О расчете течения газа в гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости (прямая задача) Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971

№ 1

УДК 532.525.011.55

О РАСЧЕТЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ГИПЕРЗВУКОВОМ СОПЛЕ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ (ПРЯМАЯ ЗАДАЧА)

А. П. Быркин, И. И. Межиров

Излагается методика приближенного и точного численного решения задачи о течении газа в заданном гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости (в приближении пограничного слоя). Приводятся результаты расчета на ЭВМ течения гелия в коническом сопле.

В комплекс расчета гиперзвукового сопла входят следующие основные задачи:

а) построение (с учетом вязкости) контура сопла, обеспечивающего заданное течение в невязком изэнтропическом ядре (обратная задача). В приближении пограничного слоя задача сводится к увеличению проходных сечений сопла, рассчитанных для невязкого газа, на величину, соответствующую толщине вытеснения пограничного слоя 8*;

б) расчет течения газа в сопле заданной геометрии при заданном значении числа Не и температуры стенки сопла (прямая задача). Решение этой задачи более сложно, так как размеры изэнтропи-ческого ядра и значения чисел М в нем определяются взаимодействием невязкого течения с пограничным слоем, параметры которого, в свою очередь, зависят от характеристик невязкого потока.

Среди исследований, посвященных решению прямой задачи для сопла, укажем на работы [1] и [2], в которых изложен метод расчета течения газа в тонком гиперзвуковом коническом сопле. Для расчета пограничного слоя используется интегральное соотношение импульсов, профиль скорости в пограничном слое принимается линейным, расчеты проводятся для теплоизолированной стенки сопла и числа Прандтля, равного единице. В невязком ядре принимается линейный закон зависимости азимутальной составляющей скорости от полярного угла, что дает возможность учесть неравномерность чисел М в поперечном сечении сопла, индуцированную пограничным слоем.

В случае умеренных сверхзвуковых скоростей в сопле при решении прямой задачи иногда используется метод последовательных приближений, причем в качестве нулевого приближения для

3—Ученые записки № 1

33

расчета пограничного слоя берутся условия, соответствующие течению в сопле невязкого газа. Метод последовательных приближений используется и при расчете внешних течений, когда пограничный слой взаимодействует с невязким потоком, в том числе и при гиперзвуковых скоростях (см., например, [3]). Процесс последовательных приближений обычно сходится.

Следует, однако, иметь в виду, что в случае внутренней задачи при толстом пограничном слое из-за ограниченности потока стенками ошибки в определении толщины пограничного слоя при гиперзвуковых скоростях вызывают большие отклонения значений газодинамических параметров от истинных, вследствие чего итерационный процесс может оказаться расходящимся.

Фиг. 1

Сказанное иллюстрируется фиг. 1, на которой показана толщина вытеснения пограничного слоя нулевого приближения 80, рассчитанная для условий течения невязкого газа (гелия) в коническом сопле с полууглом при вершине 6° при отношении радиуса критического сечения к радиусу выхода, равном 0,0181 (число М фиктивного потока при отсутствии на стенках сопла пограничного слоя Мф = 36,5), при Иеол =848-10« и 84,8-106 и теплоизолированной

стенке. Здесь 1?е0л = -Ро 1 -, р0 и ¡а0 — соответственно плотность

и динамическая вязкость изэнтропически заторможенного газа, \УтЯХ — максимальная скорость газа, ¿ — длина сопла. На фиг. 1

и ниже ^ , 7я = -^-,* = —, гш —текущий радиус сечения

сопла, гя — радиус изэнтропического ядра (гя = гт — 8 ), д: — расстояние от критического сечения вдоль оси сопла, г* - радиус критического сечения сопла.

Из фиг. 1 видно, что расчет в данном случае приводит к нелепому результату — величина 8о внутри сопла оказывается равной радиусу сопла. Ясно, что и при значительно меньших значениях §о итерационный процесс не будет сходиться.

Ниже излагается эффективный метод приближенного и точного численного решения прямой задачи для гиперзвукового сопла, основанный на некоторых свойствах ламинарного пограничного слоя, установленных в результате решения обратной задачи для ряда сопел.

1. На фиг. 2 представлены зависимости безразмерной толщины вытеснения ламинарного пограничного слоя — ■/Ие0л от числа М3

X

на заданном изэнтропическом контуре сопла, рассчитанные для ряда профилированных осесимметричных сопел с теплоизолированной стенкой А. П. Быркиным и Ю. Н. Павловским. Кривые, соответствующие значениям числа М=14,9; 12,9; 12,2, характеризуют течения в соплах с изломом образующей, остальные — течения в соплах с коническим участком.

