CC BY
43
УДК 511
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЕЛ С ДВОИЧНЫМ РАЗЛОЖЕНИЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ
А.П. Науменко
Белгородский государственный университет,
E-mail: [email protected]
Пусть р --простое число, такое, что 2 является первообразным корнем по модулю р. Пусть N -- множество натуральных чисел, двоичное разложение которых содержит четное число 1. Для числа чисел из множества N0, лежащих в арифметической прогрессии с разностью р и не превосходящих X, получена асимптотическая формула:
Е 1 = І + 0(Хп), где п
n<X n = a (mod p)
uENq
log2 P P-l .
Ключевые слова: двоичное разложение, тригонометрическая сумма
On the Distribution of the Numbers with Binary Expansions of a Special Type in Arithmetic Progressions
A.P. Naumenko
Let 2 be the primitive root mod p. Let N0 be a set of natural numbers whose binary expansions contain even numbers of 1. Numbers from N0 are uniformly distributed in arithmetic progressions with the difference p.
Key words: binary expansion, trigonometric sum
Пусть N0 — множество натуральных чисел, двоичное разложение которых содержит четное число 1.
А.О. Гельфонд доказал следующую теорему [1]:
V 1 = X + O(XA), A = |n3= 0.792... (1)
2m In 4
n<X n=l (mod m) n£No
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема, которая уточняет (1) для частного случая.
Теорема 1. Пусть p — простое число, такое, что 2 является первообразным корнем по модулю p. Пусть а — произвольное целое число из отрезка [0; p — 1]. Тогда справедлива асимптотическая формула:
X
£ 1 = 2р+°(X п )•
n<X n=a (mod p) neNo
l°g2 P ^
где n =-------, постоянная в знаке O зависит только от p.
p — 1
Для доказательства теоремы нам потребуются четыре леммы.
Введем следующее обозначение:
,,, I 1, если k Е No,
£(k) = <
I —1, если k Е N0.
Справедливо тождество
2Q — 1 b b 2q-1
І „2nica І „ — 2ni - * 2ni СИ
J2 є(п) =Y, є(п)b £e2”cJs^ = ьТ<е—2'“*Т< є(п)є2піt. (2)
0<n<2Q—1 n=0 c=1 c=1 n=0
n=a (mod b)
Лемма 1. Имеет место следующее равенство:
Q — 1
Sq(a) = є(п)є2пі“п = П (і - e2nia2r) . (3)
0<n<2Q r=0
© А.П. Науменко, ZOOS
Доказательство. Применим метод математической индукции по При Q = 1 имеем
^ е(п)в2пгаП -ТТ(1 „2пга2г
0<п<2
]^[(1 - е2пга2').
г=0
Пусть при некотором Q > 1 лемма справедлива. Проверим ее справедливость для Q + 1:
^ е(п)е2пгап = ^ е(п)е2пгап + ^ е(п)е2пгап.
0<п<2« + ! 0<п<2« 2«<п<2^ + 1
Заметим, что е (2^ + п) = —е(п), так как п < 2^. Далее,
є(п)е2пгаи + ^ є(п)е2пгаи — ^ є(п)
0<и<2« 2«<п<2«+! 0<и<2«
є(п)е2пгаи - е2піа2^ V є(п)е2пгаи
^ Є(п> 0<и<2«
— (1 - е2пга2<?) ^ є(п)е2пгаи
0<и<2«
д-1
Но, по предположению индукции, Е е(п)е2пгап = П (1 — е2пга2Г). Таким образом,
32пгаи
0<и<2« г=0
д
^ є(п)е2пгаи — П (1 - е2™02).
0<и<2^+1 г=0
Лемма доказана.
Из леммы 1 имеем равенство
^ е(п)е
0<и<2«
2піаи
д-1 д-1
_2пга2г| _ ТГ |„2пга2г
П |1
-е
д-1
п
г=0
2іе
піа2г
г=0
е^га2г _____ е—піа2г
2І
| — ^ |е2пга2' - 1| —
г=0
д-1
— 2д ^ | бій па2г |.
г=0
Лемма 2 [2, с.78]. Пусть п — натуральное число, х, у — комплексные числа. Тогда
и — 1
^=0
Лемма 3. Пусть п — нечетное число. Тогда верно
д-1
П
пк
эш ■
п
п
2и-1
г=0
Доказательство. Пусть /(г) = е2пг2 — е-2пг2 = 2г эт2пг. Пусть х = е2пг2, у = е-2пг2. Тогда по лемме 2
п 1 " 1 к'
и1
и1
/ (пг) — хи - уи — (же
^=0
Уе
^=0
П/ г + П
п — 1 2
и1
^=^ &=п—1+1
п— 1 2
— /МП/(*+£) п /(*+п-0 — /мП/(*+1)/
&=1
к
г----
п
Таким образом,
/ (пг) 2г Біи2ппг
Ііт / — ііш-------------------
2^0 / (г) 2^0 2і БІи2пг ^0
БІП 2п2 2п2
■п — п.
