О распределении элементов полугрупп натуральных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 3 (2012)

УДК 511.29

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛУГРУПП НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ1

Ю. Н. Штейников (г. Москва)

Аннотация

В работе рассматриваются полугруппы натуральных чисел, порядок которых на отрезке [1, д] есть ди. В этой работе получены нетривиальные верхние оценки числа таких элементов на множестве [1,£], где £ мало по сравнению с любой степенью д.

§1. Предварительные сведения

Пусть A С N — полугруппа, то есть если a\,a2 Е A, то a\a2 Е A.

В частности, можно взять множество A = {n Е N : n Е G (mod m)}, где

m Е N, a G — мультипликативная подгруппа группы Ъ*т.

Например, если положить m = p2, где p — простое число и

G = {д Е Zp2 : gp- = 1},

то мы получаем

A = Ap = {n Е N : np-1 = 1 (mod p2)}.

Нас будет интересовать случай, когда для некоторых действительных q; v < 1 выполнено неравенство:

\{n Е A; n < q}\ < qv. (1)

Например, пусть A = Ap. Так как группа Z*p2 — циклическая, то отсюда следует, что \G\ = p — 1. Значит для этого примера \{n Е A : n < p2}\ = p — 1. Здесь, как несложно видеть, можно положить q = p2 и v =

Пусть для x > 0 определим:

f (x) = \A П [1,x]\.

1 Работа поддержана грантом РФФИ №11-01-00329, а также грантом ведущей научной шко-

лы НШ-6003.2012.1

Мы хотим оценить сверху f (x) как функцию от q и от и.

n

рые принадлежат подгруппе порядка t группы Z*p. Эти оценки содержательны, когда t мало то сравнению с p. Из нашей работы вытекают оценки в случае, t p, n

Покажем, что верно следующее утверждение.

A

x = (log q)u. Тогда

1) если log log x = o(loglog q), mo

f (x) < exp{ — (C + o(1))u(1 — v)2log(u(1 — v)2)}

x

где C — некоторая абсолютная константа;

2) если y = lOgxq u log x = o(log q), mo

f (x) < x1-max{LYC}+o(1),q ^ ж,

где

Ly

y

(

1v

1 — Y + V(1 — Y )2 + Y (1 — v)

(1-v)2Y 4(1-7) ’

2 — v — 1 ,

7’

если Y < o-2—,

1 — 3—v5

если Y > .

1 3—v

\2. Вспомогательные утверждения

Предположим, что задано целое у. Каждое натуральное п представим в виде п = П1П2, так что если простое р делит П1, то р < у, а если делит п2, то р > у. Пусть также даны х, г. Определим множество:

N(х, у, г) = {п < х : п1 > г}.

Мы хотим оценить сверху количество элементов множества N(х,у,г).

На довольно большой области изменения х, у, г была получена асимптотика N(х,у,г) в работе [4]. Нам нужен будет более грубый результат, но при еще слабых ограничениях на параметры х,у,г. Мы будем следовать технике, разработанной в [4].

Нам потребуются оценки для множеств чисел, у которых все простые делители малы либо наоборот, большие. Для натурального п пусть Р + (п) и Р- (п) соответственно наибольший и наименьший простой делитель числа п, Р +(1) = 1, Р-(1) = го. Для х ^ у ^ 2 полагаем:

ф(х,у) = \{п ^ х : Р+(п) ^ у}\, ф(х,у) = \{п ^ х : Р-(п) > у}\.

Также нужны следующие оценки на ф(х, у) ([1]) и также оценки на ф(х,у) (следствие из теоремы 3, 3 часть, 6 глава [5] ).

Теорема А [1]. Пусть х > у > 2,ь = |0§§ Тогда для, любого є > 0 на множестве V < у1-£ имеет м,есто неравенство:

ф(х,у) = xv-v(l+o(l')\

если V ^ <х>.

Теорема В [5]. Пусть х > у > 2. Тогда

, . хтМ

ф(х,у) < ' '

logy

где v = Щу, w() — функция Бухштаба.

Лемма 1. Пусть е > 0 и а0 < ж фиксированы,. Также пусть имеются положительные а, в, Ъ причем, 0 < а < 1, а < а0, в < 1, Y < а(1 — е) и также x = (logq)u, x < exp{(logq)7}, y = (logq)a,z = xe. Тогда

\N(x, y,z)\ < xexp{ — — (1 + o(1)) log(—)},u ж.

аа

Доказательство.