Кривые получены в результате численного интегрирования уравнений пограничного слоя методом обобщенных интегральных соотношений А. А. Дородницына (в третьем и пятом приближениях) [4] и методом конечных разностей [5]. Расчеты проведены для воздуха (показатель адиабаты х=1,4, число Прандтля Рг=0,75, зависимость коэффициента вязкости от температуры бралась по формуле Сезерленда, Т0= 1000°К) и для гелия (х= 1,667, Рг=0,68, показатель степени в законе вязкости п = 0,647). При расчетах

не учитывалось влияние поперечной кривизны контура сопел на характеристики пограничного слоя, так как практически им можно пренебречь с погрешностью порядка 1—2% при обычных числах Ие. Об этом свидетельствуют результаты численных расчетов [6], а также данные специальных расчетов, проведенных авторами.

2000

1500

то

500

/^еох /

’

1

к~ 1^ (воздух') М=16

г 15

ш №.9

М=13 N V

«К \ Ж ’/

12,2х N ¥ н= 1,667{гелий)

1 /

і /

М=15 \ / г

У

< г

20

д 10 12

16

$

0.8

0.6

№

0.2

Г

ф

У

/У г/

у

гелий ( к = доз дух (« = |)

Фиг. 2

Фиг. 3

Из фиг. 2 видно, что при заданном рабочем газе зависимости, полученные для восьми разных сопел, мало различаются между собой. Можно считать с погрешностью около +10%, что величина

8* г---- ~

— У ІЇЄох в гиперзвуковых осесимметричных соплах с теплоизоли-л

рованной стенкой является функцией только числа М на границе пограничного слоя и не зависит от характера распределения чисел М по длине сопла. Отметим, что существование такой универ-

сальной зависимости вытекает из законов подобия, установленных Ю. Л. Жилиным для течения газа в тонких аффинно-подобных гиперзвуковых соплах [7].

8* —

На фиг. 3 представлена зависимость — (Тт), построенная для

81

всех восьми сопел. Здесь 3* — толщина вытеснения при температуре стенки Тш„ отвечающей случаю тепловой изоляции; 8* — толщина вы-

_ т

теснения при значении температуры стенки Ти,\ Тш=-=^----------темпера-

•* 701Г

турный фактор. Из фиг. 3 видно, что величина 8*/8* является практически функцией только температурного фактора Тхе! и при достаточно больших числах М слабо зависит от числа М5 и продольного градиента давления в сопле, а также от физических характеристик рабочего газа.

Из приведенных данных следует, что толщина вытеснения на стенке сопла может быть в первом приближении определена по формуле

ла М и температурного фактора Т^ определяемые для воздуха и гелия графиками на фиг. 2 и 3.

2. Данные предыдущего раздела дают возможность получить простое приближенное решение задачи о течении газа в сопле фиксированной геометрии при одномерном потоке в изэнтропи-ческом ядре и ламинарном пограничном слое на стенках сопла. Течение, близкое к одномерному, имеет место в конических гиперзвуковых соплах с небольшими углами раскрытия (10°—15°). Расчет течения в ядре в одномерном приближении бывает часто достаточным и в случае профилированных сопел, работающих при нерасчетных условиях, так как он дает представление об отклонениях чисел М от расчетных значений.

Запишем уравнение расхода для течения газа в ядре, полагая, как это было и при расчетах, о которых речь шла выше, что в критическом сечении сопла пограничный слой отсутствует:

Здесь /=■„ и /%. — соответственно площадь изэнтропического ядра и критического сечения сопла, Мя — число М в .ядре, # (М) — приведенный расход:

и>г

8*=-^Ь-/(МгЖТш), (1)

V Иєо.ї

(1)

____________ §*

где /(Ма) = — і/ Иеог . & (Т,..) = -^— универсальные функции чис-

(2)

д( М) =

Имеем

откуда, используя (1), получаем окончательно

где Ие,

У <7 (Мя)

Ро ^''тах У % 1*0

(•*)

Ие,

/(Мя )к(Ти)

= 1,

(4)

Для сопла заданной формы при заданных значениях температурного фактора Tw и Яе* уравнение (4) может быть легко решено графически относительно Мя с использованием фиг. 2 и 3. По значениям Мя (х) площадь изэнтропического ядра рассчитывается с помощью выражения (2).