0
При z = 0 имеем
n — 1 2
n- 1 2
П f П f _П =(_ї)- П 2
k=1 v 7 v 7 k = 1
2 2 2 г sin
2nk
n- 1 2
2n—1
k = 1
2nk
sin
n1
2n—1
k=1
nk
sin
= n.
Откуда
Q—1
П
r=0
nk
sin
2n—1
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть р — простое число, такое, что 2 является первообразным корнем по модулю р. Тогда справедлива оценка
є(pn + a)
pn+a<2Q — 1
< f (p)2Qn,
где n = l°g^, f (p) = 2
3 2
0 < a < p.
p _ І p Доказательство. На основании (2) и (З) имеем
є(pn + a)
0<pn+a<2Q — 1
p—1
Sq (0) + -Y, e—2ni “ S /c
c=1
что
/ \ Q —1
Оценим сумму Sq I -I при любом c Е [1,p — 1]. Рассмотрим произведение П
\p/ r=0
sinan ™ ~
sin
nc2r
. Заметим,
зависит только от остатка а при делении на р. Так как 2 является первообразным корнем по модулю р, числа 20, 21,..., 2р-2 образуют приведенную систему вычетов по модулю р. Следовательно,
р—т ] (в-1)в-1 \
Q—1
П
r=0
. nc2r
sin =
p
(p— 1)s — 1
п п
s=1 r=(p—1)(s —1)
nc2r
sin
p
Q—1
П
r=(p—1)[ Q- ]
nc2r
sin
p
Q—1
П
r=(p—1)[ Q- ]
nc2r
sin
p
p— 1 П
чш=1
nm
sin
p
P- 1 .
[ Q- ]
Используя тот факт [1], что sin x sin2x < 3 при sin x > ^, получаем
nc2r
Q—1
П
r=(p—1)[ Q-1 ]
sin
<
p-1rQ-1і
3 \ 2 і P-1 і
4
Пользуясь леммой З, имеем
Q—1
П
r=0
nc2r
sin
<
2p—1
Следовательно,
є(pn + a)
pn+a<2Q — 1
Q-і] /3\ 2-rіQ--ті
[ Q-1
4
_ Q loS2 P +1
< 2q ^-1+1
P-1 3 P2-
і Q—т і
Лемма доказана.
2
n
n
n
n
n
p
p
p
4
p
p
36
Научный отдел
Доказательство теоремы. Рассмотрим сумму Е 1. Для нее справедливо равенство
п<Х п=а (mod р) п£№о
х 1
^ 1 = 2р + 2 ^ е(РП + а)+ °(1)'
п<Х рп+а<Х
п=а (mod р) пе№о
Таким образом, достаточно оценить сумму
Б(X, а) = е(рп + а).
рп+а<Х
Определим натуральное число к неравенствами 2к < X < 2к+1. Тогда имеем
Б(X, а) = е(рп + а) + е(рп + а).
рп+а<2к —1 2к <рп+а<Х
Так как 2к < X < 2к+1, справедливо тождество
е(рп + а) = — е(рп + 1) = —Б (X — 2к , 1),
2к <рп+а<Х 0<рп+1<Х — 2к
где 1 = а — 2к ( шоё р), 1 е [0,р — 1].
Получено равенство
Б(X, а) = Б(2к, а) — Б(X — 2к, 1).
Применяя то же рассуждение, что к Б(X,а), к сумме Б(X — 2к,1) и так далее, приходим к неравенству
|Б(X,а)| < |Б(2к,а)| + |Б(2к1 ,а1)| + ••• ,
где к > к1 > ■ ■ ■
Применяя к каждой сумме в правой части последнего неравенства лемму 4, получаем
р-1 [1^2 X] р-1
|Б(X,а)| < 2^ V 2([1о»2х]—О!0Й£ < 2^^, р “ р
где с(р) =
1——- 1/(р — 1) *
Теорема доказана.
Библиографический список
1. Gelfond A.O. Sur les nombres qui ont des proprietes 2. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в additives et multiplicatives donnies // Acta Arith. 1968. современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
V. XIII. P. 259-265.