^(х,у,г)\ = X! Ф(х,у)= X! Ф(^,у) + (^(х,у) - х,у))

п1 п1 у

г<П1<х,Р+(п1 )<у х<и\< х ,Р+(п1)<у

Последнее слагаемое несложно оценить:

х и и

Ф(х,у) - Ф(-,у) < Ф(х,у) = хехР{---------(1 + °(1))1^“}.

у а а

Распишем сумму, используя теорему В:

xx

^ Щ'у) ^ logy 2.

z<n1< x ,P +(п1)<у z<n1< x ,P +(п1)<у

Применим к последней сумме преобразование Абеля, обозначив через Б(£) =

^2 П-. Получаем:

z<n1<t,P + (n1)<y

z<n1< x,P +(п1)<у

w(u - Ъръ) x rx w'(u - ^)

У —а---^ = S(x)w(1) + / logyJ S(t)dt <<

n1 y z t logy

~ и 1

— fa 1 —

< 5(-) + / \W(- - s)\S(ys)ds.

У Jeu a

Оценим Б (у5), для этого вновь воспользуемся преобразованием Абеля:

S (yS) = У -1 = ~ iiZ’y + log У Г Ш 'y) - Ф(г’У) dT

П1 yS J ви yT

Z<n\<ys ,P+(n\)<y a

< ^‘y^+log y [S dT.

ys Jeu yT

a

Теперь воспользуемся теоремой А, условия которой выполнены, получаем, (ys) < exp{ s(1 + o(1))log s} + (logy) exp{-T(1 + o(1))log T}dr <

I ви

a

< (logy)exp{- — (1 + o(1))log — },- ^ <X).

aa

Теперь подставляя полученные оценки и используя неравенства на w(v) (см теорема 4, 3 часть, 6 глава [5] )

\w'(v)\ < exp{-v(1 + о(1)) logv},

мы получаем требуемый результат.

Теперь докажем еще одну лемму.

Лемма 2. Количество делителей числа n < Q, не превосходящих z, не превосходит t(z, (1 + о(1)) log Q), Q ^ ж.

Доказательство. Пусть pi1...pSs разложение на простые множители, причем pi < p2 < ... < ps.

n

а : pi...plss ^ p\\)...p\Ss),

где p(i) — i-oe простое число в натуральном ряду, то есть p(i) = 2,p(2) = 3,p(3) = 5,...

Это отображение пнъектпвно. Также, a(d) < d < z.

Известно, что если n := pi1 ...pfsS < Q то p(s) < (1 + o(1))log Q. Отсюда количество чисел в образе отображения а, которые те превосходят z не больше t(z, (1 + о(1)) log Q). А это и есть исходное утверждение. Лемма доказана.

§3. Доказательство теоремы

Пусть x = (log q)u. Определим £ из равенства :

\Л П [1, x]| = £Х.

Введем параметры а, в ; в < 1 и соответственно у = (log q)a,z = xe. Для каждого натурального и, как и раньше, и = и1и2, так что если простое p делит ni, то p < у, а если p делит и2, то p > у.

Напомним, что N(x,y,z) = {и < x : и1 > z} . Теперь рассмотрим множество Л = Л П [1,x]\N(x, у, z). Положим также \Л'\ = £'x. Использую лемму 1, несложно заметить, что :

£ < £ + exp{ — — (1 + о(1)) log(—)},

аа

здесь о(1) по и —— ^о.

Рассмотрим B = {m1... mr}, где r = [jOgf ] и m1}..., mr Е Л. Оценим сверЛ

числом из Л : \B\ < \{m1.. .mr }\ < \Л П [1, q] \ < qv. Теперь оценим с низу \B\. Пусть каждое mi = и1^и2^, так что если простое p делит u1;i, то p < у, а, если p делит и2,.1, то p > у. Определим из равенства N1}N2 : m = m1.. .mr = и1, 1 . . . и1,rи2 ,1 . . . и2 ,r = N1N2, где N1 = Щ,1 . . . и,r И N2 = и2 ,1 . . . и2 ,r.

Возьмем конкретный представитель, например элемент m Е Л' ...Л'( r сомножителей) и оценим сверху число представлений его в виде произведения Л'... Л'.

Пусть m = N1N2, оценим количество представлений для N2 в виде произведения r чисел и2д . . . П2,г , N2 = и2д ... п2,г = p1.. .ps ,где все pi > у И являются простыми числами. Видим, что s < s0 = [Щуу].

