Two-valued Iterative Systems of Mathematical Logic. N.J.: Princeton Univ. Press, 1941.
4. Яблонский C.B. О функциональной полноте в трехзначном исчислении // ДАН СССР. 1954. 95. № 6. С. 1153-1156.
5. Яблонский C.B. Функциональные построения в fc-значной логике // Тр. МИАН. 1958. 51. С. 5-142.
6. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusieurs variables sur un ensemble fini // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. A.B. 1965. 260. P. 3817-3819.
6. Rosenberg I.G. Über die funktionale Vollständigkeit in den mehrwertigen Logiken / / Rozpravy Ceskoslovenske Akad. Ved. N. 80. Praha: Rada Math. Pfir. Vëd., 1970. P. 3-93.
Поступила в редакцию 03.11.11
ABOUT DISTRIBUTION OF THREE-VALUED FUNCTIONS ON PRECOMPLETE CLASSES Nagorny A. S.
A system of 36 axioms restricting precomplete classes of three-valued logic is presented. On basis of these axioms (and dual ones) a set is constructed which consist of 406 lines and describe all possible distributions of three-valued functions on precomplete classes.
Keywords: three-valued logic, precomplete class.