Из формулы (4) вытекает, что число Мя будет постоянным, если при изменении параметра Ие* все абсциссы точек контура сопла д; изменяются пропорционально Ие*, а соответствующие им ординаты остаются прежними. Такой закон подобия строго вытекает из уравнений движения вязкого газа, если статическое давление постоянно в поперечном сечении канала (см. [8]).

_ Отметим, что в частном случае конического сопла, когда = ах + Ь, где а и Ь — константы, можно получить зависимость л: (Мя) в явном виде. При этом уравнение (4) сводится к квадратному уравнению относительно Ух, и мы получаем:

х==)/(Мя);^) +

2а У Ие* '

/ЦМ а)-&(Т„) , 1

4а2 Ие* 1 а

Уд( М

■1

Я/

В случае турбулентного или переходного пограничного слоя экспериментальные данные о толщине вытеснения также могут быть обобщены формулой вида

Ие?

¥ (М8, Тш)

(5)

Ох

(см., например, [9]). Показатель степени ? получается равным 0,2—0,3. При использовании выражений (5) и (3) получаем следующее уравнение для определения чисел М в изэнтропическом ядре сопла заданной формы:

Vя (Мя)

.(*)-

;і-т

Яе!

= 1.

(6)

Из формулы (6) следует, как и выше, что число Мя в сопле не изменится, если будут оставаться постоянными параметры т

лг/Ие’-тг и гто, одна зависимость между которыми при различных значениях Ие* определяет целое семейство сопел.

Представление о точности изложенного метода может дать сравнение результатов, полученных с его помощью, с данными точного численного расчета для профилированного сопла (фиг. 4 и 5 — сплошными кривыми показаны результаты точного расчета, пунктирными — приближенного). Контур стенки сопла образован в результате решения обратной задачи путем добавления толщины вытеснения к контуру, рассчитанному без учета вязкости (на фиг. 4 и 5 этот идеальный контур гя (л:) один и тот же). Сопло рассчи-

тано на получение однородного потока с числом М=13 в выходном характеристическом ромбе. Контур стенки гт{*)_на фиг. 4 соответствует случаю теплоизолированной стенки (Тт = 1), на фиг. 5 — значению температурного фактора ГИ)=0,25. Число Ие* = = 0,49-106. На фигурах показаны распределения чисел М на невязком контуре, полученные точным численным расчетом. Там же

Фиг. 4

приведены кривые гя (а:) и Мя (л:), полученные в результате решения уравнения (4) при заданных га, Ие*, Тш. Видно, что приближенные зависимости на всей длине сопла мало отличаются от точных, хотя толщина вытеснения пограничного слоя на выходе из сопла даже превышает радиус невязкого ядра.

3. Можно ожидать, что применение метода последовательных приближений при точном численном решении прямой задачи о течении газа в гиперзвуковом сопле будет успешным, если нулевое приближение даст картину течения, близкую к истинной. Как видно из предыдущего раздела, в качестве такого нулевого приближения можно использовать данные, получаемые решением приближенного уравнения (4).

Ниже приведены результаты численных расчетов на ЭВМ течения гелия в коническом сопле, основные характеристики которого приведены в начале статьи, при числах Иеол = 848-106; 530-10е; 84,8-106 и двух температурных условиях на стенке — Тт = Ттг и Т„ = 70 (То — температура торможения газа).

Пограничный слой рассчитывался по методу обобщенных интегральных соотношений в третьем приближении.

Осесимметричное течение газа в невязком изэнтропическом ядре, контур которого определялся уравнением

Гя (■*) = гп, (х) — Ъ* {х), (7)

рассчитывалось методом характеристик с помощью специально составленной программы для решения прямой задачи. Число точек на каждой характеристике было не меньше 125. Предполагалось, что в критическом сечении сопла пограничный слой отсутствует. Во избежание детального расчета околозвукового участка сопла принималось, что непосредственно за критическим сечением имеет место радиальное течение газа с числом М=1,01.

Числа М на границе невязкого изэнтропического ядра, полученные в нулевом приближении по формулам (5) и (2), использовались для расчета толщины вытеснения пограничного слоя первого приближения, затем определялись новые значения радиусов невязкого ядра и т. д. до тех пор, пока приближения не давали практически совпадающих результатов при тождественном удовлетворении соотношения (7).