Каждый делитель pi,i = 1,..., s может входить в разложение некоторого и2,j ,j = 1,..., r. Значит количество представлений числа N2 не превосходит

rs rs0

Теперь оценим количество представлений для N1y N1 = и1,1... п1г . Каждое и1^ те превосходит z и является у— гладким числом. Значит для каждого и1,i имеется не более \ф^,у) \ возможностей. Заметим также, что каждое и1yi < z является делителем N1. Значит, те лемме 2 каждое и1,i может принимать не более ^(z, (1 + о(1)) log q) значений. Отсюда получаем, что количество представлений для N1 те превосходит каждого из 2-ух чисел \Ф^,у)\г, \^(z, (1 + o(1))logq)\r.

m

ставлений для ^ и N2.

B

( е'x )r (____£^_x_____)r

\B\ > \^(z>y)r \b\ > M^(z>(1+°(1))1°gq)\'

rso rso

Значит должно выполняться 2 соотношения:

( е_ x )r

(\ф(х'у)\) < qv (2)

^sq

(_______е_х________)r

( \Ф(2, (1+Q(1))log q)\ ) ^ V /0\

rso < q ' '

(а, в)

чить оценку для £', а значит и для £. Теперь найдем соответствующие значения (а, в) £

Первый случай. Пусть log log x = o(loglogp). В этом случае, в (2)

( Е' x )г

используя, что ф^,у) < z мы получаем zSQ < qV. Распишем левую часть и напишем условие на £, предварительно сделав преобразования.

_ log q_ 1

W > (е'S = exp{(g — 1)(log£ + (1 — в)logx) — aOOfiOgq(loglogq —

( log x )

loglogx)} > exp{logq(loogex + 1 — в — a + Jogx _ Hzmon)}.

Отсюда и из (2) получаем соотношение :

log£' + 1 — в — 1 + loglogx — (1 — в)logx < ^ log x а а log log q log q

£ :

1 '/! f1 л , д , loglog x , (1 — в )log ^

log £ < log x(-------1 + в + V-------- ---- -----1------ ---------).

а а log log q log q

To есть,

. _1_ 1 + 0+,. log log x + (1-ff) log x

£ < x a +в+ a loglog q + log q

£

1 — 1+e+v— 11gl1gx +(1-/3)log x , f в^^^Пп (ви-,л

£ < x1 1 loglogq logq + exp{-------------(1 + 0(1))log(----)}.

Так как x < exp{(log q)YQ},70 < 1, то первое слагаемое в неравенстве для £ есть:

(x)1—1+e+V (x)1—1+e+V

(log x) nsfisgq(1+o(1)) (log x) u (1+o(1)) ’

при q — ж. Значит,

I1—1+e+v

(x) a 1+e + V ви ... . ,ви.^

£ <J------ u(1+0 (1)) + exp{------(1 + ou(1)) log( )}.

(log x) a (1+oq(1)) а а

Здесь в первом слагаемом o(1) это по q, а во втором слагаемом o(1) по и. Берем следующие значения параметров : а = 12, , в = 1—г — 8, гДе 8 > 0 произвольное фиксированное. Тогда получаем :

£ < C(x—) + exp{ — Cu(1 — v)2log(Cu(1 — v)2)},

C

q.

Поэтому, для первого случая мы получили:

f(x) < exp{ — (C + Oq (1))и(1 — V )2 log(u(1 — V )2)},

x

для некоторой абсолютной константы C и при q — ж.

Второй случай. Рассмотрим случай, когда y = lOgiOgx и log x = o(log q). Пусть а > (1 + £)y для некоторого £ > 0. Вспоминая, что z = xe = exp{в(logq)Y}, у = (logq)a согласно теореме [А], мы получаем:

\^(z, у)\ = z1— Y +o(1), \^(z, (1 + o(1)) logq)\ = z1—Y+o(1).

Исходя из этого, заменяя в на в(1 — - + o(1)) в (4) первый раз и в на в(1 — Y + o(1)) , заключаем 2 неравенства :

£' < x1—i+e(i—Y+o(i))+v—+o(1)

Окончательно получаем,

/М < x1 — 1+в— £ +V— Y +o(1) + exp{— f— (1 + o(1)) log(^)}. x а а

f(x) < x1—1+e—eY+V—Y +o(1) + exp{— — (1 + o(1)) log(—)}. x а а

Во втором слагаемом o(1) по и. В нашем случае и = jOggOgq, поэтому можно считать, что o(1) зависит от q.

Последнее слагаемое это exp{ — -^(logq)Y(1 + o(1))} = x—aY(1+o(1)).

Итак, одновременно выполняются

f (x) < x 1 — 1+e— ^+V— Y +o(1) + x— a Y(1+o(1)). x

f (x) < x 1 — 1+e—eY+V— Y +o(1) + x— вY(1+o(1)).

x

(а, в).

Рассмотрим случай, когда а > 1. Тогда будем минимизировать наибольшее из значений : — -Y, 1—1 + в — вY — 1 + V. Если а > 1. то берем такие параметры

= 1—T+V(1—7)2+7(1—V);

1—V ;

в = а—1 = 1—V

V(1—Y)2+Y(1—v)+1—Y

Подставляя эти параметры получаем: f (x) < x1 Cy+o(1), где

Y 1 — y + \/(1 — Y)2 + Y(1 — V))

Пусть теперь 7 < а < 1. Тогда будем минимизировать наибольшее из значений: — а^ и 1—2 + в — а7 — 1 + В случае если Y < , берем такие параметры:

в = ,а = (1 + п) 2(11Г7), оде п > 0— произвольное фиксированное. В случае

/ JTJL КУ 1 -L \ I/ . J_> у JLCAiV^ / "• о 1

a 1 a ^ — i j i — 3—v’

1 —V _

2 ^ i 4J 1—v

если y > 3—v, берем такие параметры: в = 2 — v — J ,а = y(1 + п), гДе также П > 0— произвольное фиксированное.

Подставляя такие параметры получаем f (x) < x1—Ly +й+о(1), где 8 > 0 — произвольное фиксированное и LY = (|——'1, если y < з—v, LY = 2 — v — J, если

Y > jzv . В силу произвольного 8 отсюда следует исходное неравенство:

f (x) < xl—Ll +o(1),q — ж.

Отсюда заключаем неравенство:

f (x) < x1—max{LY,cy}+o(1), q — ж.

Теорема доказана.

§4. Комментарии

1. Покажем на примере полугруппы гладких чисел, какие есть оценки снизу на функцию f ((logq)u).

Возьмем любое число 0 < v < 1 и положим Ля — полугруппа у - гладких чисел, где

у = (log q)X,

где А = y~v + £ ОДе £ — малое число.

Пользуясь теоремой [А] о количестве гладких чисел при при q > q(v, £) получаем,

кП [1,q]\ < qV.

Тогда выполнено неравенство (1).

Возьмем теперь какое-нибудь и, \Л^Р|[1, (logq)u]\ = (logq)uexp{—u(1 — v + £)(1 + o(1)) logи(1 — v)}, по и — ж, £ > 0 - некоторое малое число.

Здесь, как видно, линейный порядок по (1 — v). Теорема дает правильный характер зависимости по и. Однако в нижней оценке зависимость от (1 — v) линейная, а в теореме квадратичная.

2. Если x намного больше q, то оценить сверху f (x) не удается. Это становится ясно если рассмотреть Л = {и : и > q}. Если x растет так степень q с показателем, меньшим 1, то иногда также нельзя дать нетривиальную оценку

\ Л [1 , x] \ . q

пу Лд, которая состоит го любых произведений чисел взятых из (q0'1,1.5q01 ]. Заметим, ести и Е Л Р| [1, q], то и = и1.. .пг ,r < 9 и и1,... ,пг Е (q0'1,1.5q01 ]. Значит ЛдР|[1,q]\< (0.5q0'J)r < q0'9.

1<r<9

Теперь возьмем x = 1.5q01. Тогда

\Лд П(М\ > x.

Таким образом, хороших оценок на функцию f (x) при x порядка степени q для произвольных полугрупп получить не удается.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Hildebrand A., Tenenbaum G., Integers without large prime factors, J Theorie des Nombres de Bordeaux, 5 (1993) no. 2 411-484.

[2] Прахар К., Распределение простых чисел, Издательство Мир, 1984.

[3] Bourgain J., Konyagin S., Shparlinski I., Distribution of elements of cosets of small subgroups and applications, International Math Research Notices, 19682009, 2012:9 (2012).

[4] Shparlinsky I., Integers with a large smooth divisor, Electronic journal of combinatorial number theory 7, 2007.

[5] Tenenbaum G., Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge Universit Press, Cambridge, UK, 1995.

Механико-математический факультет, Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступило 29.10.2012