В связи с тем, что при сверхзвуковых скоростях в невязком ядре итерации колеблются около искомого предельного значения (это следует из основных газодинамических соотношений — площадь канала возрастает при увеличении числа М — и того факта,

5* ___

что величина —V^eox является возрастающей функцией числа М),

X

для улучшения сходимости применялось „демпфирование“: радиус невязкого ядра в г-м приближении, использовавшийся при расчете течения невязкого газа, вычислялся по формуле

''¡расч = ^_1-Ь/(/-; — Г,-!),

где коэффициент демпфирования I брался равным 0,5-^-0,25.

Во всех случаях процесс оказался сходящимся, потребное число приближений не превысило четырех. Для численного решения задачи при граничном условии Тт—Т0 в качестве нулевого приближения использовались данные, соответствующие теплоизолированной стенке. Потребное число приближений оказалось при этом равным двум.

На фиг. 6 приведено распределение чисел М по радиусу выходного сечения сопла, полученное в результате настоящих расчетов. Видно, что при Неол = 848-106 и 530-106 числа М в невязком ядре заметно уменьшаются при удалении от оси сопла. В случае

= 84,8-106 течение в ядре близко к одномерному.

На фиг. 7 сравниваются расчетное и экспериментальное распределение чисел М на оси сопла при Иео£ = 84,8-106 (экспериментальное исследование выполнено В. Я. Безменовым и И. И. Межи-ровым)*. Там же нанесена кривая МЛ (х), соответствующая течению в коническом сопле невязкого газа. Совпадение расчетных и экспериментальных данных удовлетворительное. Влияние вязкости на течение в сопле характеризуется отличием действительных

* Число Кнудсена, подсчитанное по радиусу сопла, при экспериментах не превышало (I-=-2)-10 2, что свидетельствует о законности сравнения опытных и расчетных данных.

значений чисел М от величин Мф, соответствующих радиальному течению невязкого газа.

На фиг. 8 приведены профиль скорости и профиль температуры торможения в пограничном слое в выходном сечении сопла

Фиг. 7

при Не<и = 530-106 и теплоизолированной стенке (переменная г,,

Л_ ,

г+

'I

Р01

пропорциональна расстоянию от стенки у; «г и Т0ь — соответственно значения скорости и температуры торможения на внешней границе

пограничного слоя). На графике отмечено значение щ*, соответствующее толщине вытеснения. Видно, что толщина вытеснения незначительно отличается от толщины пограничного слоя.

В заключение отметим, что изложенная здесь методика численного расчета течения газа в сопле заданной формы с учетом вязкости применима в случае произвольного сопла с достаточно гладким контуром, произвольного газа при произвольных граничных условиях на стенке и ограничивается лишь требованием законности использования уравнения пограничного слоя (т. е., например, условием отсутствия в сопле скачков уплотнения, взаимодействующих с пограничным слоем, условием достаточной малости эффектов разреженности газа).

ЛИТЕРАТУРА

1. Агафонов В. П. Взаимодействие пограничного слоя с гиперзвуковым потоком в коническом сопле. „Изв. АН СССР. Механика“, 1965, № 5.

2. Агафонов В. П. Асимптотический характер гиперзвуко-вого течения в коническом сопле. „Изв. АН СССР. МЖГ", 1967, № 5.

3. Mann W., Brady R. Hypersonic viscid — inviscid interaction solutions for perfect gas and equilibrium real gas boundary layer flow. „J. of Astronautical Sci.“, v. 10, № 1, 1963.

4. Павловский Ю. H. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. ЖВМ и МФ, 1962, № 5.

5. Бы р кин А. А., [Денников В. В. Об одном численном методе расчета ламинарного пограничного слоя. ЖВМ и МФ, 1970, № 1.

6. Михайлов В. В. Метод расчета сверхзвуковых сопел с учетом влияния вязкости. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1969, № 1.

7. Жилин Ю. Л. Законы подобия для истечения газа в тонкое гиперзвуковое сопло. „Инженерный журнал“, 1963, № 4.

8. Быркин А. П., Межиров И. И. О расчете течения вязкого газа в канале. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1967, № 6.

9. Бурке А. Ф., Бирд К. Д. Применение конических и профилированных сопел в гиперзвуковых установках. В сб. „Современная техника аэродинамических исследований при гиперзвуковых скоростях“, М., „Машиностроение“, 1965.

Рукопись поступила I3jV 1970 г.